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2020年北京市大兴区高考数学一模试卷(含答案解析)

1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题(共 10 小题) 1在复平面内, 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 Ax|x2k,kZ,Bx|2x2,则 AB( ) A1,1 B2,2 C0,2 D2,0,2 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a20,a41,则 S4等于( ) A B1 C2 D3 4下列函数中,在区间(0,+)上单调递增且存在零点的是( ) Ayex B C Dy(x1)2 5在(x2)n的展开式中,只有第三项的二项式系数最大,则含 x 项的系数等于( ) A32 B24 C8 D4 6 若抛物线 y24x

2、上一点 M 到其焦点的距离等于 2, 则 M 到其顶点 O 的距离等于 ( ) A B2 C D3 7已知数列an是等比数列,它的前 n 项和为 Sn,则“对任意 nN*,an0”是“数列Sn 为递增数列”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8某四棱锥的三视图如图所示,如果方格纸上小正方形的边长为 1,那么该几何体的最长 棱的棱长为( ) A3 B C D 9已知函数 (0)若关于 x 的方程 f(x)1 在区间0,上有且 仅有两个不相等的实根,则 的最大整数值为( ) A3 B4 C5 D6 10如图,假定两点 P,Q 以相同的初速度运动

3、点 Q 沿直线 CD 作匀速运动,CQx;点 P 沿线段 AB (长度为 107单位) 运动, 它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离 (PB y)令 P 与 Q 同时分别从 A,C 出发,那么,定义 x 为 y 的纳皮尔对数,用现在的数 学符号表示 x 与 y 的对应关系就是 ,其中 e 为自然对数的底当点 P 从线 段 AB 的三等分点移动到中点时,经过的时间为( ) Aln2 Bln3 C D 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11已知向量 (1,1), (2,t),若 ,则 t 12 若函数 f (x) cos2xsin2x 在区间0, m上单调减区间, 则 m

4、的一个值可以是 13若对任意 x0,关于 x 的不等式 恒成立,则实数 a 的范围是 14已知 A(a,r),B(b,s)为函数 ylog2x 图象上两点,其中 ab已知直线 AB 的 斜率等于 2,且 ,则 ab ; 15在直角坐标系 xOy 中,双曲线 (a0,b0)的离心率 e2,其渐近线与 圆 x2+(y2)24 交 x 轴上方于 A,B 两点,有下列三个结论: ; 存在最大值; 则正确结论的序号为 三、解答题共 6 题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16在ABC 中,c1, ,且ABC 的面积为 ()求 a 的值; ()若 D 为 BC 上一点,且_,求 sin

5、ADB 的值 从AD1, 这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答 17为了调查各校学生体质健康达标情况,某机构 M 采用分层抽样的方法从 A 校抽取了 m 名学生进行体育测试,成绩按照以下区间分为七组:30,40),40,50),50,60), 60,70),70,80),80,90),90,100,并得到如下频率分布直方图根据规定, 测试成绩低于 60 分为体质不达标已知本次测试中不达标学生共有 20 人 ()求 m 的值; ()现从 A 校全体同学中随机抽取 2 人,以频率作为概率,记 X 表示成绩不低于 90 分的人数,求 X 的分布列及数学期望; ()另一机构 N 也对该校学生做

6、同样的体质达标测试,并用简单随机抽样方法抽取了 100 名学生,经测试有 20 名学生成绩低于 60 分计算两家机构测试成绩的不达标率,你 认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理,说明理由 18如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,ABACBCAA1,BCC160,平面 ABC平 面 BCC1B1,D 是 BC 的中点,E 是棱 A1B1上一动点 ()若 E 是棱 A1B1的中点,证明:DE平面 ACC1A1; ()求二面角 C1CAB 的余弦值; ()是否存在点 E,使得 DEBC1,若存在,求出 E 的坐标,若不存在,说明理由 19已知椭圆 : 的离心率为 ,且经过点(2,

7、0),一条直线 l 与椭 圆 C 交于 P,Q 两点,以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O ()求椭圆 C 的标准方程; ()求证: 为定值 20已知函数 ()若 a1,求曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程; ()求证:函数 f(x)有且只有一个零点 21已知数列 a1,a2,a10满足:对任意的 i,j1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 若 ij,则 aiaj,且 ai1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设集合 Aai+ai+1+ai+2|i 1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A 中元素最小值记为 m(A),集合 A 中元素最大值 记为 n(A) ()对于数列:

