1、2020 年年 4 月陕西省咸阳市高三理科数学模拟试卷（二）月陕西省咸阳市高三理科数学模拟试卷（二） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一分在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则（UA）B（ ）来源:学科网 ZXXK A （1，0 B （1，1） C （1，+） D0，1） 2已知复数 = 4 1+(i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A2 B2i C2 D2i 3已知向量 =（1，3） ， =（3，2） ，则向量 在向量
2、 上的投影等于（ ） A910 10 B9 C3 D913 13 4古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正 三角形的数，如 1，3，6，10，15，我国宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中所记载 的“垛积术” ，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层 1 个球，下一层 3 个球，再下一层 6 个球， ）若一“落一形”三角锥垛有 10 层，则该堆第 10 层球的个数为（ ） A66 B55 C45 D38 5已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是（ ） A该组数据的极差为 12 B该组数据的中位数为 21 C该组数据的平均数为 2
3、1 D该组数据的方差为 11 6已知 0ab1，则下列不等式不成立的是（ ） A(1 2) (1 2) Blnalnb C1 1 D 1 1 7已知 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 a，b，则“a” 是“ab”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 8 （2x1） （x+2）3的展开式中 x2项的系数为（ ） A24 B18 C12 D4 9若 (0， 2)，且22 = ( + 4)，则 sin2 的值为（ ） A1 8 B3 8 C1 2 D7 8 10抛物线 x22py（p0）的焦点与双曲线 2 16 2 9 = 1的右焦点的连线
4、垂直于双曲线的 一条渐近线，则 p 的值为（ ） A5 2 B40 3 C20 3 D87 3 11 将函数 ycos （2x+） （ 2 2） 的图象向右平移 3 8 个单位长度单位后得函数 f （x） 图象，若 f（x）为偶函数，则（ ） Af（x）在区间 4， 2上单调递减 Bf（x）在区间 4， 2上单调递增 Cf（x）在区间 4， 2上单调递减 Df（x）在区间 4， 2上单调递增 12 已知函数 f （x） = 1 3 3 2 3 + 2， 5 3( + 4)，5 ， 则函数 yf （f （x） ） 的零点个数为 （ ） A6 B7 C9 D10 二、填空题：本大题共二、填空题：本
5、大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知实数 x，y 满足不等式组 2 0 + 3 3 0 3 0 ，则 z2xy 的最大值为 14 已知定义在R上的函数f （x） 满足() = ( + 3 2)， 且f （2） 3， 则f （2020） 15在ABC 中内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a1， = 2，sinAsinBcosC sin2C，则ABC 的面积为 16已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球 O 的表面上，若球 O 的表面积为 56， 则该三棱柱的体积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17已知等差数列an满足 a23，a4+a720，其前 n 项和为 Sn （）求数列an的通项公式 an及 Sn； （）若= 2，求数列bn的前 n 项和 Tn 18已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，PD平面 ABCD，且 ABCD， CD2AB2AD，ADCD （）求证：平面 PBC平面 PBD； （）若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角 BPCD 的
7、余弦值 19已知某校 6 个学生的数学和物理成绩如表： 学生的编号 i 1 2 3来源:Zxxk.Com 4 5 6来源:学_科_网 数学 xi 89 87 79 81 78 90 物理 yi 79 75 77 73 72 74 （）若在本次考试中，规定数学在 80 分以上（包括 80 分）且物理在 75 分以上（包括 75 分）的学生为理科小能手从这 6 个学生中抽出 2 个学生，设 X 表示理科小能手的人 数，求 X 的分布列和数学期望； （）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关 系，在上述表格是正确的前提下，用 x 表示数学成绩，用 y 表示物理成绩，求
