1、高三数学模拟卷高三数学模拟卷（理科理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合220|Axxx， 22 1|6By xy，则AB （ ） A. 3,3 B. 2,2 C. 4,4 D. 2. 如图，在复平面内，复数 12 ,z z对应的向量分别是,OOAB，若 21 zzz，则 z 的共轭复数z （ ） A. 13 22 i B. 13 22 i C. 13 22 i D. 13 22 i 3. 2016 年巴西里约热内卢奥运会射击比赛中，某选手射击一次击中 10 环的概率是 4 5 ，连续两次均
2、击中 10 环的概率是 1 2 ，已知某次击中 10 环，则随后一次击中 10 环的概率是（ ） A. 2 5 B. 5 8 C. 3 4 D. 4 5 4. 已知正项数列 n a满足 22 11 20 nnnn aaaa ， n a的前n项和为 n S，则 5 3 S a （ ） A. 31 4 B. 31 2 C. 15 4 D. 15 2 5. 函数 2 ln ( )1 | x f x x 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 由射线 4 (0) 3 yx x逆时针旋转到射线 5 (0) 12 yx x 的位置所成角为，则cos （ ） A. 16 65 B. 16 65 C
3、. 56 65 D. 56 65 7. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应着十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、 马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲 同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意， 则选法有（ ） A. 30 种 B. 50 种 C. 60 种 D. 90 种 8. 在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱型，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省. 假 设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设 圆柱半
4、径关于时间的函数为 R t，若圆柱的体积以均匀速度c增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半 径（ ） A. 成正比，比例系数为c B. 成正比，比例系数为 2 c C. 成反比，比例系数为c D. 成反比，比例系数为 2 c 9. 在ABC中，点P满足3BPPC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若 AMAB，(0,0)ANAC，则的最小值为（ ） A. 2 1 2 B. 3 1 2 C. 3 2 D. 5 2 10. 将函数 2 ( )2sincoscos2cos1 sin 222 xxx f x | 2 的图象向左平移 3 个单位长度后得 到函数( )g x的图象，且函数
5、( )g x的图象关于y轴对称，则 6 g （ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 1 2 11. 已 知 圆 22 4210xyxy 的 圆 心M与 抛 物 线 2 :2C ypx的 焦 点F恰 好 关 于 直 线 320xy对称，O为坐标原点，直线l过点(2,0)P且与抛物线C交于,A B两点，若 3 2 BF ， |APt BP，则t （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 12. 已知函数 2 ( )21f xxx，若函数 ( )114 xx g xfak ak （其中1a ）有三个不同的零 点，则实数k的取值范围为（ ） A. 1 2 , 5 5 B. 1 2
6、 , 5 5 C. 1 2 , 4 5 D. 1 2 , 4 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 若 6 1 (1)axx x 的展开式中含 3 x的系数为 30，则a的值为_. 14. 过抛物线 2 8xy的焦点F的直线交该抛物线于,A B两点，O为坐标原点. 若 |1 |2 AF BF ， 则AOB的 面积为_. 15. 如图，网格纸的各小格都是边长为 1 的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接 球的表面积为_. 16. 若等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 9a ， 2 a为整数，且 5n SS，则 12 | n aa