8、10,6,1,2,7,8,3,9,5,4,写出集合 A 及 m(A),n(A); ()求证:m(A)不可能为 18; ()求 m(A)的最大值以及 n(A)的最小值 参考答案 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分在每题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项 1在复平面内, 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出 解:在复平面内,复数 1i 对应的点(1,1)位于第四象限 故选:D 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题 2已知集合 Ax|x2k,kZ,Bx

9、|2x2,则 AB( ) A1,1 B2,2 C0,2 D2,0,2 【分析】分别求得集合 A、B,利用交集定义直接求解 解:集合 Ax|x2k,kZ,Bx|2x2, AB2,0,2 故选:D 【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查推理能力与计算能力, 属于基础题 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a20,a41,则 S4等于( ) A B1 C2 D3 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出 a1 ,d ,由此能求出 S4 解:等差数列an的前 n 项和为 Sn,a20,a41, ,解得 a1 ,d , S4 4 1 故选:B 【点评】本题考查等差数列的前 4

10、 项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查 推理论证能力能力与运算求解能力,属于基础题 4下列函数中,在区间(0,+)上单调递增且存在零点的是( ) Ayex B C Dy(x1)2 【分析】根据基本初等函数的图象与性质,零点的含义,以及函数图象的变换法则,逐 一判断每个选项即可 解:函数 yex0 恒成立,不存在零点,即 A 不符合题意; 函数 恒成立,不存在零点,即 B 不符合题意; 函数 在(0,+)上单调递增,且当 x1 时,y0,所以函数的零 点为 x1,即 C 正确; 函数 y(x1) 2在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,即 D 不符合题意 故选:C 【点评】本

11、题考查函数的单调性和零点问题,熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解 题的关键,属于基础题 5在(x2)n的展开式中,只有第三项的二项式系数最大,则含 x 项的系数等于( ) A32 B24 C8 D4 【分析】根据 n 为偶数是,只有中间一项的二项式系数最大,由此求出 n 的值,然后再 利用通项求出含 x 的项的系数 解:由已知得:n 为偶数,且 ,故 n4 所以该二项式为(x2)4,所以展开式的通项为 , 令 4k1 得 k3,故该项的系数为 故选:A 【点评】本题考查二项式展开式中二项式系数的性质以及通项的应用,属于基础题 6 若抛物线 y24x 上一点 M 到其焦点的距离等于 2, 则

12、M 到其顶点 O 的距离等于 ( ) A B2 C D3 【分析】设 M 的坐标,由抛物线的性质可得,到焦点的距离等于到准线的距离,求出 M 的横坐标,代入抛物线的方程可得 M 的纵坐标,进而求出 M 到顶点的距离 解:设 M(x0,y0),由抛物线的方程可得焦点 F(1,0),准线方程为:x1, 由抛物线的性质可得 x0+12,所以 x01,代入抛物线的方程可得|y|2, 即 M(1,2),所以|OM| , 故选:C 【点评】本题考查抛物线的性质,属于中档题 7已知数列an是等比数列,它的前 n 项和为 Sn,则“对任意 nN*,an0”是“数列Sn 为递增数列”的( ) A充分而不必要条件

13、 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】“对任意 nN*,an0”“数列Sn为递增数列”,“数列Sn为递增数列” “对任意 nN*,an0”,由此能求出结果 解:数列an是等比数列,它的前 n 项和为 Sn, “对任意 nN*,an0”“数列Sn为递增数列”, “数列Sn为递增数列”“对任意 nN*,an0”, “对任意 nN*,an0”是“数列Sn为递增数列”的充要条件 故选:C 【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断,考查等比数列的性质等基础 知识,考查推理能力与计算能力,属于基础题 8某四棱锥的三视图如图所示,如果方格纸上小正方形的边长为 1,那

14、么该几何体的最长 棱的棱长为( ) A3 B C D 【分析】首先把三视图转换为直观图,进一步求出几何体的最大棱长 解:根据几何体的三视图转换为直观图如下:该几何体为四棱锥体 EABCD, 所以该几何体的最长的棱长为 DE 故选:D 【点评】本题考查的知识要点:三视图和直观体之间的转换,直观图的棱长的求法及应 用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 9已知函数 (0)若关于 x 的方程 f(x)1 在区间0,上有且 仅有两个不相等的实根,则 的最大整数值为( ) A3 B4 C5 D6 【分析】当 x0,时,x , ;根据条件关于 x 的方程 f(x)1 在区间 0,上有

