1、直线 x+y10 的倾斜角是 3 （4 分）在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示） 4 （4 分）双曲线 x21 的渐近线方程为 5 （4 分）已知复数 z 满足（1+2i）z13i（是虚数单位） ，则|z| 6 （4 分）若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为 4，则该圆柱的体积为 7 （5 分）已知顶点在原点的抛物线 C 的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线 C 的方程为 8 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E 是 A1B1的中点，则 E 到平面 ABC1D1 的距离 9（5 分） 球的半径为 12cm， 球的一个截面与球心的距离为 4cm
2、， 则截面的半径为 cm 10 （5 分）某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢 4 个不相同的红包，每人最多 抢一个红包，红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有 种 11 （5 分）若复数 z 满足|z|2，则|z+3|+|z3|的取值范围是 12 （5 分）已知集合 M（x，y）|x2+y21，若实数 ， 满足：对任意的（x，y）M， 均有（x，y）M，则称（，）是集合 M 的“可行数对”以下集合中，存在集合 M 的“可行数对“的有 （写出所有满足条件的集合的序号） （，）|+1； （，）|； （，）|2+22； （，）|24 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题
3、，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）直线 x2y+10 的一个方向向量是（ ） A （1，2） B （1，2） C （2，1） D （2，1） 14（5 分） 已知空间不重合的三条直线 l、 m、 n 及一个平面 ， 下列命题中的假命题是 （ ） 第 2 页（共 17 页） A若 lm，mn，则 ln B若 l，n，则 ln C若 lm，mn，则 ln D若 l，n，则 ln 15（5 分） 已知 A， B 为平面内两个定点， 过该平面内动点 m 作直线 AB 的垂线， 垂足为 N 若 ，其中 为常数，则动点 m 的轨迹不可能是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 1
4、6 （5 分）若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值（ ） A至多等于 4 B至多等于 5 C至多等于 6 D至多等于 8 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17 （14 分）已知复数 z 满足 z（i 是虚数单位） （1）求复数 z 的共轭复数 ； （3）若 2+ai，且|z|，求实数 a 的取值范围 18 （14 分）如图，已知 AB 是锥 SO 的底面直径，O 是底面圆心，SO2，AB4，P 是 母线 SA 的中点，C 是底面圆周上一点，AOC60 （1）求直线 PC 与底面所成的角的大小； （2）求异面直线 PC 与 SB
5、 所成的角 19 （14 分）已知 F1、F2为椭圆 C：1（ab0）的左右焦点，O 是坐标原点， 过 F2作垂直于 x 轴的直线 MF2交椭圆于 M（，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过点（，0）的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，若0，求直线 l 的方程 20 （16 分） 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳 第 3 页（共 17 页） 马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆 棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马如图所示，在 PABCD 中，PD底面 ABCD （1）若 ADCD4m，斜梁 PB 与底面
6、 ABCD 所成角为 15，求立柱 PD 的长（精确到 0.0lm） ； （2）证明：四面体 PDBC 为鳖臑； （3）若 PD2，CD2，BC1，E 为线段 PB 上一个动点，求ECD 面积的最小值 21 （18 分）设不等式（x+y） （xy）0 表示的平面区域为 D，区域 D 内的动点 P 到直线 x+y0 和直线 xy0 的距离之积为 2，记点 P 的轨迹为曲线 C，过点 F（2，0）的 直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点 （1）求曲线 C 的方程； （2）若 l 垂直于 x 轴，Q 从域为 D 内一点，求的取值范围； （3）若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切，求直线 l