7、a _. 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. （本小题满分 12 分）在平面四边形ABCD中，,1,3,2ACABBCCDDA . （1）求C； （2）若E是BD的中点，求CE. 18. （本小题满分 12 分） 如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 平面 11 ACC A 平面ABC， 1 2AAACCB， 90ACB. （1）求证：平面 11 ABC 平面 11 ABC； （2）若 1 A A与平面ABC所成的线面角为60，求二面角 11 CA
8、BC的余弦值. 19. （本小题满分 12 分）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右顶点为A，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 5 3 ，|13AB . （1）求椭圆的方程； （2）设直线:(0)l ykx k与椭圆交于,P Q两点，l与直线AB交于点M，且点,P M均在第四象限. 若 BPM的面积是BPQ面积的 2 倍，求k的值. 20. （本小题满分 12 分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅 为单位（一套住宅为一户）. 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用电范围/度 0,210 (210,400 (400,) 某市随机抽取 1
9、0 户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用电量/度 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410 （1）若规定第一阶梯电价每度 0. 5 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0. 6 元，第三阶梯超出第二阶梯 的部分每度 0. 8 元，试计算居民用电户月用电 410 度时应交电费多少元？ （2）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布列与期望. （3）以表中抽到的 10 户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取 10 户，若抽到k户月用电量为 第一阶梯的可能性最大，求
10、k的值. 21. （本小题满分 12 分）已知函数( )5ln() 1 kx f xxkR x . （1） 若曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线与直线220xy垂直， 求k的值与曲线在点(1,(1)f处的 切线方程； （2）若 * kN，且当(1,)x时，( )0f x 恒成立，求k的最大值. （ln(32 2)1.76） 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 12 2 xt yt （t为参数）. 以O为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系
11、，曲线C的极坐标方程为2 2cos 4 ，若直线l与曲线C交于,A B两点. （1）若(0, 1)P，求|PAPB； （2）若点M是曲线C上不同于,A B的动点，求MAB面积的最大值. 23. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数( ) |1|f xxmx. （1）若1m，解不等式( ) 4f x ； （2）如果对任意的xR，( ) 3f x 恒成立，求实数m的取值范围. 理科数学答案理科数学答案 1. 答案 B 【解析】 由题意， 得22Axx，44Byy， 所以22ABxx. 2. A 【解析】由题意知 1 1 2zi ， 2 1zi ，故11 2zii ， 即 121
12、121 313 111222 iiii zi iii ， 13 22 zi，故选 A. 3. B 【解析】根据条件概率的计算公式 P AB P B A P A ，得所求概率为 1 5 2 4 8 5 . 4. A 【解析】 由 22 11 20 nnnn aaaa 得 11 20 nnnn aaaa ， 又 n a为正项数列， 所以 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是等比数列，且公比2q ，设首项为 1 a，则 5 1 51 1 2 31 1 2 a Sa ， 2 311 24aaa，则 5 3 31 4 S a . 5. C 【解析】因为 2 2 lnln 11 xx fxf x x
