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江苏省南通市如皋市二校联考2020届高三第二学期阶段联合调研数学试题含附加题(有答案解析)

1、江苏省如皋中学、如东中学江苏省如皋中学、如东中学 2020 届高三年级第二学期阶段联合届高三年级第二学期阶段联合 调研数学试题调研数学试题 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,计分,计 70 分不需写出解答过程,请把答案写分不需写出解答过程,请把答案写 在答题纸的指定位置上)在答题纸的指定位置上) 1已知集合 Ax|0x2,集合 Bx|x1,则 AB 2已知 i 为虚数单位,若复数 z(aR)为纯虚数,则 a 3已知一组数据 6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 4运行如图所示的伪代码,则输出的 I 的值为 5劳动最光荣某班在一次劳动教育实

2、践活动中,准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名 学生去擦教室玻璃,则恰好选中 2 名男生的概率为 6在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线1 的两条渐近线与直线 x围成正 三角形,则双曲线的离心率为 7若函数,则 f(log23) 8若函数满足 f()0,f()2,且| |的最小值等于,则 的值为 9在三棱柱 ABCA1B1C1中,点 P 是棱 CC1上一点,记三棱柱 ABCA1B1C1与四棱锥 P ABB1A1的体积分别为 V1与 V2,则 10已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 S42S3+1,2a42a3+3a2+2,则 a1 11已知向量 (a,1) , (2b2,

3、3) (a0,b0) ,若 ,则最小值 为 12在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x1)2+(y1)29,直线 l:ykx+3 与圆 C 相交于 A,B 两点,M 为弦 AB 上一动点,以 M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总 有公共点,则实数 k 的取值范围为 13已知 a,bR,e 为自然对数的底数,若存在 b3e,e2,使得函数 f(x)exax b 在1,3上存在零点,则 a 的取值范围为 14 已知不等式 a (4x+4 x) +2b (2x+2x) 3 对任意 xR 恒成立, 则 a+b 的最大值为 二、二、解答题(本大题共解答题(本大题共 6 小题,计小题,计 9

4、0 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15如图,在ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 所对的边,CDAB 于 D,且 (1)求证:sinC2sin(AB) ; (2)若,求 tanC 的值 16如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1中,A1AAC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A, C1B 的中点 (1)证明:EF平面 ABC; (2)证明:C1E平面 BDE 17如图,摩天轮的半径 OA 为 50m,它的最低点 A 距地面的高度忽略不计地面上有一长 度为 2

5、40m 的景观带 MN, 它与摩天轮在同一竖直平面内, 且 AM60m 点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转动到最高点 B 处,记AOP,(0,) (1)当 时,求点 P 距地面的高度 PQ; (2)试确定 的值,使得MPN 取得最大值 18平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:+1(ab0)的离心率为,且点 (,)在椭圆 C 上椭圆 C 的左顶点为 A (1)求椭圆 C 的方程; (2) 过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于 P, Q 两点, 求三角形 APQ 的面积; (3)过点 A 作直线 l 与椭圆 C 交于另一点 B,若直线 l 交 y 轴于点 C,且 OCBC,求 直线 l

6、 的斜率 19已知函数 f(x)lnx (1)求函数 g(x)f(x)x+1 的零点;来源:学科网 (2)设函数 f(x)的图象与函数的图象交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点, 求证:ax1x2x1; (3)若 k0,且不等式(x21)f(x)k(x1)2对一切正实数 x 恒成立,求 k 的取 值范围 20已知数列an的前 n 项和为 Sn,记 bn (1)若an是首项为 a、公差为 d 的等差数列,其中 a,d 均为正数 当 3b1,2b2,b3成等差数列时,求的值; 求证:存在唯一的正整数 n,使得 an+1bnan+2 (2)设数列an是公比为 q(q2)的等比数列,若存在