8、 y 与 x 的 回归方程 参考数据和公式： = + ， 其中 = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(1， 3 2)，且其离心率为 1 2，过坐标原点 O 作两 条互相垂直的射线与椭圆 C 分别相交于 M，N 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）是否存在圆心在原点的定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存 在，请说明理由 21已知函数 f（x）eaxax1（aR 且 a0） （）讨论 f（x）的单调性； （）对任意 x1，x21，1，|(1) (2)| 2 3恒成立，求 a 的取值范围 选修选修 4-
9、4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 C1： = 1 + = (为参数） ，曲线 C2： 2 2 + 2=1 （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 C1，C2的极坐标方程； （）射线 = 6（0）与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2的交点为 B，求|AB| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式|x2|x+3|m+1|有解，记实数 m 的最大值为 M （1）求 M 的值； （2）正数 a，b，c 满足 a+2b+cM，求证： 1 : + 1 : 1 一、选择题：本大题共一、选择题：
10、本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一分在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则（UA）B（ ） A （1，0 B （1，1） C （1，+） D0，1） 求出UA，再计算出结果来源:学5 = 10， 由题意可得 10 = 4 3，解得 p= 40 3 ， 故选：B 本题考查抛物线及双曲线的性质，及直线垂直的性质，属于中档题 11 将函数 ycos （2x+） （ 2 2） 的图象向右平移 3 8 个单位长度单位后得函数 f （x） 图象，若 f（x）为偶函数，则（
11、 ） Af（x）在区间 4， 2上单调递减 Bf（x）在区间 4， 2上单调递增 Cf（x）在区间 4， 2上单调递减 Df（x）在区间 4， 2上单调递增 根据三角函数平移关系求出 f（x）的解析式，结合 f（x）是偶函数求出 ，利用三角函 数的单调性进行求解即可 将函数 ycos（2x+） （ 2 2）的图象向右平移 3 8 个单位长度单位后得函数 f（x） 图象， 则 f（x）cos2（x 3 8 ）+cos（2x+ 3 4 ） ， 若 f（x）为偶函数，则 3 4 =k，kZ， 即 = 3 4 +k，kZ， 2 2，当 k1 时，= 4， 即 f（x）cos（2x 4 3 4 ）cos
12、（2x）cos2x， 当 4 x 2时， 2 2x，此时 f（x）cos2x 不具备单调性，故 A，B 错误， 当 4 x 2时， 2 2x，此时 f（x）cos2x 为增函数，故 D 正确， 故选：D 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用三角函数的 单调性是解决本题的关键难度不大 12 已知函数 f （x） = 1 3 3 2 3 + 2， 5 3( + 4)，5 ， 则函数 yf （f （x） ） 的零点个数为 （ ） A6 B7 C9 D10 根据函数的单调性画出函数 f （x） 的图象， 结合图象求出 yf （f （x） ） ） 的零点个数即可 x5 时，
13、f（x）= 1 3x 3x23x+2， f（x）x22x3（x3） （x+1） ， 令 f（x）0，解得：x3 或 x1， 故 f（x）在（，1）递增，在（1，3）递减，在（3，5递增， 故 f（x）极大值f（1）= 11 3 ，f（x）极小值f（3）7，f（5）= 11 3 ， 而 f（3）7，f（2）= 4 3，f（0）2，f（1）= 5 3 0，f（4）4，f（5）= 11 3 ， 故存在 x1（3，2） ，x2（0，1） ，x3（4，5）使得 f（x）0， x5 时，f（x）在（5，+）递减， x5 时，f（x）2， 画出函数 f（x）的图象，如图示： ， 函数 yf（f（x） ）的零
14、点个数 即 yf（x）和 yx1，yx2和 yx3的交点个数， 结合图象 f（x）和 yx1有 4 个交点，f（x）和 yx2的图象有 3 个交点， f（x）和 yx3的图象没有交点， 故函数 yf（f（x） ）的零点个数为 7 个， 故选：B 本题考查了函数和方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查数形结合思想，转化 思想，是一道综合题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知实数 x，y 满足不等式组 2 0 + 3 3 0 3 0 ，则 z2xy 的最大值为 6 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利
15、用数形结合确定 z 的最大 值 作出实数 x，y 满足不等式组 2 0 + 3 3 0 3 0 对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 z2xy 得 y2xz， 平移直线 y2xz，由图象可知当直线 y2xz 经过点 A（3，0）时，直线 y2xz 的 截距最小，此时 z 最大 代入目标函数 z2xy， 得 z6即 z2xy 的最大值为 6 故答案为：6 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是 解决此类问题的基本方法 14已知定义在 R 上的函数 f（x）满足() = ( + 3 2)，且 f（2）3，则 f（2020） 3 由题意可知函数 f（x）的周期
