1、2020 年高考数学三模试卷（理科）年高考数学三模试卷（理科） 一、选择题 1已知集合 ，集合 Bx|2x4，则 AB（ ） A（2，3） B（1，+） C（1，2） D（3，+） 2设复数 z ，则复数 z 的虚部为（ ） A2i B2 C2i D2 3等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S525，则 a6等于（ ） A7 B9 C11 D13 4已知： ，则 cos4（ ） A B C D 5孔子日“三人行，必有我师焉”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百 六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概 率为 1%，那么甲、乙、丙三人中至
2、少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ） （参考数据：0.993600.03，0.013600，0.9730.912673 A0.0027% B99.9973% C0 D91.2673% 6已知直线 l 过点（2，1），则“直线 l 的斜率为 ”是“直线 l 被圆 C： （x1） 2+（y+3） 24 所截弦长为 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7公元 5 世纪，我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率 的两个近似分数值： （称之 为“约率”）和 （称之为“密率”）一几何体的三视图如图所示（每个小方格的边 长为 1），如果取圆周率为“约率”，
3、则该几何体的体积为（ ） A B C D 8如图为函数 yf（x）部分图象，则 yf（x）的解析式可能为（ ） A B Cf（x） Df（x） 9菱形 ABCD 中，AC2，BD4，E 点在线段 CD 上，则 的取值范围是（ ） A2，3 B0，1 C0，2 D0，3 10已知双曲线 C： ， 的左右焦点分别为 F1，F2，过 F1且斜率为 的直 线与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P， 若PF1PF2， 则双曲线C的离心率为 （ ） A B C D 11 已知函数 有两个极值点 x1， x2， 且|x1|+|x2|2， 则实数 b 的取值范围为（ ） A（，0） B（0，1） C ， D1，
4、1 12已知平面四边形 ABCD 中， ，BAD120，BCD 是等边三角形， 现将BCD 沿 BD 折起到BPD，使得 P 点在平面 ABD 上的射影恰为ABD 的外心， 则三棱锥 PABD 外接球的表面积为（ ） A B C9 D 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分） 13（1x2）（1+x）4的展开式中含，x2的项的系数为 14设 x，y 满足约束条件 ，则 zx+2y 的最小值是 15抛物线 C：y28x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，A，B 两点在 x 2 上的射影分别为 M，N，0 为坐标原点，当 梯形 时，直线 l 的斜率
5、 为 16数列an满足 ， ，实数 k 为常数，数列an有可能为常数列；k 1 时，数列 为等差数列；若 a3a1，则 k（1，0）；k0 时，数列an递 减；则以上判断正确的有 （填写序号即可） 三、解答题 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设向量 ， ， ， ，且 （1）求角 A； （2）若 a2 ，ABC 的面积为 3 ，求ABC 的周长 18已知如图一 RtABC，ACBC4，ACB90，D，E 分别为 AC，AB 的中点，F 在 BC 上，且 BF3FC，G 为 DC 中点，将ADE 沿 DE 折起，BEF 沿 EF 折起，使得 A，B 重合于一点（如图二）
6、，设为 P， （1）求证：EG平面 PDF； （2）求二面角 CPFE 的大小 19为进一步深化“平安校园”创建活动，加强校园安全教育宣传，某高中对该校学生进行 了安全教育知识测试（满分 100 分），并从中随机抽取了 200 名学生的成绩，经过数据 分析得到如表所示的频数分布表，并绘制了得分在30，40）以及90，100的茎叶图，分 别如图 1、2 所示 成绩 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 5 30 40 50 45 20 10 （1）求这 200 名同学得分的平均数；（同组数据用区间中点值作代表） （2