7、r,t(r,tN*,rt)使得 ,求 q 的值 【选做题】在【选做题】在 21、22、23 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题,每小题题,每小题 10 分,共计分,共计 20 分请在答卷纸分请在答卷纸 指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2:矩阵与变换:矩阵与变换 21已知矩阵 A,B,若矩阵 AB 对应的变换把直线 l:x+y20 变为直 线 l,求直线 l的方程 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点

8、 M 的极坐标为(,) ,圆 C 的极坐标方程为 +2sin(+)0过点 M 的直 线 l 被圆 C 截得的弦长为,求直线 l 的直角坐标方程 【必做题】第【必做题】第 23 题、第题、第 24 题,每题题,每题 10 分,共计分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解分请在答卷卡指定区域内作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,点 A(1,a) (a 0)是抛物线 C 上一点,且 AF2 (1)求 p 的值; (2)若 M,N 为抛物线 C 上异于 A 的两点,且 AMA

9、N记点 M,N 到直线 y2 的 距离分别为 d1,d2,求 d1d2的值 24 设nN*且n4, 集合M1, 2, 3, , n的所有3个元素的子集记为 (1)当 n4 时,求集合中所有元素之和 S; (2)记 mi为 Ai中最小元素与最大元素之和,求的值 答案解析答案解析 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,计分,计 70 分不需写出解答过程,请把答案写分不需写出解答过程,请把答案写 在答题纸的指定位置上)在答题纸的指定位置上) 1已知集合 Ax|0x2,集合 Bx|x1,则 AB x|x0 利用并集定义直接求解 集合 Ax|0x2,集合 Bx

10、|x1, ABx|x0 故答案为:x|x0 本题考查并集的求法,考查并集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题来源:Z。xx。k.Com 2已知 i 为虚数单位,若复数 z(aR)为纯虚数,则 a 2 先将 z 化简成复数的代数形式,然后令实部为 0,虚部有意义,解出方程即可 因为 z 为纯虚数,所以 a+20,得 a2 故答案为:2 本题考查复数的代数运算和复数的概念, 要注意复数问题分母实数化解题思路的应用 属 于基础题 3已知一组数据 6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 来源:Zxxk.Com 先求出一组数据 6,7,8,8,9,10 的平均数,由此能求出该组数据的方差 一

11、组数据 6,7,8,8,9,10 的平均数为: (6+7+8+8+9+10)8, 该组数据的方差为: S2(68)2+(78)2+(88)2+(88)2+(98)2+(108)2 故答案为: 本题考查一组数据的方差的求法,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 4运行如图所示的伪代码,则输出的 I 的值为 6 模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 S,I 的值,当 S15 时,不满足条件跳出循 环,输出 I 的值为 6 模拟程序的运行,可得 S0,I0 满足条件 S10,执行循环体,S0,I1 满足条件 S10,执行循环体,S1,I2 满足条件 S10,执行循环体,S3,I

12、3 满足条件 S10,执行循环体,S6,I4 满足条件 S10,执行循环体,S10,I5来源:Z|xx|k.Com 满足条件 S10,执行循环体,S15,I6 不满足条件 S10,退出循环,输出 I 的值为 6 故答案为:6 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的 S,I 的值是 解题的关键,属于基础题 5劳动最光荣某班在一次劳动教育实践活动中,准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名 学生去擦教室玻璃,则恰好选中 2 名男生的概率为 称求出基本事件总数 n10,恰好选中 2 名男生包含的基本事件个数 m3, 由此能求出恰好选中 2 名男生的概率 某班在一次劳

13、动教育实践活动中,准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去擦教室 玻璃, 基本事件总数 n10, 恰好选中 2 名男生包含的基本事件个数 m3, 恰好选中 2 名男生的概率 p 故答案为: 本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 6在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线1 的两条渐近线与直线 x围成正 三角形,则双曲线的离心率为 求出双曲线的渐近线方程, 利用两条渐近线与直线围成正三角形, 求出渐近线的倾 斜角,然后求解离心率即可 双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形, 所以双曲线的渐近线的倾斜角为 30和 150, 所以,所以 b1, 所以双曲线