16、为 3，从而解得 f（x）f（x+ 3 2） ，且 f（2）3， f（x+ 3 2）f（x+3） ， f（x）f（x+3） ， 函数 f（x）的周期为 3， 故 f（2020）f（3673+1）f（1）f（2）3， 故答案为：3 本题考查了函数的周期性的判断与应用 抽象函数的应用， 考查计算能力， 属于基础题 15在ABC 中内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a1， = 2，sinAsinBcosC sin2C，则ABC 的面积为 1 2 利用正弦定理，余弦定理化简已知等式可得 3c2a2+b2，结合已知可求 c 的值，利用余 弦定理可求 cosC 的值，利用同角三角函数基本关
17、系式可求 sinC 的值，根据三角形的面 积公式即可求解 sinAsinBcosCsin2C， 得到 cosC= 2 = 2 ， 又 cosC= 2+22 2 ， 2:2;2 2 = 2 ，解得 3c 2a2+b2， 又a1， = 2， 3c21+23，解得 c1， cosC= 1+21 212 = 2 2 ，sinC= 1 2 = 2 2 ， SABC= 1 2absinC= 1 2 1 2 2 2 = 1 2 故答案为：1 2 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在 解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题 16已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶
18、点都在球 O 的表面上，若球 O 的表面积为 56， 则该三棱柱的体积为 362 通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三 棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得 a，然后由棱柱的体积公式得答案 如图， 三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，6 个顶点都在球 O 的球面上， 三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为 O， 再设球的半径为 r，由球 O 的表面积为 56，得 4r256，r= 14 设三棱柱的底面边长为 a，则上底面所在圆的半径为 3 3 ，且球心 O 到上底面中心 H 的 距离 OH= 2， 2= ( 2) 2 + ( 3 3 )2，即
19、 r= 21 6 ， a= 26 则三棱柱的底面积为 S= 1 2 26 32 = 63 ;111= 63 26 = 362 故答案为：362 本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17已知等差数列an满足 a23，a4+a720，其前 n 项和为 Sn来源:学科网 ZXXK （）求数列a
20、n的通项公式 an及 Sn； （）若= 2，求数列bn的前 n 项和 Tn （）设等差数列an的公差为 d，则1 + = 3 21+ 9 = 20，联立解得：a1，dj 可得 an，Sn （）利用错位相减法即可得出 （）设等差数列an的公差为 d，则1 + = 3 21+ 9 = 20， 解得：a11，d2 an2n1，= 2， （6 分） （） （错位相减法）= 1 2 + 3 22 + 5 23 + + 21 2 ， 式两边同时乘1 2，得 1 2 = 1 22 + 3 23 + 5 24 + 2;1 2+1 ， 可得，1 2 = 1 2 + 2( 1 22 + 1 23 + + 1 2)
21、 2;1 2+1 ， 1 2 = 2(1 2 + 1 22 + 1 23 + 1 2) 1 2 2;1 2+1 ， 1 2 = 2(1 1 2) 1 2 2;1 2+1 ， = 3 2+3 2 本题考查了等差数列与等比数列通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 18已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，PD平面 ABCD，且 ABCD， CD2AB2AD，ADCD （）求证：平面 PBC平面 PBD； （）若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角 BPCD 的余弦值 （） 取 CD 的中点 E， 连接 AE， BE， BD 推导出
22、四边形 ABED 为正方形， 则 AEBD 推 导出 PDAE从而 PE平面 PBD 推导出四边形 ABCE 为平行四边形，从而 BC AE，进而 BC平面 PBD由此能证明平面 PBC平面 PBD （）推导出PBD 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，PBD45，PDBD以点 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出二面角 BPCD 的余弦值 （）证明：取 CD 的中点 E，连接 AE，BE，BD CD2AB，ABDE 又ABAD，ADDC，四边形 ABED 为正方形，则 AEBD PD平面 ABCD，AE平面 ABCD，
