1、下列有关命题的说法正确的是（ ） A若“pq”为假命题，则 p，q 均为假命题 B “x1”是“x25x60”的必要不充分条件 C命题“若 x1，则”的逆否命题为真命题 D命题“x0R 使得 x02+x0+10”的否定是： “xR，均有 x2+x+10” 3 （5 分）设函数，则 f（log26）的值为（ ） A3 B6 C8 D12 4 （5 分）函数 f（x）ln的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m（ ） A0 B1 C2 D4 5 （5 分）已知函数有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 （ ） A1，0） B （1，2 C （1，+） D （2，+） 6 （5 分）若命题“x1
2、，1，1+2x+a4x0”是假命题，则实数 a 的最小值为（ ） A2 B C2 D6 7 （5 分）已知函数 yf（x） ，满足 yf（x）和 yf（x+2）是偶函数，且 f（1）， 设 F（x）f（x）+f（x） ，则 F（3）（ ） A B C D 8 （5 分）已知函数 f（x）x3px2qx 的图象与 x 轴切于（1，0）点，则 f（x）的极大值、 极小值分别为（ ） 第 2 页（共 23 页） A，0 B0， C，0 D0， 9 （5 分）当 0x时，4xlogax，则 a 的取值范围是（ ） A （0，） B （，1） C （1，） D （，2） 10 （5 分）关于函数 f（x
3、）sin|x|+|sinx|有下述四个结论： f（x）是偶函数 f（x）在区间（，）单调递增 f（x）在，有 4 个零点 f（x）的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 11 （5 分）已知函数，则 f（x）的极大值点为（ ） A B1 Ce D2e 12 （5 分）已知函数 f（x）ex+x2+lnx 与函数 g（x）e x+2x2ax 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，e B C （，1 D 二二.填空题（共填空题（共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）2 3， ，log25 三个数中最大
4、数的是 14 （5 分）已知 4a8，2m9n6，且，则 a+b 15 （5 分）以下四个命题，是真命题的有 （把你认为是真命题的序号都填上） ： 若 p：方程 2 x+x23 的实数解的个数为 2，q：e0.2e0.3，则 pq 为假命题； 当 x1 时，则 f（x）x2，g（x）x，h（x）x 2 的大小关系是 h（x）g（x） f（x） 若 f（x0）0，则 f（x）在 xx0处取得极值； 若不等式 23x2x20 的解集为 P，的定义域为 Q，则“xP”是 “xQ”的充分不必要条件 第 3 页（共 23 页） 16 （5 分）已知 为正常数，f（x），若x1，x2R，f（x1）f（x2
5、） ， 则实数 a 的取值范围是 三三.解答题（共解答题（共 70 分，解答应写出必要的文字、过程和步骤）分，解答应写出必要的文字、过程和步骤） 17 （12 分）已知 p：ma+1m2+2；q：函数 f（x）log2xa 在区间（）上有零 点 （）若 m1，求使（p）q 为真命题时实数 a 的取值范围； （）若 p 是 q 成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）若函数（a，bR） ，且其导函数 f（x）的图象过 原点 （）当 a1 时，求函数 f（x）的图象在 x3 处的切线方程； （）若存在 x0 使得 f（x）9，求实数 a 的最大值 19 （12 分）已知三棱
6、锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PAACAB，N 为 AB 上一 点，AB4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点 （）证明：CMSN； （）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 20 （12 分）已知椭圆：C1：+1（ab0）的离心率为 e，过 C1的左焦点 F1的直线 l：xy+20 被圆 C2： （x3）2+（y3）2r2（r0）截得的弦长为 2 （1）求椭圆 C1的方程； （2）设 C1的右焦点为 F2，在圆 C2上是否存在点 P，满足|PF1|PF2|，若存在，指 出有几个这样的点（不必求出点的坐标） ；若不存在，说明理由 第 4 页（共 23 页） 21 （12 分）已
7、知函数 f（x）lnx+ax，g（x）xlnx+（a1）x+ （）试讨论 f（x）的单调性； （）记 f（x）的零点为 x0，g（x）的极小值点为 x1，当 a（1，4）时，求证：x0x1 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计 分分选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 在以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的 极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为，直线