14、的离心率为:e 故答案为: 本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查,基础题 7若函数,则 f(log23) 根据题意, 由对数的运算性质可得 1log232, 结合函数的解析式可得 f (log23) f (log23 2)f(log2) ,又由 log20,由解析式求出 f(log2)的值,分析可得答案 根据题意,1log232, 则 f(log23)f(log232)f(log2) , 又由 log20,则 f(log2); 则有 f(log23), 故答案为: 本题考查函数值的计算,涉及分段函数的解析式,属于基础题 8若函数满足 f()0,f()2,且| |的最小值等于,则 的

15、值为 1 本题先将三角函数进行恒等变换,然后根据正弦函数图象可得出 、 的大致取值情况, 即可得到 的值 由题意,f(x)sinx+cosx2sin(x+) 根据正弦函数图象及题意,可设 +0,+,则此时|的最小值等于 , ,T2, 1 可得 1 故答案为:1 本题主要考查三角函数进行恒等变换及正弦函数图象本题属基础题 9在三棱柱 ABCA1B1C1中,点 P 是棱 CC1上一点,记三棱柱 ABCA1B1C1与四棱锥 P ABB1A1的体积分别为 V1与 V2,则 设ABa, ABC的高为b, 三棱柱ABCA1B1C1的高为h, 则, 由此能求出的值 在三棱柱 ABCA1B1C1中,点 P 是

16、棱 CC1上一点, 记三棱柱 ABCA1B1C1与四棱锥 PABB1A1的体积分别为 V1与 V2, 设 ABa,ABC 的高为 b,三棱柱 ABCA1B1C1的高为 h, 则, 故答案为: 本题考查三棱柱和四棱锥的体积的比值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 10已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 S42S3+1,2a42a3+3a2+2,则 a1 1 先判断 q1,再利用条件求出首相和公比,从而得出结论 等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 S42S3+1,2a42a3+3a2+2, 设等比数列的公比为 q,显然,q1 S4S3

17、S3+1,a4a3+a2+a1+1,即 2a42a3+2a2+2a1+2 又 2a42a3+3a2+2 , 由可得q2 再把 q2 代入可得,a11, 故答案为:1 本题主要考查等比数列的定义、性质,属于基础题 11已知向量 (a,1) , (2b2,3) (a0,b0) ,若 ,则最小值 为 2+ 根据平面向量的共线定理得出 a 与 b 的关系式, 再利用基本不等式求出+的最小值 向量 (a,1) , (2b2,3) , 当 时,3a+(2b2)0, 所以 3a+2(b+1)4, 所以(+)3a+2(b+1) 6+2+ 8+2 2+, 当且仅当,即 b+1a 时等号成立; 所以+的最小值为

18、2+ 故答案为:2+ 本题考查了平面向量的共线定理和基本不等式的应用问题,是基础题 12在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x1)2+(y1)29,直线 l:ykx+3 与圆 C 相交于 A,B 两点,M 为弦 AB 上一动点,以 M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总 有公共点,则实数 k 的取值范围为 ,+) M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总有公共点,只要求点 M 在弦的中点上满足,其它的点 都满足,即圆心 C 到直线的距离+23,从而可得实数 k 的取值范围 以 M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总有公共点,只要求点 M 在弦的中点上满足,其它的 点都满足, 即圆心

19、C 到直线的距离 d+23, 所以+23, 所以 k 故答案为:,+) 本题考查实数 k 的取值范围,考查直线与圆,圆与圆的位置关系,比较基础 13已知 a,bR,e 为自然对数的底数,若存在 b3e,e2,使得函数 f(x)exax b 在1,3上存在零点,则 a 的取值范围为 e2,4e 令 g(x)exax,求出 g(x)在1,3上的最小值,令 gmin(x)e2即可 令 f(x)0 可得 bexax, 令 g(x)exax,x1,3,则 bg(x)在1,3上有解, (1)当 a0 时,g(x)为增函数, g(x)g(1)ea0, 又 b3e,e2,bg(x)在1,3上无解,不符合题意;