15、且仅有两个不相等的实根,结合正弦函数的图象,得 ,解得 ,即可得满足条件的 的最大整数 解:当 x0,时,x , ; 关于 x 的方程 f(x)1 在区间0,上有且仅有两个不相等的实根, 结合正弦函数的图象,得 ,解得 ,可得满足条件的 的最大 整数为 4 故选:B 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质,整体法思想与数形结合的思想方法,属于 基础题 10如图,假定两点 P,Q 以相同的初速度运动点 Q 沿直线 CD 作匀速运动,CQx;点 P 沿线段 AB (长度为 107单位) 运动, 它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离 (PB y)令 P 与 Q 同时分别从 A,C 出发,那么,定

16、义 x 为 y 的纳皮尔对数,用现在的数 学符号表示 x 与 y 的对应关系就是 ,其中 e 为自然对数的底当点 P 从线 段 AB 的三等分点移动到中点时,经过的时间为( ) Aln2 Bln3 C D 【分析】易知,它们的初速度相等,故 Q 点的速度为 107,然后可以根据 , 求出 P 在中点、 分点时的 x,则 Q 点移动的距离可求,结合速度,时间可求 解:由题意,P 点初始速度 107即为 Q 点的速度 当 P 在靠近 A 点的三等分点时: ,解得:x , 当 P 在二等分点时: ,解得:x107ln2, 所以经过的时间为: 故选:D 【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化

17、,要注意对题意的准确理解属 于基础题 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11已知向量 (1,1), (2,t),若 ,则 t 2 【分析】由向量平行的充要条件可得:121t0,解之即可 解:向量 (1,1), (2,kt),且 , 121t0,解得 t2 故答案为:2 【点评】本题考查平行向量与共线向量,属基础题 12若函数 f(x)cos2xsin2x 在区间0,m上单调减区间,则 m 的一个值可以是 1 【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求 f(x)cos2x,利用余弦函数的单调性 可求函数的单调递减区间,结合已知可得 ,kZ,解得 k0 时,m ,即 可求解 解

18、:f(x)cos2xsin2xcos2x, 令 2k2x2k+,kZ,解得 kxk ,kZ, 函数 f(x)cos2xsin2x 的单调递减区间为:k,k ,kZ, 函数在区间0,m上单调递减, ,kZ,解得 k0 时,m , 可得 0m 故答案为:1 【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式,余弦函数的单调性,考查了转化思想 和函数思想,属于基础题 13若对任意 x0,关于 x 的不等式 恒成立,则实数 a 的范围是 (,2 【分析】利用基本不等式求出 的最小值,只需 a 不大于其最小值即可 解:x0, 2 2,当且仅当 x1 时取等号,又 恒成立,a 2 故答案为:(,2 【点评】本题主

19、要考查基本不等式的应用,属于基础题 14已知 A(a,r),B(b,s)为函数 ylog2x 图象上两点,其中 ab已知直线 AB 的 斜率等于 2,且 ,则 ab 1 ; 4 【分析】 利用对数性质、 直线的斜率公式、 两点间距离公式列出方程组, 能求出 a, b, s, r,由此能求出结果 解:A(a,r),B(b,s)为函数 ylog2x 图象上两点,其中 ab 直线 AB 的斜率等于 2,且 , , 解得 a ,b ,slog23,r2log23, ab1, 故答案为:1,4 【点评】本题考查两数差与两数商的求法,考查对数性质、直线的斜率公式、两点间距 离公式等基础知识,考查推理能力与

20、计算能力,属于基础题 15在直角坐标系 xOy 中,双曲线 (a0,b0)的离心率 e2,其渐近线与 圆 x2+(y2)24 交 x 轴上方于 A,B 两点,有下列三个结论: ; 存在最大值; 则正确结论的序号为 【分析】由离心率 e2b23a2,进而得出渐近线与 x 轴的夹角 的取值范围,然后求 出 2、 2、 ,再研究结论的正确与否,选出正确序号即可 解:由题意可得 e 2,可得 c 24a2,c2a2+b2,b23a2, 所以渐近线的斜率 k ,设渐近线与 x 轴的夹角为 ,所以 tan , , 所以两条渐近线的夹角为 ,则 2( )2,所以 (0, ) cos , 0,所以正确; |

