1、江苏省如皋中学、如东中学江苏省如皋中学、如东中学 2020 届高三年级第二学期阶段联合届高三年级第二学期阶段联合 调研数学试题调研数学试题 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写分不需写出解答过程，请把答案写 在答题纸的指定位置上）在答题纸的指定位置上） 1已知集合 Ax|0x2，集合 Bx|x1，则 AB 2已知 i 为虚数单位，若复数 z（aR）为纯虚数，则 a 3已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 4运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 5劳动最光荣某班在一次劳动教育实
2、践活动中，准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名 学生去擦教室玻璃，则恰好选中 2 名男生的概率为 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线1 的两条渐近线与直线 x围成正 三角形，则双曲线的离心率为 7若函数，则 f（log23） 8若函数满足 f（）0，f（）2，且| |的最小值等于，则 的值为 9在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 P 是棱 CC1上一点，记三棱柱 ABCA1B1C1与四棱锥 P ABB1A1的体积分别为 V1与 V2，则 10已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S42S3+1，2a42a3+3a2+2，则 a1 11已知向量 （a，1） ， （2b2，
3、3） （a0，b0） ，若 ，则最小值 为 12在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x1）2+（y1）29，直线 l：ykx+3 与圆 C 相交于 A，B 两点，M 为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心，2 为半径的圆与圆 C 总 有公共点，则实数 k 的取值范围为 13已知 a，bR，e 为自然对数的底数，若存在 b3e，e2，使得函数 f（x）exax b 在1，3上存在零点，则 a 的取值范围为 14 已知不等式 a （4x+4 x） +2b （2x+2x） 3 对任意 xR 恒成立， 则 a+b 的最大值为 二、二、解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 9
4、0 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15如图，在ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 所对的边，CDAB 于 D，且 （1）求证：sinC2sin（AB） ； （2）若，求 tanC 的值 16如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，A1AAC，D，E，F 分别为线段 AC，A1A， C1B 的中点 （1）证明：EF平面 ABC； （2）证明：C1E平面 BDE 17如图，摩天轮的半径 OA 为 50m，它的最低点 A 距地面的高度忽略不计地面上有一长 度为 2
5、40m 的景观带 MN， 它与摩天轮在同一竖直平面内， 且 AM60m 点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转动到最高点 B 处，记AOP，（0，） （1）当 时，求点 P 距地面的高度 PQ； （2）试确定 的值，使得MPN 取得最大值 18平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且点 （，）在椭圆 C 上椭圆 C 的左顶点为 A （1）求椭圆 C 的方程； （2） 过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于 P， Q 两点， 求三角形 APQ 的面积； （3）过点 A 作直线 l 与椭圆 C 交于另一点 B，若直线 l 交 y 轴于点 C，且 OCBC，求 直线 l
6、 的斜率 19已知函数 f（x）lnx （1）求函数 g（x）f（x）x+1 的零点；来源:学科网 （2）设函数 f（x）的图象与函数的图象交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点， 求证：ax1x2x1； （3）若 k0，且不等式（x21）f（x）k（x1）2对一切正实数 x 恒成立，求 k 的取 值范围 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，记 bn （1）若an是首项为 a、公差为 d 的等差数列，其中 a，d 均为正数 当 3b1，2b2，b3成等差数列时，求的值； 求证：存在唯一的正整数 n，使得 an+1bnan+2 （2）设数列an是公比为 q（q2）的等比数列，若存在
7、r，t（r，tN*，rt）使得 ，求 q 的值 【选做题】在【选做题】在 21、22、23 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸分请在答卷纸 指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21已知矩阵 A，B，若矩阵 AB 对应的变换把直线 l：x+y20 变为直 线 l，求直线 l的方程 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点