7、）如果变量 X 满足 P（2X+2）0.9544 且 P（3X+3） 0.9974，则称变量 X“近似满足正态分布 N（，2）的概率分布”经计算知样本方差 为 210，现在取 和2分别为样本平均数和方差，以样本估计总体，将频率视为概率， 如果该校学生的得分“近似满足正态分布 N（，2）的概率分布”，则认为该校的校 园安全教育是成功的， 否则视为不成功 试判断该校的安全教育是否成功， 并说明理由 （3） 学校决定对 90 分及以上的同学进行奖励， 为了体现趣味性， 采用抽奖的方式进行， 其中得分不低于 94 的同学有两次抽奖机会，低于 94 的同学只有一次抽奖机会，每次抽 奖的奖金及对应的概率分
8、别为： 奖金 50 100 概率 现在从不低于 90 同学中随机选一名同学，记其获奖金额为 ，以样本估计总体，将频率 视为概率，求 的分布列和数学期望（参考数据： 20设 F（1，0）是椭圆 E： 的右焦点，过点 F 的直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，当 lx 轴时，|PQ|3 （1）求椭圆 E 的方程； （2）记椭圆 E 的左顶点为 A，当直线 l 斜率存在且不等于 0 时，设直线 l，直线 AP，直 线 AQ 的斜率分别为 k，k1，k2，求证：k（k1+k2）为定值 21函数 f（x）（x+1）lnxax+a1，aR （1）设 yf（x）是函数 yf（x）的导函数，求 yf（x）
9、的单调区间； （2）证明：当 ae21 时，yf（x）在区间（0，1）上有极大值点 x0，且 f（x0）0 （二）选考题：共 10 分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分. 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， ， （ 为参数），以原 点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和极坐标方程； （2）若将曲线 C 绕点 O 逆时针旋转 得到曲线 D，曲线 D 与曲线 C 交于 O，A，与 y 轴 分别交于 O，B，求三角形 OAB 的面积 23已知 f（x）|xa|+|2xa| （1）当
10、a2 时，解不等式 f（x）a； （2）若关于 x 的不等式 f（x）3|a|有解，求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题 1已知集合 ，集合 Bx|2x4，则 AB（ ） A（2，3） B（1，+） C（1，2） D（3，+） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 解：集合 （1，3），集合 Bx|2x4（2，+）， 则 AB（2，3）， 故选：A 2设复数 z ，则复数 z 的虚部为（ ） A2i B2 C2i D2 【分析】根据复数的除法和乘法运算化简 z 即可 解：z ， z 的虚部为2 故选：B 3等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S525
11、，则 a6等于（ ） A7 B9 C11 D13 【分析】根据等差数列的通项公式和前 n 项和公式求出首项和公差即可 解：a23，S525， ， 即 ， 解得 a11，d2， 则 a6a1+5d1+5211， 故选：C 4已知： ，则 cos4（ ） A B C D 【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式 sin2 的值， 进而利用二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解 解： ， 两边平方可得 1sin2 ，可得 sin2 ， cos412sin2212（ ） 2 故选：B 5孔子日“三人行，必有我师焉”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百 六十行，行行出状
12、元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概 率为 1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ） （参考数据：0.993600.03，0.013600，0.9730.912673 A0.0027% B99.9973% C0 D91.2673% 【分析】先求出甲、乙、丙在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率，可得他们在每一行 业中都不能胜过孔圣人的概率，再用 1 减去此概率，即为所求 解：由题意可得，甲在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为 0.993600.03， 同理，乙 在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为 0.993600.03， 丙在每一行业中都不
