1、2020 年中考数学二诊试卷年中考数学二诊试卷 一、选择题 1下列关于 0 的说法正确的是（ ） A0 是有理数 B0 是无理数 C0 是正数 D0 是负数 2一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） A B C D 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A平行四边形 B矩形 C正三角形 D等腰直角三角形 4截至 5 月 6 日，Covid19 感染人数己超 365 万，将 365 万用科学记数法表示为（ ） A365104 B3.65105 C3.65106 D3.65107 5下列运算正确的是（ ） A（a+3）2a2+9 Ba8a2a4 Ca2+a22a2 Da2 a3a6
2、 6在主题为“我和我的祖国”的演讲比赛中，参加决赛的 6 名选手成绩（单位：分）如下： 8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，9.5，这 6 名选手成绩的众数和中位数分别是（ ） A8.8 分，8.9 分 B8.8 分，8.8 分 C9.5 分，8.9 分 D9.5 分，8.8 分 7下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（ ） Ay4x Byx4 Cy Dyx2 8如图，AD 是O 的直径，若AOB40，则圆周角BPC 的度数是（ ） A40 B50 C60 D70 9如图，ABC 中，C90，BC2AC，则 cosA（ ） A B C D 10如图所示的抛物线 yax2+bx+c 的
3、对称轴为直线 x1，则下列结论中错误的是（ ） Aac0 Bb24ac0 C2ab0 D9a+3b+c0 二.填空题（本大题 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11代数式有意义，则 x 的取值范围是 12五个大小相同的乒乓球上面分别编号为 2，3，4，5，6，把它们放在不透明的袋内，从 袋内任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是 13对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m 3）24，则 m 14如图，四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AD4，BC3分别以点 A，C 为圆 心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，射线 BE 交 AD 于点
4、F，交 AC 于点 O若 点 O 恰好是 AC 的中点，则 CD 的长为 三.解答题（本大题共 6 个小题，满分 54 分） 15（1）计算：4sin60+（2020）0（） 2+|2 |； （2）解不等式组： 16先化简，再求值：（），其中 x2+，y2 17某校在参加了成都市教育质量综合评价学业素养测试后，随机抽取八年级部分学生，针 对发展水平四个维度：A阅读素养、B数学素养、C科学素养、D人文素养，开展 了“你最需要提升的学业素养”问卷调查（每名学生必选且只能选择一项）现将调查 的结果绘制成如图两幅不完整的统计图 （1）求本次调查的学生总人数，并补全两幅统计图； （2）求扇形统计图中的选
5、项 D 对应的扇形圆心角的度数； （3）该校八年级共有学生 400 人，请估计全年级选择选项 B 的学生有多少人？ 18如图，在 A 的正东方向有一港口 B某巡逻艇从 A 沿着北偏东 55方向巡逻，到达 C 时接到命令，立刻从 C 沿南偏东 60方向以 20 海里/小时的速度航行，从 C 到 B 航行了 3 小时 求 A， B 间的距离 （结果保留整数） （参考数据： sin550.82， cos550.57， tan551.43，1.73） 19如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A（1，4）和 点 B（4，n） （1）求这两个函数的解析式； （2） 已知点
6、M 在线段 AB 上， 连接 OA， OB， OM， 若 SAOMSBOM， 求点 M 的坐标 20如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F （1）求证：直线 DF 是O 的切线； （2）求证：BC24CF AC； （3）若O 的半径为 2，CDF15，求阴影部分的面积 一.填空题（每小题 4 分，共 20 分） 21一元二次方程 x22x10 的两根分别为 x1，x2，则的值为 22将等腰直角ABC 按如图方法放置在数轴上，点 A 和 C 分别对应的数是2 和 1以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交数轴的
7、正半轴于点 D，则点 D 对应的实数为 23从 1，2，3，4 四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 a，c，则关于 x 的一元二次 方程 ax2+4x+c0 有实数根的概率为 24如图，点 O 为坐标原点，ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，将AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点 B 恰好为 OE 的中 点， DE与BC交于点F 若y （x0） 的图象经过点C且SBEF， 则k的值为 25如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB8，BC6，点 E 是 AD 的中点，点 F 是 AB 上一动 点将AEF 沿直线 EF