8、 M 的极坐标为（，） ，圆 C 的极坐标方程为 +2sin（+）0过点 M 的直 线 l 被圆 C 截得的弦长为，求直线 l 的直角坐标方程 【必做题】第【必做题】第 23 题、第题、第 24 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解分请在答卷卡指定区域内作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 A（1，a） （a 0）是抛物线 C 上一点，且 AF2 （1）求 p 的值； （2）若 M，N 为抛物线 C 上异于 A 的两点，且 AMA
9、N记点 M，N 到直线 y2 的 距离分别为 d1，d2，求 d1d2的值 24 设nN*且n4， 集合M1， 2， 3， ， n的所有3个元素的子集记为 （1）当 n4 时，求集合中所有元素之和 S； （2）记 mi为 Ai中最小元素与最大元素之和，求的值 答案解析答案解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写分不需写出解答过程，请把答案写 在答题纸的指定位置上）在答题纸的指定位置上） 1已知集合 Ax|0x2，集合 Bx|x1，则 AB x|x0 利用并集定义直接求解 集合 Ax|0x2，集合 Bx
10、|x1， ABx|x0 故答案为：x|x0 本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题来源:Z。xx。k.Com 2已知 i 为虚数单位，若复数 z（aR）为纯虚数，则 a 2 先将 z 化简成复数的代数形式，然后令实部为 0，虚部有意义，解出方程即可 因为 z 为纯虚数，所以 a+20，得 a2 故答案为：2 本题考查复数的代数运算和复数的概念， 要注意复数问题分母实数化解题思路的应用 属 于基础题 3已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 来源:Zxxk.Com 先求出一组数据 6，7，8，8，9，10 的平均数，由此能求出该组数据的方差 一
11、组数据 6，7，8，8，9，10 的平均数为： （6+7+8+8+9+10）8， 该组数据的方差为： S2（68）2+（78）2+（88）2+（88）2+（98）2+（108）2 故答案为： 本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 4运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 6 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 S，I 的值，当 S15 时，不满足条件跳出循 环，输出 I 的值为 6 模拟程序的运行，可得 S0，I0 满足条件 S10，执行循环体，S0，I1 满足条件 S10，执行循环体，S1，I2 满足条件 S10，执行循环体，S3，I
12、3 满足条件 S10，执行循环体，S6，I4 满足条件 S10，执行循环体，S10，I5来源:Z|xx|k.Com 满足条件 S10，执行循环体，S15，I6 不满足条件 S10，退出循环，输出 I 的值为 6 故答案为：6 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 S，I 的值是 解题的关键，属于基础题 5劳动最光荣某班在一次劳动教育实践活动中，准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名 学生去擦教室玻璃，则恰好选中 2 名男生的概率为 称求出基本事件总数 n10，恰好选中 2 名男生包含的基本事件个数 m3， 由此能求出恰好选中 2 名男生的概率 某班在一次劳
13、动教育实践活动中，准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去擦教室 玻璃， 基本事件总数 n10， 恰好选中 2 名男生包含的基本事件个数 m3， 恰好选中 2 名男生的概率 p 故答案为： 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线1 的两条渐近线与直线 x围成正 三角形，则双曲线的离心率为 求出双曲线的渐近线方程， 利用两条渐近线与直线围成正三角形， 求出渐近线的倾 斜角，然后求解离心率即可 双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形， 所以双曲线的渐近线的倾斜角为 30和 150， 所以，所以 b1， 所以双曲线
14、的离心率为：e 故答案为： 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 7若函数，则 f（log23） 根据题意， 由对数的运算性质可得 1log232， 结合函数的解析式可得 f （log23） f （log23 2）f（log2） ，又由 log20，由解析式求出 f（log2）的值，分析可得答案 根据题意，1log232， 则 f（log23）f（log232）f（log2） ， 又由 log20，则 f（log2）； 则有 f（log23）， 故答案为： 本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题 8若函数满足 f（）0，f（）2，且| |的最小值等于，则 的
