1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题（共 10 小题） 1在复平面内， 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 Ax|x2k，kZ，Bx|2x2，则 AB（ ） A1，1 B2，2 C0，2 D2，0，2 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a20，a41，则 S4等于（ ） A B1 C2 D3 4下列函数中，在区间（0，+）上单调递增且存在零点的是（ ） Ayex B C Dy（x1）2 5在（x2）n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含 x 项的系数等于（ ） A32 B24 C8 D4 6 若抛物线 y24x
2、上一点 M 到其焦点的距离等于 2， 则 M 到其顶点 O 的距离等于 （ ） A B2 C D3 7已知数列an是等比数列，它的前 n 项和为 Sn，则“对任意 nN*，an0”是“数列Sn 为递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的最长 棱的棱长为（ ） A3 B C D 9已知函数 （0）若关于 x 的方程 f（x）1 在区间0，上有且 仅有两个不相等的实根，则 的最大整数值为（ ） A3 B4 C5 D6 10如图，假定两点 P，Q 以相同的初速度运动
3、点 Q 沿直线 CD 作匀速运动，CQx；点 P 沿线段 AB （长度为 107单位） 运动， 它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离 （PB y）令 P 与 Q 同时分别从 A，C 出发，那么，定义 x 为 y 的纳皮尔对数，用现在的数 学符号表示 x 与 y 的对应关系就是 ，其中 e 为自然对数的底当点 P 从线 段 AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ） Aln2 Bln3 C D 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知向量 （1，1）， （2，t），若 ，则 t 12 若函数 f （x） cos2xsin2x 在区间0， m上单调减区间， 则 m
4、的一个值可以是 13若对任意 x0，关于 x 的不等式 恒成立，则实数 a 的范围是 14已知 A（a，r），B（b，s）为函数 ylog2x 图象上两点，其中 ab已知直线 AB 的 斜率等于 2，且 ，则 ab ； 15在直角坐标系 xOy 中，双曲线 （a0，b0）的离心率 e2，其渐近线与 圆 x2+（y2）24 交 x 轴上方于 A，B 两点，有下列三个结论： ； 存在最大值； 则正确结论的序号为 三、解答题共 6 题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在ABC 中，c1， ，且ABC 的面积为 （）求 a 的值； （）若 D 为 BC 上一点，且_，求 sin
5、ADB 的值 从AD1， 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 17为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构 M 采用分层抽样的方法从 A 校抽取了 m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：30，40），40，50），50，60）， 60，70），70，80），80，90），90，100，并得到如下频率分布直方图根据规定， 测试成绩低于 60 分为体质不达标已知本次测试中不达标学生共有 20 人 （）求 m 的值； （）现从 A 校全体同学中随机抽取 2 人，以频率作为概率，记 X 表示成绩不低于 90 分的人数，求 X 的分布列及数学期望； （）另一机构 N 也对该校学生做
6、同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了 100 名学生，经测试有 20 名学生成绩低于 60 分计算两家机构测试成绩的不达标率，你 认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACBCAA1，BCC160，平面 ABC平 面 BCC1B1，D 是 BC 的中点，E 是棱 A1B1上一动点 （）若 E 是棱 A1B1的中点，证明：DE平面 ACC1A1； （）求二面角 C1CAB 的余弦值； （）是否存在点 E，使得 DEBC1，若存在，求出 E 的坐标，若不存在，说明理由 19已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点（2，
7、0），一条直线 l 与椭 圆 C 交于 P，Q 两点，以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O （）求椭圆 C 的标准方程； （）求证： 为定值 20已知函数 （）若 a1，求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）求证：函数 f（x）有且只有一个零点 21已知数列 a1，a2，a10满足：对任意的 i，j1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 若 ij，则 aiaj，且 ai1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，设集合 Aai+ai+1+ai+2|i 1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A 中元素最小值记为 m（A），集合 A 中元素最大值 记为 n（A） （）对于数列：