20、 (2)当 a0 时,g(x)exa,令 g(x)0 可得 xlna, g(x)在(,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增, 若 lna1,即 0ae,则 g(x)在1,3上单调递增, eag(x)e33a, eae2,解得 ae2+e,舍去 若 lna3,即 ae3,则 g(x)在1,3上单调递减, e33ag(x)ea, e33ae2,解得 a, ae3 若 1lna3,即 eae3,则 g(x)在(1,lna)上单调递减,在(lna,3)上单调 递增, f(1)eab0 或 f(3)e33ab0,解得 a4e; g(x)的最小值为 g(lna)aalna, aalnae2 令

21、h(a)aalna(eae3) ,则 h(a)lna0, h(a)在(e,e3)上单调递减,又 h(e2)e22e2e2 不等式 aalnae2h(a)h(e2)e2ae3 综上,ae2 故答案为:e2,4e 本题考查了函数单调性的判断与函数零点的关系,函数极值的计算,属于中档题 14已知不等式 a(4x+4 x)+2b(2x+2x)3 对任意 xR 恒成立,则 a+b 的最大值为 令 t2x+2 x2,+) ,利用系数比例关系令 t222t,可得 ,再验证当 时满足题意,即可得出答案 令 t2x+2 x2,+) , at2+2bt2a3,即 a(t22)+2bt3, 令 t222t,解得,

22、, , 取 对 称 轴, 则, 解 得, 此 时 满足题意 故,且能取等号 故答案为: 本题考查不等式的恒成立问题,运用先证必要条件,再验证充分性成立的方法是解决本 题的关键,属于中档题 二、解答题(本大题共二、解答题(本大题共 6 小题,计小题,计 90 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15如图,在ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 所对的边,CDAB 于 D,且 (1)求证:sinC2sin(AB) ; (2)若,求 tanC 的值 (1)根据条件先求出

23、BD,AD 的大小,结合两角和差的三角公式进行证明即可 (2)求出 tanA 的值,结合两角和差的正切公式进行计算 (1)且 BD+ADc, BDc,ADc, ,CDAB 在直角三角形 ACD 中,tanA, 在直角三角形 BCD 中,tanB, 则3, 即 tanA3tanB, 则, 即 sinAcosB3cosAsinB, 则 sinCsin(A+B)sinAcosB+cosAsinBsinAcosB+cosAsinB+sinAcosB3cosAsinB 2sinAcosB2cosAsinB2sin(AB) , (2),sinA, 则 tanA,tanB, 则 tanCtan(A+B) 本

24、题主要考查三角函数的化简和证明,结合两角和差的三角公式进行转化求解是解决本 题的关键 16如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1中,A1AAC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A, C1B 的中点来源:学科网 ZXXK (1)证明:EF平面 ABC; (2)证明:C1E平面 BDE (1) 取 BC 的中点 G, 连接 AG, FG, 利用三角形的中位线定理即可得出 FGC 利 用三棱柱的性质可得 FGEA,再利用平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定 定理即可得出; (2)利用面面垂直的性质即可得出 BD侧面 ACC1A1 利用相似三角形的判定和性质即 可得出AED+A1EC190,再利

25、用线面垂直的性质定理即可证明 证明: (1)如图所示,取 BC 的中点 G,连接 AG,FG 又F 为 C1B 的中点,FGC 在正三棱柱 ABCA1B1C1中,A1AC,E 为 A1A 的中点, FGEA, 四边形 AEFG 是平行四边形 EFAG EF平面 ABC,AG平面 ABC, EF平面 ABC (2)点 D 是正ABC 的 AC 边的中点,BDAC, 由正三棱柱 ABCA1B1C1中,可得侧面 ACC1A1平面 ABC,BD侧面 ACC1A1 BDC1E , RtA1C1ERtAED, A1EC1ADE AED+A1EC190, C1EED EDDBD C1E平面 BDE 熟练掌握

