1、荆州市沙市中学荆州市沙市中学 20192019- -20202020 学年高三第三次模拟考试文科数学试题学年高三第三次模拟考试文科数学试题 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合1,2,3,4,5A，集合|2Bx x，则AB （ ） A. 2,5 B. 3,4,5 C. 2,3,4,5 D. 1, 2. 已知复数z满足 3
2、 1 i z i （其中i为虚数单位） ，则z的虚部为（ ） A. 2i B. -2 C. 2i D. 2 3. 中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法.某大学开设这四门课供学生选修，男生甲选其中三门课进行 学习，已知他选修了京剧，则他选修书法的概率为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 4. 已知 3 sincos 3 ，则sin2的值为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 1 3 5. 设等差数列 n a前n项和为 n S，若 2 3a ， 5 35S ，则 6 a （ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 6. 公元 5 世纪，我
3、国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率的两个近似分数值： 22 7 （称之为“约率” ）和 355 113 （称之为“密率” ）.一几何体的三视图如图所示（每个小方格的边长为 1） ，如果取圆周率为“约率” ， 则该几何体的体积为（ ） A. 72 7 B. 116 7 C. 144 7 D. 216 7 7. 函数 2 ln xx x f x ee 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 菱形ABCD中，2AC ，2 3BD ，E点为线段CD的中点，则AE BC为（ ） A. 3 B. 3 C. 3 2 D. 3 2 9. 数列 n a的前n项和为 n S，满足 1 1a ， 2 3a
4、 ， 2 31 n nnn aaa ，则 2n S（ ） A. 422 nn B. 44 2 33 n n C. 422 nn D. 42 nn 10. 点cos ,sinP在直线2ykx上，则实数k的取值范围是（ ） A. 3, 3 B. ,33, C. 2, 2 D. ,22, 11. 已知双曲线C： 22 22 1,0 xy a b ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F且斜率为 1 3 的直线与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P，若 12 PFPF，则双曲线C的离心率为（ ） A. 10 B. 2 2 C. 2 D. 5 4 12. 设函数 ,1 ln ,1 x x f
5、 x x x ，若 yfxk有两个零点 1212 ,x xxx，则 21 2xx的取值范围是 （ ） A. 1,2e B. 1,2e C. 22ln2,2e D. 22ln2,1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 曲线sinyxx在 2 x 处的切线方程为_. 14. 设x，y满足约束条件 2 2 0 xy xy x ，则2zxy的最小值是_. 15. 设抛物线C： 2 4yx焦点为F，斜率为正数的直线l过焦点F，交抛物线C于A，B两点，交准线 于点Q，若ABBQ，则直线l的斜率为_. 16. 如图，边长为 4 的正方形ABCD，E为AD中点，F为DC边上一
6、动点，现将DEF，ABE分 别沿EF，EB折起， 使得A，D重合为点P， 形成四棱锥PEFCB， 过点P作PH 平面EBF于H， 平面BPE 平面PBF 当F为CD中点时，三棱锥PEBF的体积为 8 3 H为BEF的垂心 PF长的取值范围为1,4 则以上判断正确的有_（填正确命题的序号）. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第（22） 、 （23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 3sin3coscaBB. （1）求角A；
7、 （2）若2 7a ，ABC的面积为3 3，求ABC的周长. 18. 如图，四棱锥PABCD，PD 平面ABCD，底面ABCD为梯形，/ABDC，CDDA， 44CDAB，3ADPD，F为PB中点. （1）证明：直线FDBC； （2）若平面CDF与棱PA交于E，求四棱锥P CDEF的体积. 19. 2019 年春节前后，中国爆发新型冠状病毒（SARS-Cov-2）如图所示为 1 月 24 日至 2 月 16 日中国内地 （除湖北以外的）感染新型冠状病毒新增人数的折线图，为了预测分析数据的变化规律，建立了y与时间 变量t的不同时间段的两个线性回归模型.根据 1 月 24 日至 2 月 3 日的数