23、PDAE PDBDD，PE平面 PBD ABEC，ABEC， 四边形 ABCE 为平行四边形，BCAE，BC平面 PBD 又 BC平面 PBC，平面 PBC平面 PBD （）解：PD平面 ABCD，PBD 为 PB 与平面 ABCD 所成的角， 即PBD45，则 PDBD 设 AD1，则 AB1，CD2， = = 2 以点 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则 D（0，0，0） ，A（1，0，0） ，(0，0，2)，B（1，1，0） ，C（0，2，0） DA平面 PDC，平面 PDC 的一个法向量 =（1，0，0） 设平面
24、PBC 的法向量 =（x，y，z） ， =（1，1，2） ， =（1，1，0） ， 则 = + 2 = 0 = + = 0 ，取 x1，则 =（1，1，2） 设二面角 DPCB 的平面角为 ， cos= | | | | | = 1 2+1+1 = 1 2 由图可知二面角 DPCB 为锐角，故二面角 DPCB 的余弦值为1 2 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19已知某校 6 个学生的数学和物理成绩如表： 学生的编号 i 1 2 3 4 5 6 数学 xi 89 87 79 81 78 90 物理
25、yi 79 75 77 73 72 74 （）若在本次考试中，规定数学在 80 分以上（包括 80 分）且物理在 75 分以上（包括 75 分）的学生为理科小能手从这 6 个学生中抽出 2 个学生，设 X 表示理科小能手的人 数，求 X 的分布列和数学期望； （）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关 系，在上述表格是正确的前提下，用 x 表示数学成绩，用 y 表示物理成绩，求 y 与 x 的 回归方程 参考数据和公式： = + ， 其中 = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = （）由题意得 X 的可能取值为 0，1，2，分虽求出相应的概
26、率，由此能求出 X 的分布 列和数学期望 （） =84， =75，由此能求出回归方程 （）由题意得 X 的可能取值为 0，1，2， 6 个学生中理科小能手有 2 人， P（X0）= 4 2 6 2 = 2 5， P（X1）= 2 1 4 1 6 2 = 8 15， P（X2）= 2 2 6 2 = 1 15 X 的分布列为 X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 E（X）= 0 2 5 + 1 8 15 + 2 1 15 = 2 5 （） = 1 6（85+87+79+81+78+90）84， = 1 6（79+75+77+73+72+74）75， = =1 ()() =1 ()2 =
27、 =1 =1 22 = 1 5， = =75 1 5 84 = 291 5 ， 回归方程为 = 1 5 + 291 5 本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求，考查回归直线方程的求法，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(1， 3 2)，且其离心率为 1 2，过坐标原点 O 作两 条互相垂直的射线与椭圆 C 分别相交于 M，N 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）是否存在圆心在原点的定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存 在，请说明理由 （）椭圆 C 经过点(1， 3 2)，结合离心率，求出 a，b 即可得到椭圆方程
28、 （） 当直线 MN 的斜率不存在时， 由对称性， 设 M （x0， x0） ， N （x0， x0） 推出0 2 = 12 7 求出 O 到直线 MN 的距离为 = |0| = 221 7 ， 2+ 2= 12 7 当直线 MN 的斜率存在时， 设 MN 的方程为 ykx+m， 由 = + 2 4 + 2 3 = 1，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，利用韦达定理，结合 x1x2+y1y20，转化 求解得到 7m212（k2+1） ，然后求解 O 到直线 MN 的距离，说明定圆2+ 2= 12 7 与直 线 MN 总相切 （）椭圆 C 经过点(1， 3 2)， 1 2 + 9 42
29、 = 1，又 = 1 2， 解之得 a24，b23所以椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 3 = 1； （）当直线 MN 的斜率不存在时，由对称性，设 M（x0，x0） ，N（x0，x0） M，N 在椭圆 C 上， 0 2 4 + 0 2 3 = 1， 0 2 = 12 7 O 到直线 MN 的距离为 = |0| = 221 7 ，2+ 2= 12 7 当直线 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 ykx+m， 由 = + 2 4 + 2 3 = 1， 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则1+ 2= 8 3+42，12 = 4212 3