26、三角形的中位线定理、直三棱柱的性质可得、平行四边形的判定和性 质定理、线面平行与垂直的判定定理、面面垂直的性质、相似三角形的判定和性质是解 题的关键 17如图,摩天轮的半径 OA 为 50m,它的最低点 A 距地面的高度忽略不计地面上有一长 度为 240m 的景观带 MN, 它与摩天轮在同一竖直平面内, 且 AM60m 点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转动到最高点 B 处,记AOP,(0,) (1)当 时,求点 P 距地面的高度 PQ; (2)试确定 的值,使得MPN 取得最大值 (1)将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即 可; (2)借助于角 ,把MP

27、N 表示出来,然后利用导数研究该函数的最值 (1)由题意得 PQ5050cos, 从而当时,PQ5050cos75 即点 P 距地面的高度为 75 米 (2)由题意得,AQ50sin,从而 MQ6050sin,NQ30050sin 又 PQ5050cos,所以 tan,tan 从而 tanMPNtan(NPQMPQ) 令 g()(0,) 则,(0,) 由 g()0,得 sin+cos10,解得 当时,g()0,g()为增函数;当 x时,g() 0,g()为减函数 所以当 时,g()有极大值,也是最大值 因为所以 从而当 g()tanMNP 取得最大值时,MPN 取得最大值 即当时,MPN 取得

28、最大值 本题考查了与三角函数有关的最值问题,主要还是利用导数研究函数的单调性,进一步 求其极值、最值 18平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:+1(ab0)的离心率为,且点 (,)在椭圆 C 上椭圆 C 的左顶点为 A (1)求椭圆 C 的方程; (2) 过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于 P, Q 两点, 求三角形 APQ 的面积; (3)过点 A 作直线 l 与椭圆 C 交于另一点 B,若直线 l 交 y 轴于点 C,且 OCBC,求 直线 l 的斜率 (1)由题意的离心率及过的点和 a,b,c 之间的关系求出椭圆的方程; (2)由(1)得写出直线 PQ 的方程,联立椭圆得两根之

29、和及两根之积,由弦长公式求 出弦长即点到直线的距离,进而求出面积; (3)设过 A 的直线与椭圆联立求出 B 的坐标,及 C 的坐标,由 OCBC 求出斜率 (1)由题意:e,1,a2b2+c2得:a24,b21, 所以椭圆 C 的标准方程为:1; (2)设直线 PQ 的方程 y(x)设 P(x,y) ,Q(x,y) ,联立与椭圆的方程 整理得 3x24x+20: 所以 x+x,xx,则 PQ|xx|2, 又点 A 到直线 PQ 的距离为 d, 所以三角形 APQ 的面积为: (3) 由题意知直线 l 的斜率存在, 设为 k, l 过点 A (2, 0) , 则 l 的方程为: yk (x+2

30、) , 联立与椭圆的方程整理得(1+4k2)x2+16k2x+16k240, 令 B(xB,yB) ,C(0,yC) ,由2xB,即 xB, 将 x0 代入 tk(x+2)中,得 yC2k,所以 OC|2k|, |BC|xB0|, 由|OC|BC|得|2k|,解得 k2, 所以直线的斜率为 考查直线与椭圆的综合应用,属于中难题 19已知函数 f(x)lnx (1)求函数 g(x)f(x)x+1 的零点; (2)设函数 f(x)的图象与函数的图象交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点, 求证:ax1x2x1; (3)若 k0,且不等式(x21)f(x)k(x1)2对一切正实数 x 恒成立

31、,求 k 的取 值范围 (1)令 g(x)lnxx+1,根据导函数确定函数的单调区间,求出极小值,进而求解; (2)转化思想,要证 ax1 x2x1,即证 x1 x2 (1)x1 x2x1,即证 ln ()1,构造函数进而求证; (3)不等式(x21)lnxk(x) 2 对一切正实数 x 恒成立,(x21)lnxk(x1) 2(x21) ,设 h(x)lnx,分类讨论进而求解 (1)令 g(x)lnxx+1,所以 g(x)1, 当 x(0,1)时,g(x)0,g(x)在(0,1)上单调递增; 当 x(1,+)时,g(x)0,g(x)在(1,+)单调递减; 所以 g(x)ming(1)0,所以