7、的斜率 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）2 的平方根是 【分析】 设2 的平方根是 x+yi （x， yR） ， 由 （x+yi） 2x2y2+2xyi2， 得 ， 解得 x，y 值即可得答案 【解答】解：设2 的平方根是 x+yi（x，yR） ， 由（x+yi）2x2y2+2xyi2， 得，解得或 2 的
8、平方根是 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 2 （4 分）直线 x+y10 的倾斜角是 【分析】利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角 【解答】解：因为直线的斜率为：， 所以 tan， 所以直线的倾斜角为： 故答案为： 【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力 3 （4 分）在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为 15 （结果用数值表示） 【分析】通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用 x 的指数为 2，求出展开式 中 x2的系数 【解答】解：展开式的通项为 Tr+1C6rxr 令 r2 得到展开式中
9、x2的系数是 C6215 第 5 页（共 17 页） 故答案为：15 【点评】本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问 题考查计算能力 4 （4 分）双曲线 x21 的渐近线方程为 y2x 【分析】渐近线方程是 0，整理后就得到双曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线标准方程为1， 其渐近线方程是0， 整理得 y2x 故答案为 y2x 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐 近线方程属于基础题 5 （4 分）已知复数 z 满足（1+2i）z13i（是虚数单位） ，则|z| 【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解 【解答】
10、解：由（1+2i）z13i，得 z， |z| 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 6 （4 分）若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为 4，则该圆柱的体积为 2 【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入体积公式计算即可 【解答】解：圆柱的轴截面是正方形，且面积为 4， 圆柱的底面半径 r1，高 h2， 圆柱的体积 Vr2h1222 故答案为：2 【点评】本题考查了圆柱的结构特征和体积的计算，属于基础题 第 6 页（共 17 页） 7 （5 分）已知顶点在原点的抛物线 C 的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线 C 的方程为 y212x 【分析】
11、求出椭圆的右焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程 【解答】解：椭圆的右焦点（3，0） ，所以顶点在原点的抛物线 C 的焦点（3， 0） ， 所以抛物线方程为：y212x 故答案为：y212x 【点评】本题考查抛物线的简单性质，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 8 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E 是 A1B1的中点，则 E 到平面 ABC1D1 的距离 【分析】由 A1B1AB，知 EB1平行 AB因此点 E 到平面距离转化为 B1到平面距离取 BC1中点为 O，OB1垂直 BC1，所以 B1O 为 E 到平面 ABC1D1的距离，由此能求出结果
12、【解答】解：A1B1AB， EB1AB 因此点 E 到平面距离转化为 B1到平面距离 取 BC1中点为 O，OB1垂直 BC1， B1O 为所求， B1O， 所以 E 到平面 ABC1D1的距离为： 故答案为： 【点评】本题考查点、线、面间的距离，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化 第 7 页（共 17 页） 9（5 分） 球的半径为 12cm， 球的一个截面与球心的距离为 4cm， 则截面的半径为 8 cm 【分析】由已知结合 R求出截面的半径 【解答】解：球的半径 R12cm， 球的一个截面与球心的距离 d4cm， 代入 R得：r8cm， 故答案为：8 【点评】本题考查的知识点是球的