13、能胜过孔圣人的概率为 0.993600.03， 故甲、乙、丙三人在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为 0.0330.000027， 故甲、 乙、 丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为 10.0000270.999973， 故选：B 6已知直线 l 过点（2，1），则“直线 l 的斜率为 ”是“直线 l 被圆 C： （x1） 2+（y+3） 24 所截弦长为 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】直线 l 的斜率分类讨论，利用弦长公式即可得出 解：直线 l 的斜率存在时设为 k，可得方程为：y+1k（x2），即 kxy12k0，
14、直线 l 被圆 C：（x1）2+（y+3）24 所截弦长为 ，则 ， 化为：k ， 直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2，也满足题意 “直线 l 的斜率为 ”是“直线 l 被圆 C：（x1） 2+（y+3）24 所截弦长为 ”的 充分不必要条件 故选：A 7公元 5 世纪，我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率 的两个近似分数值： （称之 为“约率”）和 （称之为“密率”）一几何体的三视图如图所示（每个小方格的边 长为 1），如果取圆周率为“约率”，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 解：根据几何体的三视图转换为几何体
15、为：该几何体为三棱锥和半圆锥组成的组合体 如图所示： 所以：V 故选：A 8如图为函数 yf（x）部分图象，则 yf（x）的解析式可能为（ ） A B Cf（x） Df（x） 【分析】结合题干图象，逐项判断即可得出正确选项 解：对于选项 A， ，故 f（x）为偶函数，不合题意； 对于选项 B，当 x+时，f（x）+，不合题意； 对于选项 C， ，故 f（x）为奇函数，不合题意 对于选项 D，当 x+时，f（x）0，当 x时，f（x）+，当 x0 时，f（x） ，符合题意 故选：D 9菱形 ABCD 中，AC2，BD4，E 点在线段 CD 上，则 的取值范围是（ ） A2，3 B0，1 C0，2
16、 D0，3 【分析】建立坐标系，求出各点的坐标，结合点 E 的坐标满足的条件和范围，再代入数 量积即可求解 解：菱形 ABCD 中，AC2，BD4， 所以 AC 与 BD 垂直平分，以其交点为原点； 建立如图所示的坐标系； 则 A（0，1），B（2，0），C（0，1），D（2，0）； 设 E（x，y） 则 1x2y2 且1y0； （2，1）， （x，y1）； 2x（y1）5y3； 1y0； 2x（y1）5y33，2； 的取值范围是0，3 故选：D 10已知双曲线 C： ， 的左右焦点分别为 F1，F2，过 F1且斜率为 的直 线与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P， 若PF1PF2， 则双曲线
17、C的离心率为 （ ） A B C D 【分析】先写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，再设过 F1且斜率为 的直线方程为 ，并与 联立解得点 P 的坐标，然后利用 PF1PF2，得两条直线的斜 率之积为1， 从而列出关于a、 b、 c的等量关系， 化简整理后可得 ， 最后结合 和 c2a2+b2得解 解： 由题可知， F1， F2的坐标分别为 （c， 0） ， （c， 0） ， 双曲线的渐近线方程为 ， 设过 F1且斜率为 的直线方程为 ， 联立 ，解得 ，点 P 为（ ， ）， PF1PF2， ，即 ，化简整理，得 ， 离心率 故选：D 11 已知函数 有两个极值点 x1， x2， 且|x1|+
18、|x2|2， 则实数 b 的取值范围为（ ） A（，0） B（0，1） C ， D1，1 【分析】依题意，f（x）0 的两根为 x1，x2，且 ，由|x1|+|x2|2 可得， ，进而得到 b24a24a3，设 g（a）4a24a3，a0，利用导数 求其单调性，由此求得最值，进而得到 b 的取值范围 解： （ax2+bxa2）eax， 依题意，f（x）0 的两根为 x1，x2，且 ， |x1|+|x2|2|x1x2|，平方整理得 ， ， b24a24a3， 设 g （a） 4a24a3， a0， 则 g （a） 8a12a2， 令 g （a） 0， 解得 a0 或 ， g（a）在 ， 上单调递
