1、20192020 学年度第二学期阶段检测 高三数学试题 2020.03 本试卷共 4 页，22 题全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将 条形码粘贴在答题卡指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，请将答题卡上交。 一、单项选择题：本大题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1
2、已知集合 2 40 ,8Mx xxNx mx，若6MNxxn，则 mn（ ） A10 B12 C14 D16 2已知 i 是虚数单位，1(1)i0a()aR ，复数2iza，则 1 z （ ） A. 1 5 B. 5 C. 5 5 D. 5 3 九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、 汉时期的数学成就，其中方田一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所 围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积= 1 2 （弦矢+矢矢） ，公式中“弦”指圆弧 所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积 与其实际面积之间存在误差，现有
3、圆心角为 2 3 ，弦长为40 3米的弧田，其实际面积与 按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为 （ ） 平方米 （其中3，3 1.73 ） A14 B16 C18 D20 4已知关于 x 的二项式( x + 3 a x )n展开式的二项式系数之和 为 32，常数项为 80，则 a 的值为（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 5设非零向量, a b满足 2aba，则“ab”是“a与b的夹角为 3 ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6已知函数 2 1 fx xlnx ，则 yf（x）的图象大致为（ ） A
4、B C D 7已知 311 33 11 log,3log,log 33 ac b abc ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A. cba B.abc C.bca D. bac 8若F为双曲线 22 :1 45 xy C-=的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左右两支分别交 于A，B两点，则 14 |FAFB 的取值范围是（ ） A. 1 1 , 4 5 B. 1 1 , 5 5 C. 1 ,0 4 D. 1 1 , 4 5 二、多项选择题：本大题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0
5、 分 9下表是某电器销售公司 2019 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其他类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% 0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是 A该公司 2019 年度冰箱类电器销售亏损 B该公司 2019 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C该公司 2019 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2019 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 10如图,在棱长均相等的四棱锥P ABCD中, O为底面正方形的中心, M,N分别为侧 棱
6、PA,PB的中点,有下列结论正确的有：( ) APD平面OMN B平面PCD平面OMN C直线PD与直线MN所成角的大小为90 DONPB 11把函数 ( )sin(2) 3 f xx的图象向左平移(0)个单位长度可以得到函数 ( )g x的图象，若( )g x的图象关于y轴对称，则的值可能为 A 5 12 B 7 12 C 5 6 D11 12 12设 fx为函数 f x的导函数，已知 2 lnx fxxf xx， 1 1 2 f，则下列结 论不正确的是（ ） A x f x在0,单调递增 B x f x在0,单调递减 C x f x在0,上有极大值 1 2 D x f x在0,上有极小值
7、1 2 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 1 cos 33 x ，则 2 cos 2sin 33 xx 的值为_. 14为了提高命题质量，命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这 3 种题 型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为_ 152019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得 到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明 史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规 律 已知样本中碳 14 的质量N随时间t（单位： 年）
8、的衰变规律满足 5730 0 2 t NN （ 0 N 表示碳 14 原有的质量） ，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的_；经过测 定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 1 2 至 3 5 ，据此推测良渚古城存在的 时期距今约在_年到 5730 年之间 （参考数据： 22 log 31.6,log 52.3） 16如图,矩形ABCD中,2 3AB ,2AD ,Q为BC的中点,点,M N分别在线段,AB CD 上运动 （其中M不与,A B重合,N不与,C D重合） ,且/MNAD,沿MN将DMN折 起,得到三棱锥DMNQ,则三棱锥DMNQ 体积的最大值为_； 当三棱
9、锥DMNQ体积最大时， 其外接球的表面积的值为_. 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题共（本小题共 10 分）分） 已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，若ABC同时满足下列四个条 件中的三个： 2 63 3() baac cab ； 2 cos22cos1 2 A A； 6a ； 2 2b . （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 18.（本小题共（本小题
