1、若集合 Ax|0x2，Bx|x21，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x2 Cx|0x2 Dx|x0 或 x 1 2 （5 分）已知 a 为实数，若复数（a+i） （12i）为纯虚数，则 a（ ） A2 B C D2 3 （5 分）sin215+cos215+sin15cos15的值等于（ ） A B C D 4 （5 分）若 alog3，blog23，c（）3，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bbca Cbac Dcab 5 （5 分）在半径为 2 的圆形纸板中间，有一个边长为 2 的正方形孔，现向纸板中随机投飞 针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A B C D
2、6 （5 分）下列推断错误的是（ ） A命题“若 x23x+20，则 x1”的逆否命题为“若 x1 则 x23x+20” B命题 p：存在 x0R，使得 x02+x0+10，则非 p：任意 xR，都有 x2+x+10 C若 p 且 q 为假命题，则 p，q 均为假命题 D “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长 两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n（ ） 第 2 页（共 23 页） A5 B4 C3 D2 8 （5 分）设
3、x、y 满足约束条件，则的最小值为（ ） A1 B C D 9 （5 分）等差数列an的首项为 2，公差不等于 0，且 a32a1a7，则数列的前 2019 项和为（ ） A B C D 10 （5 分） 已知抛物线 y28x 的焦点与双曲线的一个焦点重合， 且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为 6，那么该双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 11 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 A1D1，A1B1的 中点，过直线 BD 的平面 平面 AMN，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ） 第 3 页（共 23 页） A B C D 12 （5
4、 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）a 有 3 个零 点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，） B （1，） C （e2，1） D （，1） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分分.） 13 （5 分）某中学采用系统抽样方法，从该校高三年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙 齿健康检查现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号已知从 3348 这 16 个数中取的数 是 42，则在第 1 小组 116 中随机抽到的数是 14 （5 分）各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S
5、310，S630，则 S12 15 （5 分）已知点（8a，4b） （a0，b0）在圆 C：x2+y24 和圆 M： （x2）2+（y2） 24 的公共弦上，则 的最小值为 16 （5 分）已知三棱锥 ABCD 中，AC面 BCD，CBD90，ACBC2，BD1， 则三棱锥的外接球的体积为 三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17 （12 分）已知 （sinx，cosx） ， （cosx，cosx） ，xR，设 f（x） （1）求 f（x）的解析式并求出它的周期 T （2）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a
6、，b，c，且 a1，b+c2，f（A）1， 求ABC 的面积 18 （12 分）某地对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析 研究，分别记录了 3 月 1 日到 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的 发芽数，得到如下资料： 第 4 页（共 23 页） 日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 温差 x（） 10 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16 他们所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归 方程，再对选取的 2 组数据进行检验
7、 （1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率； （2）若选取的是 3 月 1 日与 3 月 5 日的两组数据，请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据， 求出 y 关于 x 的线性回归方程；并预报当温差为 8时的种子发芽数 参考公式：，其中 ， 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点 （1）求证：BDPC； （2）在棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？若存在，求出 PF 的位置，若不存 在，说明理由 20 （12 分）已知椭圆 E：的左焦点 F1，离心率为，点 P 为椭圆 E 上任一点
8、，且|PF1|的最小值为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）若直线 l 过椭圆的左焦点 F1，与椭圆交于 A、B 两点，且OAB 的面积为，求直 线 l 的方程 第 5 页（共 23 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2（2a+1）x+2lnx （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）当 a0 时，证明：f（x）2exx4（其中 e 为自然对数的底数） 选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22 题，题，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，两题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分， 作答时写清题号作答时写清题号.（本小题满分（本