13、体积和表面积，难度不大，属于基础题 10 （5 分）某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢 4 个不相同的红包，每人最多 抢一个红包，红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有 72 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：、在丙、丁、戊三人中选出 2 人，和甲乙一起 抢到红包，、将甲乙和选出的 2 人全排列，对应 4 个不相同的红包，由分步计数原理 计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 、在丙、丁、戊三人中选出 2 人，和甲乙一起抢到红包，有 C323 种情况， 、将甲乙和选出的 2 人全排列，对应 4 个不相同的红包，有 A4424 种情况， 则甲乙两人都抢到红包
14、的情况 32472 种； 故答案为：72 【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意先分析满足受到限制的元素 11 （5 分）若复数 z 满足|z|2，则|z+3|+|z3|的取值范围是 6，2 【分析】复数 z 满足|z|2，表示以原点为圆心，以 2 为半径的圆，则|z+3|+|z3|的表示 圆上的点到（3，0）和（3，0）的距离，结合图形可求 【解答】解：满足|z|2 的 z 在以原点为圆心，以 2 为半径的圆上， 图， 则|z+3|+|z3|的表示圆上的点到 B（3，0）和 C（3，0）的距离，由图象可知， 当点在 E，G 处最小，最小为：3+36， 当点在 D，F 处最大，最大为 2，
15、则|z+3|+|z3|的取值范围是6，2， 故答案为：6，2 第 8 页（共 17 页） 【点评】本题考查了复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题 思想方法，是基础题 12 （5 分）已知集合 M（x，y）|x2+y21，若实数 ， 满足：对任意的（x，y）M， 均有（x，y）M，则称（，）是集合 M 的“可行数对”以下集合中，存在集合 M 的“可行数对“的有 （写出所有满足条件的集合的序号） （，）|+1； （，）|； （，）|2+22； （，）|24 【分析】此题主要分析出“可行数对”的含义，得出 2+21，分别考虑表 示的曲线，与单位圆有没有交点，即可判断 【解答】解
16、：由题意知，2x2+2y22+21，N（，）|2+21表示一个圆及圆 内的点集； 表示一条直线；表示一个椭圆； 表示一个圆；表示一条抛物线 问题转化为判断圆与选项表示的曲线是否有交点， 具体如下：中直线与 N 所表示的圆有两个交点； 中椭圆与此圆无交点； 中圆与此圆无交点； 中抛物线与此圆有两个交点 故答案为： 【点评】本题以集合的形式来考查圆与直线、椭圆、圆、抛物线有无交点问题难点是 如何正确把握 和 的数量关系，本题的易错点是能否从已知条件“可行数对”中抽象 概括出不等式 2+21，对选顼做逐一判断即可 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20
17、分）分） 13 （5 分）直线 x2y+10 的一个方向向量是（ ） 第 9 页（共 17 页） A （1，2） B （1，2） C （2，1） D （2，1） 【分析】首先求出直线的斜率，进一步利用直线的斜率和方向向量对应相等求出结果 【解答】解：直线 x2y+10 的斜率 k即与向量 （2，1）共线， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：直接利用直线的斜率和方向向量的关系式求出结果 14（5 分） 已知空间不重合的三条直线 l、 m、 n 及一个平面 ， 下列命题中的假命题是 （ ） A若 lm，mn，则 ln B若 l，n，则 ln C若 lm，mn，则 ln D若 l，n，则 ln
18、【分析】由平行公理可判断 A；由线面平行的性质和线线的位置关系可判断 B；由线线平 行的性质可判断 C；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质可判断 D 【解答】解：空间不重合的三条直线 l、m、n 及一个平面 ， 由 lm，mn 可得 ln，故 A 正确； 若 l，n，则 ln，或 l，n 相交，或异面，故 B 错误； 若 lm，mn，则 ln，故 C 正确； 若 l，n，由线面平行的性质定理可得，过 n 的平面与 的交线 k 平行于 n， 则 lk，又 nk，可得 ln，故 D 正确 故选：B 【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查推 理能力，属于基础题
19、15（5 分） 已知 A， B 为平面内两个定点， 过该平面内动点 m 作直线 AB 的垂线， 垂足为 N 若 ，其中 为常数，则动点 m 的轨迹不可能是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【分析】建立直角坐标系，设出 A、B 坐标，以及 M 坐标，通过已知条件求出 M 的方程， 然后判断选项 【解答】解：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中垂线为 y 轴，建立坐标系， 设 M（x，y） ，A（a，0） 、B（a，0） ； 因为， 所以 y2（x+a） （ax） ， 即 x2+y2a2，当 1 时，轨迹是圆 第 10 页（共 17 页） 当 0 且 1 时，是椭圆的轨迹方程； 当 0
