1、“皖南八校”2020 届高三第三次联考数学（文科） 考生注意： 1本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 2考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域 书写的答案无效 ，在试题卷 、草稿纸上作答无效 3做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 4本卷命题范围：高考范围 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 |
2、14Axx剟， 2 |23Bx xx，则AB（ ） A | 14xx 剟 B |13xx剟 C | 13xx 剟 D |14xx剟 2已知复数z满足262zzi（i是虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的渐近线方程为30xy， 则双曲线C的离心率为 （ ） A 2 3 3 B3 C2 2 D2 4已知直线m，n，平面，则m的充分条件是（ ） An，mn B，m Cn，mn D，m 5已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 88 8Sa，则公差d等于（ ） A 1
3、 4 B 1 2 C1 D2 6新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考） 其中“选 择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序， 评定为, , ,A B C D E五个等级某试点高中 2019 年参加“选择考”总人数是 2017 年参加“选择考”总人 数的 2 倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校 2017 年和 2019 年“选择考”成 绩等级结果，得到如下图表： 针对该校“选择考”情况2019 年与 2017 年比较，下列说法正确的是（ ） A获得A等级的人数不变 B获得B等级的
4、人数增加了 1 倍 C获得C等级的人数减少了 D获得E等级的人数不变 7函数cos xx yeex 的部分图象大致是（ ） A B C D 8在ABC中，5ACAD，E是直线BD上一点，且2BEBD，若AEmAB nAC，则mn （ ） A 2 5 B 2 5 C 3 5 D 3 5 9已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若 2 47 aa， 4 2 3 S S ，则 5 a （ ） A2 B2 2 C4 D4 2 10已知 2 ( )2 ()3f xfxxx，则函数( )f x图象在点(1,(1)f处的切线方程为（ ） A1yx B1yx C1yx D1yx 11 若 函 数( )3
5、sincosfxxx在 区 间 ,a b上 是 增 函 数 ， 且( )2,( )2f af b ， 则 函 数 ( )3cossing xxx在区间 , a b上（ ） A是增函数 B是减函数 C可以取得最大值 2 D可以取得最小值2 12在三棱锥PABC中，已知 4 APC ， 3 BPC ，PAAC，PBBC，且平PAC 平面 PBC，三棱锥PABC的体积为 3 6 ，若点, , ,P A B C都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A4 B8 C12 D16 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13设, x y满足约束条件 1, 1, 33, xy xy x
6、y 则2zxy的最小值为_ 14 在平面直角坐标系中， 若角的始边是x轴非负半轴， 终边经过点 22 sin,cos 33 P ， 则c o s () a _ 15已知函数( )f x是定义域为R的偶函数，xR ，都有(2)()f xfx，当01x时， 2 1 3log, 0 2 ( ) 1 1,1 2 xx f x xx ，则 9 (11) 4 ff _ 16 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p， 其焦点为F， 准线为l， 过焦点F的直线交抛物线C于点A、B（其 中A在x轴上方） ，A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若| 2 3MF ，| 2NF ，则 | | AF BF
7、_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，满足2 coscoscosaAbCcB （1）求A； （2）若ABC的面积为6 3，2 7a ，求ABC的周长 18 （12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为长方形，PA 底面ABCD，4PAAB，3BC ，E 为PB的中点，F为线段BC上靠近B点的三等分点 （1）求证：AE 平面PBC； （2）求点B到平而A
