2019年北京市大兴区高考数学一模试卷(理科)含答案解析
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1、2019 年北京市大兴区高考数学一模试卷(理科)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1 (5 分)已知全集 UR,集合 A x|x0,B 2,1,0,1,2,那么( UA)B 等于( )A0 ,1,2 B1 ,2 C 2,1 D 2,1,02 (5 分)已知 a3 0.4, , ,则( )Aabc Bcab Ccba Dac b3 (5 分)若 x,y 满足 则 2xy 的最大值为( )A6 B4 C6 D84 (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为 16,则判断框内的条件为( )An6? Bn7? Cn8? Dn9
2、?5 (5 分)已知抛物线 C:y 2x,直线 l:x my +1,则“m0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 (5 分)中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种,其相互关系是“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金 ”将五种不同属性的物质任意排成一列,则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为( )A8 B10 C15 D207 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为( )A B C3 D8 (5 分)设不等式组 所表示的平面区域为 D,其面积为 S若 S4,则 k 的
3、值唯一; 若 ,则 k 的值有 2 个;若 D 为三角形,则 ;若D 为五边形,则 k4以上命题中,真命题的个数是( )A1 B2 C3 D4二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9 (5 分)已知复数 z 满足 z2+10,则|z| 10 (5 分)若 Sn 为等比数列a n的前 n 项的和,8a 2+a50,则 11 (5 分)在极坐标系下,点 与曲线 2cos 上的动点 Q 距离的最小值为 12 (5 分)已知函数 f(x )sin( x+) ,若存在一个非零实数 t,对任意的 xR,都有f(x+ t)f(x ) ,则 t 的一个值可以是 13 (5 分)已知点 O(0,0
4、 ) ,A(1,1) ,点 P 在双曲线 x2y 21 的右支上,则的取值范围是 14 (5 分)在某些竞赛活动中,选手的最终成绩是将前面所有轮次比赛成绩求算术平均获得的同学们知道这样一个事实:在所有轮次的成绩中,如果由高到低依次去掉一些高分,那么平均分降低;反之,如果由低到高依次去掉一些低分,那么平均分提高这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列 a1,a 2,a n 满足 a1a 2a n,且a1,a 2,a n 不全相等,则 ; 三、解答题15 (13 分)在锐角ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c,()求A 的大小;()若 ,b5,求 c 的值16 (13 分)某
5、机构对 A 市居民手机内安装的“APP” (英文 Application 的缩写,一般指手机软件)的个数和用途进行调研,在使用智能手机的居民中随机抽取了 100 人,获得了他们手机内安装 APP 的个数,整理得到如图所示频率分布直方图:()从 A 市随机抽取一名使用智能手机的居民,试估计该居民手机内安装 APP 的个数不低于 30 的概率;()从 A 市随机抽取 3 名使用智能手机的居民进一步做调研,用 X 表示这 3 人中手机内安装 APP 的个数在20,40)的人数求随机变量 X 的分布列及数学期望;用 Y1 表示这 3 人中安装 APP 个数低于 20 的人数,用 Y2 表示这 3 人中
6、手机内安装APP 的个数不低于 40 的人数试比较 EY1 和 EY2 的大小 (只需写出结论)17 (14 分)如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2,E,F 分别为 AB,AD 的中点,AC 与 EF交于点 G,将AEF 沿 EF 折起到 A 1EF 的位置,使平面 A1EF平面 EFDCB,如图2()求证:平面 A1GC平面 A1EF;()求二面角 FA 1EB 的余弦值;()判断线段 A1C 上是否存在点 M,使 FM平面 A1EB?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由18 (14 分)已知椭圆 的离心率为 ,M 是椭圆 C 的上顶点,F1,F 2 是椭圆 C 的焦点, MF1F2
7、 的周长是 6()求椭圆 C 的标准方程;()过动点 P(1,t)作直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且| PA|PB| ,过 P 作直线 l,使 l 与直线 AB 垂直,证明:直线 l 恒过定点,并求此定点的坐标19 (13 分)已知函数 f(x )ae x 图象在 x0 处的切线与函数 g(x)lnx 图象在 x1处的切线互相平行()求 a 的值;()设 h(x)f(x)g(x) ,求证:h(x)220 (13 分)已知集合 Aa 1,a 2,a 1000,其中,a 1a 2a 10002019如果集合 A 满足:对于任意的 m+nA(m,n1,2,1000) ,都有 am+anA,那么称
8、集合 A 具有性质P()写出一个具有性质 P 的集合 A;()证明:对任意具有性质 P 的集合 A,2000A;()求具有性质 P 的集合 A 的个数2019 年北京市大兴区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1 (5 分)已知全集 UR,集合 A x|x0,B 2,1,0,1,2,那么( UA)B 等于( )A0 ,1,2 B1 ,2 C 2,1 D 2,1,0【分析】由全集 UR,以及 A,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的交集即可【解答】解:全集 UR,集合 A x|x0,B
9、 2,1,0,1,2, UAx| x0,则( UA)B0,1,2故选:A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键2 (5 分)已知 a3 0.4, , ,则( )Aabc Bcab Ccba Dac b【分析】容易得出 ,从而得出 a,b,c 的大小关系【解答】解: , ;acb故选:D【点评】考查指数函数、对数函数的单调性,增函数、减函数的定义3 (5 分)若 x,y 满足 则 2xy 的最大值为( )A6 B4 C6 D8【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数 z 的几何意义,进行平移,结合图象得到 z2xy 的最大值【解答】解:由 z2xy 得