9、小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知过点 P（a，0）的直线 l 的参数方程是（t 为参数） ，以平面直 角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 6cos （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试问是否存在实数 a，使得？若存 在，求出实数 a 的值；若不存在，说明理由 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知 a0，b0，c0，函数 f（x）|x+a|+|xb|+c （
10、1）当 abc1 时，求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 3，求 a+b+c 的值，并求+的最小值 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年广西柳州高中高三 （上） 第二次统测数学试卷 （文学年广西柳州高中高三 （上） 第二次统测数学试卷 （文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）若集合 Ax|0x2，Bx|x2
11、1，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x2 Cx|0x2 Dx|x0 或 x 1 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|0x2，Bx|1x1， ABx|0x1 故选：A 【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算 能力，属于基础题 2 （5 分）已知 a 为实数，若复数（a+i） （12i）为纯虚数，则 a（ ） A2 B C D2 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可 【解答】解： （a+i） （12i）a+2+（12a）i， 复数是纯虚数， a+20 且 12a0， 得 a2 且 a， 即 a
12、2， 故选：A 【点评】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是 解决本题的关键 3 （5 分）sin215+cos215+sin15cos15的值等于（ ） A B C D 第 7 页（共 23 页） 【分析】由题意利用二倍角公式，求得要求式子的值 【解答】解：sin215+cos215+sin15cos15+ ， 故选：B 【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题 4 （5 分）若 alog3，blog23，c（）3，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bbca Cbac Dcab 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性能求出 a，b，c 的大
13、小关系 【解答】解：alog3log310， blog23log221， 0c（）3（）01， a，b，c 的大小关系为 bca 故选：B 【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 5 （5 分）在半径为 2 的圆形纸板中间，有一个边长为 2 的正方形孔，现向纸板中随机投飞 针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A B C D 【分析】利用题意将原问题转化为面积比值的问题，据此整理计算即可求得最终结果 【解答】解：利用面积型几何概型公式可得， 圆形铜片的面积 S4，中间方孔的面积为 S4， 油滴正好落入
14、孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值， 即油滴正好落入孔中的概率为 p 故选：D 【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属 于基础题 6 （5 分）下列推断错误的是（ ） 第 8 页（共 23 页） A命题“若 x23x+20，则 x1”的逆否命题为“若 x1 则 x23x+20” B命题 p：存在 x0R，使得 x02+x0+10，则非 p：任意 xR，都有 x2+x+10 C若 p 且 q 为假命题，则 p，q 均为假命题 D “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件 【分析】A，写出命题“若 x23x+20，则 x1”的逆否命题，可判断 A；
15、B，写出命题 p： “存在 x0R，使得 x02+x0+10”的否定p，可判断 B； C，利用复合命题的真值表可判断 C； D，x23x+20x2 或 x1，利用充分必要条件的概念可判断 D 【解答】解：对于 A，命题“若 x23x+20，则 x1”的逆否命题为“若 x1 则 x2 3x+20” ，正确； 对于 B，命题 p：存在 x0R，使得 x02+x0+10，则非 p：任意 xR，都有 x2+x+10， 正确； 对于 C，若 p 且 q 为假命题，则 p，q 至少有一个为假命题，故 C 错误； 对于 D，x23x+20x2 或 x1，故“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件， 正确
16、 综上所述，错误的选项为：C， 故选：C 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用， 考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长 两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n（ ） 第 9 页（共 23 页） A5 B4 C3 D2 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当 n1