8、EF的距离 19 （12 分） 2019 新型冠状病译（2019-nCoV）于 2020 年 1 月 12 日被世界卫生组织命名冠状病毒是一个大型病毒家 族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病某医院对 病患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表： 戴口罩 未戴口罩 总计 未感染 30 10 40 感染 4 6 10 总计 34 16 50 （1）根据上表，判断是否有 95%的把握认为未感染与戴口罩有关； （2）在上述感染者中，用分层抽样的方法抽取 5 人，再在这 5 人中随机抽取 2 人，求这 2 人都未戴口罩的 概率 参考公式：
9、2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分） 已知点 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，椭圆上一点P满足 1 PFx轴， 12 5PFPF， 12 2 2FF （1）求椭圆C的标准方程； （2）过 2 F的直线l交椭圆C于,A B两点，当 1 ABF的内切圆面积最大时，求直线l的方程
10、21 （12 分） 已知函数 2 ( )() x f xeaxxR （1）若函数( )yf x有两个极值点，试求实数a的取值范围； （2）若0 2 e a剟且0x ，求证：( )1f x （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 4 1 5 3 1 5 xt yt （t为参数） ，以直角坐标系的原点为极点，以x轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 4 （1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2）已知直线l与曲线C
11、交于,A B两点，试求,A B两点间的距离 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知0a ，0b，1ab （1）求11ab 的最大值； （2）若不等式 11 |1|xmx ab 对任意xR及条件中的任意, a b恒成立，求实数m的取值范围 “皖南八校”2020 届高三第三次联考数学（文科） 参考答案、解析及评分细则 1B 集合 | 13Bxx 剟， |13ABxx剟 2A 设( ,)zabi a bR，则2()2()362zzabiabiabii， 36 2 a b ， 2 2 a b ， 即22zi，对应点为(2,2)，在第一象限 3A 由题知 1 3 b a ，又 222 abc，解
12、得 2 3 3 c e a 4 D n，mn， 有可能m， A 错误；,m， 有可能m， B 错误；,nmn， 有可能m 5D 88 8Sa， 1288 aaaa， 7 0S ， 74 7Sa， 4 0a 48 0,8aa， 84 2 84 aa d 6D 7B 易判断函数cos xx yx ee为奇函数，由此排除 A，C，又1x 时， cos0 xx yx ee， 排除 D，故选 B 8D 2 22() 5 AEABBEABBDABADABABAC ， 3 5 mn 9C 10A 2 ( )2 ()3f xfxxx， 2 ()2 ( )3fxf xxx 2 ( )f xxx(1)0f，( )
13、12fxx (1)1 f ，过(1,(1)f切线方程：1yx 11C ( )3sincos2sin 6 f xxxx ， ( )3cossin2cos2sin 662 g xxxxx ， g x的图象由( )f x得图象向左平移 2 个 单位长度所得( )f x在区间 , a b上是增函数， 且( )2,( )2f af b ， 令 6 xt ， 可取, 2 2 t ， 向左平移 2 个单位长度，即 1 4 个周期，可得, 2 2 t 时( )g x可取得最大值为 2 12A 取PC中点O，连接AO，BO，设球半径为R，因为 3 BPC ，PAAC，PBBC， 所以AOBOR，2PCR，PBR
14、，3BCR， 由平面PAC 平面PBC， 4 APC 得，AO 平面PBC，因为三棱锥PABC的体积为 3 6 所以 3 33 66 R ，1R ，球的表面积为4 131 由约束条件 1, 1, 33, xy xy xy 作出可行域如图， 由图可知，最优解为A，联立 1 33 xy xy ，解得(2,3)A 2zxy的最小值为2 231 14 3 2 31 , 22 P ， 3 cos 2 ， 3 cos() 2 155 由题知，函数( )f x为偶函数且周期为 2， 91 (11)(1)505 44 ffff 16 3 由 抛 物 线 的 定 义 得 ：|A FA M，| |BFBN， 易
15、证 2 M F N ， 222 |1 6M NN FM F， |4MN 11 | | 2 3 22 MNF Sp MNMFNF， 3p ， 3 MFO ，| |AFAM，AMF为等边三角形直线AB的倾斜角 3 | 1cos p AF ，| 1cos p BF | 3 | AF BF 17解： （1）由2 coscoscosaAbCcB及正弦定理得，2sincossincossincosAABCCB， 2sincossinAAA 0A， 1 cos, 23 AA （2） 1 sin6 3 2 ABC SbcA，24bc 由余弦定理 222 2cos28abcbcA，可得 22 52bc， 2 (