8、 折叠，点 A 落在点 A处在 EF 上任取一点 G，连接 GC，GA， CA，则CGA的周长的最小值为 二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上） 26某商场在五四青年节来临之际用 2400 元购进 A，B 两种运动衫共 22 件已知购买 A 种 运动衫与购买 B 种运动衫的费用相同，A 种运动衫的单价是 B 种运动衫单价的 1.2 倍 （1）求 A，B 两种运动衫的单价各是多少元？ （2）若计划用不超过 5600 元的资金再次购进 A，B 两种运动衫共 50 件，已知 A，B 两 种运动衫的进价不变求 A 种运动衫最多能购进多少件？ 27如图，已知ABC 中，A
9、CBC，ACB120，P 为ABC 内部一点，且满足APB BPC150 （1）求证：PABPBC； （2）求证：PA3PC； （3）若 AB10，求 PA 的长 28如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B（5，0），与 y 轴交于点 C （0，），顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 E （1）求该抛物线的一般式； （2）若点 Q 为该抛物线上第一象限内一动点，且点 Q 在对称轴 DE 的右侧，求四边形 DEBQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标； （3）若点 P 为对称轴 DE 上异于 D，E 的动点，过点 D 作直线 PB 的垂线交直线 PB 于 点 F，交 x
10、 轴于点 G，当PDG 为等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标 参考答案 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有 一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1下列关于 0 的说法正确的是（ ） A0 是有理数 B0 是无理数 C0 是正数 D0 是负数 【分析】根据有理数的相关定义和 0 的特殊性对各小题分析判断即可得解 解：A、0 是有理数，正确； B、0 是有理数，不 0 是无理数，故错误； B、0 既不是正数，也不是负数，故错误； D、0 既不是正数，也不是负数，故错误； 故选：A 【点评】本题考查了有理数，熟记相关概念以及 0 的特
11、殊性是解题的关键 2一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】从图形的上方观察即可求解； 解：俯视图从图形上方观察即可得到， 故选：D 【点评】本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A平行四边形 B矩形 C正三角形 D等腰直角三角形 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断可得 解：A平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； B矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项符合题意； C正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； D等腰直角三角形
12、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中 心对称图形的概念 4截至 5 月 6 日，Covid19 感染人数己超 365 万，将 365 万用科学记数法表示为（ ） A365104 B3.65105 C3.65106 D3.65107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：365 万365
13、 00003.65106， 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 5下列运算正确的是（ ） A（a+3）2a2+9 Ba8a2a4 Ca2+a22a2 Da2 a3a6 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项的法则进行判 断 解：A、（a+3）2a2+6a+9，所以 A 选项不正确； B、a8a2a6，所以 B 选项不正确； C、a2+a22a2，所以 C 选项正确； D、a2 a3a5，所以 D 选项不正确 故选：C 【点评】本题考查了同底
14、数幂的除法：amanamn（m、n 为正整数，mn）也考查 了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项 6在主题为“我和我的祖国”的演讲比赛中，参加决赛的 6 名选手成绩（单位：分）如下： 8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，9.5，这 6 名选手成绩的众数和中位数分别是（ ） A8.8 分，8.9 分 B8.8 分，8.8 分 C9.5 分，8.9 分 D9.5 分，8.8 分 【分析】分别根据众数的定义及中位数的定义求解即可 解：由题中的数据可知，8.8 出现的次数最多，所以众数为 8.8（分）； 从小到大排列：8.5，8.8，8.8，9.0，9.4，9.5， 故可得中位数是8
15、.9（分） 故选：A 【点评】此题考查了中位数及众数的定义，属于基础题，注意掌握众数及中位数的定义 及求解方法 7下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（ ） Ay4x Byx4 Cy Dyx2 【分析】根据正比例函数的性质，可判断 A，根据一次函数的性质，可判断 B；根据反比 例函数的性质，可判断 C，根据二次函数的性质，可判断 D 解：A、k40，y 随 x 的增大而减小，故 A 符合题意； B、k10，y 随 x 的增大而增大，故 B 不符合题意； C、k40，在每一象限，y 随 x 的增大而减小，故 C 不符合题意； D、a1，当 x0 时，y 随 x 增大而减小，当 x0 时，y