8、10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合 A 及 m（A），n（A）； （）求证：m（A）不可能为 18； （）求 m（A）的最大值以及 n（A）的最小值 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项 1在复平面内， 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出 解：在复平面内，复数 1i 对应的点（1，1）位于第四象限 故选：D 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 2已知集合 Ax|x2k，kZ，Bx
9、|2x2，则 AB（ ） A1，1 B2，2 C0，2 D2，0，2 【分析】分别求得集合 A、B，利用交集定义直接求解 解：集合 Ax|x2k，kZ，Bx|2x2， AB2，0，2 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力， 属于基础题 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a20，a41，则 S4等于（ ） A B1 C2 D3 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1 ，d ，由此能求出 S4 解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，a20，a41， ，解得 a1 ，d ， S4 4 1 故选：B 【点评】本题考查等差数列的前 4
10、 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查 推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题 4下列函数中，在区间（0，+）上单调递增且存在零点的是（ ） Ayex B C Dy（x1）2 【分析】根据基本初等函数的图象与性质，零点的含义，以及函数图象的变换法则，逐 一判断每个选项即可 解：函数 yex0 恒成立，不存在零点，即 A 不符合题意； 函数 恒成立，不存在零点，即 B 不符合题意； 函数 在（0，+）上单调递增，且当 x1 时，y0，所以函数的零 点为 x1，即 C 正确； 函数 y（x1） 2在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，即 D 不符合题意 故选：C 【点评】本
11、题考查函数的单调性和零点问题，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解 题的关键，属于基础题 5在（x2）n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含 x 项的系数等于（ ） A32 B24 C8 D4 【分析】根据 n 为偶数是，只有中间一项的二项式系数最大，由此求出 n 的值，然后再 利用通项求出含 x 的项的系数 解：由已知得：n 为偶数，且 ，故 n4 所以该二项式为（x2）4，所以展开式的通项为 ， 令 4k1 得 k3，故该项的系数为 故选：A 【点评】本题考查二项式展开式中二项式系数的性质以及通项的应用，属于基础题 6 若抛物线 y24x 上一点 M 到其焦点的距离等于 2， 则
12、M 到其顶点 O 的距离等于 （ ） A B2 C D3 【分析】设 M 的坐标，由抛物线的性质可得，到焦点的距离等于到准线的距离，求出 M 的横坐标，代入抛物线的方程可得 M 的纵坐标，进而求出 M 到顶点的距离 解：设 M（x0，y0），由抛物线的方程可得焦点 F（1，0），准线方程为：x1， 由抛物线的性质可得 x0+12，所以 x01，代入抛物线的方程可得|y|2， 即 M（1，2），所以|OM| ， 故选：C 【点评】本题考查抛物线的性质，属于中档题 7已知数列an是等比数列，它的前 n 项和为 Sn，则“对任意 nN*，an0”是“数列Sn 为递增数列”的（ ） A充分而不必要条件
13、 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】“对任意 nN*，an0”“数列Sn为递增数列”，“数列Sn为递增数列” “对任意 nN*，an0”，由此能求出结果 解：数列an是等比数列，它的前 n 项和为 Sn， “对任意 nN*，an0”“数列Sn为递增数列”， “数列Sn为递增数列”“对任意 nN*，an0”， “对任意 nN*，an0”是“数列Sn为递增数列”的充要条件 故选：C 【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查等比数列的性质等基础 知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题 8某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为 1，那