13、x ，所以 f x是偶函数。 当0x时， 2 ln 1 x fx x ，则 22 2 2 222 1 2ln 2 1 ln2ln xx xx x fx xxx . 当0xe时， 0fx，所以 2 ln 1 x fx x 在区间0,e上单调递增， 当xe时， 0fx，所以 2 ln 1 x fx x 在区间, e 上单调递减，排除 A，B. 又 2 ln2 110 e f e ee ，排除 D，故选 C. 6. A 【解析】设 4 0 3 yx x的倾斜角为，则 4 sin 5 ， 3 cos 5 . 设射线 5 0 12 yx x 的倾 斜角为，则 5 sin 13 ， 12 cos 13 ，
14、 3124516 coscoscoscossinsin 51351365 . 7. B 【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，同学丙可以从剩下的 10 种中任意选，共 有 11 210 20CC，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，同学丙可以从剩下的 10 种中任意 选，共有 11 310 30CC，所以共有20 3050种，故选 B. 8. C 【解析】由 2 VS hR h，知 2VhR R t. 即 2 hR R tc， 2 c R t hR ，又圆柱的侧面积2SRh 侧 ， 则其侧面积增长速度 22 2 cc ShR th hRR 侧 ， 圆柱的侧面积的增长
15、速度与圆柱半径成反比，比例系数为c，故选 C. 9. B 【解析】如下图所示： 3BPPC，即 3APABACAP， 13 44 APABAC， AMAB，0,0ANAC， 1 ABAM ， 1 ACAN ， 13 44 APAMAN ，M、P、N三点共线，则 13 1 44 . 13333 1211 4444442 ， 当且仅当3时，等号成立，因此，的最小值为 3 1 2 ，故选 B. 10. A 【解析】函数 2 2sincoscos2cos1 sinsin coscos sinsin 222 xxx f xxxx 的图象向左平移 3 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 sin 3
16、g xx . 由 sin 3 g xx 的图象关于y轴对称，可得 g x为偶函数，故 32 k ， kZ，即 6 k ，kZ. 又 2 ，故 6 ，可得函数 sincos 2 g xxx ，则 3 62 g ，故选 A。 11. C 【解析】将 22 4210xyxy 化为圆的标准方程为 22 214xy，故圆心为 2, 1M ，抛物线 2 2ypx的焦点为,0 2 p F ， 依题意可得 1 3120 42 011 3 2 2 p p ，解得2p ，故抛物线的方程为 2 4yx，焦点为1,0F，准线为 1x，由 3 2 BF 及抛物线的定义知点B的横坐标为 1 2 ，代入抛物线方程得 1 ,
17、2 2 B ，不妨取 1 ,2 2 B ，又直线l过点2,0P，解得l的方程为 2 2 2 3 yx，联立得 2 4 2 2 2 2 yx yx ，得 2 21780xx，解得 1 8x ， 2 1 2 x ， 所以 1 1 8 4 2 x y ， 2 2 1 2 2 x y ，得 8,4 2A， 于是 2 2 2 2 64 2 2 17 4 1 3 17 2 2 2 AP t BP ，故选 C. 12. C 【解析】设1 x ta，0t ，则函数 114 xx g xfak ak 可换元为 2 241h ttktk. 若函数 g x有三个不同的零点，则方程 0h t 有两个不相等的实数解 1
18、 t， 2 t，且解的情况有如下三种： 1 1,t ， 2 0,1t ，此时 00h，且 10h，解得 12 45 k； 1 0t ， 2 0,1t ，此时由 00h，得 1 4 k ，所以 2 7 4 h ttt，即 2 7 4 t ，不符合题意； 1 1t ， 2 0,1t ，此时 10h，得 2 5 k ，所以 2 83 55 h ttt，即 2 3 5 t ，符合题意. 综上， 12 45 k，即实数k的取值范围是 1 2 , 4 5 . 13. 2 【解析】因为 6 1 x x 的展开式的通项 6 2 16 rr r TC x ，所以 6 1 1axx x 的展开式中含x的奇 数次方
19、的通项为 5 2 6 rr aC x ，令5 23r ，解得4r . 所以含 3 x的系数为 4 6 30a C，解得2a. 14. C 【解析】易知直线AB的斜率存在，设为2ykx， 由 2 8 , 2 xy ykx 得 2 8160xkx， 16 AB x x ，又 1 2 AF BF ，2 BA xx ， 2 2, 4 2 A B x x 或 2 2, 4 2, A B x x 则 1 6 2 2 OABBA SOF xx . 15. 25 【解析】由三视图可得，该几何体的外接球与以俯视图为底面，以 3 为高的直三棱柱的外接球相 同，如图所示，易知底面是底边长为 4，高为 2 的等腰直角
