1、若集合 Ax|0x2，Bx|x21，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x2 Cx|0x2 Dx|x0 或 x 1 2 （5 分）已知 a 为实数，若复数（a+i） （12i）为纯虚数，则 a（ ） A2 B C D2 3 （5 分）sin215+cos215+sin15cos15的值等于（ ） A B C D 4 （5 分）若 alog3，blog23，c（）0.3，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bbca Cbac Dcab 5 （5 分）在半径为 2 的圆形纸板中间，有一个边长为 2 的正方形孔，现向纸板中随机投飞 针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A B C
2、D 6 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长 两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n（ ） 第 2 页（共 24 页） A5 B4 C3 D2 7 （5 分） （1+2x2） （x）6的展开式中，含有 x2的项的系数是（ ） A55 B25 C25 D40 8 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）等差数列an的首项为 2，公差不等于 0，且 a32a1a7，则数列的前 2019 项和为（ ） A B C D 10 （5 分） 已知抛物线
3、 y28x 的焦点与双曲线的一个焦点重合， 第 3 页（共 24 页） 且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为 6，那么该双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 11（5 分） 已知如图所示的三棱锥 DABC 的四个顶点均在球 O 的球面上， ABC 和DBC 所在的平面互相垂直，AB3，AC，BCCDBD2，则球 O 的体积为（ ） A B C D36 12 （5 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）a 有 3 个零 点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，） B （1，） C （e2，1） D （，1） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小
4、题，每小题 5 分共分共 20 分分.） 13 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则 zx2+y2的最小值为 14 （5 分）曲线 ylnx+在 x1 处的切线的倾斜角为 15 （5 分）各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S310，S630，则 S12 16 （5 分）已知点（8a，4b） （a0，b0）在圆 C：x2+y24 和圆 M： （x2）2+（y2） 24 的公共弦上，则 的最小值为 三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17 （12 分）已知 （sinx，cosx） ， （cosx，c
5、osx） ，xR，设 f（x） （1）求 f（x）的解析式并求出它的周期 T （2）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a1，b+c2，f（A）1， 求ABC 的面积 18 （12 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上除 A，B 外的一个动点，DC 垂直于 第 4 页（共 24 页） 半圆 O 所在的平面，DCSB，DCEB1，AS4 （1）证明：DE平面 ACD； （2）当点 C 为半圆的中点时，求二面角 DAEB 的正弦值 19 （12 分）随着经济的发展，个人收入的提高，自 2019 年 1 月 1 日起，个人所得税起征 点和税率作了调整调整如
6、下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除 5000 元后的余额为应纳税所得额依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表： 个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税 率表（调整后） 免征额 3500 元 免征额 5000 元 级数 全月应纳税所得额 税率 （%） 级 数 全月 应纳 税所 得额 税率 （%） 1 不超过 1500 元部分 3 1 不超 过 3000 元部 分 3 2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10 2 超过 3000 元至 12000 元的 部分 10 3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 3 超过20 第 5 页（共 24 页） 1200
7、0 元至 25000 元的 部分 （1）假如小明某月的工资、薪金等税前收入为 7500 元，请你帮小明算一下调整后小明 的实际收入比调整前增加了多少？ （2） 某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个不同层次员工的税前 收入，并制成下面的频数分布表： 收入（元） 3000， 5000） 5000， 7000） 7000， 9000） 9000， 11000） 11000， 13000） 13000， 15000） 人数 40 30 10 8 7 5 先从收入在3000，5000）及5000，7000）的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 3 人作为新纳税法知识宣讲员，用
8、随机变量 X 表示抽到作为宣讲员的收入在3000，5000） 元的人数，求 X 的分布列与数学期望 20 （12 分）已知椭圆+1（ab0）的离心率，一个长轴顶点在直线 yx+2 上，若直线 l 与椭圆交于 P，Q 两点，O 为坐标原点，直线 OP 的斜率为 k1，直线 OQ 的 斜率为 k2 （1）求该椭圆的方程； （2）若 k1k2，试问OPQ 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是， 请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2（2a+1）x+2lnx （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）当 a0 时，证明：f（x）2exx4（其中 e 为自然对数的底