15、值为 1 本题先将三角函数进行恒等变换，然后根据正弦函数图象可得出 、 的大致取值情况， 即可得到 的值 由题意，f（x）sinx+cosx2sin（x+） 根据正弦函数图象及题意，可设 +0，+，则此时|的最小值等于 ， ，T2， 1 可得 1 故答案为：1 本题主要考查三角函数进行恒等变换及正弦函数图象本题属基础题 9在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 P 是棱 CC1上一点，记三棱柱 ABCA1B1C1与四棱锥 P ABB1A1的体积分别为 V1与 V2，则 设ABa， ABC的高为b， 三棱柱ABCA1B1C1的高为h， 则， 由此能求出的值 在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 P 是
16、棱 CC1上一点， 记三棱柱 ABCA1B1C1与四棱锥 PABB1A1的体积分别为 V1与 V2， 设 ABa，ABC 的高为 b，三棱柱 ABCA1B1C1的高为 h， 则， 故答案为： 本题考查三棱柱和四棱锥的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 10已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S42S3+1，2a42a3+3a2+2，则 a1 1 先判断 q1，再利用条件求出首相和公比，从而得出结论 等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S42S3+1，2a42a3+3a2+2， 设等比数列的公比为 q，显然，q1 S4S3
17、S3+1，a4a3+a2+a1+1，即 2a42a3+2a2+2a1+2 又 2a42a3+3a2+2 ， 由可得q2 再把 q2 代入可得，a11， 故答案为：1 本题主要考查等比数列的定义、性质，属于基础题 11已知向量 （a，1） ， （2b2，3） （a0，b0） ，若 ，则最小值 为 2+ 根据平面向量的共线定理得出 a 与 b 的关系式， 再利用基本不等式求出+的最小值 向量 （a，1） ， （2b2，3） ， 当 时，3a+（2b2）0， 所以 3a+2（b+1）4， 所以（+）3a+2（b+1） 6+2+ 8+2 2+， 当且仅当，即 b+1a 时等号成立； 所以+的最小值为
18、2+ 故答案为：2+ 本题考查了平面向量的共线定理和基本不等式的应用问题，是基础题 12在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x1）2+（y1）29，直线 l：ykx+3 与圆 C 相交于 A，B 两点，M 为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心，2 为半径的圆与圆 C 总 有公共点，则实数 k 的取值范围为 ，+） M 为圆心，2 为半径的圆与圆 C 总有公共点，只要求点 M 在弦的中点上满足，其它的点 都满足，即圆心 C 到直线的距离+23，从而可得实数 k 的取值范围 以 M 为圆心，2 为半径的圆与圆 C 总有公共点，只要求点 M 在弦的中点上满足，其它的 点都满足， 即圆心
19、C 到直线的距离 d+23， 所以+23， 所以 k 故答案为：，+） 本题考查实数 k 的取值范围，考查直线与圆，圆与圆的位置关系，比较基础 13已知 a，bR，e 为自然对数的底数，若存在 b3e，e2，使得函数 f（x）exax b 在1，3上存在零点，则 a 的取值范围为 e2，4e 令 g（x）exax，求出 g（x）在1，3上的最小值，令 gmin（x）e2即可 令 f（x）0 可得 bexax， 令 g（x）exax，x1，3，则 bg（x）在1，3上有解， （1）当 a0 时，g（x）为增函数， g（x）g（1）ea0， 又 b3e，e2，bg（x）在1，3上无解，不符合题意；
20、 （2）当 a0 时，g（x）exa，令 g（x）0 可得 xlna， g（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增， 若 lna1，即 0ae，则 g（x）在1，3上单调递增， eag（x）e33a， eae2，解得 ae2+e，舍去 若 lna3，即 ae3，则 g（x）在1，3上单调递减， e33ag（x）ea， e33ae2，解得 a， ae3 若 1lna3，即 eae3，则 g（x）在（1，lna）上单调递减，在（lna，3）上单调 递增， f（1）eab0 或 f（3）e33ab0，解得 a4e； g（x）的最小值为 g（lna）aalna， aalnae2 令
21、h（a）aalna（eae3） ，则 h（a）lna0， h（a）在（e，e3）上单调递减，又 h（e2）e22e2e2 不等式 aalnae2h（a）h（e2）e2ae3 综上，ae2 故答案为：e2，4e 本题考查了函数单调性的判断与函数零点的关系，函数极值的计算，属于中档题 14已知不等式 a（4x+4 x）+2b（2x+2x）3 对任意 xR 恒成立，则 a+b 的最大值为 令 t2x+2 x2，+） ，利用系数比例关系令 t222t，可得 ，再验证当 时满足题意，即可得出答案 令 t2x+2 x2，+） ， at2+2bt2a3，即 a（t22）+2bt3， 令 t222t，解得，