20、时，是双曲线的轨迹方程 当 0 时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物线的方程 故选：D 【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思 想、分析问题解决问题的能力以及计算能力 16 （5 分）若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值（ ） A至多等于 4 B至多等于 5 C至多等于 6 D至多等于 8 【分析】当 n2，3，4，时一一讨论判断即可得解 【解答】解：由题意得， n2 时，空间中任意两点均满足题意； n3 时，当空间中三个点构成正三角形时，可使得两两距离相等； n4 时，当空间中四个点构成正四面体时，可使得两两距离相等 不存
21、在 n 为 4 以上的情况满足题意，故 n 至多等于 4 故选：A 【点评】本题主要考查点、线、平面的位置关系，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17 （14 分）已知复数 z 满足 z（i 是虚数单位） （1）求复数 z 的共轭复数 ； （3）若 2+ai，且|z|，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出； （2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出 【解答】解： （1）， （2）w8+（2+a）i， ， ， |w|z|， 第 11 页（共 17 页） 则 68+4a+a268，a
22、2+4a0，4a0， 所以，实数 a 的取值范围是：4a0 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次 不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题 18 （14 分）如图，已知 AB 是锥 SO 的底面直径，O 是底面圆心，SO2，AB4，P 是 母线 SA 的中点，C 是底面圆周上一点，AOC60 （1）求直线 PC 与底面所成的角的大小； （2）求异面直线 PC 与 SB 所成的角 【分析】（1） 推导出半径r2， l4， 从而圆锥的侧面积Srl8 过 点 P 作 PE圆 O， 交 AO 于 E， 连结 CE， 则 E 是 AO 中点， 推导出 CEAO，
23、从而PCE 是直线 PC 与底面所成角，由此能求出直线 PC 与底面所成的角 （2）连结 PO，则 POSB，则CPO 是异面直线 PC 与 SB 所成的角，由此能求出异面 直线 PC 与 SB 所成的角 【解答】解： （1）AB 是圆锥 SO 的底面直径，O 是底面圆心，SO2，AB4， P 是母线 SA 的中点，C 是底面圆周上一点，AOC60 r2，l4， 圆锥的侧面积 Srl248 过点 P 作 PE圆 O，交 AO 于 E，连结 CE，则 E 是 AO 中点， PESO，CE， OE1，OC2，CEAO， PCE 是直线 PC 与底面所成角， 第 12 页（共 17 页） PECE，
24、PECE，PCE， 直线 PC 与底面所成的角为 （2）CE，PC， 连结 PO，则 POSB，PO2， CPO 是异面直线 PC 与 SB 所成的角， cosCPO 异面直线 PC 与 SB 所成的角为 arccos 【点评】本题考查线面角、异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是中档题 19 （14 分）已知 F1、F2为椭圆 C：1（ab0）的左右焦点，O 是坐标原点， 过 F2作垂直于 x 轴的直线 MF2交椭圆于 M（，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过点（，0）的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B
25、两点，若0，求直线 l 的方程 【分析】 （1）求出 c 的值为，把 M（，1） 代入椭圆由 a，b，c 的关系即可求椭 圆 C 的方程 （2）设直线 l：yk（x+）代入椭圆消元得一元二次方程，由韦达定理和0 即可求直线 l 的方程 【解答】解： （1）由题意知 c，+1， 由 a2+b2c22，解得 a2，b， 第 13 页（共 17 页） 椭圆 C 的方程 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 当 lx 轴时，A（，1） ，B（，1） ，0 当 l 不垂直于 x 轴时，设 l 为 yk（x） ，代入椭圆得， （1+2k2）x2+4k2x+4k240， 由韦达定理有，x1+x
26、2，x1x2， 由0 得，x1x2+y1y20， 即 x1x2+k2（x1） （x2）（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+2k20， 0， 解得 k， 直线 l 的方程x+y+20，xy+20 【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系的处理策略，属于中档题 20 （16 分） 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳 马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆 棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马如图所示，在 PABCD 中，PD底面 ABCD （1）若 ADCD4m，斜梁 PB 与底面 ABCD 所成角为 15，求立柱