8、据 （时间变量t的值依次为 1， 2， 3， 4，5，6，7，8，9，10，11）建立模型：ybta；根据 2 月 4 日至 2 月 16 日的数据（时间变量t的值 依次为 12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24）建立模型：yctd. 1 月 24 日 1 月 25 日 1 月 26 日 1 月 27 日 1 月 28 日 1 月 29 日 1 月 30 日 1 月 31 日 2 月 1 日 2 月 2 日 2 月 3 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 332 174 298 337 448 593 690 737 720 648 926
9、 2 月 4 日 2 月 5 日 2 月 6 日 2 月 7 日 2 月 8 日 2 月 9 日 2 月 10 日 2 月 11 日 2 月 12 日 2 月 13 日 2 月 14 日 2 月 15 日 2 月 16 日 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 830 741 693 683 559 464 431 377 377 299 259 211 160 （1）求出两个回归直线方程； （计算结果取整数） （2） 中国政府为了人民的生命安全， 听取专家意见， 了解了病毒信息， 并迅速做出一系列的隔离防护措施， 但新冠状病毒在世界范围内爆发时，某些欧
10、美国家采取放任的态度，不治疗、不隔离、不检测，甚至不公 布，请你用以上数据说明采取一系列措施的必要性，不采取措施的后果. 参考数据： 11 1 7174 ii i xxyy 11 (1) 1 1 537 11 i i yy 24 12 10009 ii i xxyy 24 (2) 12 1 468 13 i i yy 参考公式： 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx aybx . 20. 函数 1 ln1f xxxaxa ，aR. （1）设 yfx是函数 yf x的导函数，求 yfx的单调区间； （2）证明：当2a时， yf x在区间 1 ,1 a e 上有极大值点 0 x
11、，且 0 1f x. 21. 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，左右顶点分别为A，B，右焦点为 2 F，P为 椭圆上异于A，B的动点，且 2 APF面积的最大值为 3 1 2 . （1）求椭圆C的方程； （2）设直线AP与y轴交于M点，过点A作BP的平行线交y轴与点N，试探究是否存在定点Q，使得 以MN为直径的圆恒过定点Q. （二）选考题：共 10 分.请考生在（22） 、 （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 22cos 2sin x y （为参数） ， 以原点O为极点，x轴
12、非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线C的直角坐标方程和极坐标方程； （2） 若将曲线C绕点O逆时针旋转 3 得到曲线D， 曲线D与曲线C交于O，A， 与y轴分别交于O，B， 求三角形OAB的面积. 23. 已知 2f xxaxa. （1）当2a时，解不等式 f xa； （2）若关于x的不等式 3f xa 有解，求实数a的取值范围. 参考答案参考答案 一、选择题 1-5：BBCCD 6-10：AABAB 11-12：DD 1.【答案】B. 【解析】3,4,5AB . 2.【答案】B. 【解析】 3(3)(1)24 1 2 1(1)(1)2 iiii zi iii . 3.【答案】C. 【
13、解析】因为 4 门课程里选 3 门课程（京剧已选） ，再从剩下的 3 门课程中选 2 门即可，所有的选择为武 术，中医，武术，书法，中医，书法，所以选书法的概率为 2 3 . 4.【答案】C. 【解析】 因为 3 sincos 3 ， 两侧同时平方得 22 1 sin2sincoscos 3 ， 所以 1 1 sin2 3 ， 所以 2 sin2 3 . 5.【答案】D. 【解析】 51 21 4 5 535 2 3 S a a a d d ，所以 1 1 3 27 ad ad ，解得4d ，所以 62 419aad. 6.【答案】A. 【 解 析 】 如 图 ， 组 合 体 有 半 个 圆
