1、 2020 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测 理科数学试题理科数学试题 本试卷 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答 题卡右上角“条形码粘贴处”。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答无效。 4
2、考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 1已知 |21 x Ax， 2 |20Bx xx，则AB A |2x x B |2x x C |01xx D |01xx 2已知复数 13 i 22 z ，则复数 2 z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知函数 f x与它的导函数 fx 的定义域均为R，则下列命题中，正确的是 A
3、若 0 x是 f x的极值点，则 0 0fx B若 f x是偶函数，则 fx 一定是偶函数 C若 2 2 logfxx ，则 14 f D若 f x的图象在区间, a b连续不断，则 f x在, a b上一定有最大值 4为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资爱心人士向某市捐赠了 6 箱相同规格的医用外科 口罩，现需将这 6 箱口罩分配给 4 家医院，每家医院至少 1 箱，则不同的分法共有 A10 种 B40 种 C80 种 D240 种 5已知非零向量a，b满足|3|3|ababa ， 则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 6执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A4 B
4、5 C6 D7 7关于函数 2 1 ( )cos3sin cos 2 f xxxx有下述四个结论： ( )f x在区间 , 4 2 上是减函数； ( )f x的图象关于直线 3 x 对称； ( )f x的图象关于点() 3 ,0 对称； ( )f x在区间, 4 上的值域为 3 1, 2 其中所有正确结论的个数是 A1 B2 C3 D4 8已知ABC外接圆面积为， 1 cos 2 A ，则ABC周长的最大值为 A23 B1 2 3 C3 D3 3 开始 结束 0,0,1STi SSi 1 TT S 1ii i输出 是 否 5 3 T ？ 第 6 题图 9已知F为椭圆 22 :1 2516 xy
5、 C的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上且位于x轴上方，点 ( 3,4)A ，若直线OA平分线段PF，则PAF的大小为 A60 B90 C120 D无法确定 10如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是 A该三棱柱的侧视图一定为矩形 B该三棱柱的侧视图可能为菱形 C该三棱柱的表面积一定为12 2 3 D该三棱柱的体积一定为2 3 11设, , 0a b mmZ，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b模m同余， 记为 (mod)abm ，已知 122332020 20202020 12222 ,(mod10)aCCCCba ， 则b的值可能是 A2018 B2019 C
6、2020 D2021 12梯形ABCD中，AD BC，120DAB，ACBC，22BCAD，现将ABC沿AC折起， 使得二面角BACD的大小为120，若 , ,A B C D四点在同一个球面上，则该球的表面积为 A 3 B 3 C 3 D 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13若变量 , x y满足约束条件 10 280 0 xy xy x ，则 3zxy 的最大值为 14百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼图相传是纪念哥伦布所 制作的蛋形拼图，故又有哥伦布蛋形拼图一称如图，九巧板由 2 个不规 则四边形、2 个大三
7、角形、1 个小三角形、2 个不规则三角形和两个小扇形 组成 在拼图时必须使用所有组件， 角与边可相连接， 但组件不能重叠 九 巧板能拼摆出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被 称为“百鸟朝凤”拼板已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角 边长为 2 的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面 积，随机在九巧板内选取 100 个点，发现有 34 个点落在两个大三角形内， 则此九巧板的总面积约为 15已知函数 e ,0 ln ,0 x x f x x x ， 2 1 e g xf xxb（e为自然对数的底数） ，若函数 g x有且只 有三个零点，则实数b的值为 1
8、6已知双曲线 22 22 :1 xy E ab 的离心率为 5 2 ，过E的左焦点 ( 5,0)F 作直线l，直线l与双曲线E分 别交于点 ,A B，与E的两渐近线分别交于点,C D，若FA AC，则|BD 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须做答。第题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。题为选考题，考生根据要求做答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17 （12 分） 已知数列 n a 、 n b
9、 、 n c 中， 1 1a ， 1 12 1 nn n aa ， 1 n n bn a ， 1 1 n nn c a b （1）求证：数列 n b 是等比数列，并求数列 n a ， n b 的通项公式； （2）求数列 n c 的前 n 项和 n S 第 10 题图 11 2 18 （12 分） 如图，多面体ABCED中，面ABD面ABC，面BCE 面ABC，DE面ABC，2 3AB ， BECE，2ADBDBC （1）求BEC的大小； （2）若2DE ，求二面角BDEC的余弦值 19 （12 分） 已知F为抛物线 2 :2(0)E ypx p的焦点，以F为圆心作半径为R的圆，圆与x轴的负半