8、 l 与曲线 C 相交于不同的 两点 A，B （1）若，求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若|OP|为|PA|与|PB|的等比中项，其中，求直线 l 的斜率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2a|+x2+kx， （a 为常数且 0a4） （1）若 ak1，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若函数 f（x）在（0，2）上有两个零点 x1，x2求+的取值范围 第 5 页（共 23 页） 2019-2020 学年内蒙古鄂尔多斯一中高三（上）学年内蒙古鄂尔多斯一中高三（上）9 月月考数学试月月考数学试 卷（理科）卷（理科） 参考答案与试题
9、解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.） 1 （5 分）已知 AxZ|2x4，Bx|1，则 A（RB）的元素个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】首先化简集合 B 求出其补集，然后与集合 A 进行交集运算 【解答】解：Bx|1x|x|1x3，RBx|x1 或，x3， A（RB）xZ|2x4x|x1 或，x31，0，1， A（RB）的元素个数为 3 个； 故选：C 【点评】本题考查了集合的交集、补集的运算，特别注意元素的属性 2 （5 分）下列有关命题的说法正确的是（ ） A若“pq”为假命题，则
10、p，q 均为假命题 B “x1”是“x25x60”的必要不充分条件 C命题“若 x1，则”的逆否命题为真命题 D命题“x0R 使得 x02+x0+10”的否定是： “xR，均有 x2+x+10” 【分析】由 p 且 q 的真值表可判断 A；由充分必要条件的定义和二次方程的解法，可判 断 B； 由命题和其逆否命题等价即可判断 C；由特称命题的否定为全称命题，可判断 D 【解答】解：若“pq”为假命题，则 p，q 至少有一个为假命题，故 A 错误； x1 可得 x25x60，反之不成立，x6 也成立， “x1”是“x25x60”的充分不必要条件，故 B 错误； “若 x1，则”为真命题，其逆否命题
11、为真命题，故 C 正确； 命题“x0R 使得 x02+x0+10”的否定是： “xR，x2+x+10” ，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查命题的否定和逆否命题的关系，考查复合命题和充分必要条件的判断， 第 6 页（共 23 页） 注意运用定义法，考查推理能力，是一道基础题 3 （5 分）设函数，则 f（log26）的值为（ ） A3 B6 C8 D12 【分析】根据题意，由于 2log263，结合函数的解析式可得 f（log26）f（log26+1） f（log212） ，进而计算可得答案 【解答】解：根据题意，函数， 2log263， 则 f（log26）f（log26+1）f（lo
12、g212）12； 故选：D 【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，属于基础题 4 （5 分）函数 f（x）ln的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m（ ） A0 B1 C2 D4 【分析】化简函数 f（x）1+ln，设 g（x）ln，则函数 g（x）是定义域（1， 1）上的奇函数；由 f（x）的最大值与最小值，得出 g（x）的最大值与最小值，由此求出 M+m 的值 【解答】解：f（x）lnln（e）1+ln，且0，1x1； 设 g（x）ln，则函数 g（x）是定义域（1，1）上的奇函数； 又 f（x）的最大值为 M，最小值为 m， g（x）的最大值是 M1，最小值是 m1； （M
13、1）+（m1）0， 则 M+m2 故选：C 【点评】本题考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，是基础题目 5 （5 分）已知函数有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 （ ） 第 7 页（共 23 页） A1，0） B （1，2 C （1，+） D （2，+） 【分析】由分段函数，分别判断 x2 时，x2 时，f（x）的单调性，可得恰有一个零点， 由对数函数的单调性，即可得到 a 的范围 【解答】解：由函数， 可得 x2 时，f（x）log2xa 递增，f（x）最多一个零点； x2 时，f（x）x2+4x（x2）2+4，为增函数，f（x）最多一个零点 当 x2 时，f（x）0，即有 alog
14、2x，由 x2，可得 a1 当 x2 时，f（x）0，可得 x0 或 4（舍去） ， 则实数 a 的取值范围是（1，+） 故选：C 【点评】本题考查分段函数的零点问题解法，注意运用定义法和函数的单调性，考查方 程思想，运算求解能力，属于中档题 6 （5 分）若命题“x1，1，1+2x+a4x0”是假命题，则实数 a 的最小值为（ ） A2 B C2 D6 【分析】依题意， “x01，1，使得 1+a0 成立，分离 a，利用配方法与 指数函数的性质即可求得实数 a 的最小值 【解答】解：命题“x1，1，1+2x+a4x0”是假命题， x01，1，使得 1+a0 成立， 即x01，1，a（1x01