20、三角形，故底面外接圆的半径2r ，又棱柱的 高为 3，故四棱锥的外接球半径 2 2 35 2 22 R ，所以外接球的表面积 2 425SR. 16. 2 2 510, 51050, nnn nnn 【解析】 因为 1 9a ， 2 a为整数， 所以等差数列 n a的公差d为整数. 又 5n SS， 故 5 0a ， 6 0a ，即940d，9 50d，解得 99 45 d ，故2d ， 所以11 2 n an， 当5n时， 2 1212 9 11 2 10 2 nn nn aaaaaann . 当5n时， 121234567nn aaaaaaaaaaa 1234512345 2 n aaaa
21、aaaaaaa 22 5 250101050 n SSnnnn， 综上可得， 2 12 2 510, 51050, n nnn aaa nnn . 17. 【答案】 （1）60C ； （2） 19 2 CE 【详解】 （1）由题设及余弦定理得： 222 2cos13 12cosBDBCCDBC CDCC， 222 2cos54cosBDABDAAB DAAC， 所以 1 cos 2 C ，60C ； （2）由 1 2 CECDCB，得 22211119 249223 4424 CECDCBCD CB 所以 19 2 CE . 18. 解（1）证明：因为平面 11 ACC A 平面ABC，平面
22、11 ACC A平面ABCAC，BC 平面ABC， 90ACB，所以BC 平面 11 ACC A，2 分 因为 1 AC 平面 11 ACC A，所以 1 BCAC， 因为 11 / /BCBC，所以 111 ACBC， 因为 11 ACC A是平行四边形，且 1 AAAC， 所以 11 ACC A是菱形，则 11 ACAC， 因为 1111 ACBCC，所以 1 AC 平面 11 ABC. 又 1 AC 平面 11 ABC，所以平面 11 ABC 平面 11 ABC. 5 分 （2）取AC的中点M，连接 1 AM，因为四边形 11 ACC A是菱形， 1 60A AC， 所以 1 ACA是正
23、三角形，所以 1 AMAC，且 1 3 2 AMAC， 令 1 22AAACCB，则 1 3AM . 7 分 以C为原点，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过点C且平行于 1 AM的直线为z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，则0,0,0C，2,0,0A， 1 1,0, 3C ，0,1,0B， 1 1,0, 3A， 2,0,0CA， 11111 1,0, 30,1,01,1, 3CBCCC BCCCB ， 1 1,0, 3CA . 设平面 1 ACB的一个法向量为, ,nx y z，则 1 0 0 n CA n CB 所以 20 30 x xyz ， 得0x，令1z ， 则3y ，所以
24、 0,3,1n . 9 分 由（1）知 1 AC 平面 11 ABC，所以 1 1,0, 3CA 是平面 11 ABC的一个法向量， 因为 1 1 1 33 cos, 41 33 1 CA n CA n CA n . 所以二面角 11 CABC的余弦值为 3 4 . 12 分 19. 【答案】 （1） 22 1 94 xy ； （2） 1 2 . 【解析】分析： （）由题意结合几何关系可求得3a ，2b. 则椭圆的方程为 22 1 94 xy . （）设点P的坐标为 11 ,x y，点M的坐标为 22 ,x y，由题意可得 21 5xx. 易知直线AB的方程为236xy，由方程组 236, ,
25、 xy ykx 可得 2 6 32 x k . 由方程组 22 1, 94 , xy ykx 可 得 1 2 6 94 x k . 结合 21 5xx，可得 8 9 k ，或 1 2 k . 经检验k的值为 1 2 . 详 解 ： （ ） 设 椭 圆 的 焦 距 为2c， 由 已 知 得 2 2 5 9 c a ， 又 由 222 abc， 可 得23ab. 由 22 13ABab，从而3a ，2b. 所以，椭圆的方程为 22 1 94 xy . （）设点P的坐标为 11 ,x y，点M的坐标为 22 ,x y，由题意， 21 0xx， 点Q的坐标为 11 ,xy. 由VBPM的面积是VBPQ
26、面积的 2 倍，可得2PMPQ， 从而 2111 2xxxx ，即 21 5xx. 易知直线AB的方程为236xy，由方程组 236, , xy ykx 消去y，可得 2 6 32 x k . 由方程组 22 1, 94 , xy ykx 消去y，可得 1 2 6 94 x k . 由 21 5xx，可得 2 945 32kk，两边平方，整理得 2 182580kk，解得 8 9 k ，或 1 2 k . 当 8 9 k 时， 2 90x ，不合题意，舍去；当 1 2 k 时， 2 12x ， 1 12 5 x ，符合题意. 所以，k的值为 1 2 . 20. 解（1）由题意知，居民用电户月用