10、轴交于点A，与抛物线E分别交于点,B C （1）若ABC为直角三角形，求半径R的值； （2）判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明 20 （12 分） 随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中国家统计局 数据显示，2019 年有 4 亿国人经常参加体育锻炼某健身房从参与健身的会员中随机抽取 100 人， 对其每周参与健身的天数和 2019 年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计 表及统计图： 平均每周健身天数 不大于 2 3 或 4 不少于 5 人数（男） 20 35 9 人数（女） 10 20 6 若某人平均每周进行健身天数不少于 5，
11、则称其为“健身达人” 该健身房规定消费金额不多于 1600 元的为普通会员，超过 1600 元但不超过 3200 元的为银牌会员，超过 3200 元的为金牌会员 （1） 已知金牌会员都是健身达人， 现从健身达人中随机抽取 2 人， 求他们均是金牌会员的概率； （2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？ （3）该健身机构在 2019 年年底针对这 100 位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方 案： 方案一：按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取 25 位“幸运之星” ，分别给予 188 元，288 元，888 元的幸运奖励； 方案二：每位
12、会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有 5 张形状大小完全一样的 卡片，其中 3 张印跑步机图案、2 张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若 摸到动感单车的总数为 2，则获得 100 元奖励，若摸到动感单车的总数为 3，则获得 200 元奖励，其 他情况不给予奖励规定每个普通会员只能参加 1 次摸奖游戏，每个银牌会员可参加 2 次摸奖游戏， 每个金牌会员可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立） 请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na
13、bcd为样本容量 2 0 ()P Kk 0.50 0.25 0.10 0.05 0.010 0.005 A B C DE 0 k 0.455 1.323 2.706 3.841 6.636 7.879 21 （12 分） 已知函数 ee xx f xax （0a ） （1）讨论函数 f x的单调性； （2）若函数 f x存在两个极值点 1 x， 2 x，求证： 12 12 01 f xf x xx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 2223 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4 坐标系与参
14、数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 4 4 4 2 xt t yt t （t为参数，且0t ） ，以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos3 sin10 （1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求 11 PMQM 23选修 4-5 不等式选讲（10 分） 已知ab，为实数，且满足 22 3412ab.证明： （1）3ab ； （2）24ab. 2020 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测 理科数学参考答案理科数学参考答案 一、选择题一、选择题 题号 1 2
15、 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A A C D C A B D D C 二、填空题二、填空题 139 14 200 17 15 2 3 e 或1 16 5 5 8 三、解答题三、解答题 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17 【解】 （1） 1 1a ， 1 * 12 1() nn nn aa N ， 1 11 12 nn nn aa ， 即 1 2 nn bb ， n b 是首项为 2，公比 2 的等比数列 （3 分） 1 2 22 nn n b ， （4 分）0 11 2 n n n a nnb （6 分） （2）由（1）得 2 n n c n
16、 ， （7 分） 23 123 2222 n n n S ， 231 1121 22222 n nn nn S ， 两式相减，得 2311 11 1 ( ) 11111 22 1 2222222 1 2 n n nnn nn S ， （10 分） 2 2 2 n n n S （12 分） 18 【解析】 （1）分别取,AB BC的中点,M N，连接,DM EN， 因为ADBD，BECE，所以DMAB，ENBC， 因为面ABD面ABC，面BCE 面ABC， 所以DM 面ABC，EN 面ABC，所以DMEN， 因为DE面ABC，面DENM面ABCMN，所以DEMN， 于是DENM是矩形， （4 分
17、） 22 1ENDMBDMB， 又2BC ，所以BEC为等腰直角三角形，90BEC （6 分） （2）因为2DE ，所以224ACMNDE， 于是 222 ABBCAC，90ABC， （7 分） 过B作BZ 面ABC，以B为坐标原点,BA BC BZ分别为, ,x y z正半轴， 建立空间直角坐标系Bxyz，则 (0,0,0), (2,0,0), (0,2 3,0),(0, 3,1), (1,0,1)BCADE， （8 分） 设面BDE的法向量 1 ( , , )nx y z，则 1 1 ( , , ) (0, 3,1)30 ( , , ) (1,0,1)0 nBDx y zyz nBEx y