16、)252,10bcbcbc， ABC的周长为102 7 18 （1）证明：PAAB，E为线段PB中点，AEPB PA 平面ABCD，BC 平面ABCD，BCPA 又底面ABCD是长方形，BCAB又PAABA， BC 平面PABAE 平面PAB，AEBC 又PBBCB，AE 平面PBC （2）由（1）知，AE 平面PBC，又EF 平面PBC，AEEF， 22 3EFAFAE 由题知PA 平面ABCD，E为PB中点， 点E到平面ABCD的距离为 1 2 2 PA， 设点B平面AEF的距离为h，则 B AEFE ABF VV ， 即 1111 2 234 1 2 3232 h ， 解得 2 2 3
17、h ， 点B到平面AEF的距离为 2 2 3 19解： （1） 2 2 50(3064 10) 4.5043.841 34 1640 10 K 所以有 95%的把握认为未感染与戴口罩有关 （2）由（1）知，感染者中有 4 人戴口罩，6 人未戴口罩，用分层抽样的方法抽取 5 人，则 2 人戴口罩记为 ,A B，3 人未戴口罩记为 1，2，3， 从中随机抽取 2 人，共有AB，1A，2A，3A，1B，2B，3B，12，13，23 共 10 种可能，其中 2 人都 未戴口罩的有 12，13，23 共 3 种， 这 2 人都未戴口罩的概率 3 10 P 20解： （1）由题知 21 5PFPF， 12
18、 2 2FF ， 222 1122 PFFFPF， 解得 2 5 3 3 PF ， 1 3 3 PF ，由椭圆的定义知 5 33 22 3 33 a ， 3a ，2c ，1b ， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y （2）要使 1 AFB的内切圆的面积最大，需且仅需其 1 AFB的内切圆的半径r最大 因为 12 (2,0),( 2,0)FF，设 1122 ,A x yB x y， 易知，直线l的斜率不为 0，设直线:2l xty，联立 2 2 2, 1, 3 xty x y 故 22 32 210tyty ，故 12 2 2 2 3 t yy t ， 12 2 1 3 y y t ；
19、故 11 21 2 2 12121212 1 24 2 AF BF F AF F B SSSFFyyyyy y 2 2 222 2 242 61 2 333 tt ttt ， 又 1 11 11 |4 32 3 22 AF B SAFFBABrrr ， 故 2 2 2 61 2 3 3 t r t ，即 2 2 2 2 2121 2 32 1 1 t r t t t ； 当且仅当 2 2 2 1 1 t t ，即1t 时等号成立， 直线l的方程为2yx或2yx 21解： 2 ( ) x f xeax，( )2 x fxeax( )20 x fxeax， 2 x e a x ，不妨令( )(0)
20、 x e g xx x 2 (1) ( ) x ex g x x ，( )g x在(,0)、(0,1递减，在1,)递增，(1)ge，且0x 时，( )0g x 函数( )yf x有两个极值点，2, 2 e ae a （2）方法一：( )2 x fxeax， 令( )( ),( )2 x h xfx h xea， （）当 1 0 2 a剟时，( )0,( )h xfx单调递增，( )(0)1fxf， ( )f x单调递增，( )(0)1f xf，满足题意 （）当 1 22 e a时，( )20 x h xea，解得ln2xa 当(0,ln2 )xa，( )0h x，( )fx单调递减； 当(ln
21、2 ,)xa，( )0h x，( )f x单调递增， 此时 ln2 min ( )(ln2 )2 ln22 (1ln2 ) a fxfaeaaaa， 2 e a，1ln20a，即 min ( )0fx， ( )f x单调递增，( )(0)1f xf，满足题意综上0 2 e a剟且0x 时，( )1f x 成立 方法 2：不妨令 2 ( )(0) x G aeaxa e剟， 2 ( ) x G ax ae 在0, 2 e a 递减 2 min ( ) 22 x ee G aGex ，不妨令： 2 ( ) 2 x e g xex，( ) x g xeex 令( )( ) x xg xeex， 则(
22、 ) x xee， 由( )0x得1x ， 由( )0x得1x ， ( )( )xg x在(,1递减，在1,)递增 min ( )(1)0g xg， ( ) 0g x，( )g x在0,)递增 min ( )(0)1g xg， 当0 2 e a剟且0x 时，( )1f x 22解： （1）直线:3410lxy ，即3 cos4 sin10 ； 曲线:2cos 4 C ，即 2 cossin，曲线C的普通方程为 22 0xyxy （2）将直线l的参数方程代入 22 0xyxy得 2 7 0 5 tt，即 7 5 t 或0t ， ,A B两点间的距离 12 7 | 5 ABtt 23解： （1） 2 (11)1121111116ababababab ， 当且仅当 1 2 ab时取等号，11ab 的最大值为6 （2） 1111 ()24 ba ab ababab ，当且仅当ab时取等号， 11 ab 的最小值为 4 又|1|1|xmxm， 不等式 11 |1|xmx ab 对任意xR恒成立， 只需|1|4m即 可，解得35m ，即m的取值范围为 3,5
