1、2019 年中考数学一模试卷一、单项选择（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分）1（3 分）在 0， ，sin45， 这四个数中，无理数是（ ）A0 B Csin45 D2（3 分）十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从 54 万亿元增长 80 万亿元，稳居世界第二，其中 80 万亿用科学记数法表示为（ ）A810 12 B810 13 C810 14 D0.810 133（3 分）下列运算正确的是（ ）A（2x 2） 36x 6 B（y+x）（y+x）y 2x 2C2x+2y4xy Dx 4x2x 24（3 分）如图是小刚进入中考复习
2、阶段以来参加的 10 次物理水平测试成绩（满分 70 分）的统计图，那么关于这 10 次测试成绩，下列说法错误的是（ ）A中位数是 55 B众数是 60 C方差是 26 D平均数是 545（3 分）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（ ）A25 B24 C20 D156（3 分）如图，在ABC 中，AD 平分BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点 A、D 为圆心，以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F；第三步，连接 DE、DF若 BD6，AF 4，CD 3，则 BE 的长是（ ）A2 B4 C6 D87（3
3、 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产 40 台机器，现在生产 600 台机器所需的时间与原计划生产 480 台机器所用的时间相同，设原计划每天生产 x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A B C D 8（3 分）如图，AB 为O 的直径，C 为 O 上一点，弦 AD 平分BAC，交 BC 于点E，AB6，AD5，则 AE 的长为（ ）A2.5 B2.8 C3 D3.29（3 分）如图，在以 O 为原点的直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OC、OA 分别在 x轴、y 轴的正半轴上，反比例函数 y （x 0）与 AB 相交于点 D，与 BC 相交于点E，若 BD3AD，且ODE
4、 的面积是 9，则 k（ ）A B C D1210（3 分）如图，直线 l 的解析式为 yx+4，它与 x 轴和 y 轴分别相交于 A，B 两点平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动它与 x 轴和 y 轴分别相交于 C，D 两点，运动时间为 t 秒（0t4），以 CD 为斜边作等腰直角三角形 CDE（E，O 两点分别在 CD 两侧）若 CDE 和OAB 的重合部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A BC D二、填空（本大题共 6 题，每题 3 分，共 18 分）11（3 分）函数 y 中，自变量 x 的取值
5、范围是 12（3 分）从分别标有数3，2，1，0，1，2，3 的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于 2 的概率是 13（3 分）如果一个正多边形每一个内角都等于 144，那么这个正多边形的边数是 14（3 分）下列说法正确的是 （填写正确说法的序号）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；一元二次方程 x23x5无实数根； 的平方根为4；了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用抽样调查方式；圆心角为 90的扇形面积是 ，则扇形半径为 215（3 分）如图，点 A1 的坐标为（2，0），过点 A1 作 x 轴的垂线交直线 l：y x 于点 B1，以原点 O 为圆心
6、，OB 1 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A2；再过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，以 OB2 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点A3；按此作法进行下去，则 的长是 16（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 O 为对角线 AC、BD 的交点，点 E 为边AB 的中点， BED 绕着点 B 旋转至BD 1E1，如果点 D、E、D 1 在同一直线上，那么EE1 的长为 三、解答（本大题共 8 题，72 分.解答时请写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）17（8 分）（1）解不等式组 ，并求出其所有整数解的和；（2）先化简，再求值： ，其中
7、 18（9 分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，我区兼善中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面的两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；（2）请补全条形统计图；（3）若对食品安全知识达到“了解”程度的学生中，男、女生的比例恰为 2：3，现从中随机抽取 2 人参加食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到 1 个男生和1 个女生的概率19（8 分）如图，在三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE2