19、增，在 ， 上单调递减，其 g（1）0， ，即 ， 故选：C 12已知平面四边形 ABCD 中， ，BAD120，BCD 是等边三角形， 现将BCD 沿 BD 折起到BPD，使得 P 点在平面 ABD 上的射影恰为ABD 的外心， 则三棱锥 PABD 外接球的表面积为（ ） A B C9 D 【分析】先找到球心的位置上，易知在由 P 点与底面外心 M 连线 PM 上，然后算出 PM 的长度，再设球心为 O，利用直角三角形 OMD 列出球半径 R 的方程即可 解：由题意做出图形如下： 因为 ，BAD120， ， ， 设 M 为底面ABD 的外心， 且BAD120， AMBAMD， ， 又 P 点
20、在平面 ABD 上的射影恰为ABD 的外心 M，PMMD，PM2 易知，球心 O 在 PM 上，设球半径为 R，则 POODR，OM2R 在 RtOMD 中，OD2OM2+MD2， 即： ，解得 所以外接球的表面积 S4R29 故选：C 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分） 13（1x2）（1+x）4的展开式中含，x2的项的系数为 5 【分析】将原式左边拆开，然后转化为研究后一个二项式展开式中含 x 二次项、常数项 的问题，求解即可 解：原式（1+x）4x2（1+x）4， 所以展开式中 x2的系数 故答案为：5 14设 x，y 满足约束条件 ，则 zx+2y 的最小值是
21、2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 解：由 x，y 满足约束条件 ，作出可行域如图， 化目标函数 zx+2y 为 y x ， 由图可知，当直线 y x 过 A（2，0）时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 2 故答案为：2 15抛物线 C：y28x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，A，B 两点在 x 2 上的射影分别为 M，N，0 为坐标原点，当 梯形 时，直线 l 的斜率为 2 【分析】根据条件 梯形 ，可得|AB|9，再将直线与抛物线方程联 立，表示出|AB|x
22、A+xB+48 9，即可求出 k 解： 设直线x2与x轴交点为H， 则 梯形 ， 因为|OH|OF|2，|yMyN|yAyB|，|AM|+|BN|AB|， 所以 梯形 ，则|AB|9， 设直线 AB 的斜率为 k，则 AB：yk（x2），与抛物线联立可得： k2x2（4k2+8）x+4k20， 从而 xA+xB 4 ， 所以|AB|xA+xB+48 9， 解得 k2 故答案为：2 16数列an满足 ， ，实数 k 为常数，数列an有可能为常数列；k 1 时，数列 为等差数列；若 a3a1，则 k（1，0）；k0 时，数列an递 减；则以上判断正确的有 （填写序号即可） 【分析】 ， ，实数 k
23、 为常数可得： 1对 k 分类讨论： k0 时，an+11，可得 an1k1 时， 1可得数列 为等差数列，可 得：an k0，1 时，变形为： k（ ）可得数列 为等比数列，可得：an 进而判断出结论 解： ， ，实数 k 为常数 可得： 1 k0 时，an+11，可得 an1 k1 时， 1可得数列 为等差数列，首项与公差都为 1， 1+n 1，可得：an k0，1 时，变形为： k（ ）可得数列 为等比数列， 首项为 ，公比为 k， kn1，可得：an 数列an有可能为常数列，k0 时，an1 k1 时，数列 为等差数列， n a11，a2 ，a3 （k1） 若 a3a1，则 1，解得：
24、1k0，k（1，0） k0 时，k1 时，可得：an ，可得数列an递减k1 时，an 则 an+1 an ， 无论 k1，还是 0k1，kn1 与 kn+11 同号，an+1an 0， 即 an+1an 由以上可得：k0 时，数列an递减 综上可得以上判断正确的为： 故答案为： 三、解答题 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设向量 ， ， ， ，且 （1）求角 A； （2）若 a2 ，ABC 的面积为 3 ，求ABC 的周长 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式即可求解； （2）利用余弦定理和面积公式结合整体代换求出 b+c 即可 解：（1）在ABC 中，
25、角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 向量 ， ， ， ，且 ，由正弦定理得： sinAsinBsinAcosCsinBcosA+sinCcosA 即 sin（A+C）sinB，sinB0， ，即 ，又A（0，）， A ，A （2）结合（1）A ，得 ，bc12 a2b2+c22bccosA，28b2+c22bccos （b+c）23bc（b+c）236 （b+c）264，b+c8 故三角形的周长为 8+2 18已知如图一 RtABC，ACBC4，ACB90，D，E 分别为 AC，AB 的中点，F 在 BC 上，且 BF3FC，G 为 DC 中点，将ADE 沿 DE 折起，BEF 沿 E