32、g(x)的零点为 x1 (2)由题意,ax1 x2 (1) , 要证 ax1 x2x1, 即证 x1 x2(1) x1 x2x1, 即证 ln () 1, 令 t1,则 lnt1,由(1)知 lnxx1,当且仅当 x1 时等号成立,所以 ln , 即 lnt1,所以原不等式成立 (3)不等式(x21)lnxk(x)2 对一切正实数 x 恒成立, (x21)lnxk(x1)2(x21), 设 h(x)lnx,h(x), 记 (x)x2+2(1k)+1,4(1k)244k(k2) , 当0 时,即 0k2 时,h(x)0 恒成立,故 h(x)单调递增 于是当 0x1 时,h(x)h(1)0,又 x

33、210,故(x21)lnxk(x1)2, 当 x1 时,h(x)h(1)0,又 x210,故(x21)lnxk(x1)2, 又当 x1 时, (x21)lnk(x1)2, 因此,当 0k2 时, (x21)lnxk(x1)2, 当0, 即 k2 时, 设 x2+2 (1k) x+10 的两个不等实根分别为 x3, x4(x3x4) , 又 (1)42k0,于是 x31k1x4, 故当 x(1,k1)时,h(x)0,从而 h(x)在(1,k1)单调递减; 当 x(1,k1)时,h(x)h(1)0,此时 x210,于是(x21)h(x)0, 即(x21)lnxk(x1)2 舍去, 综上,k 的取值

34、范围是 0k2 (1)考查函数求导,根据导函数确定函数的单调性,零点; (2)考查转化思想,构造函数求极值; (3)考查分类讨论思想,函数的单调性,函数的求导; 20已知数列an的前 n 项和为 Sn,记 bn (1)若an是首项为 a、公差为 d 的等差数列,其中 a,d 均为正数 当 3b1,2b2,b3成等差数列时,求的值; 求证:存在唯一的正整数 n,使得 an+1bnan+2 (2)设数列an是公比为 q(q2)的等比数列,若存在 r,t(r,tN*,rt)使得 ,求 q 的值 (1)根据等差数列和等差数列的前 n 项和公式,以及等差数列的性质,即可求出, 若 an+1bnan+2,

35、得到,解得即可, (2)由已知条件可得,构造 f(n),n2,nN*,利用 定义证明其单调性,再分别赋值验证即可 (1)3b1,2b2,b3成等差数列, 4b23b1+b3, 即 42(2a+d)+, da, , 由 an+1bnan+2, 得 a+nd(n+1)a+n(n+1)da+(n+1)d, 整理得, 解得n, 由于1 且得0, 因此存在唯一的正整数 n,使得 an+1bnan+2 (2), , 设 f(n),n2,nN*, 则 f (n+1) f (n) , q2,n2, (q1)n2+2(q2)n3n2310, f(n+1)f(n)0, 即 f(n+1)f(n) , f(n)为单调

36、递增, 当 r2 时,tr2, 则 f(t)f(r) ,即,这与互相矛盾, r1 时,即, 若 t3,则 f(t)f(3),即,这 与互相矛盾, 于是 t2, , 即 3q25q50, q2, q 此题主要考查等差的性质的应用,题目较为复杂,需要一步一步的分析求解,计算量要 求较高,属于难题 【选做题】在【选做题】在 21、22、23 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题,每小题题,每小题 10 分,共计分,共计 20 分请在答卷纸分请在答卷纸 指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2:矩阵与变换:矩阵与变换

