安徽省皖南八校2020届高三第三次联考数学试题(理科)含答案解析

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1、“皖南八校”“皖南八校”20202020 届高三第三次联考数学届高三第三次联考数学(理科理科) 考生注意: 1本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 2考生作答时,请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域 书写的答案无效 , 在试题卷、草稿纸上作答无效 3做选考题时,考生须按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 4本卷命题范围:高考范围 、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,

2、只有一项是符合题目 要求的 1已知集合14Axx, *2 23BxN xx,则AB ( ) A13xx B03xx C1,2,3 D0,1,2,3 2已知 i 为虚数单位,复数 z 满足122i zi,则z z( ) A4 B2 C4 D2 3已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S,若 88 8Sa,则公差 d 等于( ) A 1 4 B 1 2 C1 D2 4新高考方案规定,普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考) 其中“选 择考”成绩将计入高考总成绩,即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数,由高到低进行排序, 评定为 A,B,C,D,E 五个等级某试点

3、高中 2019 年参加“选择考”总人数是 2017 年参加“选择考”总 人数的 2 倍,为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况,统计了该校 2017 年和 2019 年“选择考” 成绩等级结果,得到如下图表: 针对该校“选择考”情况,2019 年与 2017 年比较,下列说法正确的是( ) A获得 A 等级的人数不变 B获得 B 等级的人数增加了 1 倍 C获得 C 等级的人数减少了 D获得 E 等级的人数不变 5函数 cos xx yeex 的部分图象大致是( ) A B C D 6已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的一条渐近线与圆 2 2 21xy相切,则双曲线

4、C 的离心 率为( ) A 2 3 3 B3 C2 2 D2 7 在ABC中,5ACAD, E 是直线 BD 上一点, 且2BEBD, 若AEmABnAC则mn( ) A 2 5 B 2 5 C 3 5 D 3 5 8若函数 sin3cosxxf x 在区间, a b上是增函数,且 2f a , 2f b ,则函数 cos3sinxxg x 在区间, a b上( ) A是增函数 B是减函数 C可以取得最大值 2 D可以取得最小值2 9若曲线lnyxa的一条切线为yexb(e 为自然对数的底数) ,其中 a,b 为正实数,则 11 eab 的取值范围是( ) A2,e B,4e C2, D, e

5、 10在三棱锥PABC中,已知 4 APC , 3 BPC ,PAAC,PBBC,且平面PAC 平 面PBC, 三棱锥PABC的体积为 3 6 , 若点 P, A, B, C 都在球 O 的球面上, 则球 O 的表面积为 ( ) A4 B8 C12 D16 11已知函数 2 2 3f xx x , g xf xb,若函数 yf g x有 6 个零点,则实数 b 的取值 范围为( ) A2, B1, C1,2 D2,1 12已知抛物线 2 :20C ypx p,其焦点为 F,准线为 l,过焦点 F 的直线交抛物线 C 于点 A、B(其 中 A 在 x 轴上方) , A, B 两点在抛物线的准线上

6、的投影分别为 M, N, 若2 3MF ,2NF , 则 AF BF ( ) A3 B2 C3 D4 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13二项式 6 2 x x 展开式中的常数项为_ 14 在平面直角坐标系中, 若角的始边是 x 轴非负半轴, 终边经过点 22 sin,cos 33 P , 则cos _ 15已知函数 f x是定义域为 R 的偶函数,xR ,都有2fxfx,当01x时, 2 1 3log,0 2 1 1,1 2 x xx f x x ,则 9 11 4 ff _ 16已知各项均为正数的数列 n a的前 n 项和为 n S,满足 33332 123 2

7、 nnn aaaaSS,设 2 n n n a b 数 列 n b的前 n 项和为 n T,则使得 n Tm成立的最小的 m 的值为_ 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生 都必须作答第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17 (12 分) 在ABC中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足2 coscoscosaAbCcB (1)求 A; (2)若ABC的面积为6 3,2 7a ,求ABC的周长 18 (12 分) 如图,在四棱锥PABCD中,底面 ABCD 为长方形,PA 底面 A

8、BCD,4PAAB,3BC ,E 为 PB 的中点,F 为线段 BC 上靠近 B 点的三等分点 (1)求证:AE 平面 PBC; (2)求平面 AEF 与平面 PCD 所成二面角的正弦值 19 (12 分) 2019 新型冠状病毒(2019nCoV)于 2020 年 1 月 12 日被世界卫生组织命名冠状病毒是一个大型病毒家 族,可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病某医院对 病患及家属是否带口罩进行了调查,统计人数得到如下列联表: 戴口罩 未戴口罩 总计 未感染 30 10 40 感染 4 6 10 总计 34 16 50 (1)根据上表,判断是

9、否有 95%的把握认为未感染与戴口罩有关; (2)从上述感染者中随机抽取 3 人,记未戴口罩的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望 参考公式: 2 2 n adbc K abcdacbd ,其中na b cd 参考数据: 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 (12 分) 已知点 1 F, 2 F是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左,右焦点,椭圆上一点 P 满足 1 PFx轴, 21 5PFPF, 12 2 2FF (1