26、F 折起，使得 A，B 重合于一点（如图二），设为 P， （1）求证：EG平面 PDF； （2）求二面角 CPFE 的大小 【分析】（1）先根据勾股定理证明 PDDF，再证明 PD平面 DEFC，EGPD，以直 线 DE，DC，DP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明 EGDF，再 利用线面垂直的判定定理证明出结论； （2）设平面 PCF 的法向量为 ， ， ，平面 PEF 的法向量为 ， ， ，求 出法向量，再利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，结合图象，求出二面角即可 【解答】（1）证明：如图一，D，E 分别为 AC，AB 的中点，所以 DEDC，DEPD， 又 D
27、E2，DF2DC2+CF25， 由 BF3FC ，故 PF3， 所以 PD2+DF2PF2，故 PDDF， 又 DEDFD，DE，DF平面 DEFC，所以 PD平面 DEFC， 又 EG平面 DEFC，故 EGPD， 如图，以直线 DE，DC，DP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， E（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），F（1，2，0），G（0，1，0）， ， ， ， ， ， ， ，故 EGDF， 又 PDDFD，DP，DF平面 PDF，故 EG平面 PDF； （2）解：设平面 PCF 的法向量为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由 ，得 ， ， ， 设平面 PE
28、F 的法向量为 ， ， ， 则 ， ， ， 由 ，得 ， ， ， 由 cos ， ， 结合图象知二面角为钝角，故二面角 CPFE 为 135 19为进一步深化“平安校园”创建活动，加强校园安全教育宣传，某高中对该校学生进行 了安全教育知识测试（满分 100 分），并从中随机抽取了 200 名学生的成绩，经过数据 分析得到如表所示的频数分布表，并绘制了得分在30，40）以及90，100的茎叶图，分 别如图 1、2 所示 成绩 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 5 30 40 50 45 20 10 （1）求这 2
29、00 名同学得分的平均数；（同组数据用区间中点值作代表） （2）如果变量 X 满足 P（2X+2）0.9544 且 P（3X+3） 0.9974，则称变量 X“近似满足正态分布 N（，2）的概率分布”经计算知样本方差 为 210，现在取 和2分别为样本平均数和方差，以样本估计总体，将频率视为概率， 如果该校学生的得分“近似满足正态分布 N（，2）的概率分布”，则认为该校的校 园安全教育是成功的， 否则视为不成功 试判断该校的安全教育是否成功， 并说明理由 （3） 学校决定对 90 分及以上的同学进行奖励， 为了体现趣味性， 采用抽奖的方式进行， 其中得分不低于 94 的同学有两次抽奖机会，低于
30、 94 的同学只有一次抽奖机会，每次抽 奖的奖金及对应的概率分别为： 奖金 50 100 概率 现在从不低于 90 同学中随机选一名同学，记其获奖金额为 ，以样本估计总体，将频率 视为概率，求 的分布列和数学期望（参考数据： 【分析】（1）每组的中间成绩乘以对应每组的频率之和即为平均数的近似值； （2）计算出 2，+2，3，+3，结合茎叶图中的数据即可作出判断； （3） 的可能值为 50，100，150，200，求出对应的频率，进而得到 的分布列，由此 再计算得出期望 解： （1） 据频数分布表得， 350.025+450.15+550.2+650.25+750.225+850.1+95 0.
31、0565， 平均分为 65； （2）该校的安全教育是成功的，理由如下： ， 265214.536， +265+214.594， 365314.521.5， +3 65+314.5108.5， 而且据茎叶图知，得分小于 36 分的学生有 3 个，得分大于 94 分的有 4 个， ， 学生的得分都在30，100之间， P（3X+3）10.9974， 学生的得分“近似满足正态分布 N（65，210）的概率分布”，因此该校的安全教育是 成功的； （3）设这名同学获得的奖金为 ，则 的可能值为 50，100，150，200， ， ， ， ， 故 的分布列为 50 100 150 200 P 20设 F（
32、1，0）是椭圆 E： 的右焦点，过点 F 的直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，当 lx 轴时，|PQ|3 （1）求椭圆 E 的方程； （2）记椭圆 E 的左顶点为 A，当直线 l 斜率存在且不等于 0 时，设直线 l，直线 AP，直 线 AQ 的斜率分别为 k，k1，k2，求证：k（k1+k2）为定值 【分析】 （1）由题意可得 c 的值，再由当 lx 轴时，|PQ|3 可得 a，b 的关系，又由 a， b，c 之间的关系求出 a，b 的值，进而求出椭圆的方程； （2）由（1）可得 A 的坐标，设直线 l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进 而求出直线 PA，QA 的斜率之和，可