8、DE，延长 DE到 F，使 EFBE，连接 CF（1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2）若 CE4，BCF120，求菱形 BCFE 的面积20（7 分）如图，旗杆 AB 的顶端 B 在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点 D 处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部 A 处测得点 D 的仰角为15，AC10 米，又测得BDA 45已知斜坡 CD 的坡度为 i1： ，求旗杆AB 的高度（ ，结果精确到个位）21（9 分）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，垂足为 H，连接 AC，过 上一点 E作 EG AC 交 CD 的延长线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 F，且
9、 EGFG，连接 CE（1）求证：EG 是O 的切线；（2）延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若 AH3，CH4，求 EM 的值22（10 分）某水果店 5 月份购进甲、乙两种水果共花费 1700 元，其中甲种水果 8 元/千克，乙种水果 18 元/千克6 月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果 10 元/ 千克，乙种水果 20 元/千克（1）若该店 6 月份购进这两种水果的数量与 5 月份都相同，将多支付货款 300 元，求该店 5 月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若 6 月份将这两种水果进货总量减少到 120 千克，且甲种水果不超过乙种水果的3 倍，则 6 月份该店需要支
10、付这两种水果的货款最少应是多少元？23（10 分）问题呈现如图 1，在边长为 1 的正方形网格中，连接格点 D，N 和 E，C，DN 和 EC 相交于点P，求 tanCPN 的值方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现问题中CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 M，N，可得 MNEC ，则DNMCPN，连接 DM，那么CPN 就变换到 Rt DMN 中问题解决（1）直接写出图 1 中 tanCPN 的值为 ；（2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AN 与 CM 相交于点 P，求 cosCPN 的值；
11、思维拓展（3）如图 3，ABBC，AB 4BC ，点 M 在 AB 上，且 AMBC，延长 CB 到 N，使BN2BC，连接 AN 交 CM 的延长线于点 P，用上述方法构造网格求 CPN 的度数24（11 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax 2+bx5 与 x 轴交于A（1 ，0），B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形与 ABC 相似，求点 D的坐标；（3）如图 2，CEx 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点 H 且与 y 轴平行的直线与 B
12、C，CE 分别相交于点 F，G，试探究当点 H 运动到何处时，四边形 CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标及最大面积；（4）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m ）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴上分别找点 P，Q，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点 P， Q 的坐标参考答案与试题解析一、单项选择（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分）1（3 分）在 0， ，sin45， 这四个数中，无理数是（ ）A0 B Csin45 D【分析】先将题干中的数化简，根据无理数的定义判断即可得出【解答】解： 3；sin45 ；可得出无理数为 故选：C【点评】本题考查无理数的定义及特殊
13、角的三角函数值无理数即无限不循环小数，其三种存在形式为：开方开不尽的数、含 的数、有规律但不循环的无限小数要理解透彻2（3 分）十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从 54 万亿元增长 80 万亿元，稳居世界第二，其中 80 万亿用科学记数法表示为（ ）A810 12 B810 13 C810 14 D0.810 13【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n
14、 是负数【解答】解：80 万亿用科学记数法表示为 81013故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列运算正确的是（ ）A（2x 2） 36x 6 B（y+x）（y+x）y 2x 2C2x+2y4xy Dx 4x2x 2【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项以及平方差公式逐一计算，判断即可【解答】解：A、（2x 2） 38x 6，故本项错误；B、（y +x）（y +x）x 2y 2，故本项错误；C、2x 与 2y 不能合并，故本项错误；
15、D、x 4x2x 2，故本项正确，故选：D【点评】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键4（3 分）如图是小刚进入中考复习阶段以来参加的 10 次物理水平测试成绩（满分 70 分）的统计图，那么关于这 10 次测试成绩，下列说法错误的是（ ）A中位数是 55 B众数是 60 C方差是 26 D平均数是 54【分析】根据中位数、众数、方差、平均数的定义及计算公式分别对每一项进行分析即可【解答】解：A、把这些数从小到大排列，最中间的数是 55，则中位数是 55，说法正确；B、60 出现的次数最多，则众数是 60，说法正确；C、D、平均数