10、)求椭圆 C 的标准方程; (2)过 2 F的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,当 1 ABF的内切圆面积最大时,求直线 l 的方程 21 (12 分) 已知函数 2 ln2f xxaxaR (1)当1,1x 时,求函数 f x的最大值; (2)若函数 f x存在两个极值点 1 x, 2 x,求证: 12 2f xf x (二)选考题:共 10 分请考生在第 22,23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分 22选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 4 1 5 3 1 5 xt yt (t 为参数) ,以直角坐标系的原点为极点,

11、以 x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为2cos 4 (1)求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)已知直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,试求 A,B 两点间的距离 23选修 4-5:不等式选讲(10 分) 已知0a,0b,1ab (1)求11ab 的最大值; (2)若不等式 11 1xmx ab 对任意xR及条件中的任意 a,b 恒成立,求实数 m 的取值范围 1C *2* 23131,2,3BxN xxxNx ,1,2,3AB 2A 122i zi, 2 1122 2 111 iii zi iii ,2zi ,4z z 3D 88 8S

12、a, 1288 aaaa, 7 0S, 74 7Sa, 4 0a 4D 5B 易判断函数 cos xx yx ee为奇函数,由此排除 A,C,又1x 时,cos0 xx yx ee, 排除 D,故选 B 6 A 由题知圆心2,0到渐近线 b yx a 的距离为1, 即 22 2 1 b ab , 又 222 abc, 解得 2 3 3 c e a 7D 2 22 5 AEABBEABBDABADABABAC , 3 5 mn 8C 3 s i nc o s2 s i n6fxxxx , 3cossin2cos2sin 662 g xxxxx , g x的图象由 f x得图象向左平移 2 个 单

13、位长度所得 f x在区间, a b上是增函数, 且 2f a , 2f b , 令 6 xt 可取, 2 2 t , 向左平移 2 个单位长度,即 1 4 个周期,可得, 2 2 t 时 g x可取得最大值为 2 9C lnyxa, 1 y xa ,设切点为 00 ,x y,则 00 0 ln 1 xaex e xa b ,2eab, 111111 2 22 bea eab eabeabeab 111 222 2 bea abeab 10A 取 PC 中点 O,连接 AO,BO,设球半径为 R,因为 3 BPC ,PAAC,PBBC, 所以AOBOR,2PCR,PBR,3BCR, 由平面PAC

14、 平面 PBC, 4 APC 得,AO 平面 PBC,因为三棱锥PABC的体积为 3 6 ,所以 3 33 66 R ,1R,球的表面积为4 11A 2 2 3fxx x , 3 22 2 1 2 2 x fxx xx ,故当1x时, 0fx , f x单调 递增当10x 或0x时, 0fx, f x单调递减,又 120ff,函数有两个零点 分别为1,2 函数 f g x有 6 个零点, 1g x与 2g x 的根共有 6 个, 1f xb 和 2f xb都 分别有 3 个实数根,则10b 且20b ,即2b 12 C 由抛物线的定义得:AFAM,BFBN, 易证 2 MFN , 222 16

15、MNNFMF, 4MN, 11 2 3 22 MNF p MNNFSMF,3p 3 MFO ,AFAM, AMF为等边三角形直线 AB 的倾斜角 3 1 cos p AF , 1 cos p BF 3 AF BF 13240 3 6 6 2 166 2 2 r r rrr r TCxCx x ,令 3 60 2 r,得4r ,常数项为 44 6 2240C 14 3 2 31 , 22 P , 3 cos 2 , 3 cos 2 155 由题知,函数 f x为偶函数且周期为 2, 91 111505 44 ffff 16 3 由 33332 123 2 nnn aaaaSS, 得 33332

16、123111 2 nnn aaaaSS , 两 式 相 减 得 322 111 2222 nnnnnnnnn aSSSSaSSan , 2 1 22 nnn aSSn , 2 112 23 nnn aSSn , 两式相减得 22 11 3 nnnn aaaan 数 列 n a的各项均为正数 1 13 nn aan , 而 21 321aa ,数列 n a是公差为 1 的等差数列, 2111 n ann , 1 2 n n n b , 123 2341 2222 n n n T , 2341 11111 22222 n n n T , 相减得 123411 11 1 111111111122 1

17、 2222222222 1 2 n n nnn nn T , 3 33 2 n n n T ,满足不等式的 m 的最小正整数为 3 17解: (1)由2 coscoscosaAbCcB及正弦定理得,2sincossincossincosAABCCB,2 分 2sincossinAAA 4 分 0A, 1 cos 2 A, 3 A 6 分 (2) 1 6 3 2 sin ABC bcSA,24bc 8 分 由余弦定理 222 2cos28abcbcA,可得 22 52bc, 10 分 2 252bcbc,10bc , ABC的周长为102 7 12 分 18 (1)证明:PAAB,E 为线段 P