18、 zxz ，令1y 得 1 ( 3,1,3)n ， （9 分） 设面CDE的法向量 2 ( , , )nx y z，则 2 2 ( , , ) ( 1,0,1)0 ( , , ) (1,3,0)30 nCEx y zxz nDEx y zxy ，令1y 得 2 ( 3,1, 3)n ， （10 分） 所以 12 12 12 1 cos, 7| | n n n n nn ，二面角B DE C的余弦值为 1 7 （12 分） 19 【解析】 （1）由抛物线及圆的对称性可知AB AC ，故 90BAC， （2 分） 于是BC经过焦点F且与x轴垂直， 抛物线方程中，令 2 p x 得半径R p （5
19、分） （2）设 00 (,)B xy，由抛物线定义， 0 2 p RBFx， A B C DE x z y MN 又 0 2 p AFx，所以A的坐标为 0 (,0)x， 直线AB的方程为 0 0 0 () 2 y yxx x ， （9 分） 与抛物线 2 :2(0)E ypx p联立得 2 20 0 2 0 ()2 4 y xxpx x ， 结合 2 00 2ypx，化简得 22 00 20xx xx， 22 00 (2)40xx ， 所以直线AB与抛物线E相切于点B （12 分） 20 【解析】 （1） 2 12 2 15 22 35 C P C ； （3 分） （2） 2 100(55
20、630 9)25 0.1233.841 85 15 64 36204 k ， 故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下 认为性别和是否为“健身达人”有关系； （7 分） （3）方案一：共支出 7 18815 2883 8888300 元， 方案二：设一次摸奖所获得的的奖励额为X，则X的所有可能取值为 0,100,200， 且 3 28 (200)( ) 5125 P X ， 22 3 2336 (100)( ) 55125 P XC， 83681 (0)1 125125125 P X ， 故一次摸奖获得的奖励额的期望值为 83681 200100041.6 125125125 ， 故方案二的
21、总支出为(2860 212 3)41.618441.67654.4 元， 故而第二种方案支出较少 （12 分） 21 【解】 （1）定义域为R 2 2 111 ee1eee1 ee4 xxxxx xx fxaaa ， （1 分） 当 1 0 4 a 即 1 4 a 时， 0fx，所以函数 f x在R上单调递减； （2 分） 当 1 0 4 a 即 1 0 4 a时，由 0fx，得 114 e 2 x a ，或 114 e 2 x a ， 因为0a ，所以1 14 0 2 a ， 从而 0fx 的解为 114 ln 2 a x ，或 11 4 ln 2 a x ， （3 分） 且可得 114 ,
22、ln 2 a x 时， 0fx ， f x单调递减； 114114 ln,ln 22 aa x 时， 0fx ， f x单调递增； 114 ln, 2 a x 时， 0fx ， f x单调递减 （5 分） 综上： 1 0 4 a 时，函数 f x在 114 ,ln 2 a 和 114 ln, 2 a 单调递减， 在 114114 ln,ln 22 aa 单调递增； 1 4 a 时， f x在R上单调递减 （6分） （2）由（1）的解答可知， 1 0 4 a，且 12 ee1 xx ， 12 e e xx a （8 分） 所以 1122 12 12 1212 xxxx aeexaeex f xf
23、 x xxxx 21 12 12 12 1ee+ e e xx xx a xx xx 21 21 ee 12 xx xx （9 分） 所以要证 12 12 01 f xf x xx ，即证 21 21 ee1 0 2 xx xx 不妨设 12 xx ，则 12 ee xx ，所以 21 21 ee 0 xx xx ； 又由（1）知， 1 114 e 2 x a ， 所以 21 21 ee1 2 xx xx 1 1 12e1 ln22 x ax 1 1 1 12eln 2 x ax 1114 14lnln 22 a aa ， （10 分） 令 1114 14lnln 22 a aaa （ 1 0
24、 4 a） ， 则 4124214 222 141142 1414 14114 a aaaaaa aa 212 214114aaa 2114 0 214 a a ， 所以 a在 1 0 4 a单调递增，所以 1 0 4 a ， 即 1114 14lnln 22 a aa 所以， 21 21 ee1 0 2 xx xx 成立，从而 12 12 01 f xf x xx （12 分） 第（2）小题简证：一方面，由（1）知，函数 f x在 12 ,x x 单调递增， 从而 12 12 0 f xf x xx ；另一方面， 21 12 1221 ee 10 xx f xf x xxxx ，显然 （12
25、 分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 2223 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 【解析】 （1）曲线C的直角坐标方程为 2 4yx， （3 分） 直线l的直角坐标方程为310xy （5 分） （2）由（1）知，M的坐标为1,0，是抛物线C的焦点， 以 M 为极点 ，x轴的正方向为极轴方向重新建立极坐标系， 在此极坐标系中， 直线l的方程为 0 或 0 （其中 0 为直线l的倾斜角， 满足 0 1 tan 3 ） ， 不妨设 10 ,P ， 20 ,Q ，抛物线C的方程为 22 sin4cos
26、1， 将 10 ,P 代入得 2 11 12 10400，将 20 ,Q 代入得 2 22 12 10400， 所以 1 和 2 是方程 2 12 10400的两根， 由韦达定理得 12 12 10， 12 40 ， （8 分） 所以 2 1212 12 121212 4 1111 1 PMQM （10 分） （2）另证:由（1）知，M的坐标为1,0，是抛物线C的焦点， 不妨设 112212 ( ,),Q(,),(0,0)P x yxyyy 由 2 2 4 1240 310 yx yy xy 由韦达定理: 1212 12,4yyy y （8 分） 2222 11111 (1)( 311)1 0P Mxyyyy 2222 22222 (1)(31 1)10QMxyyyy 12 12 11111 () 10104 10 yy PMQMyy 2 1212 11 ()4144161 4 104 10 yyy y (10 分) 23 【解析】 （1）由已知可得： 22 12344 3abab 3.ab （5 分） （2） 22 3412ab 根据柯西不等式可得： 2 2 22 114 23213411216 333 ababab 24.ab （10 分） 注：其他正确的方法不扣分