37、21已知矩阵 A,B,若矩阵 AB 对应的变换把直线 l:x+y20 变为直 线 l,求直线 l的方程 先计算矩阵 AB 对应的变换,再求出在变换下点的坐标之间的对应关系,从而可求直线 l 的方程 , , 在直线 l 上任取一点 P(x,y) ,经矩阵 AB 变换为点 Q(x,y) ,则 , , 即 代入 x+y20 中得, 直线 l的方程为 4x+y80 本题重点考查矩阵变换,考查矩阵变换的运用,解题的关键是求出矩阵 AB 对应的变换 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 M 的极坐标为

38、(,) ,圆 C 的极坐标方程为 +2sin(+)0过点 M 的直 线 l 被圆 C 截得的弦长为,求直线 l 的直角坐标方程 由已知求出 M 的直角坐标,结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C的直角坐标方 程,再求出圆心到直线的距离,利用垂径定理列式求直线的斜率,则直线方程可求 点 M 的极坐标为,点 M 的直角坐标为(1,1) , 圆 C 的极坐标方程为, 即 +2sin+2cos0, 2+2sin+2cos0 将 xcos,ysin,2x2+y2代入上式, 可得圆 C 的直角坐标方程为(x+1)2+(y+1)22, 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与圆 C 没有交点; 当直线

39、l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y1k(x1) , 即 kxyk+10 则圆心 C(1,1)到直线 l 的距离为, 直线 l 被圆 C 截得的弦长为, ,即, 解得或 k2, 直线 l 的方程为 x2y+10 或 2xy10 本题考查简单曲线的极坐标方程,考查极坐标方程化直角坐标方程,考查直线与圆位置 关系的应用,是中档题 【必做题】第【必做题】第 23 题、第题、第 24 题,每题题,每题 10 分,共计分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解分请在答卷卡指定区域内作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23在平面直角坐标系 xOy 中,

40、抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,点 A(1,a) (a 0)是抛物线 C 上一点,且 AF2 (1)求 p 的值; (2)若 M,N 为抛物线 C 上异于 A 的两点,且 AMAN记点 M,N 到直线 y2 的 距离分别为 d1,d2,求 d1d2的值 (1)根据题意,由抛物线的定义可得+12,解可得 p 的值,将 p 的值代入抛物线方 程即可得答案; (2)由(1)的结论,分析可得 a 的值,设直线 AM 方程为 x1m (y2) (m0) , M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,联立直线与抛物线的方程,分析可得 y14m2 且 y2 2,又由 d1d2|(y1+2) (y2

41、+2)|,计算即可得答案 (1)因为点 A(1,a) (a0)是抛物线 C 上一点,且 AF2, 所以+12,所以 p2, (2)由(1)得抛物线方程为 y24x 因为点 A(1,a) (a0)是抛物线 C 上一点,所以 a2 设直线 AM 方程为 x1m (y2) (m0) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) 由消去 x,得 y24m y+8m40, 即(y2) ( y4m+2)0,所以 y14m2 因为 AMAN,所以代 m,得 y22, 所以 d1d2|(y1+2) (y2+2)|4m()|16 本题考查直线与抛物线的位置关系,注意联立直线与抛物线的方程之后,根与系数的关 系的应用

42、24 设nN*且n4, 集合M1, 2, 3, , n的所有3个元素的子集记为 (1)当 n4 时,求集合中所有元素之和 S; (2)记 mi为 Ai中最小元素与最大元素之和,求的值 (1)直接利用组合数和子集的关系式的应用求出结果 (2)直接利用组合数和子集的关系式的应用求出结果 (1)因为含元素 1 的子集有个, 同理含 2,3,4 的子集也各有个, 于是所求元素之和为; (2)集合 M1,2,3,n的所有 3 个元素的子集中: 以 1 为最小元素的子集有个, 以 n 为最大元素的子集有个; 以 2 为最小元素的子集有个, 以 n1 为最大元素的子集有个; 以 n2 为最小元素的子集有个, 以 3 为最大元素的子集有个 , , , , , 本题考查的知识要点:组合数的原应用,集合的子集的应用,主要考查学生的运算能力 和转化能力,属于基础题型