16、 随 x 增大而增大，故 D 不符合 题意； 故选：A 【点评】本题考查了函数的性质，熟记函数的性质是解题关键 8如图，AD 是O 的直径，若AOB40，则圆周角BPC 的度数是（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】求出BOC，利用圆周角定理即可解决问题 解：， AOBCOD40， BOC1804040100， BPCBOC50， 故选：B 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 9如图，ABC 中，C90，BC2AC，则 cosA（ ） A B C D 【分析】此题根据已知可设 ACx，则 BC2x，根据三角函数
17、的定义即可得到结论 解：BC2AC， 设 ACa，则 BC2a， C90， ABa， cosA， 故选：D 【点评】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三 角函数的定义 10如图所示的抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，则下列结论中错误的是（ ） Aac0 Bb24ac0 C2ab0 D9a+3b+c0 【分析】根据函数与 x 轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，对称性即可作出判断即 可 解：A、由抛物线可知，a0，c0， ac0故 A 正确； B、二次函数 yax2+bc+c 的图象与 x 轴有两个交点， 0， 即 b24ac0， 故 B 正确；
18、C、由对称轴可知，x1， b2a， 2a+b0，故 C 错误； D、（1，0）关于 x1 的对称点为（3，0）， 当 x3 时，y9a+3b+c0，故 D 正确； 故选：C 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关 系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 二.填空题（本大题 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11代数式有意义，则 x 的取值范围是 x8 【分析】由分式的分母不等于零和二次根式的被开方数是非负数得到 x80 解：由题意，得 x80， 解得 x8 故答案是：x8 【点评】 考查了分式有意义的条件和二次根式有意义
19、的条件， 注意， 二次根式在分母上， 所以不能取到 0 12五个大小相同的乒乓球上面分别编号为 2，3，4，5，6，把它们放在不透明的袋内，从 袋内任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是 【分析】直接利用概率公式计算可得 解：从袋内任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是， 故答案为： 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数 13对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m 3）24，则 m 3 或 4 【分析】利用新定义得到（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，整理得到 （2
20、m1）2490，然后利用因式分解法解方程 解：根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224， （2m1）2490， （2m1+7）（2m17）0， 2m1+70 或 2m170， 所以 m13，m24 故答案为3 或 4 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出 方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 14如图，四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AD4，BC3分别以点 A，C 为圆 心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O若 点 O 恰好是 AC 的中点，则 CD
21、的长为 2 【分析】根据作图过程可得，BF 是 AC 的垂直平分线，然后证明AOFCOB，得 AF BCFC3，再根据勾股定理即可求出 CD 的长 解：由作图过程可知： BF 是 AC 的垂直平分线， AFCF，AOCO， ADBC， AFOCBO， 又AOFCOB， AOFCOB（AAS）， AFBC3， FCAF3， FDADAF431， 在 RtFCD 中，根据勾股定理，得 CD 2 所以 CD 的长为 2 故答案为：2 【点评】本题考查了作图基本作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性 质、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识 三.解答题（本大题共 6 个小题，满分 54
22、 分） 15（1）计算：4sin60+（2020）0（） 2+|2 |； （2）解不等式组： 【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对 值的代数意义计算即可求出值； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 解：（1）原式4+14+2 43； （2）， 由得：x， 由得：x1， 则不等式组的解集为x1 【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的性质是解 本题的关键 16先化简，再求值：（），其中 x2+，y2 【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式， 再将 x、 y 的值代入计算可得 解：原式