14、么该几何体的最长 棱的棱长为（ ） A3 B C D 【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的最大棱长 解：根据几何体的三视图转换为直观图如下：该几何体为四棱锥体 EABCD， 所以该几何体的最长的棱长为 DE 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观体之间的转换，直观图的棱长的求法及应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9已知函数 （0）若关于 x 的方程 f（x）1 在区间0，上有且 仅有两个不相等的实根，则 的最大整数值为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】当 x0，时，x ， ；根据条件关于 x 的方程 f（x）1 在区间 0，上有
15、且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得 ，解得 ，即可得满足条件的 的最大整数 解：当 x0，时，x ， ； 关于 x 的方程 f（x）1 在区间0，上有且仅有两个不相等的实根， 结合正弦函数的图象，得 ，解得 ，可得满足条件的 的最大 整数为 4 故选：B 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，整体法思想与数形结合的思想方法，属于 基础题 10如图，假定两点 P，Q 以相同的初速度运动点 Q 沿直线 CD 作匀速运动，CQx；点 P 沿线段 AB （长度为 107单位） 运动， 它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离 （PB y）令 P 与 Q 同时分别从 A，C 出发，那么，定
16、义 x 为 y 的纳皮尔对数，用现在的数 学符号表示 x 与 y 的对应关系就是 ，其中 e 为自然对数的底当点 P 从线 段 AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ） Aln2 Bln3 C D 【分析】易知，它们的初速度相等，故 Q 点的速度为 107，然后可以根据 ， 求出 P 在中点、 分点时的 x，则 Q 点移动的距离可求，结合速度，时间可求 解：由题意，P 点初始速度 107即为 Q 点的速度 当 P 在靠近 A 点的三等分点时： ，解得：x ， 当 P 在二等分点时： ，解得：x107ln2， 所以经过的时间为： 故选：D 【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化
17、，要注意对题意的准确理解属 于基础题 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知向量 （1，1）， （2，t），若 ，则 t 2 【分析】由向量平行的充要条件可得：121t0，解之即可 解：向量 （1，1）， （2，kt），且 ， 121t0，解得 t2 故答案为：2 【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题 12若函数 f（x）cos2xsin2x 在区间0，m上单调减区间，则 m 的一个值可以是 1 【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求 f（x）cos2x，利用余弦函数的单调性 可求函数的单调递减区间，结合已知可得 ，kZ，解得 k0 时，m ，即 可求解 解
18、：f（x）cos2xsin2xcos2x， 令 2k2x2k+，kZ，解得 kxk ，kZ， 函数 f（x）cos2xsin2x 的单调递减区间为：k，k ，kZ， 函数在区间0，m上单调递减， ，kZ，解得 k0 时，m ， 可得 0m 故答案为：1 【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的单调性，考查了转化思想 和函数思想，属于基础题 13若对任意 x0，关于 x 的不等式 恒成立，则实数 a 的范围是 （，2 【分析】利用基本不等式求出 的最小值，只需 a 不大于其最小值即可 解：x0， 2 2，当且仅当 x1 时取等号，又 恒成立，a 2 故答案为：（，2 【点评】本题主
19、要考查基本不等式的应用，属于基础题 14已知 A（a，r），B（b，s）为函数 ylog2x 图象上两点，其中 ab已知直线 AB 的 斜率等于 2，且 ，则 ab 1 ； 4 【分析】 利用对数性质、 直线的斜率公式、 两点间距离公式列出方程组， 能求出 a， b， s， r，由此能求出结果 解：A（a，r），B（b，s）为函数 ylog2x 图象上两点，其中 ab 直线 AB 的斜率等于 2，且 ， ， 解得 a ，b ，slog23，r2log23， ab1， 故答案为：1，4 【点评】本题考查两数差与两数商的求法，考查对数性质、直线的斜率公式、两点间距 离公式等基础知识，考查推理能力与
20、计算能力，属于基础题 15在直角坐标系 xOy 中，双曲线 （a0，b0）的离心率 e2，其渐近线与 圆 x2+（y2）24 交 x 轴上方于 A，B 两点，有下列三个结论： ； 存在最大值； 则正确结论的序号为 【分析】由离心率 e2b23a2，进而得出渐近线与 x 轴的夹角 的取值范围，然后求 出 2、 2、 ，再研究结论的正确与否，选出正确序号即可 解：由题意可得 e 2，可得 c 24a2，c2a2+b2，b23a2， 所以渐近线的斜率 k ，设渐近线与 x 轴的夹角为 ，所以 tan ， ， 所以两条渐近线的夹角为 ，则 2（ ）2，所以 （0， ） cos ， 0，所以正确； |