10、共 12 分）分） 已知数列 n a满足 1 1a ， * nN ， 121 11 1 2 nn aaaa n . （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 1 121 n n nn n b aa ，记数列 n b的前n项和 n S，求 n S. 19.（本小题共（本小题共 12 分）分） 已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PAD是正三角形， CD平面PAD，,E F G O分别是,PC PD BC AD的中点 （1）求证：PO平面ABCD； （2）求平面 EFG 与平面ABCD所成锐二面角的大小； （3）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平 面EFG所成
11、角为 6 ，若存在，求线段PM的长度； 若不存在，说明理由 20.（本小题共（本小题共 12 分）分） 近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3 3模式，其中 语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分.另外考生还要依据想考取的 高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、 生物6门科目中自选3门参加考试（6选3） ，每门科目满分均为100分.为了应对新高考， 某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法 从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人. （1）求n的值； （2）
12、学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两 个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这 两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） ，下表是根据调查结果得到的一个不完 整的22列联表，请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科 目与性别有关？说明你的理由； 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 10 女生 25 总计 （3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生， 再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X，求X的分布列及期望. 附： 2
13、 2 () ()()()() n adbc K ab ac cd bd ，na b cd 2 0 P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 21.（本小题共（本小题共 12 分）分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， 以原点为圆心， 椭圆C的短半轴长为 半径的圆与直线60xy相切. （1）求椭圆方程； （2）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S） ， 直线PS，QS分别交直线4x 于A，B两点. 求证：A，B两点的纵坐标之积为定值. 22. （本
14、小题共（本小题共 12 分）分） 已知函数 2 ( )3lnf xxxx （1）求曲线( )yf x的斜率为 2 的切线方程； （2）证明：( )22f xx； （3）确定实数k的取值范围，使得存在 0 1x ,当 0 (1,)xx时,恒有( )(1)f xk x 数学答案 第 1 页（共 6 页） 20192020 学年度第二学期阶段检测 高三数学答案及评分标准 一、单项选择题：本大题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分 CC B C C A CD 二、多项选择题：本大题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分 9ACD； 10ABD； 11AD； 12ABC. 三、填空题：本大题共 4
15、 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 5 3 ； 14150； 15 1 2 , 4011； 161, 25 3 . 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 （本小题满分 10 分）分） 解：解： （1）由 2 63 3 baac cab 得， 222 32 6acbac ， 所以 222 6 cos 23 acb B ac ， 2 分 由 2 cos22cos1 2 A A得， 2 2coscos10AA ， 解得 1 cos 2 A或cos1A（舍） ，所以 3 A ， 4 分 因为 61 cos 32 B ，且0,B
16、，所以 2 3 B，所以AB，矛盾. 所以ABC不能同时满足，. 故ABC满足,或,； 6 分 （2）若ABC满足,， 因为 222 2cosbacacB，所以 2 6 8626 3 cc ，即 2 420cc . 解得 62c . 8分 所以ABC的面积 1 sin32 2 SacB. 10 分 数学答案 第 2 页（共 6 页） 若ABC满足,由正弦定理 sinsin ab AB ，即 62 2 sin3 2 B ，解得sin1B， 所以 2c ，所以ABC的面积 1 sin3 2 SbcA. 10 分 1 18 8. . （本小题满分（本小题满分 1 12 2 分）分） 解：解： （1）
17、 121 11 1 2 nn aaaa n ， 121 11 12 21 nn aaaan n . 1 1 2 nnn aa n na ， 则 1 2 1 nn aa n nn ， 3 分 当1n ， 2 2a ，则 21 21 aa 符合上式 .4 分 1 1 nn aa nn ， 1 1 1 n aa n ， n an.（4 分） 6 分 （2） 11 1 211 1 121 nn n nn b aan nn n 111 1 1 n nn 9 分 11111111 11 223341 n n S nn . 1 1 1 1 n n 12 分 1919 （本小题满分 （本小题满分 1 12 2