16、是： （40+50 3+552+604）54，则方差是： （4054）2+3（5054） 2+2（5554） 2+4（6054） 239；则说法错误的是 C；故选：C【点评】本题考查的是平均数、众数、方差和中位数定义，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差 S2 （x 1 ） 2+
17、（x 2 ） 2+（x n ） 25（3 分）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（ ）A25 B24 C20 D15【分析】求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积【解答】解：由题可得，圆锥的底面直径为 8，高为 3，圆锥的底面周长为 8，圆锥的母线长为 5，圆锥的侧面积 8520 ，故选：C【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长6（3 分）如图，在ABC 中，AD 平分BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点 A、D 为圆心，以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧
18、，交于两点M、N；第二步，连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F；第三步，连接 DE、DF若 BD6，AF 4，CD 3，则 BE 的长是（ ）A2 B4 C6 D8【分析】根据已知得出 MN 是线段 AD 的垂直平分线，推出 AEDE ，AFDF，求出DEAC，DF AE，得出四边形 AEDF 是菱形，根据菱形的性质得出AEDE DFAF，根据平行线分线段成比例定理得出 ，代入求出即可【解答】解：根据作法可知：MN 是线段 AD 的垂直平分线，AEDE ，AFDF，EADEDA，AD 平分BAC，BADCAD，EDACAD，DEAC，同理 DFAE，四边形 AEDF 是菱形，AEDE
19、DFAF，AF4，AEDE DFAF4，DEAC， ，BD6，AE4，CD 3， ，BE8，故选：D【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形 AEDF 是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例7（3 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产 40 台机器，现在生产 600 台机器所需的时间与原计划生产 480 台机器所用的时间相同，设原计划每天生产 x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A B C D 【分析】设原计划平均每天生产 x 台机器，根据题意可知现在每天生产（x+4
20、0）台机器，而现在生产 600 台所需时间和原计划生产 480 台机器所用时间相等，从而列出方程即可【解答】解：设原计划平均每天生产 x 台机器，根据题意得， 故选：B【点评】此题主要考查了分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产 40台机器”这一个隐含条件，进而得出分式方程是解题关键8（3 分）如图，AB 为O 的直径，C 为 O 上一点，弦 AD 平分BAC，交 BC 于点E，AB6，AD5，则 AE 的长为（ ）A2.5 B2.8 C3 D3.2【分析】连接 BD、CD，由勾股定理先求出 BD 的长，再利用 ABDBED，得出 ，可解得 DE 的长，由 AEADDE 求解即可
21、得出答案【解答】解：如图 1，连接 BD、CD，AB 为O 的直径，ADB90，BD ，弦 AD 平分BAC，CDBD ，CBDDAB，在ABD 和BED 中，ABDBED， ，即 ，解得 DE ，AEAD DE5 2.8故选：B【点评】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出ABDBED9（3 分）如图，在以 O 为原点的直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OC、OA 分别在 x轴、y 轴的正半轴上，反比例函数 y （x 0）与 AB 相交于点 D，与 BC 相交于点E，若 BD3AD，且ODE 的面积是 9，则 k（ ）A B C D12【分析】所给的三角形
22、面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B 的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数【解答】解：四边形 OCBA 是矩形，ABOC，OABC，设 B 点的坐标为（a，b），BD3AD ，D（ ，b），点 D，E 在反比例函数的图象上， k，E（a， ），S ODE S 矩形 OCBAS AOD S OCE S BDE ab k （b ）9，k ，故选：C【点评】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式10（3 分）如图，直线 l 的解析式为 yx+4，它与 x 轴和 y 轴分别相交于
23、A，B 两点平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动它与 x 轴和 y 轴分别相交于 C，D 两点，运动时间为 t 秒（0t4），以 CD 为斜边作等腰直角三角形 CDE（E，O 两点分别在 CD 两侧）若 CDE 和OAB 的重合部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A BC D【分析】分别求出 0t2 和 2t 4 时，S 与 t 的函数关系式即可判断【解答】解：当 0t2 时， S t2，当 2t4 时，S t2 （ 2t4） 2 t2+8t8，观察图象可知，S 与 t 之间的函数关系的图象大致是 C故选