21、| ，而 2 24cos（ ）216sin2， | | | | cos16sin2 （12cos2）， 4sin2， ，无最大值，所以错误； 又| | 8sin 2 8sin2 6，所以正确； 故答案为： 【点评】本题主要考查以圆锥曲线为素材研究向量的运算，属于中档题 三、解答题共 6 题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在ABC 中，c1， ，且ABC 的面积为 （）求 a 的值； （）若 D 为 BC 上一点，且_，求 sinADB 的值 从AD1， 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 【分析】（）根据三角形的面积公式求出 b 的值，再利用余弦定理求得 a
22、； （）选时，利用正弦定理求出 sinB，从而求得 sinADB 选时，利用余弦定理求出 cosB，从而求得 sinADB 解：（） 由于 c1， ，SABC bcsinA b 1 sin ， 解得 b2； 由余弦定理得 a2b2+c22bccosA， 解得 ； （）若选，则当 AD1 时， 在ABC 中，由正弦定理 ， 即 ，所以 ； 因为 ADAB1，所以ADBB； 所以 sinADBsinB， 即 若选，则当CAD30时， 在ABC 中，由余弦定理知， 因为 A120，所以DAB90， 所以 ， 所以 sinADBcosB， 即 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力
23、，是中档题 17为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构 M 采用分层抽样的方法从 A 校抽取了 m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：30，40），40，50），50，60）， 60，70），70，80），80，90），90，100，并得到如下频率分布直方图根据规定， 测试成绩低于 60 分为体质不达标已知本次测试中不达标学生共有 20 人 （）求 m 的值； （）现从 A 校全体同学中随机抽取 2 人，以频率作为概率，记 X 表示成绩不低于 90 分的人数，求 X 的分布列及数学期望； （）另一机构 N 也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了 100 名学
24、生，经测试有 20 名学生成绩低于 60 分计算两家机构测试成绩的不达标率，你 认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由 【分析】（）由频率分布直方图，低于 60 分的概率为 0.1，由频率与频数的关系求出 m； （II）每位学生成绩不低于 90 分的频率为 0.01100.1，由已知，X 的所有可能取值为 0，1，2，求出 X 的分布列和数学期望； （III）机构 M 抽测的不达标率为 ，机构 N 抽测的不达标率为 ，结合 概率知识判断写出理由即可 解：（）由频率分布直方图知，低于 60 分的概率为（0.002+0.002+0.006）100.1， 由 m0.120，
25、 解得 m200； （）由图知，每位学生成绩不低于 90 分的频率为 0.01100.1， 由已知，X 的所有可能取值为 0，1，2， 则 ， ， ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.81 0.18 0.01 所以 E（X）00.81+10.18+20.010.2， （）机构 M 抽测的不达标率为 ， 机构 N 抽测的不达标率为 ， （以下答案不唯一，只要写出理由即可） 用机构 M 测试的不达标率 0.1 估计 A 校不达标率较为合理， 理由： 机构 M 选取样本时使用了分层抽样方法， 样本量也大于机构 N， 样本更有代表性， 所以能较好反映了总体的分布 没有充足的理由否认机构
26、N 的成绩更合理， 理由：尽管机构 N 的样本量比机构 M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反 映了总体的分布，所以没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和数学期 望，考查运算能力，中档题 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACBCAA1，BCC160，平面 ABC平 面 BCC1B1，D 是 BC 的中点，E 是棱 A1B1上一动点 （）若 E 是棱 A1B1的中点，证明：DE平面 ACC1A1； （）求二面角 C1CAB 的余弦值； （）是否存在点 E，使得 DEBC1，若存在，求出 E 的坐标，
27、若不存在，说明理由 【分析】 （） 取 A1C1中点为 P， 连结 CP， EP， 推导出 CDEP 为平行四边形， CPDE 由 此能证明 DE平面 ACC1A1 （）连结 C1D、AD，推导出 DC1，DA，DB 两两垂直建立直角坐标系 Dxyz，利用 向量法能求出二面角 C1CA1B 的余弦值 （） 设 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 假设 DEBC1， 则 ， 解得 2，由此推导出不存在点 E，使得 DEBC1 【解答】（）证明：取 A1C1中点为 P，连结 CP，EP， 在A1B1C1中，因为 E、P 为 A1B1、A1C1的中点， 所以 EPB1C1且 又因