33、得 k（k1+k2）为定值 解：（1）由题意可得 c1，又因为当 lx 轴时，|PQ|3所以 3， 又因为 c2a2b2，解得 a24，b23， 所以椭圆 E 的方程： 1； （2）证明：由（1）得 A（2，0），设直线 l 的方程为 yk（x1），设 P（x1，y1）， Q（x2，y2）， 联立直线 l 与椭圆的方程 ，整理可得（3+4k2）x28k2x+4k2120， x1+x2 ，x1x2 ， 所以 k1+k2 2k+k （ ）2k+k 2k+k 2k+k ， 所以 k（k1+k2）k 3， 可证得 k（k1+k2）为定值3 21函数 f（x）（x+1）lnxax+a1，a一、选择题 （
34、1）设 yf（x）是函数 yf（x）的导函数，求 yf（x）的单调区间； （2）证明：当 ae21 时，yf（x）在区间（0，1）上有极大值点 x0，且 f（x0）0 【分析】（1）求导可得， ， ，进而得出 y f（x）的单调性； （2） 首先证明 x0为函数 yf （x） 的极大值点， 同时得到 ， 而 f （x0） （x0+1）lnx0ax0+a1，故 ，再构造函数 ，利用导数可得 h（x0）0，进而得证 解：（1）函数定义域为（0，+）， ， ， 令 f（x）0，解得 x1， yf（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增； （2）证明：由（1）可知，yf（x）在（0，1）上
35、单调递减， ae21， ， ， ， 设 g（a）ea2a+1， ae212，g（a）ea20， g（a）g（2）0， ， 存在 ， ，使得 f（x0）0，且当 ， 时，f（x0）0，当 x（x0， 1）时，f（x0）0， x0为函数 yf（x）的极大值点， f（x0）0，即 ， ， 当 时， ，且由（1）可知 在（0，1）上单调递减， 所以 ， ， 又 f （x0） （x0+1） lnx0ax0+a1， 将代入整理得， ， 设 ，则 ， h（x0）在 ， 上单调递减， ， 当 ae21 时，f（x0）0 恒成立 （二）选考题：共 10 分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，
36、则按所做 的第一题记分. 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， ， （ 为参数），以原 点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和极坐标方程； （2）若将曲线 C 绕点 O 逆时针旋转 得到曲线 D，曲线 D 与曲线 C 交于 O，A，与 y 轴 分别交于 O，B，求三角形 OAB 的面积 【分析】（1）把曲线 C 的参数方程中的参数消去，可得普通方程，结合极坐标与直角坐 标的互化公式可得曲线 C 的极坐标方程； （2） 由题意求出曲线 D 的普通方程， 联立两曲线方程求得 A 点坐标， 再求出 B 点坐标， 由三角形面积公式
37、求解 解：（1）由 ， ， （ 为参数），消去参数 ，可得（x2）2+y24， 即曲线 C 的直角坐标方程为（x2）2+y24， 化为 x2+y24x0，结合 2x2+y2，xcos， 可得曲线 C 的极坐标方程为 24cos0，即 4cos； （2） 将曲线C绕点O逆时针旋转 得到曲线D， 则曲线D的方程为 联立 ，解得 A（3， ） 又在 中取 x0，得 B（0，2 ） 三角形 OAB 的面积 S 23已知 f（x）|xa|+|2xa| （1）当 a2 时，解不等式 f（x）a； （2）若关于 x 的不等式 f（x）3|a|有解，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）由题意可得|x2|+|
38、2x2|2，由零点分区间法，去绝对值，解不等式， 求并集，可得所求解集； （2）原不等式等价为 3|a|f（x）min，运用绝对值不等式的性质和非负数的概念，可 得 f（x）的最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围 解：（1）当 a2 时，解不等式 f（x）a 即为|x2|+|2x2|2， 等价为 或 或 ， 解得 x2 或 1x2 或 x1， 则原不等式的解集为 ，2； （2）关于 x 的不等式 f（x）3|a|有解， 等价为 3|a|f（x）min， 由 f（x）|xa|+|2xa|xa|+|x |+（|x |）|xax |+| | |， 当且仅当（xa）（x a）0 取得等号，则 3|a| |， 即为|a|2，解得2a2 即 a 的取值范围是2，2