23、+ + ， 当 x2+，y2 时， 原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和 运算法则 17某校在参加了成都市教育质量综合评价学业素养测试后，随机抽取八年级部分学生，针 对发展水平四个维度：A阅读素养、B数学素养、C科学素养、D人文素养，开展 了“你最需要提升的学业素养”问卷调查（每名学生必选且只能选择一项）现将调查 的结果绘制成如图两幅不完整的统计图 （1）求本次调查的学生总人数，并补全两幅统计图； （2）求扇形统计图中的选项 D 对应的扇形圆心角的度数； （3）该校八年级共有学生 400 人，请估计全年级选择选项 B 的学生有多少人？ 【分析】（1
24、）根据 C科学素养的人数乘以其所占的百分比，计算即可；求出选项 B 人 数和选项 A 所占的百分比，补全两幅统计图即可； （2）根据圆心角360百分比计算即可； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可 解：（1）本次调查的学生总人数为：1620%80， B数学素养的人数为：8028161224， A阅读素养所占的百分比为：100%35%； 故答案为：35； 补全两幅统计图如图所示； （2）扇形统计图中的选项 D 对应的扇形圆心角的度数为：36054； （3）全年级选择选项 B 的学生有：400120（人） 【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图，从两个统计图中获取数量及数量之间的 关系是解
25、决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法 18如图，在 A 的正东方向有一港口 B某巡逻艇从 A 沿着北偏东 55方向巡逻，到达 C 时接到命令，立刻从 C 沿南偏东 60方向以 20 海里/小时的速度航行，从 C 到 B 航行了 3 小时 求 A， B 间的距离 （结果保留整数） （参考数据： sin550.82， cos550.57， tan551.43，1.73） 【分析】过点 C 作 CDAB 于点 D，根据三角函数分别求出 CD、BD、AD 的长，进而 可求出 A、B 间的距离 解：如图，过点 C 作 CDAB 于点 D， 由题意可知： ACD55，BCD60，BC20360（海
26、里）， 在 RtBCD 中，CDBC30（海里），BD30（海里）， 在 RtADC 中，ADCD tan55301.4342.90（海里）， ABAD+BD42.90+3095（海里） 答：A，B 间的距离为 95 海里 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角 的定义 19如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A（1，4）和 点 B（4，n） （1）求这两个函数的解析式； （2） 已知点 M 在线段 AB 上， 连接 OA， OB， OM， 若 SAOMSBOM， 求点 M 的坐标 【分析】（1）先把 A 点坐标代入 y中求出
27、得 k2得到反比例函数解析式，再利用反 比例函数解析式确定 B 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）设 M（t，t+3）（1t4），利用三角形面积公式得到 AMBM，根据两点 间的距离公式得到（t+1）2+（t+34）2（t4）2+（t+3+1）2，然后解方程求 出，从而得到点 M 的坐标 解：（1）把 A（1，4）代入 y得 k2144， 反比例函数解析式为 y， 把 B（4，n）代入 y得 4n4，解得 n1，则 B（4，1）， 把 A（1，4）和 B（4，1）代入 yk1x+b 得，解得， 一次函数解析式为 yx+3； （2）设 M（t，t+3）（1t4）， SAOMSB
28、OM， AMBM， （t+1）2+（t+34）2（t4）2+（t+3+1）2， 整理得（t4）24（t+1）2，解得 t1，t26（舍去）， 点 M 的坐标为（，） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交 点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无 解，则两者无交点也考查了待定系数法求函数解析式 20如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F （1）求证：直线 DF 是O 的切线； （2）求证：BC24CF AC； （3）若O 的半径为 2，
29、CDF15，求阴影部分的面积 【分析】（1）如图所示，连接 OD，证明CDF+ODB90，即可求解； （2）证明CFDCDA，则 CD2CF AC，即 BC24CF AC； （3）S阴影部分S扇形OAESOAE即可求解 解：（1）如图所示，连接 OD， ABAC， ABCC， OBOD， ODBABCC， DFAC， CDF+C90， CDF+ODB90， ODF90， 直线 DF 是O 的切线； （2）连接 AD，则 ADBC，则 ABAC， 则 DBDCBC， CDF+C90，C+DAC90， CDFDAC， DFCADC90， CFDCDA， CD2CF AC，即 BC24CF AC；
30、（3）连接 OE， CDF15，C75， OAE30OEA， AOE120， SOAEAEOEsinOEA22cos302sin303， S阴影部分S扇形OAESOAE（2）2343 【点评】本题考查了圆的综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似、等腰三角形的性 质等，难度不大 一.填空题（每小题 4 分，共 20 分） 21一元二次方程 x22x10 的两根分别为 x1，x2，则的值为 2 【分析】由根与系数的关系得出 x1+x22，x1x21，代入到原式计算可得 解：一元二次方程 x22x10 的两根分别为 x1，x2， x1+x22，x1x21， 则原式2， 故答案为：2 【点评】 本题主