15、）成立， 令 g（x）+， 则 ag（x）min 1x01， 2， 当2 时，g（x）min+6， 第 8 页（共 23 页） a6， 实数 a 的最小值为6 故选：D 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的关系，考查 存在性命题成立问题，考查转化思想与思维运算能力，属于难题 7 （5 分）已知函数 yf（x） ，满足 yf（x）和 yf（x+2）是偶函数，且 f（1）， 设 F（x）f（x）+f（x） ，则 F（3）（ ） A B C D 【分析】根据函数的奇偶性和周期性求出 F（3）2f（1） ，从而求出答案 【解答】解：由题意得：f（x）f（x） ， f（x+
16、2）f（x+2）f（x2） ， 故 f（x）f（x+4） ， 则 F（3）f（3）+f（3）2f（3）2f（1）2f（1）， 故选：B 【点评】本题考查了函数的奇偶性和周期性问题，考查函数求值，是一道基础题 8 （5 分）已知函数 f（x）x3px2qx 的图象与 x 轴切于（1，0）点，则 f（x）的极大值、 极小值分别为（ ） A，0 B0， C，0 D0， 【分析】对函数求导可得，f（x）3x22pxq，由 f（1）0，f（1）0 可求 p， q，进而可求函数的导数，然后由导数判断函数的单调性，进而可求函数的极值 【解答】解：对函数求导可得，f（x）3x22pxq， 由 f（1）0，f（
17、1）0 可得 ，解得， f（x）x32x2+x 由 f（x）3x24x+10，得 x或 x1， 当 x1 或 x时，函数单调递增；当时，函数单调递减 当 x时，f（x）取极大值，当 x1 时，f（x）取极小值 0， 第 9 页（共 23 页） 故选：A 【点评】本题主要考查了导数在求解函数的单调性、函数的极值中的应用，属于导数基 本方法的应用 9 （5 分）当 0x时，4xlogax，则 a 的取值范围是（ ） A （0，） B （，1） C （1，） D （，2） 【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题 加以解决即可 【解答】解：0x时，14x2 要使
18、4xlogax，由对数函数的性质可得 0a1， 数形结合可知只需 2logax， 即对 0x时恒成立 解得a1 故选：B 【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般 解法，属基础题 10 （5 分）关于函数 f（x）sin|x|+|sinx|有下述四个结论： f（x）是偶函数 f（x）在区间（，）单调递增 f（x）在，有 4 个零点 第 10 页（共 23 页） f（x）的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可 【解答】解：f（x）sin|x|+|sin（x）|sin|x
19、|+|sinx|f（x）则函数 f（x）是偶函数， 故正确， 当 x（，）时，sin|x|sinx，|sinx|sinx， 则 f（x）sinx+sinx2sinx 为减函数，故错误， 当 0x 时，f（x）sin|x|+|sinx|sinx+sinx2sinx， 由 f（x）0 得 2sinx0 得 x0 或 x， 由 f（x）是偶函数，得在，0）上还有一个零点 x，即函数 f（x）在， 有 3 个零点，故错误， 当 sin|x|1，|sinx|1 时，f（x）取得最大值 2，故正确， 故正确是， 故选：C 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用 三角函
20、数的性质是解决本题的关键 11 （5 分）已知函数，则 f（x）的极大值点为（ ） A B1 Ce D2e 第 11 页（共 23 页） 【分析】求出 f（e）的值，求出函数 f（x）的解析式，解关于导函数的不等式，求出 函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可 【解答】解：f（x）， 故 f（e）， 故 f（x）2lnx， 令 f（x）0，解得：0x2e， 令 f（x）0，解得：x2e， 故 f（x）在（0，2e）递增，在（2e，+）递减， x2e 时，f（x）取得极大值 2ln2， 则 f（x）的极大值点为：2e 故选：D 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化
21、思想，求出 f （e）的值是解题的关键 12 （5 分）已知函数 f（x）ex+x2+lnx 与函数 g（x）e x+2x2ax 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，e B C （，1 D 【分析】由题意可化为 g（x）f（x）0 在（0，+）上有解即 x+a0 在（0， +）上有解，即函数 yx+a 与 y在（0，+）上有交点，画出函数 yx+a 与 y 在（0，+）上的图象，求得直线和曲线相切的条件，即可得到所求 a 的范围 【解答】解：由题意知，方程 g（x）f（x）0 在（0，+）上有解， 即 ex+2x2+axlnxexx20，即 x+a0 在（
22、0，+）上有解， 即函数 yx+a 与 y在（0，+）上有交点， y的导数为 y， 当 xe 时，y0，函数 y递减； 当 0xe 时，y0，函数 y递增 第 12 页（共 23 页） 可得 xe 处函数 y取得极大值， 函数 yx+a 与 y在（0，+）上的图象如右： 当直线 yx+a 与 y相切时， 切点为（1，0） ，可得 a011， 由图象可得 a 的取值范围是（，1 故选：C 【点评】本题主要考查函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，体 现了数形结合的思想，属于中档题 二二.填空题（共填空题（共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）
23、2 3， ，log25 三个数中最大数的是 log25 【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得 02 31，1 2，log25log24 2，即可得到最大数 【解答】解：由于 02 31，1 2， log25log242， 则三个数中最大的数为 log25 故答案为：log25 【点评】本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于 基础题 第 13 页（共 23 页） 14 （5 分）已知 4a8，2m9n6，且，则 a+b 【分析】根据对数的运算和性质即可求出 【解答】解：4a8，2m9n6， alog48， mlog26，nlog96， log62，log69
24、 blog62+log691 a+b， 故答案为： 【点评】本题考查了对数的运算和性质，属于基础题 15 （5 分）以下四个命题，是真命题的有 （把你认为是真命题的序号都填上） ： 若 p：方程 2 x+x23 的实数解的个数为 2，q：e0.2e0.3，则 pq 为假命题； 当 x1 时，则 f（x）x2，g（x）x，h（x）x 2 的大小关系是 h（x）g（x） f（x） 若 f（x0）0，则 f（x）在 xx0处取得极值； 若不等式 23x2x20 的解集为 P，的定义域为 Q，则“xP”是 “xQ”的充分不必要条件 【分析】直接利用函数的图象和函数的极值点的应用及函数的定义域的应用求出
25、结果 【解答】解：若 p：方程 2 x+x23 的实数解的个数为 2，根据函数的图象， 故命题 p 正确 q： e0.2e0.3， 根据指数函数的性质， 故命题 q 错误 则 pq 为假命题 故 正确 第 14 页（共 23 页） 当 x1 时，则 f（x）x2，g（x）x，h（x）x 2 的大小关系是 h（x）g（x） f（x） ，根据函数的图象， 命题正确 若 f（x0）0，则 f（x）在 xx0处取得极值；该命题错误，例如 f（x）x3，f（x） 3x2，当 x0 时 f（0）0，但 x0，该点不是极值点故错误 若不等式 23x2x20 的解集为 P，即 x的定义域 为 Q，则 x，所以
26、则“xP”是“xQ”的充分不 必要条件正确 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：函数图象和性质的应用，导数的极值点的应用，函数的 定义域的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 16 （5 分）已知 为正常数，f（x），若x1，x2R，f（x1）f（x2） ， 则实数 a 的取值范围是 （2，+） 【分析】a 为正常数，f（x），利用二次函数与指数函数的单调性 画出函数图象，进而得出 a 满足的条件 【解答】解：a 为正常数，f（x）， 当 x0 时，f（x）x2+ax+3，其对称轴为 x， f（x）f（0）3 当 x0 时，f（x）2x+a 递增，即 af（x）1+a， x
27、1，x2R，f（x1）f（x2） ， 第 15 页（共 23 页） 1+a3，a0 解得 a2 实数 a 的取值范围是（2，+） 故答案为： （2，+） 【点评】本题考查了二次函数与指数函数的单调性、函数零点，考查了数形结合方法、 推理能力与计算能力，属于中档题 三三.解答题（共解答题（共 70 分，解答应写出必要的文字、过程和步骤）分，解答应写出必要的文字、过程和步骤） 17 （12 分）已知 p：ma+1m2+2；q：函数 f（x）log2xa 在区间（）上有零 点 （）若 m1，求使（p）q 为真命题时实数 a 的取值范围； （）若 p 是 q 成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范
28、围 【分析】 （）当 m1 时，求解不等式化简 p，可得p，由函数 f（x）log2xa 在区 间（）上单调递增且有零点，得到关于 a 的不等式组，求得 a 的范围再由（p） q 为真命题，可得，则 a 的取值范围可求； （）由已知结合 p 是 q 成立的充分条件，可得，又 p 是 q 成立的不必要条 件，可得不等式组等号不能同时成立，由此求得实数 m 的取值范围 【解答】解： （）当 m1 时，p：0a2， 则p：a0 或 a2 函数 f（x）log2xa 在区间（）上单调递增， 第 16 页（共 23 页） 且函数 f（x）log2xa 在区间（）上有零点， ，解得2a2，则 q：2a2
29、（p）q 为真命题， ，解得2a0 则 a 的取值范围是（2，0） （）p：ma+1m2+2，q：2a2，且 p 是 q 成立的充分条件 ，即1m1 又p 是 q 成立的不必要条件， 不等式组等号不能同时成立 m1 综上得，实数 m 的取值范围是（1，1 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查充分必要条件的判定与应用，考查数 学转化思想方法，是中档题 18 （12 分）若函数（a，bR） ，且其导函数 f（x）的图象过 原点 （）当 a1 时，求函数 f（x）的图象在 x3 处的切线方程； （）若存在 x0 使得 f（x）9，求实数 a 的最大值 【分析】 （）求导函数，利用导函数 f（
30、x）的图象过原点，化简函数，进而可求函数 f（x）的图象在 x3 处的切线方程； （）存在，使 x0 得 f（x）x（xa1）9，再分离参数，利用基本不等式， 即可求得实数 a 的最大值 【解答】解：，求导数，可得 f（x）x2（a+1）x+b， （1 分） 由 f（0）0 得 b0，f（x）x（xa1） （3 分） 第 17 页（共 23 页） （）当 a1 时，f（x）x（x2） ， f（3）1，f（3）3（5 分） 函数 f（x）的图象在 x3 处的切线方程为 y13（x3） ，（6 分） 即 3xy80（7 分） （）存在，使 x0 得 f（x）x（xa1）9， ， a7，（10 分）
31、 当且仅当 x3 时，a7 （12 分） a 的最大值为7 （14 分） 【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查分离参数，基本不等式 的运用，解题的关键是正确求出导函数，属于中档题 19 （12 分）已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PAACAB，N 为 AB 上一 点，AB4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点 （）证明：CMSN； （）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 【分析】由 PAACAB，N 为 AB 上一点，AB4AN，我们不妨令 PA1，然后以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系由此不难得到
32、各点的坐标（1）要证明 CMSN，我们可要证明即可，根据向量数量积的运 算，我们不难证明； （2）要求 SN 与平面 CMN 所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出 SN 和 方向向量与平面 CMN 的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出 SN 与平面 CMN 所成角的大小 【解答】证明：设 PA1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴正向建立 第 18 页（共 23 页） 空间直角坐标系如图 则 P（0，0，1） ，C（0，1，0） ，B（2，0，0） ， M（1，0，） ，N（，0，0） ，S（1，0） （4 分） （）， 因为， 所以 CMSN（6
33、 分） （）， 设 a（x，y，z）为平面 CMN 的一个法向量， 则令 x2，得 a（2，1，2） 因为， 所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45 【点评】如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进 一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式 cos即可求解 20 （12 分）已知椭圆：C1：+1（ab0）的离心率为 e，过 C1的左焦点 F1的直线 l：xy+20 被圆 C2： （x3）2+（y3）2r2（r0）截得的弦长为 2 （1）求椭圆 C1的方程； 第 19 页（共 23 页） （2）设 C1的右焦点为 F2，在圆 C2上是否存在点 P，满足|P
34、F1|PF2|，若存在，指 出有几个这样的点（不必求出点的坐标） ；若不存在，说明理由 【分析】第（1）问，由 a2b2+c2，e，及 F1的坐标满足直线 l 的方程，联立此三 个方程，即得 a2，b2，从而得椭圆方程； 第（2）问，根据弦长，利用垂径定理与勾股定理得方程，可求得圆的半径 r，从而确定 圆的方程，再由条件|PF1|PF2|，将点 P 满足的关系式列出，通过此关系式与已知圆 C2的方程联系，再探求点 P 的存在性 【解答】解：在直线 l 的方程 xy+20 中，令 y0，得 x2，即得 F1（2，0） ， c2，又离心率 e， a26，b2a2c22， 椭圆 C1的方程为+1 （
35、2）圆心 C2（3，3）到直线 l：xy+20 的距离为 d， 又直线 l 被圆 C2截得的弦长为 2， 由垂径定理得 r2， 故圆 C2的方程为 C2： （x3）2+（y3）24 设圆 C2上存在点 P（x，y） ，满足|PF1|PF2|，即|PF1|3|PF2| F1（2，0） ，F2（2，0） ， 则3，整理得（x）2+y2 此方程表示圆心在点（，0） ，半径是的圆， |CC2|， 故有 2|CC2|2+，即两圆相交，有两个公共点 圆 C2上存在两个不同点 P，满足|PF1|PF2|， 第 20 页（共 23 页） 【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，
36、弦长 计算，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ax，g（x）xlnx+（a1）x+ （）试讨论 f（x）的单调性； （）记 f（x）的零点为 x0，g（x）的极小值点为 x1，当 a（1，4）时，求证：x0x1 【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （）结合函数的极小值点，得到 f（x1）（1x1）lnx1，又 x1x2（，1） ，故 f（x1） （1x1）lnx10f（x0） ，从而证明结论 【解答】解： （）f（x）+a+（x0） ， 若 a0，则 f（x）0，f（x）在（0，+）递增； 若 a0，则 ax2+x+10 一正一负
37、两根，且正根是， 当 x（0，）时，f（x）0，f（x）递增， x（，+）时，f（x）0，f（x）递减； 综上，a0 时，f（x）在（0，+）递增； a0 时，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减； （）g（x）xlnx+（a1）x+，g（x）lnx+a（x0） ， 故 g（x）在（0，+）递增， 又 g（1）a10，g（）ln24+a0， 故 g（x）存在零点 x2（，1） ，且 g（x）在（0，x2）递减，在（x2，+）递增， x2即是 g（x）的极小值点， 故 x2x1， 由 g（x1）0 知，lnx1+a0， 故 f（x1）lnx1+ax1lnx1+x1（lnx1）（1x1）lnx1
38、， 第 21 页（共 23 页） 又 x1x2（，1） ，故 f（x1）（1x1）lnx10f（x0） ， 由（）知，a0 时，f（x）在（0，+）递增， 故 x0x1 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数 定义域以及不等式的证明，考 查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计 分分选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 （t 为参数）
39、 在以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的 极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为，直线 l 与曲线 C 相交于不同的 两点 A，B （1）若，求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若|OP|为|PA|与|PB|的等比中项，其中，求直线 l 的斜率 【分析】 （1）根据直线方程的点斜式可得直线 l 的普通方程，根据互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程； （2）根据参数 t 的几何意义以及等比中项列式可解得 【解答】 解：（1） ， 直线 l 的点斜式方程为 y2（x） ， 化简得： x+ 0， 由 得 2+32cos24，根据互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程
40、为 4x2+y24， （2） 将直线 l 的参数方程代入 4x2+y24 并整理得： （4cos2+sin2） t2+ （8cos+4sin） t+120， （8cos+4sin）24（4cos2+sin2）120，得 sin2cos，0tan 2， 设 A，B 对应的参数为 t1，t2， 第 22 页（共 23 页） 则 t1t2， 由已知得|OP|2|PA|PB|，即 7|t1t2|， 化简得 3cos2，cos2，sin2，tan2，tan，根据判别 式舍去负值， 所以斜率为 tan 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数
41、 f（x）|x2a|+x2+kx， （a 为常数且 0a4） （1）若 ak1，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若函数 f（x）在（0，2）上有两个零点 x1，x2求+的取值范围 【分析】 （1）由于 ak1，故函数 f（x）|x21|+x2+x，分类讨论去掉绝对值，求得 f （x）2 的解集 （2）由题意可得，f（x）在在上有一零点，在上有一零点；或 f（x） 在上有两个零点分别求得 k 的范围，再利用二次函数的性质求得+的 取值范围 【解答】解： （1）由于 ak1，故函数 f（x）|x21|+x2+x 若 x210，则|x21|+x2+x2，即 2x2+x30，解得； 若 x210
42、，则|x21|+x2+x2，即 1x2+x2+x2，x1，故不等式无解 综上所述：f（x）2 的解集 （2）因为 0a4，所以， 因为函数 f（x）在（0，2）上有两个零点有两种情况：可以在上有一零点，在 上有一零点； 或 f（x）在上有两个零点 第 23 页（共 23 页） 当f （ x ） 0在上 有 两 个 零 点 ， 则 有， ， ，所以不等式组无解 当在上有一零点， 在上有一零点， ， 且 0a4， ， ， 所以 k 的取值范围为 不妨令， 令，则 f（k）在区间上为减函数，f（k）（4，8） ， +（，） 【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，方程根的存在性以及个数判断，二次函数的 性质，属于中档题