17、 时，a，b4，满足进行循环的条件， 当 n2 时，a，b8 满足进行循环的条件， 当 n3 时，a，b16 满足进行循环的条件， 当 n4 时，a，b32 不满足进行循环的条件， 故输出的 n 值为 4， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答 8 （5 分）设 x、y 满足约束条件，则的最小值为（ ） A1 B C D 第 10 页（共 23 页） 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，通过数形结合即 可的得到结论 【解答】解：x、y 满足约束条件表示的可行域如图： 则的最小值为原点（0，0）到直线 x2y+10
18、 的距离， 则最小值为： 故选：D 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 9 （5 分）等差数列an的首项为 2，公差不等于 0，且 a32a1a7，则数列的前 2019 项和为（ ） A B C D 【分析】先设等差数列an的公差为 d，根据题中条件求出公差，得到 ann+1 再由裂项 相消法即可求出结果 【解答】解：设等差数列an的公差为 d， 由 a12，a32a1a7，可得（2+2d）22（2+6d） ，所以 d1，因此 ann+1， 所以， 所以数列的前 2019 项和为： 故选：B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项
19、相消法求数列的和，熟记公式即 第 11 页（共 23 页） 可，属于常考题型 10 （5 分） 已知抛物线 y28x 的焦点与双曲线的一个焦点重合， 且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为 6，那么该双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 【分析】先求出双曲线的焦点坐标，再利用抛物线 y28x 的准线被双曲线截得的线段长 为 6，可得，借助于 c2a2+b2，求出 a，即可求出双曲线的离心率 【解答】解：由抛物线 y28x，可得 2p8，则 p4，故其准线方程为 x2， 抛物线 y28x 的准线过双曲线的左焦点， c2 抛物线 y28x 的准线被双曲线截得的线段长为 6， 6，又 c24a2+
20、b2， a1，b， 则双曲线的离心率为 e 故选：A 【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查计算能力是中档题 11 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 A1D1，A1B1的 中点，过直线 BD 的平面 平面 AMN，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ） A B C D 【分析】作出平面 AMN 的过直线 BD 的平行平面 a，求解即可 【解答】解：取 B1C1的中点 E，C1D1的中点 F，连接 EF，BE，DF，B1D1，则 EFB1D1， B1D1BD，所以 EFBD，故 EFBD 在同一平面内， 第 12 页（共 23 页） 连
21、接 ME，因为 M，E 分别为 A1D1B1C1的中点， 所以 MEAB，且 MEAB， 所以四边形 ABEM 是平行四边形， 所以 AMBE，又因为 BE平面 BDFE，AM 不在平面 BDFE 内， 所以 AM平面 BDFE， 同理 AN平面 BDFE， 因为 AMANA， 所以平面 AMN平面 BDFE， 即平面 a 截该正方体所得截面为平面 BDFE BD，EF，DF，梯形 BDFE 如图： 过 E，F 作 BD 的垂线，则四边形 EFGH 为矩形， FG， 故四边形 BDFE 的面积为 故选：B 【点评】本题考查正方体截面面积的求法，平面平行的判定，等知识，综合考查证明和 计算，属于
22、基础题 12 （5 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）a 有 3 个零 点，则实数 a 的取值范围是（ ） 第 13 页（共 23 页） A （0，） B （1，） C （e2，1） D （，1） 【分析】将函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点转化为 yf（x）与 ya 有三个交点，在 同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数 a 的取值范围 【解答】解：f（x）， 函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点方程 f（x）a 有 3 个根yf（x）与 ya 有 三个交点， 由 f（x）得： 当 x2 时，函数 f（x）取得极大值； ， 在同一坐标系中作出两函数的图象如下： 由
23、图可知，当 0a时，yf（x）与 ya 有三个交点， 即函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点 故选：A 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点转 化为 yf（x）与 ya 有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运 用，属于中档题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分分.） 第 14 页（共 23 页） 13 （5 分）某中学采用系统抽样方法，从该校高三年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙 齿健康检查现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号已知从
24、3348 这 16 个数中取的数 是 42，则在第 1 小组 116 中随机抽到的数是 10 【分析】先求出抽样间隔，由此利用系统抽样的性质能求出结果 【解答】解：某中学采用系统抽样方法，从该校高三年级全体 800 名学生中抽 50 名学生 做牙齿健康检查 抽样间隔 f16， 现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号已知从 3348 这 16 个数中取的数是 42， 则在第 1 小组 116 中随机抽到的数是 4233+110 故答案为：10 【点评】本题考查样本编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 14 （5 分）各项均为正数的等比数列an的前 n