10、 y2xz,作出 x,y 满足 对应的平面区域(阴影部分)如图:平移直线 y2x z,由图象可知当直线 y2xz 经过 A(4,2)时,直线 y2xz 的截距最小,此时 z 最大即 z2426故选:C【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合,结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法4 (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为 16,则判断框内的条件为( )An6? Bn7? Cn8? Dn9?【分析】根据框图运行后输出的结果是 16,从 s0,n1 开始假设判断框中的条件不满足,执行“否”路径,依次执行到 s 的值为 16 时看此时的 n 值,此时的 n 值应满足
11、判断框中的条件,由此即可得到答案【解答】解:框图首先赋值 s0,n1,执行 s0+11,n1+23;判断框中的条件不满足,执行 s1+34,n3+25;判断框中的条件不满足,执行 s4+59,n5+27;判断框中的条件不满足,执行 s9+716,n7+29;此时判断框中的条件满足,执行“是”路径,输出结果为 16由此看出,判断框中的条件应是选项 C,即 n8故选:C【点评】本题考查了程序框图,考查了直到型循环,直到型循环是先执行后判断,不满足条件执行循环,直到条件满足算法结束,是基础题5 (5 分)已知抛物线 C:y 2x,直线 l:x my +1,则“m0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个
12、不同交点”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由直线与抛物线的位置关系得:联立 ,消 x 得:y 2my 10,由m 2+40,得关于 y 的方程有不等两解,由充分必要条件得:直线 l: xmy +1 与抛物线 C:y 2x 恒有两个不同交点” ,即“m0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的充分不必要条件,得解【解答】解:联立 ,消 x 得:y 2my10,由m 2+4 0,得关于 y 的方程有不等两解,即直线 l:xmy+1 与抛物线 C:y 2x 恒有两个不同交点” ,即“m0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”
13、的充分不必要条件,故选:A【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系及充分必要条件,属中档题6 (5 分)中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种,其相互关系是“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金 ”将五种不同属性的物质任意排成一列,则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为( )A8 B10 C15 D20【分析】由题意,可看作五个位置排列五种事物,由分步原理求解即可,本题需要考虑的因素:相克的两种物质不相邻,注意满足此规则,计算符合条件的排列方法种数【解答】解:根据题意,可看作五个位置排列五种事物,第一位置有五种排列方法,不妨假设排上的是金,则第二步只能从土与水两者中选一种排放,故有
14、两种选择不妨假设排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故总的排列方法种数有 5211110;故选:B【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题,涉及分步计数原理的应用,解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景7 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为( )A B C3 D【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据去,最长棱长即可【解答】解:由题意可知几何体的直观图如图,是正方体的一部分,PABC,长方体的底面是边长为 3,2 高为 2,CF DCDE1,所以最长的棱长为 PB,PB 故选:B【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长
15、,判断几何体的形状是解题的关键8 (5 分)设不等式组 所表示的平面区域为 D,其面积为 S若 S4,则 k 的值唯一; 若 ,则 k 的值有 2 个;若 D 为三角形,则 ;若D 为五边形,则 k4以上命题中,真命题的个数是( )A1 B2 C3 D4【分析】画出不等式组表示的区域,讨论 k 的变化,结合图形和面积的求法,可判断正确结论【解答】解:|x |+|y|2 表示边长为 2 的正方形和其内部的区域,y+2k(x+1)表示直线 y+2k (x+1)和下方的区域,当 k0 时,表示直线右侧的区域;k0 时,表示直线左侧的区域当 k 由 0 变化到无穷大时,面积 S 增加到 7,当 k0
16、时,表示直线左侧的区域,如果区域非空,可得 k2,此时 S 的范围是(0,1) ,由分析结合图象可得若 S4,则 k 的值唯一,且为正,故正确;若 ,则 k 的值有 2 个,一正一负,故正确;由直线经过点(2,0) ,可得 k ;经过(2,0) ,可得 k2,若 D 为三角形,则 或 k2,故 错误;由直线经过(0,2) ,可得 k4,若 D 为五边形,则 k4,故正确故选:C【点评】本题考查不等式表示的平面区域,考查直线旋转所形成的区域和面积变化,考查数形结合思想和分析、推理能力,属于中档题二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9 (5 分)已知复数 z 满足 z2+10,则|
17、z| 1 【分析】结合复数的运算和性质,求出 zi 或i ,结合复数的模长公式进行计算即可【解答】解:由 z2+10,得 z21,则 zi 或i,则|z| 1,故答案为:1【点评】本题主要考查复数的模长的计算,结合复数的运算求出 z 是解决本题的关键10 (5 分)若 Sn 为等比数列a n的前 n 项的和,8a 2+a50,则 7 【分析】根据已知的等式变形,利用等比数列的性质求出 q3 的值,然后分别根据等比数列的通项公式及前 n 项和公式,即可求出结果【解答】解:由 8a2+a50,得到 q 38 7故答案为:7【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式及前 n
18、项和公式化简求值,是一道基础题11 (5 分)在极坐标系下,点 与曲线 2cos 上的动点 Q 距离的最小值为 【分析】将点 P 的极坐标化成直角坐标,圆的极坐标方程化成直角坐标后,PQ 的最小值等于点 P 到圆心的距离减去半径【解答】解:点 P(1, )的直角坐标为(0,1) ,曲线 2cos 的直角坐标方程为:(x1) 2+y2 1,其圆心为(1,0) ,半径为 1,点 P(0,1)与圆心(1,0)的距离为 ,|PQ |min 故答案为 1【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题12 (5 分)已知函数 f(x )sin( x+) ,若存在一个非零实数 t,对任意的 xR,都有f(
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