27、电 410 度时应交电费 210 0.54002100.64104000.8227（元）. 3 分 （2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有 3 户，则可取 0，1，2，3， 3 7 3 10 7 0 24 C P C ， 21 73 3 10 21 1 40 C C P C ， 12 73 3 10 7 2 40 C C P C ， 3 3 3 10 1 3 120 C P C . 故的分布列是 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 所以 721719 0123 24404012010 E . 7 分 （3）由题意可知，从全市中抽取 10 户，设
28、其月用电量为第一阶梯的户数为X，则 3 10, 5 XB ， 10 10 32 0,1,2,3,10 55 kk k P XkCk ， 1019 1 1010 10111 1 1010 3232 , 5555 3232 , 5555 kkkk kk kkkk kk CC CC 解得 2833 55 k，*kN， 所以当6k 时，概率最大，所以6k . 12 分 21. 【解析】 （1）因为 2 1 1 k fx x x ，所以 15 2 k f， 11 4 k f ， 又曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线220xy垂直， 故12 4 k ，解得4k ，所以 17f， 12 f . 所以
29、曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为721yx，即250xy. （5 分） （2）当1,x时， 0f x 恒成立等价于5ln 1 kx x x 恒成立， 等价于当1,x时， 1 5lnxx k x 恒成立. （6 分） 设 1 5ln 1 xx h xx x ， 则 2 4ln 1 xx h xx x ， 记 4 ln1p xxx x ，则 11 10 x px xx ，所以 p x在1,x上单调递增. 又 51 ln50p ， 62 ln60p， 所以 p x在1,x上存在唯一的实数根5,6m， （9 分） 使得 4 ln0p mmm ， 因此当1,xm时， 0p x ，即 0h x，
30、则 h x在1,xm上单调递减； 当,xm时， 0p x ，即 0h x，则 h x在,xm上单调递增. 所以当1,x时， min 1 5lnmm h xh m m ， （10 分） 由可得ln4mm，所以 111 2 mm h mm mm . 因为5,6m， 136 49 2, 56 m m ，又 32 28h， 32 22 21 ln 32 20p ，所以 5,32 2m. 因此 36 ,8 5 h m ，又*kN，所以 max 7k. （12 分） 22. 【解析】 （1）2 2cos 4 可化为2cos2sin，将 cos sin x y ，代入，得曲线C的 直角坐标方程为 22 11
31、2xy. 将直线l的参数方程化为 1 3 2 2 1 3 xt yt （t为参数） ，代入 22 112xy， 得 2 2 10 3 tt ，设方程的解为 1 t， 2 t，则 12 2 3 tt， 1 2 1t t ， 因而 2 12121 22 2 2 10 22 3 PAPBttttt tt t. （5 分） （2）将直线l的参数方程化为普通方程得2 210xy ， 设 12cos , 12sinM ，由点到直线的距离公式， 得M到直线AB的距离为 2 2 12cos12sin12 24cos2sin 33 d ， 最大值为 5 2 3 ，由（1）知 2 10 3 ABPAPB， 因而M
32、AB面积的最大值为 15 22 1010 5 2339 . （10 分） 23. 【解析】 （1）当1m时， 11f xxx . 由 4f x 得114xx . 解法一 当1x时，不等式化为114xx ， 即24x，解集为, 2 . 当11x 时，不等式化为114xx ，不成立， 当1x时，不等式化为114xx ， 即24x，解集为2,. 综上， 4f x 的解集为 , 22, . （5 分） 解法二 因为表示数轴上的动点到两个定点，1 的距离之和， 数形结合可知当或时，. 故 4f x 的解集为 , 22, . （5 分） （2）当1m时， 21f xx不满足题意. 当1m时， 21, 1,1 21 ,1 xmxm f xm mx xmx 此时 f x的最小值为1 m， 依题意得13m，即2m. 当1m时， 21,1 1,1 21 , xmx f xmxm xmxm 此时 f x的最小值为1m. 依题意得13m ，即4m. 综上，实数m的取值范围是 , 24, . （10 分）