18、 分）分） 解：解： （1）证明:因为PAD是正三角形， O是AD的中点，所以 POAD. 又因为CD平面PAD，PO平面PAD，所以POCD.2 分 ADCDD，AD CD，平面ABCD， 所以PO面ABCD 4 分 数学答案 第 3 页（共 6 页） （2）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系. 则 (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0),( 2,4,0),( 2,0,0),(0,4,0), (0,0,2 3)OABCDGP， ( 1,2, 3),( 1,0, 3)EF，(0, 2,0),(1,2,3)EFEG， 设平面EFG的
19、法向量为( , , )mx y z 所以 0 0 EF m EG m ，即 20, 230, y xyz 令1z ，则 ( 3,0 1)m ， 又平面ABCD的法向量(0,0,1)n ， 设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为， 所以 2 2 11 cos 2 311 m n m n . 所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为 3 . 8 分 （3）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为 6 ， 即直线GM与平面EFG法向量m所成的角为 3 ， 设PM PA ，0,1， ,GMGPPMGPPA ， 10 分 所以2 , 4,2 3 1GM所以 2 3 coscos, 3
20、 2 467 GM m ， 整理得 2 2320，方程无解， 所以，不存在这样的点M. 12 分 数学答案 第 4 页（共 6 页） 2 20 0 （本小题满分 （本小题满分 1 12 2 分）分） 解：解： （1）由题意得 45 1000450 n ，解得100n . 3 分 （2）22 列联表为： 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 45 10 55 女生 25 20 45 总计 70 30 100 2 2 100 (45 2025 10) 8.12896.635 55 45 70 30 K ， 故有99%的把握认为选择科目与性别有关. 7 分 （3）从 45 名女生中分层抽样抽 9
21、名女生，所以这 9 女生中有 5 人选择“物理”， 4 人 选择“地理”. 9 名女生中再选择 4 名女生，则这 4 名女生中选择“物理”的人数X可为 0，1，2，3，4，设事件X发生的概率为P X， 则 4 4 4 9 1 (0) 126 C P X C ， 13 54 4 9 2010 (1) 12663 C C P X C ， 22 54 4 9 6010 (2) 12621 C C P X C ， 31 54 4 9 4020 (3) 12663 C C P X C ， 4 5 4 9 5 (4) 126 C P X C 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 126 10
22、 63 10 21 20 63 5 126 期望 1206040520 ()01234 1261261261261269 E X 12 分 2 21 1 （本小题满分 （本小题满分 1 12 2 分）分） 解：解： （1）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60xy相切， 所以半径b等于原点到直线的距离d， 006 1 1 bd ，即3b. 由离心率 1 2 e ，可知 1 2 c a ，且 222 abc，得2a . 数学答案 第 5 页（共 6 页） 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy . 4 分 （2）由椭圆C的方程可知(2 0)S,. 若直线l的斜率不存在，则直线l方程
23、为1x ，所以 33 (1)(1) 22 PQ, ,. 则直线PS的方程为3260xy，直线QS的方程为3260xy. 令4x，得(4 3)A ,-，(4 3)B,.所以AB，两点的纵坐标之积为9. 6 分 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为)0)(1(kxky, 由 22 (1) 34120 yk x xy 得 2222 (34)84120kxk xk， 依题意0恒成立.设 112212 ()()(0)P x yQ xyx x ,， 来源:学科网 ZXXK 则 22 1212 22 8412 3434 kk xxx x kk ,. 设(4) A Ay,(4) B By,，由题意PSA， ，
24、三点共线可知 1 1 422 A yy x ， 所以点A的纵坐标为 1 1 2 2 A y y x . 9 分 同理得点B的纵坐标为 2 2 2 2 B y y x . 所以 12122 12 121212 122 4 2224 AB x xxxyy y yk xxx xxx . 222 22 2222 4128439 449 4122 84(43)4 kkk kk kkkk 综上，AB，两点的纵坐标之积为定值. 12 分 2 22 2. . （本小题满分（本小题满分 1 12 2 分）分） 解：解： （1）函数 ( )f x的定义域为(0,). 由 2 ( )3lnf xxxx得 3 ( )
25、12fxx x . 令( )2fx ，即 3 1 22x x ，得1x ， 3 2 x （舍） 又(1)0f， 所以曲线( )yf x的斜率为的切线方程为22yx 3 分 （2）设 2 ( )( )(22)3ln2g xf xxxxx，则 数学答案 第 6 页（共 6 页） 2 323(23)(1) ( )21 xxxx g xx xxx . 令( )0g x 得1x ， 3 2 x （舍） 5 分 当( )0g x 时，01x；当)(0g x 时，1x . 所以( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减. 所以( )(1)0g xg.所以( )22f xx. 7 分 （3）由（
26、2）可知， 当2k 时，( )2(1)f xx， 所以不存在 0 1x ，当 0 (1,)xx时，恒有( )2(1)f xx； 所以2k 不符合题意. 8 分 当2k 时，对于1x ，( )2(1)(1)f xxk x， 所以不存在 0 1x ，当 0 (1,)xx时，恒有( )2(1)f xx； 所以2k 不符合题意. 9 分 当2k 时，设 2 ( )( )(1)(1)3lnh xf xk xxk xxk . 因为 2 2(1)3 ( ) xk x h x x ，令 ( )0,h x 即 2 2(1)30xk x. 因为 2 (1)240k ， 解得 22 12 1(1)241(1)24 , 44 kkkk xx . 又因为2k ，所以 12 0,1xx.取 02 xx. 当 0 (1,)xx时，( )0h x ；所以( )h x在 0 (1,)x上单调递增.所以( )(1)0h xh. 即( )(1)f xk x.所以2k 符合题意. 所以实数k的取值范围是(,2). 12 分