24、：C【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型二、填空（本大题共 6 题，每题 3 分，共 18 分）11（3 分）函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 x2 且 x3 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可以求解【解答】解：根据题意得： ，解得：x2 且 x3故答案是：x2 且 x3【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数12（3 分）从分别标有数3，2，1，0，1，2，3 的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于 2 的概率是 【分析】根据写
25、有数字3、2、1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于 2 的有1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：写有数字3、2、1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于 2 的有1、0、1、，任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于 2 的概率是： 故答案为： 【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及概率公式等知识，正确得出绝对值小于 2 的数个数和正确运用概率公式是解题的关键13（3 分）如果一个正多边形每一个内角都等于 144，那么这个正多边形的边数是 10 【分析】设正多边形的边数为 n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可【解答】解：设正多
26、边形的边数为 n，由题意得， 144，解得 n10故答案为：10【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键14（3 分）下列说法正确的是 （填写正确说法的序号）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；一元二次方程 x23x5无实数根； 的平方根为4；了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用抽样调查方式；圆心角为 90的扇形面积是 ，则扇形半径为 2【分析】 根据角平分线的性质即可求解；根据根的判别式即可求解；根据算术平方根的定义和平方根的定义即可求解；根据全面调查与抽样调查的定义即可求解；根据扇形的面积公式计算即可求解【解答】解：在角的内部，到角的
27、两边距离相等的点在角的平分线上是正确的；一元二次方程 x23x5，x 23x 50，（3） 241（5）290，方程有两个不相等的两个实数根，原来的说法是错误的； 4，4 的平方根为2，原来的说法是错误的；了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用抽样调查方式是正确的；圆心角为 90的扇形面积是 ，则扇形半径为 2，正确故说法正确的是故答案为：【点评】考查了角平分线的性质、根的判别式、算术平方根和平方根、全面调查与抽样调查、扇形的面积公式，综合性较强，难度中等15（3 分）如图，点 A1 的坐标为（2，0），过点 A1 作 x 轴的垂线交直线 l：y x 于点 B1，以原点 O 为圆心，O
28、B 1 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A2；再过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，以 OB2 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点A3；按此作法进行下去，则 的长是 【分析】先根据一次函数方程式求出 B1 点的坐标，再根据 B1 点的坐标求出 A2 点的坐标，得出 B2 的坐标，以此类推总结规律便可求出点 A2019 的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，【解答】解：直线 y x，点 A1 坐标为（2，0），过点 A1 作 x 轴的垂线交 直线于点B1 可知 B1 点的坐标为（2，2 ），以原 O 为圆心，OB 1 长为半径画弧 x 轴于点 A2，OA 2
29、OB 1，OA2 4，点 A2 的坐标为（4，0），这种方法可求得 B2 的坐标为（4，4 ），故点 A3 的坐标为（8，0），B 3（8，8 ）以此类推便可求出点 A2019 的坐标为（2 2019，0），则 的长是 故答案为： 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题16（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 O 为对角线 AC、BD 的交点，点 E 为边AB 的中点， BED 绕着点 B 旋转至BD 1E1，如果点 D、E、D 1 在同一直线上，那么EE1 的长为 【分析】根据正方形的
30、性质得到 ABAD4，根据勾股定理得到BD AB4 ， 2 ，过 B 作 BFDD 1 于 F，根据相似三角形的性质得到 EF ，求得 DF2 + ，根据旋转的性质得到BD1BD，D 1BDE 1BE，BE 1BE，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 4，ABAD 4，BD AB4 ，点 E 为边 AB 的中点，AE AB2，EAD90，DE 2 ，过 B 作 BFDD 1 于 F，DAEEFB90，AEDBFE，ADEFEB， ， ，EF ，DF2 + ，BED 绕着点 B 旋转至BD 1E1，BD 1BD ，D 1BDE 1BE，BE 1BE，DD 12
31、DF ，D 1BDE 1BE， ， ，EE 1 ，故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键三、解答（本大题共 8 题，72 分.解答时请写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）17（8 分）（1）解不等式组 ，并求出其所有整数解的和；（2）先化简，再求值： ，其中 【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的和即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：（1