31、要考查根与系数的关系， 解题的关键是掌握x1 ， x 2是一元二次方程ax 2+bx+c 0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2 22将等腰直角ABC 按如图方法放置在数轴上，点 A 和 C 分别对应的数是2 和 1以点 A 为圆心， AB 长为半径画弧， 交数轴的正半轴于点D， 则点 D对应的实数为 32 【分析】直接利用勾股定理得出 AB 的长，再利用数轴上点的坐标特点得出答案 解：等腰直角ABC， ACBC3， AB3， AD3， 点 D 对应的实数为：32 故答案为：32 【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出 D 点位置是解题关键 23从 1，2，3，4 四个数中随机选取两个不
32、同的数，分别记为 a，c，则关于 x 的一元二次 方程 ax2+4x+c0 有实数根的概率为 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找出满足164ac0 的 结果数，然后根据概率公式求解即可 解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数， 其中满足164ac0， 即 ac4 的结果有 （1， 2） 、 （1， 3）、（1，4）、（2，1）、（3，1）、（4，1）这 6 种结果， 则关于 x 的一元二次方程 ax2+4x+c0 有实数根的概率为， 故答案为： 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求 出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结
33、果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了根的判别式 24如图，点 O 为坐标原点，ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，将AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点 B 恰好为 OE 的中 点， DE与BC交于点F 若y （x0） 的图象经过点C且SBEF， 则k的值为 12 【分析】 连接 OC， BD， 根据折叠的性质得到 OAOE， 得到 OE2OB， 求得 OA2OB， 设 OBBEx，则 OA2x，根据平行四边形的性质得到 CDAB3x，根据相似三角形 的性质得到，即，求得 SBDF，
34、SCDF，即可求得 SCDO SBDC6，于是得到结论 解：连接 OC，BD， 将AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处， OAOE， 点 B 恰好为 OE 的中点， OE2OB， OA2OB， 设 OBBEx，则 OA2x， AB3x， 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB3x， CDAB， CDFBEF， ，即， SBEF ， SBDF ，SCDF ， SBCD6， SCDOSBDC6， k2SCDO12， 故答案为 12 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质， 相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 25
35、如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB8，BC6，点 E 是 AD 的中点，点 F 是 AB 上一动 点将AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 落在点 A处在 EF 上任取一点 G，连接 GC，GA， CA，则CGA的周长的最小值为 7+ 【分析】如图，当点 F 固定时，连接 AC 交 EF 于 G，连接 AG，此时CGA的周长 最小， 最小值AG+GC+CAGA+GC+CAAC+CA 当 CA最小时， CGA 的周长最小，求出 CA的最小值即可解决问题 解： 如图， 当点 F 固定时， 连接 AC 交 EF 于 G， 连接 AG， 此时AGC 的周长最小， 最小值AG+GC+CAGA+GC+CA
36、AC+CA 四边形 ABCD 是矩形， D90，ADBC6，CDAB8， AC10， ACG 的周长的最小值10+CA， 当 CA最小时，CGA的周长最小， AEDEEA3， CE， CAECEA， CA3， CA的最小值为3， CGA的周长的最小值为 7+， 故答案为：7+ 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会 用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题 二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上） 26某商场在五四青年节来临之际用 2400 元购进 A，B 两种运动衫共 22 件已知购买 A 种 运动衫与购买 B 种运动
37、衫的费用相同，A 种运动衫的单价是 B 种运动衫单价的 1.2 倍 （1）求 A，B 两种运动衫的单价各是多少元？ （2）若计划用不超过 5600 元的资金再次购进 A，B 两种运动衫共 50 件，已知 A，B 两 种运动衫的进价不变求 A 种运动衫最多能购进多少件？ 【分析】（1）设 B 种运动衫单价为 x 元/件，则 A 种运动衫单价为 1.2x 元/件，根据数量 总价单价结合用2400元购进A、 B两种运动衫共22件， 即可得出关于x的分式方程， 解之经检验后即可得出结果； （2）设购进 A 种运动衫 m 件，则购进 B 种运动衫（50m）件，根据总价单价数量 结合总价不超过 5600
