1、专题专题 10 圆锥曲线的性质及其应用圆锥曲线的性质及其应用 专题点拨专题点拨 1.熟练掌握椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程中基本量的关系，能够准确应用三种曲线的轨迹定义来解决 问题. 2弦长公式：斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则截得的弦长: |AB| 22 121 2 1()4kxxx x = 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|(k0) 3. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解. 涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解 真题赏析真题赏析 1(2018上海)双曲线y 2=1 的渐近线方程为 【答案】
2、1 2 yx 【解析】由 a=2,b=1，故渐近线方程为 1 2 yx . 2 (2017上海)设双曲线x 2 9 y2 b21(b0)的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1|5，则|PF2| _ 【答案】3 【解析】依题意，有 |PF 1|PF2 |2a |PF1 |PF2 |18 |PF1 |2|PF2 |24c2 ，可得 4c2364a2，即 a2c29，故有 b3. 例题剖析例题剖析 【例 1】设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且CBA 4 ，若 AB4，BC 2，则 的两个焦点之间 的距离为_ 【答案】4 3 6 【解析】如图所示：设 D 在 AB 上，且
3、CDAB，AB4，BC 2，CBA45 CD1，DB1，AD3， 以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系得 C(1，1)，2a4，把 C(1，1)代入椭圆标准 方程得 1 a2 1 b21，a 2b2c2b24 3，c 28 32c 4 3 6. 【变式训练 1】 设 P 是椭圆 5 x + 3 y =1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A.2 2 B.23 C.25 D.42 【答案】C 【解析】由椭圆的定义可知两个焦点的距离之和为 25. 【例 2】已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab
4、的左、右焦点，过 2 F的直线l与双曲线的右支分别 交于A，B两点， 12 AFF的内切圆半径为 1 r， 12 BFF的内切圆半径为 2 r，若 12 2rr，则直线l的斜率 为 【答案】2 2 【解析】记 12 AFF的内切圆圆心为C， 边 1 AF、 2 AF、 12 F F上的切点分别为M、N、E， 易见C、E横坐标相等， 则| |AMAN， 11 | |FMFE， 22 | |F NF E， 由 12 | 2AFAFa， 即 12 | (|)2AMMFANNFa， 得 12 | 2MFNFa， 即 12 | 2FEF Ea，记C的横坐标为 0 x，则 0 (E x，0)， 于是 00
5、 ()2xccxa，得 0 xa， 同样内心D的横坐标也为a，则有CDx轴， 设直线的倾斜角为，则 2 2 OF D ， 2 90 2 CF O ， 在 2 CEF中， 1 2 tantan(90) 2| r CF O EF ， 在 2 DEF中， 2 2 tantan 2| r DF O EF ， 由 12 2rr，可得2tantan(90)cot 222 ， 解得 2 tan 22 ， 则直线的斜率为 2 2tan 2 2 tan2 2 1 11 22 tan ， 由对称性可得直线l的斜率为2 2 故答案为：2 2 【变式训练 2】已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的 2 倍
6、，P和Q的轨迹分别为双曲 线 1 C和 2 C.若 1 C的渐近线方程为3yx ，则 2 C的渐近线方程为_ 【答案】y 3 2 x 【解析】 设 C1的方程为x 2 a2 y2 b21，则它的渐近线为 y b ax，即 b 3a.有 x2 a2 y2 3a21，又P 的纵坐标 是 Q 的 2 倍，横坐标相同C2的方程为x 2 a2 ()2y 2 3a2 1，故渐近线方程为 y 3 2 x. 【例3】 在平面直角坐标系xOy中， 已知抛物线 2 4yx上一点P到焦点的距离为5， 则点P的横坐标是 【答案】4 【解析】抛物线 2 42yxpx， 2p， 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距
7、离与到准线的距离是相等的， |15PFx ， 4x， 故答案为：4 【变式训练 3】已知抛物线 2 4yx的焦点为F，该抛物线上点P的横坐标为 2，则|PF 【答案】3 【解析】抛物线 2 4yx的准线方程为：1x ， P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是 2， | 2 13PF 故答案为：3 【例 4】椭圆 C： 22 22 1 xy ab (0ab)过点2,0M，且右焦点为1,0F，过F的直线l与椭圆 C 相交 于 A、B 两点，设点4,3P，记PA、PB的斜率分别为 1 k和 2 k； (1)求椭圆 C 的方程； (2)如果直线l的斜率等于1，求出 12 k k的值； (3)
8、探讨 12 kk是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出 12 kk的取值范围； 【解析】(1)2,1ac， 22 3bac ，故椭圆的方程为 22 1 43 xy .(2)直线l：1yx ，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由 22 1 1 43 yx xy ，消y得 2 7880xx，有 12 8 7 xx， 12 8 7 x x ，所以 1212 1212 12 12121212 2433221 44444162 x xxxyyxx kk xxxxx xxx .(3)当直线AB的斜率不存在时，不 妨设 3 1, 2 A ， 3 1, 2 B ，则 1 3 3 1 2 4
9、 12 k ， 2 3 3 3 2 4 12 k ，故 12 2kk.当直线AB斜率存在时， 设为k，则直线AB：1yk x.设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由 22 1 1 43 yk x xy ，消y得 2222 4384120kxk xk，有 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 12 2 412 43 k xx k ，则 1212 1212 12 12121212 253833333 4444416 kx xkxxkyykxkkxk kk xxxxx xxx 2 2 721 2 361 k k . 巩固训练巩固训练 一、填空题一、填空题 1.已知双曲线 22 1x
10、y，则其两条渐近线的夹角为 【答案】90 【解析】双曲线 22 11xy的两条渐近线的方程为：yx ， 所对应的直线的倾斜角分别为90， 双曲线 22 1xy的两条渐近线的夹角为90， 故答案为：90 2.若直线l经过抛物线 2 :4C yx的焦点且其一个方向向量为(1,1)d ，则直线l的方程为 【答案】10xy 【解析】抛物线 2 4yx的焦点为(1,0)，方向向量为(1,1)d 的直线l的斜率为 1， 故直线l的方程是01 (1)yx，即1yx， 故答案为：10xy 3.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程是2yx，它的一个焦点与抛物线 2 20yx的
11、焦点相 同，则此双曲线的方程是 【答案】 22 1 520 xy 【解析】抛物线 2 20yx的焦点为(5,0)， 则双曲线的焦点在x轴上， 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线为2yx，可得2ba， 由题意双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一个焦点与抛物线 2 20yx的焦点相同，可得 22 5ab， 解得5a ，2 5b ， 则双曲线的方程为： 22 1 520 xy 故答案为： 22 1 520 xy 4.已知点O，A，B，F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作 OB的平行线，它与
12、椭圆C在第一象限部分交于点P，若ABOP，则实数的值为 【答案】2 【解析】如图， (,0)Aa，(0, )Bb，( ,0)F c， 则 2 ( ,) b P c a ， ( , )ABa b， 2 ( ,) b OPc a ， 由ABOP，得 2 ac b b a ，即bc， 2222 2abcb，2 a b 则2 a b 故答案为：2 5.已知椭圆 22 1 94 xy ，直线2180xy，则椭圆上点到这条直线的最短距离是 【答案】 13 5 5 【解析】由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线2180lxy与椭圆不相交， 设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成20xyk (1) 由
13、方程组 22 1 94 20 xy xyk 消去x，得 22 25164360ykyk (2) 令方程(2)的根的判别式0，得 222 164 25(436)0kk (3) 解方程(3)得 1 5k 或 2 5k ， 当 1 5k 时，直线m与椭圆交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为250xy， 直线m与直线l间的距离 |185|13 5 514 d ， 故答案为： 13 5 5 二、选择题二、选择题 6.已知椭圆 22 1 2516 xy 的左右焦点分别为 1 F、 2 F，点P在椭圆上，若P、 1 F、 2 F是一个直角三角形的三个 顶点，则点p到x轴的距离为( ) A 9 5 B4
14、 C 9 7 5 D16 5 【答案】D 【解析】设椭圆短轴的一个端点为M 由于5a ，4b ， 3cb ； 12 90FMF， 只能 12 90PFF或 21 90PF F 令3x ，得 2 16 5 b y a ， 故选：D 7.点A为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点，P为椭圆C上一点(不与A重合)，若0(PO PAO是坐标 原点)，则( c c a 为半焦距)的取值范围是( ) A 1 (,1) 2 B 2 (,1) 2 C 3 (,1) 2 D以上说法都不对 【答案】B 【解析】设( , )P x y，0(PO PAO是坐标原点)， 2 22 22322 22
15、2222 () 0 24 aa xy c xa xa b b xa ya b ， 22 ()()0c xabxa xa， 2 2 ab x c ， 2 2 0 ab a c 22 bc 2 2 c a ， 则 c a 的取值范围是 2 ( 2 ，1) 故选：B 8.已知 M( 00 ,xy)是双曲线 C： 2 2 1 2 x y上的一点， 12 ,F F是 C 上的两个焦点， 若 12 0MFMF， 则 0 y的 取值范围是( ) A.( 3 3 ， 3 3 ) B.( 3 6 ， 3 6 )C.( 2 2 3 ， 2 2 3 ) D.( 2 3 3 ， 2 3 3 ) 【答案】A 【解析】由
16、题意 1 3,0F ， 2 3,0F， 2 2 0 0 1 2 x y，所以 120000 3,3,MF MFxyxy 222 000 3310xyy ， 解得 0 33 33 y. 9.已知点E是抛物线 2 :2(0)C ypx P的对称轴与准线的交点， 点F为抛物线C的焦点， 点P在抛物线C上， 在EFP中，若sinsinEFPFEP，则的最大值为( ) A 2 2 B 3 2 C2 D3 【答案】C 【解析】过(P x轴上方)作准线的垂线，垂足为H， 则由抛物线的定义可得| |PFPH，由sinsinEFPFEP， 则PFE中由正弦定理可知：则|PEPF， |PEPH， 设PE的倾斜角为
17、，则 1 cos PH PE ， 当取得最大值时，cos最小，此时直线PM与抛物线相切， 设直线PM的方程为 2 p xty，则， 即 22 20yptyp， 2 22 440p tp， 1k，即tan1，则 2 cos 2 ， 则的最大值为2， 故选：C 三、解答题三、解答题 10.已知椭圆的两个焦点为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，且椭圆过点 2 (1,) 2 (1)求椭圆的方程 (2)已知斜率为(0)k k 的直线 1 1过 2 F，与椭圆分别交于P，Q；直线 2 l过 2 F，与直线 1 1垂直，与椭圆分别 交于M，N，求四边形PMQN面积的函数解析式( )f k 【解析】
18、(1)设椭圆的方程为 22 22 1 xy ab ，0ab 由题意可得 22 222 1 11 1 2 c ab abc ，解得 2 2a ， 2 1b (2)设直线 1 l的方程为(1)yk x，则直线 2 l的方程为 1 (1)yx k 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 联立方程 2 2 1 2 (1) x y yk x ，化简得 2222 (21)4220kxk xk 则 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k x x k ， 222 12121 2 |1|1()4PQkxxkxxx x 422 2 2222 16881 12 2
19、 (12)1212 kkk k kkk ， 同理，得 2 2 1 | 2 2 2 k MN k ， 22 22 14(1) 2122 PMNQ k SPQ MN kk 四边形 ， 22 22 4(1) ( ) (12)(2) k f k kk ，0k 11.已知抛物线 2 yx上的A，B两点满足2OA OB ，点A、B在抛物线对称轴的左右两侧，且A的横坐 标小于零，抛物线顶点为O，焦点为F (1)当点B的横坐标为 2，求点A的坐标； (2)抛物线上是否存在点M，使得|(0)MFMO，若请说明理由； (3)设焦点F关于直线OB的对称点是C，求当四边形OABC面积最小值时点B的坐标 【解析】(1)
20、由题意知，(2,4)B，设 2 ( ,)A t t， 由2OA OB ，得 2 242tt， 解得： 1 2 t (舍)或1t ， ( 1,1)A； (2)由条件知 22222 1 ()() 4 xxxy， 把 2 yx代入得 222 11 (1)()0 216 yy， 22 3 () 4 ， 当1，M有两个点，当 3 2 ，M点存在， 当 3 1 2 ，M点有四个，当1，M点有二个， 当 3 0 2 ，M点不存在； (3)设 2 11 ( ,)B x x， 2 22 (,)A x x， 由题意得： 22 1 212 2x xx x，解得 12 2x x 设直线AB的方程为ykxm， 联立 2
21、 ykxm yx ，得 2 0xkxm， 得 12 x xm ， 又 12 2x x ，2m，则直线经过定点(0,2)， OABOBCOABOBFOABC SSSSS 四边形 1211 1 111929 2 ()23 22484 xxxx x ， 当且仅当 1 4 3 x 等号成立，四边形OABC面积最小， 4 (3B， 16) 9 12.已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 经过点2,3，两条渐近线的夹角为60，直线l交双曲线于A,B两点； (1)求双曲线 C 的方程； (2)若l过原点，P为双曲线上异于A,B的一点，且直线PA、PB的斜率 PA k、 PB k均 存在，求证： PA
22、PB kk为定值； (3)若l过双曲线的右焦点 1 F，是否存在x轴上的点,0M m，使得直线l绕点 1 F无论怎 样转动，都有0MA MB成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)由题意得： 22 49 1 3 ab b a ， 解得1,3ab，所以双曲线 C 的方程为 2 2 1 3 y x .(2)证明：设 00 ,A x y，由双曲线的对称性可得 00 ,Bxy，设,P x y，则 22 0 2 0 PAPB yy kk xx ，因为 22 00 33yx， 22 33yx，所以 22 0 2 0 3 PAPB yy kk xx .(3)由(1)得点 1 2,0
23、F，当直线l的斜率存在时，设直线方程2yk x，设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 将方程2yk x与双曲线方程联立消去y得： 2222 34430kxk xk， 所以 22 1212 22 443 , 33 kk xxxx kk ，假设存在定点M，使MAMB恒成立，设为,M m m，则 1212 220MA MBxmxmk xnk xn ，故得 22222 4512310mnmknkmn， 对任意的 2 3k 恒成立， 因此 22 22 450 120 10 mnm n mn ， 解得1,0mn .所以当1,0M 时，MAMB恒成立.当直线l斜率不存在时， 由2,3 ,2. 3A
24、B知 点1,0M 使得MAMB也成立.又因为点1,0M 是双曲线 C 的左顶点，所以存在定点1,0M ，使 得MAMB恒成立. 新题速递新题速递 1(2020闵行区一模)在正四面体 ABCD 中，点 P 为BCD 所在平面上的动点，若 AP 与 AB 所成角为定 值 ， (0， 2)，则动点 P 的轨迹不可能是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出 P 的轨迹方程，可得其轨迹 【解答】解：由题正四面体 ABCD 中，顶点 A 在底面 BCD 的射影 O 为下底面的中心，则以 O 为坐标 原点，OB 为 x 轴，OA 为 z 轴， 如图所示的空间直角
25、坐标系， 延长 BO 交 CD 与 E， 设 OB1，据题意得：OB= 2 3BE= 2 3 3 2 BC= 3 3 BCBC= 3AO=(3)2 12= 2 所以 B(1，0，0)，A(0，0，2)，设 P(x，y，0) 则 =(1，0，2)， =(x，y，2)， |cos| = | | | | | = | +2 32+2+2 | 3cos2(x2+y2+2) (x+2)2(3cos2 1)x2+3cos2y2 4x+6cos240； (0， 2)0cos113cos 212， 当 3cos21 小于 0 时，表示双曲线， 当其等于 0 时，表示抛物线； 当其大于 0 时，表示椭圆 故选：A
26、 2.(2020浦东新区一模)以抛物线 y24x 的焦点为右焦点，且长轴为 4 的椭圆的标准方程为( ) A 2 16 + 2 15 = 1 B 2 16 + 2 4 = 1 C 2 4 + 2 3 = 1 D 2 4 + 2= 1 【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，可得椭圆半焦距 c，又长轴为 4，得 a2，由隐含条件求得 b，则 椭圆方程可求 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点坐标为 F(1，0)， 所求椭圆的右焦点为(1，0)，即 c1， 又 2a4，a2，则 b2a2c2413 椭圆的标准方程为 2 4 + 2 3 = 1 故选：C 3(2020徐汇区一模)若圆 C1：x2+y21
27、和圆 C2：x2+y26x8yk0 没有公共点，则实数 k 的取值范围 是( ) A(9，11) B(25，9) C(，9)(11，+) D(25，9)(11，+) 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解 【解答】解：化圆 C2：x2+y26x8yk0 为(x3)2+(y4)225+k， 则 k25，圆心坐标为(3，4)，半径为25 + ， 圆 C1：x2+y21 的圆心坐标为(0，0)，半径为 1 要使圆 C1：x2+y21 和圆 C2：x2+y26x8yk0 没有公共点， 则|C1C2|25 + + 1或|C1C2|25 + 1， 即 525 + + 1或 52
28、5 + 1， 解得25k9 或 k11 实数 k 的取值范围是(25，9)(11，+) 故选：D 4(2020青浦区一模)过抛物线 y22px(p0)的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和 CD，则 1 | + 1 |的值为 ( ) A 2 B2 C2p D 1 2 【分析】直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系 式的应用求出结果 【解答】解：抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为( 2 ，0)，所以设经过焦点直线 AB 的方程为 yk(x 2)， 所以 = ( 2) 2= 2 ，整理得22 (2 + 2) + 22 4 = 0，设点 A(x1，y1)，
29、B(x2，y2)， 所以| = 1+ 2+ = (22+2) 2 ，所以 1 | = 2 (22+2)， 同理设经过焦点直线 CD 的方程为 y= 1 (x 2)， 所以 = 1 ( 2) 2= 2 ，整理得2 ( + 22) + 2 4 = 0， 所以：|CD|p+(p+2k2p)，所以| = 1 2+22， 则则 1 | + 1 | = (1+2) 2(1+2) = 1 2 故选：D 5(2020奉贤区一模)若双曲线的渐近线方程为 y3x，它的焦距为210，则该双曲线的标准方程 为 【分析】利用双曲线的焦距求出 c，通过渐近线方程，求出 a、b 关系，然后求出 a，b，即可得到双曲线 方程
30、 【解答】解：双曲线的焦距为 210，可得 c= 10，双曲线的焦点坐标在 x 轴上时， 渐近线方程为 y3x，可得 =3，a2+b210，所以 a1，b3， 当双曲线的焦点坐标在 y 轴上时，可得 =3，a2+b210，所以 b1，a3， 所以所求双曲线方程为：2 2 9 = 1 故答案为：2 2 9 = 1 6(2020静安区一模)设双曲线 2 2 2 +1 = 1的两个焦点为 F1，F2，点 P 在双曲线上，若 PF1PF2，则点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值为 【分析】利用已知条件 PF1PF2，点 P 到坐标原点 O 的距离为 c，转化求解 c 的最小值即可 【解答】解：双曲线
31、 2 2 2 +1 = 1的两个焦点为 F1，F2，点 P 在双曲线上，若 PF1PF2， 则点 P 到坐标原点 O 的距离为 c， 所以 c= 2+ + 1 =( + 1 2) 2+3 4 3 2 ，当且仅当 a= 1 2时，取得最小值： 3 2 故答案为： 3 2 7 (2020青浦区一模)已知点P在双曲线 2 9 2 16 =1上， 点A满足 =(t1) (tR)， 且 =60， =(0， 1)，则| |的最大值为 【分析】 由 =(t1) ， 得到 = ， 则| | = | | |， 设 A(xA， yA)， P(xP， yP)， 可得 = = ， 将点 ( ， )代入双曲线中得2=
32、92 16 + 92， 结合 =60， 可得|yA|8， 从而得到| |yA|8 【解答】解： =(t1) = ， = ， 则 = ，| | = | | |， 设 A(xA，yA)，P(xP，yP)， (xA，yA)t(xP，yP)， 则 = = ，即 = = ，将点( ， )代入双曲线中得： 2 92 2 162 = 1，2= 92 16 + 92， =60，| | |= | | |2= | (2+ 2) |t|( 2 2 + 2 2 ) =60， 由得 60|t|(9 2 162 + 2 2 + 9) =|t|(25 2 162 + 9) = 252 16| + 9| 15 2 |， |y
33、A|8， | |yA|8 则| |的最大值为 8 故答案为：8 8 (2020杨浦区一模)椭圆 2 9 + 2 4 = 1的焦点为F1， F2， P为椭圆上一点， 若|PF1|5， 则 cosF1PF2 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理转化求解即可 【解答】解：椭圆 2 9 + 2 4 = 1的焦点为 F1，F2，P 为椭圆上一点，若|PF1|5，可得|PF2|651， |F2F1|2c25，由余弦定理可得：cos= |1|2+|2|2|12|2 2|1|2| = 25+120 251 = 3 5 故答案为：3 5 9 (2020松江区一模)已知椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、 右焦
34、点分别为 F1、 F2， 若椭圆上的点 P 满足|PF1|2|PF2|， 则|PF1| 【分析】利用椭圆的定义，结合已知条件转化求解即可 【解答】解：椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、右焦点分别为 F1、F2， 椭圆上的点 P 满足|PF1|2|PF2|， 因为|PF1|+|PF2|2a6，所以|PF1|4 故答案为：4 10.(2020奉贤区一模)平面内任意一点 P 到两定点1(3，0)、2(3，0)的距离之和为 4 (1)若点 P 是第二象限内的一点且满足1 2 = 0，求点 P 的坐标； (2)设平面内有关于原点对称的两定点 M1、M2，判别1 2 是否有最大值和最小值，请说明理由？
35、 【分析】由题意知曲线是焦点为 F1(3，0)与 F2(3，0)、长轴长为 4 的椭圆，由此能求出曲线 C 的方 程 (1)结合数量积为 0 以及椭圆方程的运用即可求出点的坐标； (2)设出两点的坐标，结合椭圆中变量的取值范围即可求解 【解答】解：曲线 C 上任意一点 P 到两定点 F1(3，0)与 F2(3，0)的距离之和为 4， 曲线是焦点为 F1(3，0)与 F2(3，0)、长轴长为 4 的椭圆， 设椭圆的方程： 2 2 + 2 2 =1(ab0)， 由 2a4，a2，c= 3， b2a2c21， 椭圆的标准方程： 2 4 +y21； (1)设 p(x，y)，则 1 =(x+3，y)，2 =(x3，y)1 2 =x2+y23； 1 2 = 0， x2+y230 联立 2 4 +y21x2= 8 3，y 2=1 3； 点 P 是第二象限内的一点； x= 26 3 ，y= 3 3 ， 所以点 P( 26 3 ， 3 3 )； (2)设 M1(m，n)，则 M2(m，n)； 1 2 =(mx，ny)(mx，ny)x2+y2(m2+n2) ； 2 4 +y21 ； 代入 1 2 =1+ 3 4x 2(m2+n2)； 又因为2x2； 当 x2 时，1 2 最大值 4(m2+n2)， 当 x0 时1 2 是最小值 1(m2+n2)