32、） ，由得： x1，由得： x ，不等式组的解集为1x ，则整数解为1，0，1，2，3，之和为 5；（2）原式 ，当 x413 时，原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（9 分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，我区兼善中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面的两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90 ；（2）请补全条形统计图；（3）若对食品安全知识达到“
33、了解”程度的学生中，男、女生的比例恰为 2：3，现从中随机抽取 2 人参加食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到 1 个男生和1 个女生的概率【分析】（1）根据了解很少的人数和所占的百分百求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以 360，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；（2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图；（3）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有 3050%60（人），扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 360 90，故答案为
34、：60，90（2）了解的人数有：601530105（人），补图如下：（3）画树状图得：共有 20 种等可能的结果，恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的有 12 种情况，恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率为 【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，读懂题意，根据题意求出总人数是解题的关键；概率所求情况数与总情况数之比19（8 分）如图，在三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE2DE，延长 DE到 F，使 EFBE，连接 CF（1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2）若 CE4，BCF120，求菱形 BCFE 的面积【分析】（1）只要证明
35、四边形 BCFE 是平行四边形，又因为 BEFE，所以是菱形；（2）BCF 是 120，所以EBC 为 60，所以菱形的边长也为 4，求出菱形的高面积就可求【解答】（1）证明：D、 E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC 且 2DEBC，又BE2DE ，EFBE，EFBC，EFBC，四边形 BCFE 是平行四边形，又BEFE，四边形 BCFE 是菱形；（2）解：BCF120，EBC60，EBC 是等边三角形，菱形的边长为 4，高为 2 ，菱形的面积为 42 8 【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是灵活应用菱形的两个面积公式解决问题，掌
36、握由 120这个条件推出等边三角形的方法，属于中考常考题型20（7 分）如图，旗杆 AB 的顶端 B 在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点 D 处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部 A 处测得点 D 的仰角为15，AC10 米，又测得BDA 45已知斜坡 CD 的坡度为 i1： ，求旗杆AB 的高度（ ，结果精确到个位）【分析】延长 BD，AC 交于点 E，过点 D 作 DFAE 于点 F构建直角DEF 和直角CDF通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度即可【解答】解：延长 BD，AC 交于点 E，过点 D 作 DFAE 于点 FitanDCF ，DCF30又DAC15
37、，ADC15CDAC10在 Rt DCF 中， DFCDsin3010 5（米），CFCDcos3010 5 ，CDF60BDF45+15+60120，E1209030，在 Rt DFE 中，EF 5AE10+5 +5 10 +10在 Rt BAE 中，BA AEtanE（10 +10） 10+ 16（米）答：旗杆 AB 的高度约为 16 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形21（9 分）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，垂足为 H，连接 AC，过 上一点 E作 EG AC 交 CD 的延长线于点 G，连接 AE 交 CD
38、于点 F，且 EGFG，连接 CE（1）求证：EG 是O 的切线；（2）延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若 AH3，CH4，求 EM 的值【分析】（1）连接 OE，由 FGEG 得GEFGFEAFH，由 OAOE 知OAEOEA，根据 CDAB 得AFH+FAH90，从而得出GEF+AEO 90，即可得证；（2）连接 OC，设 OAOCr，再 RtOHC 中利用勾股定理求得 r ，再证AHCMEO 得 ，据此求解可得【解答】解：（1）如图，连接 OE，FGEG ，GEFGFEAFH ，OAOE ，OAEOEA，CDAB ，AFH+FAH 90，GEF+AEO 90，GEO 90 ，GE