22、， ， 取 对 称 轴， 则， 解 得， 此 时 满足题意 故，且能取等号 故答案为： 本题考查不等式的恒成立问题，运用先证必要条件，再验证充分性成立的方法是解决本 题的关键，属于中档题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15如图，在ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 所对的边，CDAB 于 D，且 （1）求证：sinC2sin（AB） ； （2）若，求 tanC 的值 （1）根据条件先求出
23、BD，AD 的大小，结合两角和差的三角公式进行证明即可 （2）求出 tanA 的值，结合两角和差的正切公式进行计算 （1）且 BD+ADc， BDc，ADc， ，CDAB 在直角三角形 ACD 中，tanA， 在直角三角形 BCD 中，tanB， 则3， 即 tanA3tanB， 则， 即 sinAcosB3cosAsinB， 则 sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinBsinAcosB+cosAsinB+sinAcosB3cosAsinB 2sinAcosB2cosAsinB2sin（AB） ， （2），sinA， 则 tanA，tanB， 则 tanCtan（A+B） 本
24、题主要考查三角函数的化简和证明，结合两角和差的三角公式进行转化求解是解决本 题的关键 16如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，A1AAC，D，E，F 分别为线段 AC，A1A， C1B 的中点来源:学科网 ZXXK （1）证明：EF平面 ABC； （2）证明：C1E平面 BDE （1） 取 BC 的中点 G， 连接 AG， FG， 利用三角形的中位线定理即可得出 FGC 利 用三棱柱的性质可得 FGEA，再利用平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定 定理即可得出； （2）利用面面垂直的性质即可得出 BD侧面 ACC1A1 利用相似三角形的判定和性质即 可得出AED+A1EC190，再利
25、用线面垂直的性质定理即可证明 证明： （1）如图所示，取 BC 的中点 G，连接 AG，FG 又F 为 C1B 的中点，FGC 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，A1AC，E 为 A1A 的中点， FGEA， 四边形 AEFG 是平行四边形 EFAG EF平面 ABC，AG平面 ABC， EF平面 ABC （2）点 D 是正ABC 的 AC 边的中点，BDAC， 由正三棱柱 ABCA1B1C1中，可得侧面 ACC1A1平面 ABC，BD侧面 ACC1A1 BDC1E ， RtA1C1ERtAED， A1EC1ADE AED+A1EC190， C1EED EDDBD C1E平面 BDE 熟练掌握
26、三角形的中位线定理、直三棱柱的性质可得、平行四边形的判定和性 质定理、线面平行与垂直的判定定理、面面垂直的性质、相似三角形的判定和性质是解 题的关键 17如图，摩天轮的半径 OA 为 50m，它的最低点 A 距地面的高度忽略不计地面上有一长 度为 240m 的景观带 MN， 它与摩天轮在同一竖直平面内， 且 AM60m 点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转动到最高点 B 处，记AOP，（0，） （1）当 时，求点 P 距地面的高度 PQ； （2）试确定 的值，使得MPN 取得最大值 （1）将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即 可； （2）借助于角 ，把MP
27、N 表示出来，然后利用导数研究该函数的最值 （1）由题意得 PQ5050cos， 从而当时，PQ5050cos75 即点 P 距地面的高度为 75 米 （2）由题意得，AQ50sin，从而 MQ6050sin，NQ30050sin 又 PQ5050cos，所以 tan，tan 从而 tanMPNtan（NPQMPQ） 令 g（）（0，） 则，（0，） 由 g（）0，得 sin+cos10，解得 当时，g（）0，g（）为增函数；当 x时，g（） 0，g（）为减函数 所以当 时，g（）有极大值，也是最大值 因为所以 从而当 g（）tanMNP 取得最大值时，MPN 取得最大值 即当时，MPN 取得
28、最大值 本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步 求其极值、最值 18平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且点 （，）在椭圆 C 上椭圆 C 的左顶点为 A （1）求椭圆 C 的方程； （2） 过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于 P， Q 两点， 求三角形 APQ 的面积； （3）过点 A 作直线 l 与椭圆 C 交于另一点 B，若直线 l 交 y 轴于点 C，且 OCBC，求 直线 l 的斜率 （1）由题意的离心率及过的点和 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）由（1）得写出直线 PQ 的方程，联立椭圆得两根之