27、PD 的长（精确到 0.0lm） ； （2）证明：四面体 PDBC 为鳖臑； （3）若 PD2，CD2，BC1，E 为线段 PB 上一个动点，求ECD 面积的最小值 【分析】 （1）推导出侧棱 PB 在底面 ABCD 上的射影是 DB，从而PDB 是侧棱 PB 与底 第 14 页（共 17 页） 面 ABCD 所成角，PBD15，由此能求出立柱 PD 的长； （2）底面 ABCD 是长方形，从而BCD 是直角三角形，推导出 PDDC，PDDB，PD BC，从而PDC，PDB 是直角三角形，由 BC平面 PDC，得PBC 是直角三角形， 由此能证明四面体 PDBC 为鳖臑； （3）利用转化法求出
28、异面直线 CD 与 PB 的距离，即可求得ECD 面积的最小值 【解答】 （1）解：侧棱 PD底面 ABCD， 侧棱 PB 在底面 ABCD 上的射影是 DB， PDB 是侧棱 PB 与底面 ABCD 所成角，PBD15， 在PBD 中，PDB90，DB（m） ， 由 tanPDB，得 tan15， 解得 PD1.52（m） ， 立柱 PD 的长约 1.52m； （2）证明：由题意知底面 ABCD 是长方形， BCD 是直角三角形， 侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，PDDB，PDBC， PDC，PDB 是直角三角形， BCDC，BCPD，PDDCD， BC平面 PDC， PC平面 PDC，
29、BCPC， PBC 是直角三角形， 四面体 PDBC 为鳖臑； （3）解：PB 与 CD 是两异面直线，CDAB，则 CD平面 PAB， 则两异面直线 PB 与 CD 的距离等于 CD 到平面 PAB 的距离 也即 D 到平面 PAB 的距离，等于 D 到直线 PA 的距离， PD2，AD1，PA，则 D 到 PA 的距离为 线段 PB 上动点 E 到 CD 距离的最小值为 则ECD 面积的最小值为 第 15 页（共 17 页） 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查异面直 线距离的求法，考查推理能力与计算能力，是中档题 21 （18 分）设不等式（x+y） （
30、xy）0 表示的平面区域为 D，区域 D 内的动点 P 到直线 x+y0 和直线 xy0 的距离之积为 2，记点 P 的轨迹为曲线 C，过点 F（2，0）的 直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点 （1）求曲线 C 的方程； （2）若 l 垂直于 x 轴，Q 从域为 D 内一点，求的取值范围； （3）若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切，求直线 l 的斜率 【分析】 （1）设 P（x，y） ，由题意可得：2，根据（x，y）满足不等式 （x+y） （xy）0化简整理即可得出曲线 C 的方程（x0） （2） 把 x2代入曲线 C 的方程1 解得 y Q （x， y） ， y2x2+4 （x0
31、） 代 入，利用二次函数的单调性即可得出的取值范围是 （3） 设直线 l 的方程为 myx2（m0， 1） A （x1， y1） ， B （x2， y2） 联立， 化为： （1m2）y24my120，根据一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公 式、弦长公式|AB|，可得线段 AB 的中点坐标，|AB|， 以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切可得：|AB|xE|，即可得出 m 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，则2， （x，y）满足不等式（x+y） （xy）0 化为：1 （x0） 第 16 页（共 17 页） 曲线 C 的方程为1 （x0） （2）把 x2代入曲线 C 的方程1解得 y
32、2 取 A（2，2） ，B（2，2） 设 Q（x，y） ，y2x2+4 （x0） 则+（y212）2x24x4288 的取值范围是8，+） （3）设直线 l 的方程为 myx2 （m0，1） A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，化为： （1m2）y24my120， y1+y2，y1y2 设线段 AB 的中点为 E， 则 yE，xEm+2， E（，） ， |AB| 以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切， |AB|， ， 化为：m2 直线 l 的斜率为 第 17 页（共 17 页） 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中 点坐标公式、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题