18、B 中点,AEPB 1 分 PA 平面 ABCD,BC 平面 ABCD,BCPA 3 分 又底面 ABCD 是长方形,BCAB又PAABA, BC平面 PABAE 平面 PAB,AEBC 5 分 又PBBCB,AE平面 PBC 6 分 (2)由题意,以 AB,AD,AP 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则0,0,0A,2,0,2E,4,1,0F, 0,0,4P,4,3,0C,0,3,0D 7 分 设平面 AEF 的法向量, ,mx y z,则 0 0 m AE m AF , 220 40 xz xy ,令1x ,则4y ,1z , 1, 4, 1m, 9 分 同理可求得平面 PCD 的法

19、向量0,4,3n , 10 分 19 2 cos, 30 , m n m n m n , 11 分 178 sin 30 ,m n,即平面 AEF 与平面 PCD 所成角的正弦值为 178 30 12 分 19解: (1) 2 2 5030 64 10 45043841 34 16 40 . 10 .K 4 分 所以有 95%的把握认为未感染与戴口罩有关 (2)由题知,感染者中有 4 人戴口罩,6 人未戴口罩,则 X 的取值可能为 0,1,2,3 3 4 3 10 1 0 30 C P X C ; 21 46 3 10 3 1 10 C C P X C ; 12 46 2 10 1 2 2 C

20、 C P X C ; 3 6 3 10 1 3 6 C P X C , X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 (每个 P 值错 1 个扣 1 分) 10 分 13119 0123 3010265 E X 12 分 20解: (1)由题知 21 5PFPF, 12 2 2FF , 222 1122 PFFFPF, 解得 2 5 3 3 PF , 1 3 3 PF ,由椭圆的定义知 5 33 22 3 33 a , 2 分 3a ,2c ,1b, 椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y 4 分 (2)要使 1 AFB的内切圆的面积最大,需且仅需其 1 AF

21、B的内切圆的半径 r 最大 因为 1 2,0F , 2 2,0F,设 11 ,A x y, 22 ,B x y, 易知,直线 l 的斜率不为 0,设直线:2l xty,联立 2 2 2 1 3 xty x y , 故 22 32 210tyty ,故 12 2 2 2 3 t yy t , 12 2 1 3 y y t ; 6 分 故 11 21 2 2 12121212 1 24 2 AF BF F AF F B SSSFFyyyyy y 2 2 222 2 242 61 2 333 t ttt , 8 分 又 1 11 11 4 32 3 22 AF B SAFFBABrrr , 9 分

22、故 2 2 2 61 2 3 3 t t ,即, 2 2 2 2 2121 2 32 1 21 t r t t ; 当且仅当 2 2 2 1 1 t t ,即1t 时等号成立, 11 分 直线 l 的方程为2yx或2yx 12 分 21解: (1) f x定义域为2,, 2 24 2 xxa fx x , 1 分 由16 80a得2a,此时 0fx对1,1x 成立, f x在1,1上是增函数,最大值为 11ln3fa , 2 分 当2a时,由 2 240xxa得 42 1 2 a x , 取 0 42 1 2 a x ,则 0 1,xx 时, 0fx; 0, xx时, 0fx,所以 f x在

23、0 1,x 上是减函数,在 0, x 上是增函数, 3 分 又11f ,由 11ff得0a,所以02a时, f x在1,1上的最大值为1ln3a,当 0a时, f x在1,1上的最大值为 1, 4 分 综上, 当0a时, 函数 f x在1,1x 的最大值为1ln3a, 当0a时, 函数 f x在1,1x 的 最大值为 1 5 分 (2)要使 f x存在两个极值点,则 0fx,即 2 240xxa在2,上存在两不等的实根6 分 令 2 24p xxxa, p x的图象的对称轴为1x, 16 80a且20p ,02a , 由 上 知 12 12 2 2 xx a xx 8分 22 121122 l

24、n2ln2f xf xxaxxax 2 121 21 212 2ln24xxx xax xxx 2 22ln224 22 aa a ln4 2 a aa 10 分 令 ln4 2 x q xxx,0,2x, ln0 2 x qx, q x在0,2上单调递减, 02x 时, 22q xq, 12 2f xf x 12 分 22解: (1)直线:3410lxy ,即3 cos4 sin10 ; 曲线:2cos 4 C ,即 2 cossin,曲线 C 的普通方程为 22 0xyxy5 分 (2)将直线 l 的参数方程代入 22 0xyxy得 2 7 0 5 tt,即 7 5 t 或0t , A,B 两点间的距离 12 7 5 ABtt 10 分 23解: (1) 2 1111 21111116ababababab , 当且仅当 1 2 ab时取等号,11ab 的最大值为6 5 分 (2) 1111 24 ba ab ababab ,且仅当ab时取等号, 11 ab 的最小值为 4 又11xmxm ,不等式 11 1xmx ab 对任意xR恒成立,只需14m 即可,解 得35m ,即 m 的取值范围为3,5 10 分

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