29、和及两根之积，由弦长公式求 出弦长即点到直线的距离，进而求出面积； （3）设过 A 的直线与椭圆联立求出 B 的坐标，及 C 的坐标，由 OCBC 求出斜率 （1）由题意：e，1，a2b2+c2得：a24，b21， 所以椭圆 C 的标准方程为：1； （2）设直线 PQ 的方程 y（x）设 P（x，y） ，Q（x，y） ，联立与椭圆的方程 整理得 3x24x+20： 所以 x+x，xx，则 PQ|xx|2， 又点 A 到直线 PQ 的距离为 d， 所以三角形 APQ 的面积为： （3） 由题意知直线 l 的斜率存在， 设为 k， l 过点 A （2， 0） ， 则 l 的方程为： yk （x+2
30、） ， 联立与椭圆的方程整理得（1+4k2）x2+16k2x+16k240， 令 B（xB，yB） ，C（0，yC） ，由2xB，即 xB， 将 x0 代入 tk（x+2）中，得 yC2k，所以 OC|2k|， |BC|xB0|， 由|OC|BC|得|2k|，解得 k2， 所以直线的斜率为 考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题 19已知函数 f（x）lnx （1）求函数 g（x）f（x）x+1 的零点； （2）设函数 f（x）的图象与函数的图象交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点， 求证：ax1x2x1； （3）若 k0，且不等式（x21）f（x）k（x1）2对一切正实数 x 恒成立
31、，求 k 的取 值范围 （1）令 g（x）lnxx+1，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解； （2）转化思想，要证 ax1 x2x1，即证 x1 x2 （1）x1 x2x1，即证 ln （）1，构造函数进而求证； （3）不等式（x21）lnxk（x） 2 对一切正实数 x 恒成立，（x21）lnxk（x1） 2（x21） ，设 h（x）lnx，分类讨论进而求解 （1）令 g（x）lnxx+1，所以 g（x）1， 当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递增； 当 x（1，+）时，g（x）0，g（x）在（1，+）单调递减； 所以 g（x）ming（1）0，所以
32、g（x）的零点为 x1 （2）由题意，ax1 x2 （1） ， 要证 ax1 x2x1， 即证 x1 x2（1） x1 x2x1， 即证 ln （） 1， 令 t1，则 lnt1，由（1）知 lnxx1，当且仅当 x1 时等号成立，所以 ln ， 即 lnt1，所以原不等式成立 （3）不等式（x21）lnxk（x）2 对一切正实数 x 恒成立， （x21）lnxk（x1）2（x21）， 设 h（x）lnx，h（x）， 记 （x）x2+2（1k）+1，4（1k）244k（k2） ， 当0 时，即 0k2 时，h（x）0 恒成立，故 h（x）单调递增 于是当 0x1 时，h（x）h（1）0，又 x
33、210，故（x21）lnxk（x1）2， 当 x1 时，h（x）h（1）0，又 x210，故（x21）lnxk（x1）2， 又当 x1 时， （x21）lnk（x1）2， 因此，当 0k2 时， （x21）lnxk（x1）2， 当0， 即 k2 时， 设 x2+2 （1k） x+10 的两个不等实根分别为 x3， x4（x3x4） ， 又 （1）42k0，于是 x31k1x4， 故当 x（1，k1）时，h（x）0，从而 h（x）在（1，k1）单调递减； 当 x（1，k1）时，h（x）h（1）0，此时 x210，于是（x21）h（x）0， 即（x21）lnxk（x1）2 舍去， 综上，k 的取值
34、范围是 0k2 （1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点； （2）考查转化思想，构造函数求极值； （3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导； 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，记 bn （1）若an是首项为 a、公差为 d 的等差数列，其中 a，d 均为正数 当 3b1，2b2，b3成等差数列时，求的值； 求证：存在唯一的正整数 n，使得 an+1bnan+2 （2）设数列an是公比为 q（q2）的等比数列，若存在 r，t（r，tN*，rt）使得 ，求 q 的值 （1）根据等差数列和等差数列的前 n 项和公式，以及等差数列的性质，即可求出， 若 an+1bnan+2，
35、得到，解得即可， （2）由已知条件可得，构造 f（n），n2，nN*，利用 定义证明其单调性，再分别赋值验证即可 （1）3b1，2b2，b3成等差数列， 4b23b1+b3， 即 42（2a+d）+， da， ， 由 an+1bnan+2， 得 a+nd（n+1）a+n（n+1）da+（n+1）d， 整理得， 解得n， 由于1 且得0， 因此存在唯一的正整数 n，使得 an+1bnan+2 （2）， ， 设 f（n），n2，nN*， 则 f （n+1） f （n） ， q2，n2， （q1）n2+2（q2）n3n2310， f（n+1）f（n）0， 即 f（n+1）f（n） ， f（n）为单调