9、数） 选做题：考生在第选做题：考生在第 22 题，题，23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清 题号， （本题满分题号， （本题满分 10 分）分） 第 6 页（共 24 页） 22 （10 分）已知过点 P（a，0）的直线 l 的参数方程是（t 为参数） ，以平面直 角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 6cos （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试问是否存在实数 a，使得？若存 在，求出实数 a 的
10、值；若不存在，说明理由 23已知 a0，b0，c0，函数 f（x）|x+a|+|xb|+c （1）当 abc1 时，求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 3，求 a+b+c 的值，并求+的最小值 第 7 页（共 24 页） 2019-2020 学年广西柳州高中高三 （上） 第二次统测数学试卷 （理学年广西柳州高中高三 （上） 第二次统测数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题小题.每小题每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有
11、一项是符合题目要求的 ）一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）若集合 Ax|0x2，Bx|x21，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x2 Cx|0x2 Dx|x0 或 x 1 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|0x2，Bx|1x1， ABx|0x1 故选：A 【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算 能力，属于基础题 2 （5 分）已知 a 为实数，若复数（a+i） （12i）为纯虚数，则 a（ ） A2 B C D2 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可 【解答】解： （a+i） （12
12、i）a+2+（12a）i， 复数是纯虚数， a+20 且 12a0， 得 a2 且 a， 即 a2， 故选：A 【点评】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是 解决本题的关键 3 （5 分）sin215+cos215+sin15cos15的值等于（ ） A B C D 第 8 页（共 24 页） 【分析】由题意利用二倍角公式，求得要求式子的值 【解答】解：sin215+cos215+sin15cos15+ ， 故选：B 【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题 4 （5 分）若 alog3，blog23，c（）0.3，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A
13、cba Bbca Cbac Dcab 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 【解答】解：alog30，blog23（1，2） ，c（）0.3（0，1） ， 则 acb 故选：B 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题 5 （5 分）在半径为 2 的圆形纸板中间，有一个边长为 2 的正方形孔，现向纸板中随机投飞 针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A B C D 【分析】利用题意将原问题转化为面积比值的问题，据此整理计算即可求得最终结果 【解答】解：利用面积型几何概型公式可得， 圆形铜片的面积 S4，中间方孔的面积为 S4， 油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值
14、， 即油滴正好落入孔中的概率为 p 故选：D 【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属 于基础题 6 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长 两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n（ ） 第 9 页（共 24 页） A5 B4 C3 D2 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当 n1 时，a，b4，满足进行循环的条件，
15、当 n2 时，a，b8 满足进行循环的条件， 当 n3 时，a，b16 满足进行循环的条件， 当 n4 时，a，b32 不满足进行循环的条件， 故输出的 n 值为 4， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答 7 （5 分） （1+2x2） （x）6的展开式中，含有 x2的项的系数是（ ） A55 B25 C25 D40 【分析】根据二项式定理的通项公式分别进行讨论求解即可 【解答】解： （x）6的展开式的通项公式为 C x6 k（ ）k（1）kC x6 2k， 第 10 页（共 24 页） 若第一因式是 1，则第二个式子为 x2
16、，此时由 62k2，得 2k4，得 k2，此时 x2项 的系数为（1）2C 15， 若第一因式是 2x2，则第二个式子为常数，此时由 62k0，得 2k6，得 k3，此时常 数为（1）3C 20，此时 x2项的系数为20240， 综上含有 x2的项的系数是40+1525， 故选：C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求出通项公式，利用分类讨论是解决本题的 关键比较基础 8 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】先判断函数奇函数，再求出 f（1）即可判断 【解答】解：f（x）f（x） ， 则函数 f（x）为奇函数，故排除 AD， 当 x1 时，f（1）1+cos
17、10，故排除 B， 故选：C 【点评】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题 9 （5 分）等差数列an的首项为 2，公差不等于 0，且 a32a1a7，则数列的前 2019 项和为（ ） A B C D 【分析】先设等差数列an的公差为 d，根据题中条件求出公差，得到 ann+1 再由裂项 相消法即可求出结果 【解答】解：设等差数列an的公差为 d， 第 11 页（共 24 页） 由 a12，a32a1a7，可得（2+2d）22（2+6d） ，所以 d1，因此 ann+1， 所以， 所以数列的前 2019 项和为： 故选：B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公
18、式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即 可，属于常考题型 10 （5 分） 已知抛物线 y28x 的焦点与双曲线的一个焦点重合， 且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为 6，那么该双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 【分析】先求出双曲线的焦点坐标，再利用抛物线 y28x 的准线被双曲线截得的线段长 为 6，可得，借助于 c2a2+b2，求出 a，即可求出双曲线的离心率 【解答】解：由抛物线 y28x，可得 2p8，则 p4，故其准线方程为 x2， 抛物线 y28x 的准线过双曲线的左焦点， c2 抛物线 y28x 的准线被双曲线截得的线段长为 6， 6，又 c24a2+b2， a1，b，
19、 则双曲线的离心率为 e 故选：A 【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查计算能力是中档题 11（5 分） 已知如图所示的三棱锥 DABC 的四个顶点均在球 O 的球面上， ABC 和DBC 所在的平面互相垂直，AB3，AC，BCCDBD2，则球 O 的体积为（ ） 第 12 页（共 24 页） A B C D36 【分析】证明 ACAB，可得ABC 的外接圆的半径为，利用ABC 和DBC 所在平 面相互垂直，球心在 BC 边的高上，设球心到平面 ABC 的距离为 h，则 h2+3R2 （h）2，求出球的半径，即可求出球 O 的体积 【解答】解：AB3，AC，BC2， AB2+AC2B
20、C2， ACAB， ABC 的外接圆的半径为， ABC 和DBC 所在平面相互垂直， 球心在 BC 边的高上， 设球心到平面 ABC 的距离为 h，则 h2+3R2（h）2， h1，R2， 球 O 体积为 故选：C 【点评】本题考查球 O 的体积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键 12 （5 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）a 有 3 个零 点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，） B （1，） C （e2，1） D （，1） 【分析】将函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点转化为 yf（x）与 ya 有三个交点，在 同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数
21、a 的取值范围 【解答】解：f（x）， 第 13 页（共 24 页） 函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点方程 f（x）a 有 3 个根yf（x）与 ya 有 三个交点， 由 f（x）得： 当 x2 时，函数 f（x）取得极大值； ， 在同一坐标系中作出两函数的图象如下： 由图可知，当 0a时，yf（x）与 ya 有三个交点， 即函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点 故选：A 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点转 化为 yf（x）与 ya 有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运 用，属于中档题 二、填空题： （本大题共
22、二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分分.） 13 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则 zx2+y2的最小值为 2 【分析】由约束条件作出可行域，再由 zx2+y2的几何意义，即可行域内动点 P（x，y） 到原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解 【解答】解：zx2+y2，z 的几何意义为动点 P（x，y）到原点距离的平方 第 14 页（共 24 页） 作出 x，y 满足不等式组对应的平面区域如图： 由图可知：原点到直线 x+y20 的距离最小 由点到直线距离公式得 d， zx2+y2的最小值为 zd22 故答案为：2 【点评】本题考查简单的线
23、性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 14 （5 分）曲线 ylnx+在 x1 处的切线的倾斜角为 【分析】求得函数 y 的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角 【解答】解：ylnx+的导数为 y， 可得曲线 ylnx+在 x1 处的切线的斜率为 k121， 由 tan1，0，可得 ， 故答案为： 【点评】本题考查导数的几何意义，考查直线的斜率公式的运用，运算能力，属于基础 题 15 （5 分）各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S310，S630，则 S12 150 【分析】数列an是各项均为正数的等比数列，所以 S3，S6S3，S9S6，S12S
24、9， 也成等比数列，又因为 S310，S630，所以 S310，S6S320，S9S640，S12 S980，故 S12150 第 15 页（共 24 页） 【解答】解：依题意，数列an是各项均为正数的等比数列， 所以 S3，S6S3，S9S6，S12S9，也成等比数列， 因为 S310，S630， 所以 S310，S6S320，S9S640，S12S980， 所以 S12S3+S6S3+S9S6+S12S9150 故答案为：150 【点评】本题考查了等比数列的性质，等比数列的前 n 项和，属于基础题 16 （5 分）已知点（8a，4b） （a0，b0）在圆 C：x2+y24 和圆 M： （x
25、2）2+（y2） 24 的公共弦上，则 的最小值为 16 【分析】根据题意，联立两个圆的方程，变形可得两圆公共弦的方程，即可得 4a+2b1， 据此可得（） （4a+2b）8+，结合基本不等式的性质分析可得答 案 【解答】解：根据题意，圆 C：x2+y24 和圆 M： （x2）2+（y2）24， 联立， 变形可得：x+y2， 即两圆公共弦所在直线的方程为 x+y2， 若点（8a，4b） （a0，b0）在圆 C 和圆 M 的公共弦上，则有 8a+4b2，即 4a+2b1， 则（） （4a+2b）8+， 又由 a0，b0，则+28，当且仅当 b4a 时等号成立， 故8+16， 即的最小值为 16；
26、 故答案为：16 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题 三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17 （12 分）已知 （sinx，cosx） ， （cosx，cosx） ，xR，设 f（x） （1）求 f（x）的解析式并求出它的周期 T 第 16 页（共 24 页） （2）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a1，b+c2，f（A）1， 求ABC 的面积 【分析】 （1）平面向量数量积的运算得：f（x）sinxcosx+cos2x sin2x+cos2x+s
27、in（2x+），即函数的周期 T， （2）由余弦定理及三角形面积公式得：因为 f（A）1，所以 A，又 a1，b+c 2，由余弦定理 a2b2+c22bccosA 得：所以 bc1，即 SABC，得解 【解答】解： （1）由 （sinx，cosx） ， （cosx，cosx） ，xR， 则 f（x） sinxcosx+cos2xsin2x+cos2x+sin（2x+）， 即函数的周期 T， 故 f（x）sin（2x+），周期为 （2）因为 f（A）1， 所以 sin（2A+）+1， 所以 sin（2A+）， 又 2A（，） ， 所以 2A+， 所以 A， 又 a1，b+c2， 由余弦定理 a2
28、b2+c22bccosA 得： 1b2+c2bc， 所以（b+c）23bc1， 所以 bc1， 即 SABC， 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算、余弦定理及三角形面积公式，属中档题 18 （12 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上除 A，B 外的一个动点，DC 垂直于 第 17 页（共 24 页） 半圆 O 所在的平面，DCSB，DCEB1，AS4 （1）证明：DE平面 ACD； （2）当点 C 为半圆的中点时，求二面角 DAEB 的正弦值 【分析】 （1）由已知得 BCAC，再由 CD平面 ABC，得 CDBC，利用线面垂直的判 定得BC平面ACD， 证
29、明四边形 BCDE 为平行四边形， 得到BCDE， 则DE平面ACD； （2）建立空间直角坐标系 Cxyz，分别求出平面 DAE 与平面 ABE 的一个法向量，由两 法向量所成角的余弦值可得二面角 DAEB 的正弦值 【解答】 （1）证明：AB 是半圆 O 的直径，BCAC， CD平面 ABC，CDBC， 又 CDACC，BC平面 ACD， DCEB，DCEB，四边形 BCDE 为平行四边形 BCDE，则 DE平面 ACD； （2）解：依题意，ACBC， 如图所示，建立空间直角坐标系 Cxyz， 则 D（0，0，1） ，A（，0，0） ，B（0，0） ，E（0，1） ， ， 设平面 DAE 的
30、法向量为， 则，取 x11，得； 设平面 ABE 的法向量为， 则，取 x21，得 第 18 页（共 24 页） cos 二面角 DAEB 的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 19 （12 分）随着经济的发展，个人收入的提高，自 2019 年 1 月 1 日起，个人所得税起征 点和税率作了调整调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除 5000 元后的余额为应纳税所得额依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表： 个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税 率表（调整后） 免征额 3500 元 免征
31、额 5000 元 级数 全月应纳税所得额 税率 （%） 级 数 全月 应纳 税所 得额 税率 （%） 1 不超过 1500 元部分 3 1 不超 过 3000 元部 分 3 2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10 2 超过 3000 元至 10 第 19 页（共 24 页） 12000 元的 部分 3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 3 超过 12000 元至 25000 元的 部分 20 （1）假如小明某月的工资、薪金等税前收入为 7500 元，请你帮小明算一下调整后小明 的实际收入比调整前增加了多少？ （2） 某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月 1
32、00 个不同层次员工的税前 收入，并制成下面的频数分布表： 收入（元） 3000， 5000） 5000， 7000） 7000， 9000） 9000， 11000） 11000， 13000） 13000， 15000） 人数 40 30 10 8 7 5 先从收入在3000，5000）及5000，7000）的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 3 人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量 X 表示抽到作为宣讲员的收入在3000，5000） 元的人数，求 X 的分布列与数学期望 【分析】 （1）分别计算小明调整前后的税收，实际收入比调整前增加的为税收减少的部 分 （2）由频数分布表可知抽取
33、的 7 人3000，5000中占 4 人，5000，7000）中占 3 人，X 的取值可能值 0，1，2，3；列出分布列，利用期望定义公式计算即可 【解答】解： （1）按调整起征点前应纳税为：15000.03+25000.1295； 按调整起征点后应纳税为：25000.0375；29575220； 所以小明实际收入增加了 220 元； （2）由频数分布表可知抽取的 7 人3000，5000中占 4 人，5000，7000）中占 3 人， X 的取值可能值 0，1，2，3； 第 20 页（共 24 页） P（X0）； P（X1）； P（X2）； P（X3）； 所以 X 的分布列为： X 0 1
34、2 3 P E（X）0+1+2+3； 【点评】本题考查了税收的计算，离散型随机变量的期望的计算和定义，属于基础题 20 （12 分）已知椭圆+1（ab0）的离心率，一个长轴顶点在直线 yx+2 上，若直线 l 与椭圆交于 P，Q 两点，O 为坐标原点，直线 OP 的斜率为 k1，直线 OQ 的 斜率为 k2 （1）求该椭圆的方程； （2）若 k1k2，试问OPQ 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是， 请说明理由 【分析】 （1）根据条件可得 a2，由离心率得 c，进而求出 b； （2）分别算出 PQ 斜率存在与不存在时的面积 【解答】解： （1）因为直线 yx+2 与 x 轴的交点坐
35、标为（2，0） ，所以 a2，则由 e 得 c，所以 b1， 所以椭圆的方程为：； （2）设 P（x1，y1 ） ，Q（x2，y2） ， 第 21 页（共 24 页） 当直线 PQ 的斜率存在时，设其方程为 ykx+m，联立， 整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m240， 则64k2m24（4k2+1） （4m24）0，解得 m24k2+1， 则 x1+x2，x1x2， 所以|PQ|x1x2|， 又点 O 到直线 ykx+m 的距离 d， 所以 SOPQd|PQ|2|m|， 又因为 k1k2， 所以 4k22m21，所以 SOPQ2|m|1， 当直线 PQ 的斜率不存在时，SOPQ1， 故
36、 SOPQ的面积是定值 1 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及直线与椭圆形成的三角形面积表示，属于中 档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2（2a+1）x+2lnx （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）当 a0 时，证明：f（x）2exx4（其中 e 为自然对数的底数） 【分析】 （1）由 f（x）x23x+2lnx，x0，可得 f（x）x3+， 即可得出单调性 （2）当 a0 时，由 f（x）2exx4，只需证明 exlnx+2，令 h（x）exlnx2（x 0） ，通过求导研究函数的单调性即可得出 【解答】解： （1）f（x）x23x+2lnx，x0， 第
37、 22 页（共 24 页） f（x）x3+， 令 f（x）0，解得 x1，或 x2， 当 f（x）0 时，解得 0x1 或 x2， 当 f（x）0 时，解得 1x2， 单调递增区间为（0，1） ， （2，+） ，单调递减区间为（1，2） （2）当 a0 时，由 f（x）2exx4， 只需证明 exlnx+2， 令 h（x）exlnx2（x0） ，h（x）ex， h（x）ex+0，故 h（x）递增， h（1）e10，h（）20， 故存在 x0（，1） ，使得 h（x0）0， 即0， 当 x（0，x0）时，h（x）0，h（x）递减， 当 x（x0，+）时，h（x）0，h（x）递增， 故 xx0时，
38、h（x）取得唯一的极小值，也是最小值， h（x）的最小值是 h（x）lnx02+x020， （0x01，） 另解：构造不等式，ex1xlnx+1（x0） ，即可证明 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分 类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 选做题：考生在第选做题：考生在第 22 题，题，23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清 题号， （本题满分题号， （本题满分 10 分）分） 22 （10 分）已知过点 P（a，0）的直线 l 的参数方程是（t 为参数） ，以平面直
39、 角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 6cos 第 23 页（共 24 页） （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试问是否存在实数 a，使得？若存 在，求出实数 a 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）把直线参数方程中的参数 t 消去，可得直线的普通方程，由 6cos，得 2 6cos，结合 2x2+y2，xcos，可得曲线 C 的直角坐标方程； （2）求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线 l 的距离，由垂径定理列式求得 a 值 【解答】解： （1）由（t 为参数） ，
40、消 t 得直线 l 的普通方程为 由 6cos，得 26cos， 代入 2x2+y2，xcos， 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y26x0； （2）由于曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y26x0，则圆心（3，0） ，r3， 圆心到直线 l 的距离， 根据垂径定理可得，即， 解得 实数 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位 置关系的应用，是中档题 23已知 a0，b0，c0，函数 f（x）|x+a|+|xb|+c （1）当 abc1 时，求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 3，求 a+b+c 的值，并求+的最小值 【分析】
41、 （1）直接利用绝对值不等式的应用求出结果 （2）利用关系式的变换和柯西不等式的应用求出结果 【解答】解： （1）当 abc1 时，不等式 f（x）5 即|x+1|+|x1|+15，化为|x+1|+|x 1|4 当 x1 时，化为：x+1+x14，解得 x2； 当1x1 时，化为：x+1（x1）4，化为：24，解得 x； 当 x1 时，化为：（x+1）（x1）4，解得 x2 第 24 页（共 24 页） 综上可得：不等式 f（x）5 的解集为： （，2）（2，+） ； （2）由绝对值三角不等式得 f（x）|x+a|+|xb|+c|（x+a）（xb）|+ca+b+c3， 由柯西不等式得 ， ，当且仅当 abc1 时，等号成立， 因此，的最小值为 3 【点评】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，柯西不等式的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型