21、| ,而 2 24cos( )216sin2, | | | | cos16sin2 (12cos2), 4sin2, ,无最大值,所以错误; 又| | 8sin 2 8sin2 6,所以正确; 故答案为: 【点评】本题主要考查以圆锥曲线为素材研究向量的运算,属于中档题 三、解答题共 6 题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16在ABC 中,c1, ,且ABC 的面积为 ()求 a 的值; ()若 D 为 BC 上一点,且_,求 sinADB 的值 从AD1, 这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答 【分析】()根据三角形的面积公式求出 b 的值,再利用余弦定理求得 a

22、; ()选时,利用正弦定理求出 sinB,从而求得 sinADB 选时,利用余弦定理求出 cosB,从而求得 sinADB 解:() 由于 c1, ,SABC bcsinA b 1 sin , 解得 b2; 由余弦定理得 a2b2+c22bccosA, 解得 ; ()若选,则当 AD1 时, 在ABC 中,由正弦定理 , 即 ,所以 ; 因为 ADAB1,所以ADBB; 所以 sinADBsinB, 即 若选,则当CAD30时, 在ABC 中,由余弦定理知, 因为 A120,所以DAB90, 所以 , 所以 sinADBcosB, 即 【点评】本题考查了解三角形的应用问题,也考查了运算求解能力

23、,是中档题 17为了调查各校学生体质健康达标情况,某机构 M 采用分层抽样的方法从 A 校抽取了 m 名学生进行体育测试,成绩按照以下区间分为七组:30,40),40,50),50,60), 60,70),70,80),80,90),90,100,并得到如下频率分布直方图根据规定, 测试成绩低于 60 分为体质不达标已知本次测试中不达标学生共有 20 人 ()求 m 的值; ()现从 A 校全体同学中随机抽取 2 人,以频率作为概率,记 X 表示成绩不低于 90 分的人数,求 X 的分布列及数学期望; ()另一机构 N 也对该校学生做同样的体质达标测试,并用简单随机抽样方法抽取了 100 名学

24、生,经测试有 20 名学生成绩低于 60 分计算两家机构测试成绩的不达标率,你 认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理,说明理由 【分析】()由频率分布直方图,低于 60 分的概率为 0.1,由频率与频数的关系求出 m; (II)每位学生成绩不低于 90 分的频率为 0.01100.1,由已知,X 的所有可能取值为 0,1,2,求出 X 的分布列和数学期望; (III)机构 M 抽测的不达标率为 ,机构 N 抽测的不达标率为 ,结合 概率知识判断写出理由即可 解:()由频率分布直方图知,低于 60 分的概率为(0.002+0.002+0.006)100.1, 由 m0.120,

25、 解得 m200; ()由图知,每位学生成绩不低于 90 分的频率为 0.01100.1, 由已知,X 的所有可能取值为 0,1,2, 则 , , , 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.81 0.18 0.01 所以 E(X)00.81+10.18+20.010.2, ()机构 M 抽测的不达标率为 , 机构 N 抽测的不达标率为 , (以下答案不唯一,只要写出理由即可) 用机构 M 测试的不达标率 0.1 估计 A 校不达标率较为合理, 理由: 机构 M 选取样本时使用了分层抽样方法, 样本量也大于机构 N, 样本更有代表性, 所以能较好反映了总体的分布 没有充足的理由否认机构

26、N 的成绩更合理, 理由:尽管机构 N 的样本量比机构 M 少,但由于样本的随机性,不能排除样本较好的反 映了总体的分布,所以没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了离散型随机变量的分布列和数学期 望,考查运算能力,中档题 18如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,ABACBCAA1,BCC160,平面 ABC平 面 BCC1B1,D 是 BC 的中点,E 是棱 A1B1上一动点 ()若 E 是棱 A1B1的中点,证明:DE平面 ACC1A1; ()求二面角 C1CAB 的余弦值; ()是否存在点 E,使得 DEBC1,若存在,求出 E 的坐标,

27、若不存在,说明理由 【分析】 () 取 A1C1中点为 P, 连结 CP, EP, 推导出 CDEP 为平行四边形, CPDE 由 此能证明 DE平面 ACC1A1 ()连结 C1D、AD,推导出 DC1,DA,DB 两两垂直建立直角坐标系 Dxyz,利用 向量法能求出二面角 C1CA1B 的余弦值 () 设 , 则 , , , , , , , , , , , , 假设 DEBC1, 则 , 解得 2,由此推导出不存在点 E,使得 DEBC1 【解答】()证明:取 A1C1中点为 P,连结 CP,EP, 在A1B1C1中,因为 E、P 为 A1B1、A1C1的中点, 所以 EPB1C1且 又因