28、为 D 是 BC 的中点， ，所以 EPBC 且 EPCD， 所以 CDEP 为平行四边形，所以 CPDE 又因为 DE平面 ACC1A1，CP平面 ACC1A1， 所以 DE平面 ACC1A1 （）解：连结 C1D、AD， 因为ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点，所以 ADBC， 因为 BCAA1CC1，BCC160，所以 C1DBC 因为平面 ABC平面 BCC1B1，平面 ABC平面 BCC1B1BC，C1D平面 BCC1B1， 所以 C1D平面 ABC，所以 DC1，DA，DB 两两垂直如图，建立空间直角坐标系 D xyz， 则 ， ， ， C （0，1，0） ， ， ， ，
29、， ， ， ， ， 设平面 ACC1的法向量为 （x，y，z）， 则 ，即 ，令 x1，得 （1， ，1） 平面 ABC 的法向量为 ， ， ，cos ， 又因为二面角 C1CA1B 为锐二面角，所以二面角 C1CA1B 的余弦值为 （）解： ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 所以 ， ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， 假设 DEBC1，则 ，解得 2， 这与已知 01 矛盾故不存在点 E，使得 DEBC1 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线线垂直的 点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查推理能力与计算
30、能力，属于中档题 19已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点（2，0），一条直线 l 与椭 圆 C 交于 P，Q 两点，以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O （）求椭圆 C 的标准方程； （）求证： 为定值 【分析】（）首先利用椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标求出 a 和 c 的值，最后求 出 b，进一步求出椭圆的方程 （）利用分类讨论思想的应用假设直线的斜率不存在求出结果为定值，当直线的 斜率存在时，建立直线和椭圆的方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应 用求出结果为定值 解：（）因为椭圆经过点（2，0），所以 a2， 又因为 ，则 c1 由 b2a2c2，得 b23， 所以椭圆的标
31、准方程为 （）方法一： 因为以 PQ 为直径的圆过坐标原点 O，所以 OPOQ 若直线 OP 的斜率不存在，则 P 为椭圆与 y 轴交点，Q 为椭圆与 x 轴交点， 因此|OP|2b23，|OQ|2a24， 则 若直线 OP 的斜率存在且为 0，则 P 为椭圆与 x 轴交点，Q 为椭圆与 y 轴交点， 因此|OP|2a24，|OQ|2b23， 则 若直线 OP 的斜率存在且不为 0， 可设直线 OP 方程为 ykx（k0）， 则直线 OQ 的方程为 联立 ，得 ， 即 ， ， 即 ， 同理， ， 则 方法二： 若直线 l 的斜率存在时， 设 l： ykx+m， 与椭圆方程联立得： ， 有 （3
32、+4k 2） x2+8kmx+4m2120， 由题意，0，设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 所以 ， 因为以 PQ 为直径的圆过原点 O， 由 OPOQ，得 x1x2+y1y20， 即 x1x2+（kx1+m）（kx2+m）0，整理得，12（1+k2）7m2， 而 设 h 为 O 到 l 的距离，则|OP| |OQ|PQ| h 所以 ， 而 ， 所以 若直线 l 的斜率不存在，则有 kOP1， 不妨设 kOP1，设 P（x1，y1），有 x1y1， 代入椭圆方程 得， ， ， 即 ， 综上 【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法和应用，直线和椭圆的位置关系的应 用，一元二次方程根
33、和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维 能力，属于中档题 20已知函数 （）若 a1，求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）求证：函数 f（x）有且只有一个零点 【分析】（）求出函数的导数，然后分别求出 x1 时的函数值、导数值，利用点斜式 即可求切线方程； （）函数 f（x）有且只有一个零点，可转化为 在（0，+）上只 有一个零点，可通过研究 g（x）的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解 解：（）当 a1 时，函数 ，x0， 所以 ， ， ， 所以函数 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程是 3x4y50 （）函数的定义域为（0，+）， 要使函
34、数 f（x）有且只有一个零点，只需方程（x+1）lnxax0 有且只有一个根， 即只需关于 x 的方程 在（0，+）上有且只有一个解 设函数 ， 则 ， 令 h（x）x+1lnx， 则 ， 由 h（x）0，得 x1 x （0，1） 1 （1，+） h（x） 0 + h（x） 单调递减 极小值 单调递增 由于 h（x）minh（1）20， 所以 g（x）0， 所以 在（0，+）上单调递增， 又 g（1）a， ， 当 a0 时，g（1）0，函数 g（x）在（0，+）有且只有一个零点， 当 a0 时，由于 ，所以存在唯一零点 综上所述，对任意的 a一、选择题函数 yf（x）有且只有一个零点 【点评】