36、递增， 当 r2 时，tr2， 则 f（t）f（r） ，即，这与互相矛盾， r1 时，即， 若 t3，则 f（t）f（3），即，这 与互相矛盾， 于是 t2， ， 即 3q25q50， q2， q 此题主要考查等差的性质的应用，题目较为复杂，需要一步一步的分析求解，计算量要 求较高，属于难题 【选做题】在【选做题】在 21、22、23 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸分请在答卷纸 指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换
37、21已知矩阵 A，B，若矩阵 AB 对应的变换把直线 l：x+y20 变为直 线 l，求直线 l的方程 先计算矩阵 AB 对应的变换，再求出在变换下点的坐标之间的对应关系，从而可求直线 l 的方程 ， ， 在直线 l 上任取一点 P（x，y） ，经矩阵 AB 变换为点 Q（x，y） ，则 ， ， 即 代入 x+y20 中得， 直线 l的方程为 4x+y80 本题重点考查矩阵变换，考查矩阵变换的运用，解题的关键是求出矩阵 AB 对应的变换 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的极坐标为
38、（，） ，圆 C 的极坐标方程为 +2sin（+）0过点 M 的直 线 l 被圆 C 截得的弦长为，求直线 l 的直角坐标方程 由已知求出 M 的直角坐标，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C的直角坐标方 程，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求直线的斜率，则直线方程可求 点 M 的极坐标为，点 M 的直角坐标为（1，1） ， 圆 C 的极坐标方程为， 即 +2sin+2cos0， 2+2sin+2cos0 将 xcos，ysin，2x2+y2代入上式， 可得圆 C 的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）22， 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 与圆 C 没有交点； 当直线
39、l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y1k（x1） ， 即 kxyk+10 则圆心 C（1，1）到直线 l 的距离为， 直线 l 被圆 C 截得的弦长为， ，即， 解得或 k2， 直线 l 的方程为 x2y+10 或 2xy10 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与圆位置 关系的应用，是中档题 【必做题】第【必做题】第 23 题、第题、第 24 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解分请在答卷卡指定区域内作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23在平面直角坐标系 xOy 中，
40、抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 A（1，a） （a 0）是抛物线 C 上一点，且 AF2 （1）求 p 的值； （2）若 M，N 为抛物线 C 上异于 A 的两点，且 AMAN记点 M，N 到直线 y2 的 距离分别为 d1，d2，求 d1d2的值 （1）根据题意，由抛物线的定义可得+12，解可得 p 的值，将 p 的值代入抛物线方 程即可得答案； （2）由（1）的结论，分析可得 a 的值，设直线 AM 方程为 x1m （y2） （m0） ， M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，联立直线与抛物线的方程，分析可得 y14m2 且 y2 2，又由 d1d2|（y1+2） （y2
41、+2）|，计算即可得答案 （1）因为点 A（1，a） （a0）是抛物线 C 上一点，且 AF2， 所以+12，所以 p2， （2）由（1）得抛物线方程为 y24x 因为点 A（1，a） （a0）是抛物线 C 上一点，所以 a2 设直线 AM 方程为 x1m （y2） （m0） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） 由消去 x，得 y24m y+8m40， 即（y2） （ y4m+2）0，所以 y14m2 因为 AMAN，所以代 m，得 y22， 所以 d1d2|（y1+2） （y2+2）|4m（）|16 本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线与抛物线的方程之后，根与系数的关 系的应用
42、24 设nN*且n4， 集合M1， 2， 3， ， n的所有3个元素的子集记为 （1）当 n4 时，求集合中所有元素之和 S； （2）记 mi为 Ai中最小元素与最大元素之和，求的值 （1）直接利用组合数和子集的关系式的应用求出结果 （2）直接利用组合数和子集的关系式的应用求出结果 （1）因为含元素 1 的子集有个， 同理含 2，3，4 的子集也各有个， 于是所求元素之和为； （2）集合 M1，2，3，n的所有 3 个元素的子集中： 以 1 为最小元素的子集有个， 以 n 为最大元素的子集有个； 以 2 为最小元素的子集有个， 以 n1 为最大元素的子集有个； 以 n2 为最小元素的子集有个， 以 3 为最大元素的子集有个 ， ， ， ， ， 本题考查的知识要点：组合数的原应用，集合的子集的应用，主要考查学生的运算能力 和转化能力，属于基础题型