28、为 D 是 BC 的中点, ,所以 EPBC 且 EPCD, 所以 CDEP 为平行四边形,所以 CPDE 又因为 DE平面 ACC1A1,CP平面 ACC1A1, 所以 DE平面 ACC1A1 ()解:连结 C1D、AD, 因为ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点,所以 ADBC, 因为 BCAA1CC1,BCC160,所以 C1DBC 因为平面 ABC平面 BCC1B1,平面 ABC平面 BCC1B1BC,C1D平面 BCC1B1, 所以 C1D平面 ABC,所以 DC1,DA,DB 两两垂直如图,建立空间直角坐标系 D xyz, 则 , , , C (0,1,0) , , , ,

29、, , , , , 设平面 ACC1的法向量为 (x,y,z), 则 ,即 ,令 x1,得 (1, ,1) 平面 ABC 的法向量为 , , ,cos , 又因为二面角 C1CA1B 为锐二面角,所以二面角 C1CA1B 的余弦值为 ()解: , , , , , , 设 ,则 , , , 所以 , , , , , , 所以 , , , 假设 DEBC1,则 ,解得 2, 这与已知 01 矛盾故不存在点 E,使得 DEBC1 【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查满足线线垂直的 点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考 查推理能力与计算

30、能力,属于中档题 19已知椭圆 : 的离心率为 ,且经过点(2,0),一条直线 l 与椭 圆 C 交于 P,Q 两点,以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O ()求椭圆 C 的标准方程; ()求证: 为定值 【分析】()首先利用椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标求出 a 和 c 的值,最后求 出 b,进一步求出椭圆的方程 ()利用分类讨论思想的应用假设直线的斜率不存在求出结果为定值,当直线的 斜率存在时,建立直线和椭圆的方程组,进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应 用求出结果为定值 解:()因为椭圆经过点(2,0),所以 a2, 又因为 ,则 c1 由 b2a2c2,得 b23, 所以椭圆的标

31、准方程为 ()方法一: 因为以 PQ 为直径的圆过坐标原点 O,所以 OPOQ 若直线 OP 的斜率不存在,则 P 为椭圆与 y 轴交点,Q 为椭圆与 x 轴交点, 因此|OP|2b23,|OQ|2a24, 则 若直线 OP 的斜率存在且为 0,则 P 为椭圆与 x 轴交点,Q 为椭圆与 y 轴交点, 因此|OP|2a24,|OQ|2b23, 则 若直线 OP 的斜率存在且不为 0, 可设直线 OP 方程为 ykx(k0), 则直线 OQ 的方程为 联立 ,得 , 即 , , 即 , 同理, , 则 方法二: 若直线 l 的斜率存在时, 设 l: ykx+m, 与椭圆方程联立得: , 有 (3

32、+4k 2) x2+8kmx+4m2120, 由题意,0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 所以 , 因为以 PQ 为直径的圆过原点 O, 由 OPOQ,得 x1x2+y1y20, 即 x1x2+(kx1+m)(kx2+m)0,整理得,12(1+k2)7m2, 而 设 h 为 O 到 l 的距离,则|OP| |OQ|PQ| h 所以 , 而 , 所以 若直线 l 的斜率不存在,则有 kOP1, 不妨设 kOP1,设 P(x1,y1),有 x1y1, 代入椭圆方程 得, , , 即 , 综上 【点评】本题考查的知识要点:椭圆的方程的求法和应用,直线和椭圆的位置关系的应 用,一元二次方程根

33、和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维 能力,属于中档题 20已知函数 ()若 a1,求曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程; ()求证:函数 f(x)有且只有一个零点 【分析】()求出函数的导数,然后分别求出 x1 时的函数值、导数值,利用点斜式 即可求切线方程; ()函数 f(x)有且只有一个零点,可转化为 在(0,+)上只 有一个零点,可通过研究 g(x)的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解 解:()当 a1 时,函数 ,x0, 所以 , , , 所以函数 yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程是 3x4y50 ()函数的定义域为(0,+), 要使函