14、锥 与 一 个 三 棱 锥 放 在 一 起 形 成 ， 所 以 117 2 ( 424)342 327 VVV 半圆锥三棱锥 . 7.【答案】A. 【解析】函数 2 ln xx x f x ee ， fxf x，所以 yf x为偶函数，所以 B，D 不正确，又因为 10f， 11 22 1 ln 1 4 0 2 f ee ，所以选 A. 8.【答案】B. 【解析】建立如图所示坐标系，0,1A， 3,0B ，0, 1C， 3,0D，所以 31 , 22 E ，则 33 , 22 AE ， 3, 1BC ，所以3AE BC. 9.【答案】A. 【解析】当n为奇数时， 2 2 nn aa ，所以奇数
15、项为以 1 为首项，2 为公比的等比数列；当n为偶数时， 2 4 nn aa ， 所 以 偶 数 项 为 以3为 首 项 ， 4为 公 比 的 等 比 数 列 ， 所 以 2 3 1 4 1 2 422 1 21 4 n nn n n SSS 奇偶 . 10.【答案】B. 【解析】cos ,sinP的轨迹是半径为 1 的圆，直线2ykx恒过0,2与圆有公共点，如图，临界 为相切时刻，所以 ,33,k . 11.【答案】D. 【解析】 12 PFPF， 12 1 2 FPFcO ， 212 2POFPFF ， 12 2 12 2 2tan3 3 1 1 tan4 1 9 PFFb aPFF ，
16、2 2 5 1 4 b e a . 12.【答案】D. 【解析】 由 12 f xf xk可知， 12 01xxe ， 12 lnxxk， 1 1211 22 x t xxxex， 1 0,1x ， 1 1 2 x txe，令 1 0tx，则 1 ln2x ，ln222ln2t， 12te ， 01t， 1 22ln2,1t x . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. yx 14. 2 15. 2 2 16. 13.【答案】yx. 【解析】sincosyxxx， 2 1| x y ，当 2 x 时， 2 y ，所以切线方程为：yx. 14.【答案】2. 【解析
17、】如图，不等式组 2 2 0 xy xy x 所表示的平面区域，当目标函数2zxy过2,0取得最小 min 2z. 15.【答案】2 2. 【解析】 分别过A，B作准线l的垂线， 垂足分别为A，B， AFAA，BFBB， ABBQ， B为AQ中 点， 在AQA中 ， 1 2 BBAA， 1 2 BFAF， 设BFa， 则BBa， 3ABBQa，2 2QBa，tan2 2kQBB. 16.【答案】. 【解析】 如图所示， 90BAECDE， 所以折起后不变，BPPE，PFPE，PBPFP， ,PB PF 平面PBF，PE 平面PBF，PE 平面BPE，平面BPE 平面PBF，正确；当 F为CD中
18、点时，PBPF， 1118 4 2 2 3323 P EBFE BPFBPF VVSPE ， 所以正确； 当F 运动时， 若H为垂心， 则FHBE，BE 平面FHP， BEPF， 又PFPE， PF 平面PBE， PFPB， 222 BFPBPF， 2222 ()BCCFPBDCCF， 2PF ， 即2DF ，DF 不恒为 2，所以不正确；如图（3）沿BE将ABE折到四边形EBCD内，即A位置，此时D沿EF翻 折，如图，EDFBAE， 1 1 2 DFED，所以正确. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第（22
19、） 、 （23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 解： （1）由正弦定理可得32 sin2 sin(sin3cos)RCRABB， 3sinsinsin3sincosCABAB，3sin()sinsin3sincosABABAB， 3cossinsinsinABAB， sin0B， 3cossinAA， tan3A， 0,A， 3 A ； （2） 由余弦定理可得 222 2cosabcbcA， 222 (2 7)2cos 3 bcbc ， 化简得 22 28bcbc， 1 sin3 3 2 ABC SbcA ，12bc ，解得6b，2c 或2b，6c ，所以
20、三角形周长为82 7. 18. （1） 证明： 如图， 连结DB， 在ABD中，2BD ， 易得2 3BC ， 在D B C中 222 DBBCDC， DBBC，又PD 平面ABCD，PDBC，又PDDBD，BC 平面PBD，又 FD 平面PBD，FDBC； （2）取PA中点E，连结DE，EF，在PAB中，E，F分别为PA，PB的中点，/EFAB，又 /ABCD，/EFCD，E，F，C，D四点共面，E即为平面CDF与棱PA的交点；PD 平面ABCD，PDCD，又ADCD，CD平面PAD，PA平面PAD，CDPA， PDAD，E为PA中点，DEPA，又CDDED，,CD DE 平面CDEF，PA