25、项和为 Sn，已知 S310，S630，则 S12 150 【分析】数列an是各项均为正数的等比数列，所以 S3，S6S3，S9S6，S12S9， 也成等比数列，又因为 S310，S630，所以 S310，S6S320，S9S640，S12 S980，故 S12150 【解答】解：依题意，数列an是各项均为正数的等比数列， 所以 S3，S6S3，S9S6，S12S9，也成等比数列， 因为 S310，S630， 所以 S310，S6S320，S9S640，S12S980， 所以 S12S3+S6S3+S9S6+S12S9150 故答案为：150 【点评】本题考查了等比数列的性质，等比数列的前 n
26、 项和，属于基础题 15 （5 分）已知点（8a，4b） （a0，b0）在圆 C：x2+y24 和圆 M： （x2）2+（y2） 24 的公共弦上，则 的最小值为 16 【分析】根据题意，联立两个圆的方程，变形可得两圆公共弦的方程，即可得 4a+2b1， 据此可得（） （4a+2b）8+，结合基本不等式的性质分析可得答 案 第 15 页（共 23 页） 【解答】解：根据题意，圆 C：x2+y24 和圆 M： （x2）2+（y2）24， 联立， 变形可得：x+y2， 即两圆公共弦所在直线的方程为 x+y2， 若点（8a，4b） （a0，b0）在圆 C 和圆 M 的公共弦上，则有 8a+4b2，即
27、 4a+2b1， 则（） （4a+2b）8+， 又由 a0，b0，则+28，当且仅当 b4a 时等号成立， 故8+16， 即的最小值为 16； 故答案为：16 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题 16 （5 分）已知三棱锥 ABCD 中，AC面 BCD，CBD90，ACBC2，BD1， 则三棱锥的外接球的体积为 【分析】由题意三棱锥放在长方体中，它的外接球的半径与长方体的对角线相等求出半 径进而求出体积 【解答】解：由CBD90，ACBC2，BD1，AC面 BCD 可知，将此三棱锥放在长方体中，长宽高分别为：2，1，2， 设外接球的半径为 R，则 2R
28、3，所以 R， 所以外接球的体积 V， 故答案为： 第 16 页（共 23 页） 【点评】考查三棱锥放在长方体中，它的外接球的半径与长方体的对角线相等及球的体 积公式，属于基础题 三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17 （12 分）已知 （sinx，cosx） ， （cosx，cosx） ，xR，设 f（x） （1）求 f（x）的解析式并求出它的周期 T （2）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a1，b+c2，f（A）1， 求ABC 的面积 【分析】 （1）平面向量数量积的运算得：f（x）s
29、inxcosx+cos2x sin2x+cos2x+sin（2x+），即函数的周期 T， （2）由余弦定理及三角形面积公式得：因为 f（A）1，所以 A，又 a1，b+c 2，由余弦定理 a2b2+c22bccosA 得：所以 bc1，即 SABC，得解 【解答】解： （1）由 （sinx，cosx） ， （cosx，cosx） ，xR， 则 f（x） sinxcosx+cos2xsin2x+cos2x+sin（2x+）， 即函数的周期 T， 故 f（x）sin（2x+），周期为 （2）因为 f（A）1， 所以 sin（2A+）+1， 所以 sin（2A+）， 又 2A（，） ， 所以 2A+
30、， 所以 A， 又 a1，b+c2， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA 得： 1b2+c2bc， 所以（b+c）23bc1， 第 17 页（共 23 页） 所以 bc1， 即 SABC， 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算、余弦定理及三角形面积公式，属中档题 18 （12 分）某地对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析 研究，分别记录了 3 月 1 日到 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的 发芽数，得到如下资料： 日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 温差 x（） 10
31、 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16 他们所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归 方程，再对选取的 2 组数据进行检验 （1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率； （2）若选取的是 3 月 1 日与 3 月 5 日的两组数据，请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据， 求出 y 关于 x 的线性回归方程；并预报当温差为 8时的种子发芽数 参考公式：，其中 ， 【分析】 （1）求出从 5 组数据中选取 2 组数据的情况数，再求出抽到相邻的两组数据的 事件数，再由古典概型概率公式求解； （2）由已知数据
32、求得 与 的值，得到线性回归方程，取 x8 求得 y 值得答案 【解答】解： （1） “设抽到相邻的两组数据为事件 A” ，从 5 组数据中选取 2 组数据共 10 种情况： （1，2） ， （1，3） （1，4） （1，5） （2，3） ， （2，4） （2，5） （3，4） （3，5） （4，5） ， 其中事件 A 的有： （1，2） ， （2，3） ， （3，4） ， （4，5） P（A）； （2）由数据求得， 第 18 页（共 23 页） 代入公式得： ， 线性回归方程为： 当 x8 时，y 当温差为 8时种子发芽数为 17 颗 【点评】本题考查随机事件的概率概率的求法及线性回归方程的
33、求法，考查计算能力， 是中档题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点 （1）求证：BDPC； （2）在棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？若存在，求出 PF 的位置，若不存 在，说明理由 【分析】 （1） 先证明 BD平面 PAC， 再求出 BDPC； （2） 先证明平面 MFC平面 PAE， 根据面面平行的性质，求出 CF平面 PAE 【解答】解： （1）证明：PA平面 ABCD，BD平面 ABCD， 所以 PABD，又底面 ABCD 为菱形，所以 ACBD， 又 PAACA，所以 BD平面 PAC
34、， 所以 BDPC； （2）当 F 为 PB 中点时，CF平面 PAE 理由如下：设 AB 的中点为 M，连接 MF，MC，CF， M，F 分别是 AB，PB 的中点，MFPA， 第 19 页（共 23 页） 又 AMEC，AMCE，即四边形 AMCE 是平行四边形 所以 MCAE， 又 MFMCM，PAPEA， 所以平面 MFC平面 PAE， CF平面 MFC， 所以 CF平面 PAE 【点评】考查本题考查直线与平面垂直的判定与性质，面面平行的判定与性质，中档题 20 （12 分）已知椭圆 E：的左焦点 F1，离心率为，点 P 为椭圆 E 上任一点，且|PF1|的最小值为 （1）求椭圆 E
35、的方程； （2）若直线 l 过椭圆的左焦点 F1，与椭圆交于 A、B 两点，且OAB 的面积为，求直 线 l 的方程 【分析】 （1）利用离心率为，以及|PF1|的最小值为解得 a，b 然后求解椭圆 方程 （2）设 AB 的方程为：xmy1，代入利用韦达定理以及弦长公式，结合 O 到 AB 的距离求解三角形的面积，推出 m，得到直线方程 【解答】解： （1）椭圆 E：的左焦点 F1，离心率为，点 P 为 椭圆 E 上任一点，且|PF1|的最小值为可得，解得 a2，c 1，则 b1， 椭圆 E 的方程：； 第 20 页（共 23 页） （2）因 F1（1，0） ，AB 与 x 轴不重合，故设 A
36、B 的方程为：xmy1， 代入得： （m2+2）y22my10， 其0 恒成立，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则有， 又 O 到 AB 的距离， ， 解得 m1，l 的方程为：x+y+10 或 xy+10 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线方程的求法，考查转化思想 以及计算能力 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2（2a+1）x+2lnx （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）当 a0 时，证明：f（x）2exx4（其中 e 为自然对数的底数） 【分析】 （1）由 f（x）x23x+2lnx，x0，可得 f（x）x3+， 即可得出单调性
37、 （2）当 a0 时，由 f（x）2exx4，只需证明 exlnx+2，令 h（x）exlnx2（x 0） ，通过求导研究函数的单调性即可得出 【解答】解： （1）f（x）x23x+2lnx，x0， f（x）x3+， 令 f（x）0，解得 x1，或 x2， 当 f（x）0 时，解得 0x1 或 x2， 当 f（x）0 时，解得 1x2， 单调递增区间为（0，1） ， （2，+） ，单调递减区间为（1，2） （2）当 a0 时，由 f（x）2exx4， 只需证明 exlnx+2， 第 21 页（共 23 页） 令 h（x）exlnx2（x0） ，h（x）ex， h（x）ex+0，故 h（x）递增
38、， h（1）e10，h（）20， 故存在 x0（，1） ，使得 h（x0）0， 即0， 当 x（0，x0）时，h（x）0，h（x）递减， 当 x（x0，+）时，h（x）0，h（x）递增， 故 xx0时，h（x）取得唯一的极小值，也是最小值， h（x）的最小值是 h（x）lnx02+x020， （0x01，） 另解：构造不等式，ex1xlnx+1（x0） ，即可证明 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分 类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22 题，题，23 两题中任选一题作答，如果多做，
39、则按第一题计分，两题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分， 作答时写清题号作答时写清题号.（本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知过点 P（a，0）的直线 l 的参数方程是（t 为参数） ，以平面直 角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 6cos （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试问是否存在实数 a，使得？若存 在，求出实数 a 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）把直线参数方程中的参数
40、t 消去，可得直线的普通方程，由 6cos，得 2 6cos，结合 2x2+y2，xcos，可得曲线 C 的直角坐标方程； （2）求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线 l 的距离，由垂径定理列式求得 a 值 第 22 页（共 23 页） 【解答】解： （1）由（t 为参数） ，消 t 得直线 l 的普通方程为 由 6cos，得 26cos， 代入 2x2+y2，xcos， 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y26x0； （2）由于曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y26x0，则圆心（3，0） ，r3， 圆心到直线 l 的距离， 根据垂径定理可得，即， 解得 实数 【点评】本题考查简单曲线的极
41、坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位 置关系的应用，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知 a0，b0，c0，函数 f（x）|x+a|+|xb|+c （1）当 abc1 时，求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 3，求 a+b+c 的值，并求+的最小值 【分析】 （1）直接利用绝对值不等式的应用求出结果 （2）利用关系式的变换和柯西不等式的应用求出结果 【解答】解： （1）当 abc1 时，不等式 f（x）5 即|x+1|+|x1|+15，化为|x+1|+|x 1|4 当 x1 时，化为：x+1+x14，解得 x2； 当1x1 时，化为：x+1（x1）4，化为：24，解得 x； 当 x1 时，化为：（x+1）（x1）4，解得 x2 综上可得：不等式 f（x）5 的解集为： （，2）（2，+） ； （2）由绝对值三角不等式得 f（x）|x+a|+|xb|+c|（x+a）（xb）|+ca+b+c3， 由柯西不等式得 ， 第 23 页（共 23 页） ，当且仅当 abc1 时，等号成立， 因此，的最小值为 3 【点评】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，柯西不等式的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型