34、数 f(x)有且只有一个零点,只需方程(x+1)lnxax0 有且只有一个根, 即只需关于 x 的方程 在(0,+)上有且只有一个解 设函数 , 则 , 令 h(x)x+1lnx, 则 , 由 h(x)0,得 x1 x (0,1) 1 (1,+) h(x) 0 + h(x) 单调递减 极小值 单调递增 由于 h(x)minh(1)20, 所以 g(x)0, 所以 在(0,+)上单调递增, 又 g(1)a, , 当 a0 时,g(1)0,函数 g(x)在(0,+)有且只有一个零点, 当 a0 时,由于 ,所以存在唯一零点 综上所述,对任意的 a一、选择题函数 yf(x)有且只有一个零点 【点评】

35、本题考查了函数的零点的判断方法,导数在研究函数单调性、极值中的应用同 时考查学生利用函数与方程思想、转化与化归思想解决问题的能力,同时考查了学生的 运算能力属于中档题 21已知数列 a1,a2,a10满足:对任意的 i,j1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 若 ij,则 aiaj,且 ai1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设集合 Aai+ai+1+ai+2|i 1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A 中元素最小值记为 m(A),集合 A 中元素最大值 记为 n(A) ()对于数列:10,6,1,2,7,8,3,9,5,4,写出集合 A 及 m(A),n(A); ()求证:m(

36、A)不可能为 18; ()求 m(A)的最大值以及 n(A)的最小值 【分析】()A17,9,10,18,20,m(A)9,n(A)20 ()假设 m(A)18,设 S(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)+a1055,则 S553m(A)+a10318+a10,从而推导出 a101,同理推出 a11,ai(i1,2, 10)中有两个元素为 1,与题设矛盾,从而 m(A)不可能为 18 ()由 m(A)18,得 m(A)17 是可能的当 m(A)17 时,推导出 a104, a74同理可得:ai4(i1,4,7,10) 对于数列:1,6,10,2,7,8,3,9, 5

37、,4,A17,18,19,20,m(A)17,n(A)20,从而 m(A)的最大值为 17; 假设 n(A)15推导出 a110a410,矛盾,假设不成立,从而 n(A)16从而 n(A)的最小值为 16 解:()解:数列:10,6,1,2,7,8,3,9,5,4, 对任意的 i,j1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ij,则 aiaj,且 ai1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 设集合 Aai+ai+1+ai+2|i1,2,3,4,5,6,7,8, 集合 A 中元素最小值记为 m(A),集合 A 中元素最大值记为 n(A) 10+6+117,6+1+29,1+2+710,2+

38、7+817, 7+8+318,8+3+920,3+9+517,9+5+418, A17,9,10,18,20,m(A)9,n(A)20 ()证明:假设 m(A)18, 设 S(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)+a1055, 则 S553m(A)+a10318+a10, 即 a101,因为 ai1(i1,2,3,10),所以 a101, 同理,设 Sa1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+(a8+a9+a10)55, 可以推出 a11,ai(i1,2,10)中有两个元素为 1,与题设矛盾, 故假设不成立,m(A)不可能为 18 ()解:m(A)的最大值为

39、17,n(A)的最小值为 16 首先求 m(A),由()知 m(A)18,而 m(A)17 是可能的 当 m(A)17 时, 设 S(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)+a1055, 则 S553m(A)+a10317+a10,即 a104, 又 S(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+a7+(a8+a9+a10)55, 得 55S3m(A)+a751+a7,即 a74 同理可得:ai4(i1,4,7,10) 对于数列:1,6,10,2,7,8,3,9,5,4, 此时 A17,18,19,20,m(A)17,n(A)20,满足题意 所以 m(A)的最大值为 1

40、7 现证明:n(A)的最小值为 16 先证明 n(A)15 为不可能的,假设 n(A)15 设 Sa1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+(a8+a9+a10)55, 可得 553n(A)+a1315+a1,即 a110,元素最大值为 10,所以 a110 又(a1+a2+a3)+a4+(a5+a6+a7)+(a8+a9+a10)553n(A)+a4315+a4, 同理可以推出 a410,矛盾,假设不成立,所以 n(A)16 数列为:7,6,2,8,3,4,9,1,5,10 时, A13,14,15,16,m(A)13,n(A)16,A 中元素的最大值为 16 所以 n(A)的最小值为 16 【点评】本题考查集合的求法,考查集合中元素的最大值和最小值的求法,考查推理论 证能力能力与运算求解能力,属于中档题