35、本题考查了函数的零点的判断方法，导数在研究函数单调性、极值中的应用同 时考查学生利用函数与方程思想、转化与化归思想解决问题的能力，同时考查了学生的 运算能力属于中档题 21已知数列 a1，a2，a10满足：对任意的 i，j1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 若 ij，则 aiaj，且 ai1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，设集合 Aai+ai+1+ai+2|i 1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A 中元素最小值记为 m（A），集合 A 中元素最大值 记为 n（A） （）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合 A 及 m（A），n（A）； （）求证：m（
36、A）不可能为 18； （）求 m（A）的最大值以及 n（A）的最小值 【分析】（）A17，9，10，18，20，m（A）9，n（A）20 （）假设 m（A）18，设 S（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a1055，则 S553m（A）+a10318+a10，从而推导出 a101，同理推出 a11，ai（i1，2， 10）中有两个元素为 1，与题设矛盾，从而 m（A）不可能为 18 （）由 m（A）18，得 m（A）17 是可能的当 m（A）17 时，推导出 a104， a74同理可得：ai4（i1，4，7，10） 对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9， 5
37、，4，A17，18，19，20，m（A）17，n（A）20，从而 m（A）的最大值为 17； 假设 n（A）15推导出 a110a410，矛盾，假设不成立，从而 n（A）16从而 n（A）的最小值为 16 解：（）解：数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4， 对任意的 i，j1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， ij，则 aiaj，且 ai1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 设集合 Aai+ai+1+ai+2|i1，2，3，4，5，6，7，8， 集合 A 中元素最小值记为 m（A），集合 A 中元素最大值记为 n（A） 10+6+117，6+1+29，1+2+710，2+
38、7+817， 7+8+318，8+3+920，3+9+517，9+5+418， A17，9，10，18，20，m（A）9，n（A）20 （）证明：假设 m（A）18， 设 S（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a1055， 则 S553m（A）+a10318+a10， 即 a101，因为 ai1（i1，2，3，10），所以 a101， 同理，设 Sa1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）55， 可以推出 a11，ai（i1，2，10）中有两个元素为 1，与题设矛盾， 故假设不成立，m（A）不可能为 18 （）解：m（A）的最大值为
39、17，n（A）的最小值为 16 首先求 m（A），由（）知 m（A）18，而 m（A）17 是可能的 当 m（A）17 时， 设 S（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a1055， 则 S553m（A）+a10317+a10，即 a104， 又 S（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+a7+（a8+a9+a10）55， 得 55S3m（A）+a751+a7，即 a74 同理可得：ai4（i1，4，7，10） 对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4， 此时 A17，18，19，20，m（A）17，n（A）20，满足题意 所以 m（A）的最大值为 1
40、7 现证明：n（A）的最小值为 16 先证明 n（A）15 为不可能的，假设 n（A）15 设 Sa1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）55， 可得 553n（A）+a1315+a1，即 a110，元素最大值为 10，所以 a110 又（a1+a2+a3）+a4+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）553n（A）+a4315+a4， 同理可以推出 a410，矛盾，假设不成立，所以 n（A）16 数列为：7，6，2，8，3，4，9，1，5，10 时， A13，14，15，16，m（A）13，n（A）16，A 中元素的最大值为 16 所以 n（A）的最小值为 16 【点评】本题考查集合的求法，考查集合中元素的最大值和最小值的求法，考查推理论 证能力能力与运算求解能力，属于中档题