38、元， 即可得出关于 m 的一元一次不等式， 解之取其中的最大值即可 得出结果 解：（1）设 B 种运动衫单价为 x 元/件，则 A 种运动衫单价为 1.2x 元/件， 由题意得：+22， 解得：x100， 经检验，x100 是原方程的解，且符合题意， 1.2x120， A 种运动衫单价为 120 元/件，B 种运动衫单价为 100 元/件； 答：A 种运动衫单价为 120 元/件，B 种运动衫单价为 100 元/件 （2）设购进 A 种运动衫 m 件，则购进 B 种运动衫（50m）件， 由题意得：120m+100（50m）5600， 解得：m30 答：A 种运动衫最多能购进 30 件 【点评】
39、本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用等知识；解题的关键是 （1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元 一次不等式 27如图，已知ABC 中，ACBC，ACB120，P 为ABC 内部一点，且满足APB BPC150 （1）求证：PABPBC； （2）求证：PA3PC； （3）若 AB10，求 PA 的长 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可 （2）过点 C 作 CDAB 于 D首先证明，由PABPBC，推出 ，可得结论 （3）将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60得到 BP，连接 PP，CP，则BPP为等 边三角形，在 RtB
40、CP中，PPC，由（2）中，AB10， 可得 BC，利用勾股定理构建方程，求出 PC 即可解决问题 【解答】（1）证明：ABC 中，ACBC，ACB120， CABCBA（180120）30， 1+230， APB150， 2+330， 31， APBCPB， PABPBC （2）证明：过点 C 作 CDAB 于 D ABC 中，ACBC， BDAB， 在 RtCDB 中，CBD30， cos30， ， ， PABPBC， ， PAPB，PBPC， PAPC3PC （3）解：将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60得到 BP，连接 PP，CP，则BPP 为等边三角形， 4760，PPPBBPP
41、C， 5BPC41506090， 在 RtPPC 中，590，PPPC， tan6， 660， 6+730+6090， PC2PC， 在 RtBCP中，PPC，由（2）中 ，AB10，可得 BC ， （2PC）2+（PC）2（）2， PC， PA 【点评】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的 判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角 形解决问题，属于中考压轴题 28如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B（5，0），与 y 轴交于点 C （0，），顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 E （1）求该抛物
42、线的一般式； （2）若点 Q 为该抛物线上第一象限内一动点，且点 Q 在对称轴 DE 的右侧，求四边形 DEBQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标； （3）若点 P 为对称轴 DE 上异于 D，E 的动点，过点 D 作直线 PB 的垂线交直线 PB 于 点 F，交 x 轴于点 G，当PDG 为等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标 【分析】（1）将 A，B，C 三点的坐标直接代入解析式即可求出 a、b，c 的值； （2）过点 Q 作 y 轴的平行线交 BD 于点 M，设点 Q（m，），求出直线 BD 的解析式为 y，可设 M（m，），则 QM m5， 根据S四边形DEBQSDEB+SDQM+S
43、BQM可得出m的表达式， 由二次函数的性质可求出答案 （3）设点 P（2，n），可得出点 G（2，0），分当 GPGD、GPPD、GDPD 三种情况，得出 n 的方程分别求解即可 解：（1）把 A（1，0），B（5，0），C（0，），代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线解析式为 y； （2）抛物线解析式为 y， 抛物线的顶点 D 的坐标为（2，），对称轴为 x2，E（2，0）， 过点 Q 作 y 轴的平行线交 BD 于点 M，设点 Q（m，）， 设直线 BD 的解析式为 ykx+b， 则， 解得：， 直线 BD 的解析式为 y， 可设 M（m，）， QM）m5， S四边形DEBQSDEB
44、+SDQM+SBQM +（m2）+， 当 m时，S四边形DEBQ取得最大值，S四边形DEBQ 此时 Q（，） （3）抛物线的对称轴为 x2，则点 D（2，）， 设点 P（2，n）， 将点 P、B 的坐标代入一次函数表达式：ysx+t 并解得： 函数 PB 的表达式为：ynx+， DGPB，故直线 DG 表达式中的 k 值为， 将点 D 的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线 DG 的表达式为：yx+， 解得：x2， 故点 G（2，0）， GP2 ， 当 GPGD 时，解得：n或（舍去）， P（2，） 当 GPPD 时，解得：n2， P（2，2+）或 P（2，2） 当 GDPD 时，解得：n或 n0（舍去） 综合以上可得点 P 的坐标为（2，）或（2，2）或（2，2）或（2， ） 【点评】本题是二次函数的综合题，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计 算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏
