1、已知 为任意角，则“cos2”是“sin”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 3 （5 分）某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人 按 1， 2， ， 840 随机编号， 则抽取的 42 人中， 编号落入区间481， 720的人数为 （ ） A11 B12 C13 D14 4 （5 分）若，且，则 与 的夹角是（ ） A B C D 5 （5 分）袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为 （ ） A B C D 6 （5 分）下列命题： 若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个
2、常数后，则样本的方差不变； 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； 设随机变量 服从正态分布 N（0，1） ，若 P（2）p，则 P（20）p； 对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2的观测值 k 来说，k 越小，判断“X 与 Y 有关系”的 把握越大其中正确的命题序号是（ ） A B C D 7 （5 分）在的展开式中，x3的系数为（ ） A5 B5 C10 D10 8 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线的斜率为，焦距为 第 2 页（共 23 页） 10，则双曲线 C 的方程为（ ） A1 B1 C1 D1 9 （5 分）某单位安排 7 位
3、工作人员在 10 月 1 日到 10 月 7 日值班，每人值一天，其中甲、 乙二人安排在相邻两天，并且甲只能在双日值班，则不同的安排方法有（ ） A120 种 B240 种 C360 种 D720 种 10 （5 分）如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，D 是棱 PB 的中点，已知 PABC 2，AB4，CBAB，则异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 11 （5 分）已知 P 是函数 f（x）x2图象上的一点，过点 P 作圆 x2+y24y+30 的两条切 线，切点分别为 A，B，则的最小值为（ ） A B23 C0 D 12 （5 分）若函数 f（x）x2
4、ax+blnx 在区间（1，2）上有两个极值点，则 b 的可能取 值为（ ） A3 B4 C5 D6 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件则 z2xy 的最小值为 14 （5 分）若等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a4b48，则 a3+b3 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 中，PAB 是面积为 4的等边三角形，ACB，则 当点 C 到平面 PAB 的距离最大时，三棱锥 PABC 外接球的表面积为 第 3 页（共 23 页） 16 （5 分）已知函数，若正实数 a，b 满足 f（4a）+f（b1）0，则
5、 的最小值为 三、解答题（三、解答题（17-21 每小题每小题 12 分，分，22 或者或者 23 题题 10 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a+b2ccosB， （1）求角 C； （2）延长线段 AC 到点 D，使 CDCB，求ABD 周长的取值范围 18 （12 分）在ABC 中（图 1） ，AB5，AC7，D 为线段 AC 上的点，且 BDCD4， 以 BD 为折线，把BDC 翻折，得到如图 2 所示的图形，M 为 BC 的中点，且 AMBC， 连接 AC （1）求证：ABCD； （2）求二面角 BACD 的余弦值 19 （12
6、 分）为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识 问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？ 不合格 合格 男生 14 16 女生 10 20 （1）是否有 90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？ （2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取 9 人进行座谈，再从这 9 人 中随机抽取 5 人发送奖品， 记拿到奖品的男生人数为 X， 求 X 的分布列及数学期望 E （X） 附： P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.703 3.841 6.635 10.828 20 （12 分）
7、已知函数 f（x）（ab）x2xxlnx 第 4 页（共 23 页） （1）若曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线与 x 轴平行，且 f（1）a，求 a，b 的 值； （2）若 a1，f（x）0 对 x（0，+）恒成立，求 b 的取值范围 21 （12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆的离 心率为，过椭圆 C1的左焦点 F1，且斜率为 1 的直线 l，与以右焦点 F2为圆心，半径为 的圆 C2相切 （1）求椭圆 C1的标准方程； （2）线段 MN 是椭圆 C1过右焦点 F2的弦，且，求MF1N 的面积的最大 值以及取最大值时实数 的值 从从 22 题，题，23 题任选一题
8、进行作答题任选一题进行作答选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线 C1的方程为（x 1）2+y21，C2的方程为 x+y3，C3是一条经过原点且斜率大于 0 的直线 （1）求 C1与 C2的极坐标方程； （2） 若C1与C3的一个公共点为A （异于点O） ， C2与C3的一个公共点为B， 求|OA| 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正实数 a，b 满足 a+b4 （1）求+的最小值 （2）证明： 第 5 页（共 23 页） 2019-2020 学年广西柳州高中高二（下）月考
9、数学试卷（理科）学年广西柳州高中高二（下）月考数学试卷（理科） （二） （二） （2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）复数 z 满足 z（1i）|3+4i|，则 z（ ） A B C D 【分析】先求复数的模，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 2 （5 分）已知 为任意角，则“cos2”是“sin”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【分析】通过证明，
10、可判断充要性 【解答】解：若 cos2，则 cos21sin2，sin，则 cos2”是“sin ”的不充分条件； 若 sin，则 cos21sin2，cos2，则 cos2”是“sin”的必要 条件； 综上所述： “cos2”是“sin”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查充要性，属于基础题 3 （5 分）某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人 按 1， 2， ， 840 随机编号， 则抽取的 42 人中， 编号落入区间481， 720的人数为 （ ） A11 B12 C13 D14 第 6 页（共 23 页） 【分析】根据系统抽样方法
11、，从 840 人中抽取 42 人，那么从 20 人抽取 1 人从而得出 从编号 481720 共 240 人中抽取的人数即可 【解答】解：使用系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，即从 20 人抽取 1 人 所以从 481720 共 240 人中抽取12 人 故选：B 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题 4 （5 分）若，且，则 与 的夹角是（ ） A B C D 【分析】根据可得到，进而求出，从而可求出 的值，从而得出 与 的夹角 【解答】解：； 0； ； ； 又； 的夹角为 故选：B 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围 5 （5
12、 分）袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为 （ ） A B C D 第 7 页（共 23 页） 【分析】所有的取法有 C52 种不同方法，分别求出取出的两个球都是白球的概率及取出 的两个球都是黑球的概率，相加即得所求 【解答】解：所有的取法有 C52 种不同方法，故取出的两个球都是白球的概率为 ， 取出的两个球都是黑球的概率为 ， 故两球同色的概率为 + 故选：B 【点评】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题 6 （5 分）下列命题： 若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； 在残差图中，残差点分布的带状区
13、域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； 设随机变量 服从正态分布 N（0，1） ，若 P（2）p，则 P（20）p； 对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2的观测值 k 来说，k 越小，判断“X 与 Y 有关系”的 把握越大其中正确的命题序号是（ ） A B C D 【分析】根据方差的概念与计算公式即可判断；由残差图的性质即可判断；根据正 态分布的性质可判断；根据随机变量 K2的含义可判断 【解答】解：若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，由方差的计算公 式可得样本的方差不变，即正确； 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，即正 确； 设随机变量 服从
14、正态分布 N（0，1） ，若 P（2）p，则 P（2）p， ，即正确； 对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2的观测值 k 来说，k 越大，判断“X 与 Y 有关系”的 把握越大，即错误 故选：B 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查统计，涉及方差、残差图、正态分布、独立性检验等概念和计算公式， 属于基础题 7 （5 分）在的展开式中，x3的系数为（ ） A5 B5 C10 D10 【分析】写出（x）5的展开式的通项公式，令 52r3，即可求得结论 【解答】解： （x） 5 的展开式的通项公式为 Tr+1 令 52r3，则 r1，（x）5的展开式中含 x3项的系数是5 故选：A 【点
15、评】本题考查二项式的展开式的通项公式，考查特殊项，考查学生的计算能力，属 于基础题 8 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线的斜率为，焦距为 10，则双曲线 C 的方程为（ ） A1 B1 C1 D1 【分析】利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到 双曲线方程 【解答】解：焦距为 10，c5，曲线的焦点坐标为（5，0） ， 双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线的斜率为， ，25a2+b2，解得 a4，b3， 所求的双曲线方程为：1 故选：D 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力 9 （5 分）某单位安排
16、 7 位工作人员在 10 月 1 日到 10 月 7 日值班，每人值一天，其中甲、 第 9 页（共 23 页） 乙二人安排在相邻两天，并且甲只能在双日值班，则不同的安排方法有（ ） A120 种 B240 种 C360 种 D720 种 【分析】根据题意，依次分析甲、乙和其他三人的排法，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意： 甲只能在 2，4，6 这三天值班，共三种情况， 又甲、乙二人安排在相邻两天，甲确定后，乙有两种选择， 其余 5 人没有限制，有种情况， 故不同的安排方法有种方法， 故选：D 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 10 （5 分）
17、如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，D 是棱 PB 的中点，已知 PABC 2，AB4，CBAB，则异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 平行于 AP 的直线为 z 轴，建立空间 直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线 PC，AD 所成角的余弦值 【解答】解：三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，D 是棱 PB 的中点，PABC2，AB 4，CBAB， 以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 平行于 AP 的直线为 z 轴，建立空间直角坐 标系， P（0，4，2） ，C（
18、2，0，0） ， A（0，4，0） ，B（0，0，0） ，D（0，2，1） ，（2，4，2） ，（0，2，1） ， 设异面直线 PC，AD 所成角为 ， 第 10 页（共 23 页） 则 cos| 所以异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为 故选：D 【点评】本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，解题时要注意向量法的合理运 用，是中档题 11 （5 分）已知 P 是函数 f（x）x2图象上的一点，过点 P 作圆 x2+y24y+30 的两条切 线，切点分别为 A，B，则的最小值为（ ） A B23 C0 D 【分析】可画出图形，可得出，从而要使得最小，只 需让最小，APB 最大即可可设圆心
19、为 C，并得出 C（0，2） ，设 P（x，x2） ， 从而可得出|PC|的最小值为，进而得出的最小值为，然后得出对应的 ，从而可得出的最小值 【解答】解：如图， 第 11 页（共 23 页） ， 要使最小，只需最小，APB 最大， 设圆心 C（0，2） ，P（x，x2） ，则， |PC|的最小值为，且圆半径为 1， 的最小值为，此时 cosAPB2cos2APC1， 的最小值为 故选：A 【点评】本题考查了圆的标准方程，两点间的距离公式，配方求二次函数最值的方法， 数形结合解题的方法，向量数量积的计算公式，二倍角的余弦公式，考查了计算能力， 属于中档题 12 （5 分）若函数 f（x）x2a
20、x+blnx 在区间（1，2）上有两个极值点，则 b 的可能取 值为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】求导可知，函数 g（x）x2ax+b 在（1，2）上有两个零点，进而得到 a，b 的关系，由此即可得解 【解答】解：， 第 12 页（共 23 页） 令 g（x）x2ax+b，依题意，函数 g（x）在（1，2）上有两个零点，则， 则必有 4ba216，即 b4 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，同时也涉及了二次函数的零点分布问题， 难度不大 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件则 z2xy 的最小
21、值为 2 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最小 值 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件对应的平面区域（阴影部分） 由 z2xy，得 y2xz， 平移直线 y2xz， 由图象可知当直线 y2xz 经过点 A 时， 直线 y2xz 的截距最大， 此时 z 最小 由， 解得 A（1，0） ， 此时 z 的最小值为 z2xy2， 故答案为：2 第 13 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 14 （5 分）若等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a4b48，则 a3+b3 【分析】等差数列
22、an的公差设为 d，等比数列bn的公比设为 q，分别运用等差数列和 等比数列的通项公式，解方程可得 d，q，进而得到所求和 【解答】解：等差数列an的公差设为 d，等比数列bn的公比设为 q， 由 a1b11，a4b48， 可得 1+3d8，q38，即 d，q2， 则 a3+b31+4 故答案： 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力， 属于基础题 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 中，PAB 是面积为 4的等边三角形，ACB，则 当点 C 到平面 PAB 的距离最大时，三棱锥 PABC 外接球的表面积为 【分析】首先确定面 CAB面 PAB 时，C 到
23、平面 PAB 的距离最大，找出CAB，PAB 的外心，然后找出球心，求出外接球的半径 【解答】解：面 CAB面 PAB 时，C 到平面 PAB 的距离最大， 设 D，E 分别为PAB，ACB 的外心，并过 D，E 做两个三角形所在的平面的垂线，两 条垂线交于 O， 第 14 页（共 23 页） 则 O 为三棱锥的外接球的球心，AO 即为球的半径， ； 因为PAB 是面积为 4的等边三角形， 所以 AB4，在ABC，ACB， 则AEB90 由正弦定理可得：2AE， 故 AEEBEC2，设 AB 的中点 F， 则 OEDFPFAB， 故 OA， 所以外接球的表面积 S4R2， 故答案为： 【点评】
24、考查立体几何的外接球问题及球的表面积公式，属于难题 16 （5 分）已知函数，若正实数 a，b 满足 f（4a）+f（b1）0，则 的最小值为 8 【分析】先判断出函数在其定义域上是增函数且是奇函数，从而可得 4a+b1，化简所 求式子，从而利用基本不等式求最小值 【解答】解：，f（x）是奇函数 又， 设x1 x2， 则， 即 ， 第 15 页（共 23 页） ，即 f（x1）f（x2） ，f（x）是 R 上的增函数 由 f（4a）+f（b1）0 得 f（4a）f（b1）f（1b） ，4a1b，即 4a+b 1 ，当且仅当 4ab，即时，等号成立 ，的最小值为 8 故答案为：8 【点评】本题考
25、查了基本不等式的应用及函数的单调性与奇偶性的判断与应用，属于基 本知识的简单综合 三、解答题（三、解答题（17-21 每小题每小题 12 分，分，22 或者或者 23 题题 10 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a+b2ccosB， （1）求角 C； （2）延长线段 AC 到点 D，使 CDCB，求ABD 周长的取值范围 【分析】 （1） 由已知利用余弦定理可得 cosC， 结合范围 C （0， ） ， 可求 C （2）由已知可得BCD 为等边三角形，可得 BDCDa，可求ABD 的周长 L 2a+b+， 由正弦定理， 三角函数恒等变换
26、的应用可求 2a+b2cosB， 根据 B 的范围， 根据余弦函数的性质可求，即可求得周长的范围 【解答】解： （1）根据余弦定理得， 整理得：a2+b2c2ab， 由余弦定理可得 cosC， 由于 C（0，） ， 可得 C （2）由于 C，即BCD，又 CDCB， 可得BCD 为等边三角形，可得 BDCDa， 所以ABD 的周长 L2a+b+， 第 16 页（共 23 页） 由正弦定理， 所以：a2sinA，b2sinB， 因为：AB， 又 B（0，） ，可得 cosB（，1） ， 所以 2a+b4sinA+2sinB4sin （B） +2sinB4 （cosBsinB） +2sinB2co
27、sB， 所以， 所以周长 L2a+b+的取值范围是（2，3） 【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角函数恒等变换的应用等基础知识， 考查运算求解能力，考查化归与转化思想等 18 （12 分）在ABC 中（图 1） ，AB5，AC7，D 为线段 AC 上的点，且 BDCD4， 以 BD 为折线，把BDC 翻折，得到如图 2 所示的图形，M 为 BC 的中点，且 AMBC， 连接 AC （1）求证：ABCD； （2）求二面角 BACD 的余弦值 【分析】 （1）推导出 BDCD，CDAD，从而 CD平面 ABD，由此能证明 CDAB 第 17 页（共 23 页） （2）以 D 为原点，BD
28、，AD，CD 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出二面角 BACD 的余弦值 【解答】解： （1）证明：在图 1 中有：AC+7，BDCD4，AD3， 在ABD 中，AB5，AD3，BD4，AD2+BD2AB2，BDCD， 在图 2 中，ABC 中，AMBC，M 为 BC 的中点， ABAC5，在ABD 中，AC5，CD4，AD3， AC2CD2+AD2，CDAD， 翻折后仍有 BDCD， ADBDD，CD平面 ABD， AB平面 ABD，CDAB （2）解：由（1）得 CD，BD，AD 两两垂直， 以 D 为原点，DB，DA，DC 所在直线分别为 x，y，z
29、 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，3，0） ，B（4，0，0） ，C（0，0，4） ， （4，3，0） ，（0，3，4） ， 设平面 ABC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y4，得 （3，4，3） ， 平面 ACD 的法向量 （1，0，0） ， cos 二面角 BACD 的余弦值为 第 18 页（共 23 页） 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识 问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不
30、合格”两类与“问卷的结果”有关？ 不合格 合格 男生 14 16 女生 10 20 （1）是否有 90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？ （2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取 9 人进行座谈，再从这 9 人 中随机抽取 5 人发送奖品， 记拿到奖品的男生人数为 X， 求 X 的分布列及数学期望 E （X） 附： P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.703 3.841 6.635 10.828 【分析】 （1）完善列联表，求 K21.1112.706，从而没有 90%的把握认为“性别”与 “问卷的结果”有关 （2）成绩合格的男生抽取
31、 4 人，成绩合格的女生抽取 5 人，X 的可能取值为 0，1，2，3， 4，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （1）完善列联表如下所示： 不合格 合格 男生 14 16 女生 10 20 ， 故没有 90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关 （2）依题意，成绩合格的男生抽取 4 人，成绩合格的女生抽取 5 人， 故 X 的可能取值为 0，1，2，3，4， ， 第 19 页（共 23 页） ， ， ， ， 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以 【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查排 列组合、古典概型
32、等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）（ab）x2xxlnx （1）若曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线与 x 轴平行，且 f（1）a，求 a，b 的 值； （2）若 a1，f（x）0 对 x（0，+）恒成立，求 b 的取值范围 【分析】 （1）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由条件可得 a，b 的方程组， 解方程即可得到所求值； （2）由题意可得（1b）x2xxlnx0 对 x0 恒成立，可得 b（1）min， 设 g（x）1，求得导数和单调性、最小值，即可得到 b 的范围 【解答】解： （1）函数 f（x）（ab）x2xxlnx 的
33、导数为 f（x）2（ab）x1 （1+lnx）2（ab）x2lnx， 在点（1，f（1）处的切线与 x 轴平行，且 f（1）a，可得 2（ab）20，且 ab1a，解得 a0，b1； （2）a1，f（x）0 对 x（0，+）恒成立， 即为（1b）x2xxlnx0 对 x0 恒成立， 第 20 页（共 23 页） 可得 b（1）min， 设 g（x）1， g（x）， 当 0x1 时，g（x）0，g（x）递减；x1 时，g（x）0，g（x）递增 即有 g（x）在 x1 处取得最小值，且为 0， 可得 b0， 即 b 的取值范围是（，0 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，
34、考查参数分离和 构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题 21 （12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆的离 心率为，过椭圆 C1的左焦点 F1，且斜率为 1 的直线 l，与以右焦点 F2为圆心，半径为 的圆 C2相切 （1）求椭圆 C1的标准方程； （2）线段 MN 是椭圆 C1过右焦点 F2的弦，且，求MF1N 的面积的最大 值以及取最大值时实数 的值 【分析】 （1）写出直线 l 的方程，由圆心到直线的距离等于解得 c，再由椭圆离心率 求得 a，结合隐含条件求得 b，则椭圆方程可求； （2）由（1）得 F1（1，0） ，F2（1，0） ，由题意得直线 MN 的斜率不为 0
35、，设直线 MN 的方程为：xty+1（tR） ，代入椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利 用根与系数的关系求得|y1y2|，写出MF1N 的面积，换元后利用导数求最值 【解答】解： （1）设 F1（c，0） ，F2（c，0） （c0） ， 则直线 l 的方程为：yx+c，即 xy+c0 直线 l 与圆 C2相切，圆心 F2到直线 l 的距离为，解之得 c1 椭圆 C1的离心率为，即，a2， b2a2c2413， 第 21 页（共 23 页） 椭圆 C1的方程为； （2）由（1）得 F1（1，0） ，F2（1，0） ， 由题意得直线 MN 的斜率不为 0，故设直线 MN 的方程为：xty+
36、1（tR） ， 代入椭圆方程，化简可得（4+3t2）y2+6ty90， 36t2+36（4+3t2）0 恒成立， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 y1，y2是上述方程的两个不等根， ， MF1N 的面积 设，则 m1，t2m21，则 3t2+43m2+1， 令，则恒成立， 则函数 f（m）在1，+）上为减函数，故 f（m）的最大值为， MF1N 的面积的最大值为，当且仅当 m1，即 t0 时取最大值， 此时直线 MN 的方程为 x1，即直线 MN 垂直于 x 轴，此时，即 1 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用 导数求最值，属难题 从从
37、 22 题，题，23 题任选一题进行作答题任选一题进行作答选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线 C1的方程为（x 1）2+y21，C2的方程为 x+y3，C3是一条经过原点且斜率大于 0 的直线 （1）求 C1与 C2的极坐标方程； （2） 若C1与C3的一个公共点为A （异于点O） ， C2与C3的一个公共点为B， 求|OA| 的取值范围 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换 第 22 页（共 23 页） （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出
38、结果 【解答】解： （1）曲线曲线 C1的方程为（x1）2+y21， 转换为极坐标方程为：2cos C2的方程为 x+y3，转换为极坐标方程为： （2）C3是一条过原点且斜率为正值的直线， C3的极坐标方程为 ， 联立 C1与 C3的极坐标方程， 得 2cos， 即|OA|2cos 联立 C1与 C2的极坐标方程， 得， 即 所以： 又， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正实数 a，b 满足 a+b4 （1）求+的最小值 （2）证明： 【分析】 （1）由已知可得，+（+） （a+b） ，展开后利用基本不等式可求； 第 23 页（共 23 页） （2）由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由（）2+ （）2即可证明 【解答】解： （1）正实数 a，b 满足 a+b4， +（+） （a+b）， 当且仅当且 a+b4 即 a，b时取得最小值； （2）证明：a+b4， 1， ， （）2+（）2（当且仅当 ab2 时取等号） 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及证明不等式，解题的关键是进行 1 的代换