39、OE ，EG 是 O 的切线；（2）连接 OC，设 O 的半径为 r，AH3、CH4，OHr3，OCr ，则（r3） 2+42r 2，解得：r ，GM AC，CAHM，OEMAHC，AHCMEO， ，即 ，解得：EM 【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质22（10 分）某水果店 5 月份购进甲、乙两种水果共花费 1700 元，其中甲种水果 8 元/千克，乙种水果 18 元/千克6 月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果 10 元/ 千克，乙种水果 20 元/千克（1）若该店 6 月份购进这两种水果的数量与 5
40、 月份都相同，将多支付货款 300 元，求该店 5 月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若 6 月份将这两种水果进货总量减少到 120 千克，且甲种水果不超过乙种水果的3 倍，则 6 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？【分析】（1）设该店 5 月份购进甲种水果 x 千克，购进乙种水果 y 千克，根据总价单价购进数量，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种水果 a 千克，需要支付的货款为 w 元，则购进乙种水果（120a）千克，根据总价单价购进数量，即可得出 w 关于 a 的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的 3 倍，即可得出关于 a
41、 的一元一次不等式，解之即可得出 a 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设该店 5 月份购进甲种水果 x 千克，购进乙种水果 y 千克，根据题意得： ，解得： 答：该店 5 月份购进甲种水果 100 千克，购进乙种水果 50 千克（2）设购进甲种水果 a 千克，需要支付的货款为 w 元，则购进乙种水果（120a）千克，根据题意得：w10a+20（120a）10a+2400甲种水果不超过乙种水果的 3 倍，a3（120a），解得：a90k100，w 随 a 值的增大而减小，当 a90 时，w 取最小值，最小值 1090+24001500月份该店需要支付这两种水果的
42、货款最少应是 1500 元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出 w 关于 a 的函数关系式23（10 分）问题呈现如图 1，在边长为 1 的正方形网格中，连接格点 D，N 和 E，C，DN 和 EC 相交于点P，求 tanCPN 的值方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现问题中CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 M，N，可得 MNEC ，则DNMCPN，连接 DM，那么C
43、PN 就变换到 Rt DMN 中问题解决（1）直接写出图 1 中 tanCPN 的值为 2 ；（2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AN 与 CM 相交于点 P，求 cosCPN 的值；思维拓展（3）如图 3，ABBC，AB 4BC ，点 M 在 AB 上，且 AMBC，延长 CB 到 N，使BN2BC，连接 AN 交 CM 的延长线于点 P，用上述方法构造网格求 CPN 的度数【分析】（1）连接格点 M， N，可得 MNEC ，则DNMCPN，连接 DM，那么CPN 就变换到 RtDMN 中（2）如图 2 中，取格点 D，连接 CD，DM那么CPN 就变换到等腰 RtDMC 中（3）
44、利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；【解答】解：（1）如图 1 中，ECMN，CPN DNM，tanCPNtanDNM，DMN90，tanCPNtanDNM 2，故答案为 2（2）如图 2 中，取格点 D，连接 CD，DMCDAN，CPN DCM，DCM 是等腰直角三角形，DCMD45，cosCPNcosDCM （3）如图 3 中，如图取格点 H，连接 AN、HNPCHN，CPN ANH ，AHHN，AHN90，ANHHAN45，CPN 45 【点评】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思
45、考问题，属于中考压轴题24（11 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax 2+bx5 与 x 轴交于A（1 ，0），B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形与 ABC 相似，求点 D的坐标；（3）如图 2，CEx 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点 H 且与 y 轴平行的直线与 BC，CE 分别相交于点 F，G，试探究当点 H 运动到何处时，四边形 CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标及最大面积；（4）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m ）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴上分别找点 P，Q，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点 P， Q 的坐标【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点 D 的坐标；（3）先求出直线 BC 的解析式，进而求出四边形 CHEF 的面积的函数关系式，即可求出最大值；（4）利用对称性找出点 P，Q 的位置，进而求出 P，Q 的坐标【解答】解：（1）点 A（1，0），B（5，0）在抛物线 yax 2+bx5 上，