30、+42 OMON，x1x2+y1y20 12+ (1+ )(2+ ) = (2+ 1)12+ (1+ 2) + 2= 0 (2+ 1) 4212 3+42 822 3+42 + 2= 0，即 7m212（k2+1） O 到直线 MN 的距离为 = | 2+1 =12 7 = 221 7 ， 故存在定圆2+ 2= 12 7 与直线 MN 总相切 本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考 查分析问题解决问题，是难题 21已知函数 f（x）eaxax1（aR 且 a0） （）讨论 f（x）的单调性； （）对任意 x1，x21，1，|(1) (2)| 2 3恒成立，
31、求 a 的取值范围 （）求出导函数，通过当 a0 时，当 a0 时，判断导函数的符号，判断函数的单调 性即可 （）由题意知对任意 x1，x21，1，|(1) (2)| 2 3恒成立 () () 2 3 ， 利 用 列 出 不 等 式 组 ， (1) (0) 2 3 (1) (0) 2 3 推 出 2+ 2 0(1) ;+ 2+ 2 0(2)，设 h（a）e aae2+2利用函数的导数，判断函数的单 调性，转化求解函数的最值，推出结果 （）由 f（x）aeaxaa（eax1） 当 a0 时，x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减； x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增 当 a0 时，
32、x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减； x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增 综上所述，f（x）在区间（，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增 （）由题意知对任意 x1，x21，1， |(1) (2)| 2 3恒成立， () () 2 3 又由（）知，f（x）在区间1，0上单调递减，在区间0，1上单调递增所以只需： * (1) (0) 2 3#/DEL/# (1) (0) 2 3#/DEL/# * 1 2 3#/DEL/# ;+ 1 2 3#/DEL/# 2+ 2 0(1) ;+ 2+ 2 0(2)， 设 h（a）eaae2+2 h（a）ea1，h（a）在区间（0，+）上单
33、调递增；在区间（，0）上单调 递减 注意到 h（2）0，所以，当 0a2 不等式（1）成立；当 a2 时不等式（1）不成立 又 h（2）e 2+2e2+24+e2e20，当2a0 不等式（1）也成立， 所以，2a2 时不等式（1）成立此时2a2，不等式（2）也成立，而当 a 2 时， a2，由函数 h（a）的性质知，不等式（2）不成立 综上所述，不等式组的解为2a2 又a0，实数 a 的取值范围为2，0）（0，2 本题是函数与导数综合题目，考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，恒成立问 题，考查分析解决问题的能力 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xO
34、y 中，曲线 C1的参数方程为 C1： = 1 + = (为参数） ，曲线 C2： 2 2 + 2=1 （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 C1，C2的极坐标方程； （）射线 = 6（0）与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2的交点为 B，求|AB| （）由 = = 可得 C1，C2 的极坐标方程； （）求出 A，B 的极径，即可求|AB| （）曲线1： = 1 + = (为参数）可化为普通方程： （x1）2+y21， 由 = = 可得曲线C1的极坐标方程为2cos， 曲线C2的极坐标方程为 2 （1+sin2） 2 （）射线 = 6 ( 0)与曲线 C1的交点 A
35、 的极径为1= 2 6 = 3， 射线 = 6 ( 0)与曲线 C2的交点 B 的极径满足22(1 + 2 6) = 2，解得2 = 210 5 ， 所以| = |1 2| = 3 210 5 本题考查了直角坐标方程转化为极坐标方程、直线与圆的相交问题，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式|x2|x+3|m+1|有解，记实数 m 的最大值为 M （1）求 M 的值； （2）正数 a，b，c 满足 a+2b+cM，求证： 1 : + 1 : 1 （1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解 （2）利用 1 的代换，结合基本不等式
36、的性质进行证明即可 （1）由绝对值不等式得|x2|x+3|x2（x+3）|5， 若不等式|x2|x+3|m+1|有解， 则满足|m+1|5，解得6m4 M4 （2）由（1）知正数 a，b，c 满足足 a+2b+c4，即1 4（a+b）+（b+c）1 1 : + 1 : = 1 4 （a+b）+（b+c）（ 1 : + 1 : ）= 1 4（1+1+ + + + + + ） 1 4 （2+2+ + + +） 1 4 41， 当且仅当: : = : :即 a+bb+c2，即 ac，a+b2 时，取等号 1 : + 1 : 1 成立 本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用， 利用 1 的代换是解决本题的关键