21、 平面 CDEF，PE即为四棱锥P CDEF的高. 1111669 4 3322228 P CDEFCDEF VSPE . 19. 解： （1）当111t 时， 1 111 (1 11) 6 116 t ， 11 2 22222 (1) 1 543212110 i i tt ， 7174 65 110 b ， 53765 6147a ，所以模型：65147yt； 当1224t 时，(2) 113 (1224) 18 132 t ， 24 2 222222 (2) 12 6543212182 i i tt ， 10009 55 182 c ， 468 ( 55) 181458d ，所以模型：55
22、1458yt； （2）由图可观察出除湖北外由于我国的隔离防护等一系列措施的实施，从 2 月 3 日以后新冠状病毒新增确 诊病例出现了拐点，逐渐减少，呈下降的趋势，效果显著；假如不采取措施，任由其发展，按模型的规 律发展下去，在 2 月 16 日，即24t 时，新增确诊病例预测为65 24 1471707y ，是采取措施后的 十几倍，所以任何国家和政府都应把人民生命财产安全放在首位. 20. 解： （1）定义域为0,， 1 ln1fxxa x ， 22 111 x fx xxx ， 令 001fx， 01fxx， 01fxx， yfx在0,1上单调递减，在1,上单调递增； （2）由（1）可知 y
23、fx在0,1上单调递减，2a， 120fa， 1 01 a e ， 1 21 a a fea e ，设 21 a g aea，2a， 20 a g ae， 20g ag， 1 0 a f e ， 0 1 ,1 a x e ， 使得 0 0fx， 0 1 , a xx e 时， 0 0fx， 0,1 xx时， 0 0fx， 所以 0 x为函数 yf x的极大值点. 0 0fx，即 0 0 1 ln10xa x ， 0000 1 ln1f xxxaxa，将代入整理得： 000 0 1 2ln1f xxx x ，设 000 0 1 2ln1h xxx x ，则 2 0 0 2 0 1 0 x hx
24、x ， 0 h x在 0,1上单调递减， 0 (1)1h xh，所以当2a时， 0 1f x恒成立. 21. 解： （1）由题意知，当P在y轴时， 2 APF面积最大，所以 13 ()1 22 ac b ，又 3 2 c e a ， 联立，得2a，1b，3c ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设 00 ,P x y，其中 0 0y ，则 0 0 2 AP y k x ， 0 0 2 BP y k x ， 所以直线AP的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ， 令0x，得 0 0 2 2 y y x ，即 0 0 2 0, 2 y M x ， 又/ANBP，所以直线AN
25、的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ， 令0x，得 0 0 2 2 y y x ，即 0 0 2 0, 2 y N x ， 所以，以MN为直径的圆的方程为： 2 00 00 22 0 22 yy xyy xx ， 又 2 222 00000 22 0000 2244 0 2244 yyx yy xyyxyy xxxx ， 且 00 ,P x y在椭圆上，所以 2 2 0 0 1 4 x y，代入方程整理得圆的方程为 22 0 0 10 x xyy y ，令0y ，则1x， 所以存在点1,0Q ，使得以MN为直径的圆恒过点Q. （二）选考题：共 10 分.请考生在（22） 、 （23）题
26、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 解： （1） 22 22cos (2)4 2sin xy x y ，令cosx，siny，化简得4cos； （2） 曲线C的圆心极坐标为2,0， 所以旋转 3 后得到曲线D的圆心极坐标为2, 3 ， 直角坐标为 1, 3， 所以圆D： 2 2 134xy.-得3xy，代入解得3x ，3y ，即 3, 3A，在 中，令0x，得 2 2 30yy，0y 或2 3y ，即 0,2 3B，所以 1 2 3 33 3 2 OAB S . 23. 解： （1）当2a时，2222xx，当1x时，22 22xx ，解得 2 3 x ， 2 1 3 x； 当12x时，2222xx ， 解得2x， 12x； 当2x时，2222xx ， 解得2x， 无解，综上所述： 2 ,2 3 x . （2）若使 2f xa有解，即 min3f xa ， 2 22 aa f xxaxaxaxx 2222 aaaa xaxxx，当且仅当0 2 a xax 时取得“” ，又0 2 a x，当且 仅当 2 a x 时取得“” ，所以 2 a fx ，所以3 2 a a，即2a ，解得2,2a .
