1、倾斜角为的直线过抛物线 y22x 的焦点 F，交抛物线于 A、B 两点，则|AB| 7 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y28x+150，若直线 ykx2 上 至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值 是 8 （3 分）在ABC 中，AB2，则的最大值为 9 （3 分）已知椭圆的右焦点为 F，过原点 O 的直线与椭圆交于 A、B 两点，则的取值范围为 10 （3 分）已知点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动，且，若， 则 2x+3y 的取值范围为 二二.选择题选择题 11 （3 分）若i 是关于 x 的实系数方程
2、 x2+bx+c0 的一个复数根，则（ ） Ab2，c3 Bb2，c1 Cb2，c1 Db2，c3 12 （3 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值是（ ） A15 B9 C1 D9 第 2 页（共 15 页） 13 （3 分）若直线 xy+10 与圆（xa）2+y22 有公共点，则实数 a 取值范围是（ ） A3，1 B1，3 C3，1 D （，31，+） 14 （3 分）已知直线 l：x+y1 与双曲线（a0）交于 A、B 两点，与 y 轴交于 点 D，若，则 a 的值为（ ） A B C D2 三三.解答题解答题 15设关于 x 的方程 3x26（m1）x+m2+10
3、的两根的模的和为 2，求实数 m 的值 16已知点 P（1，a）在双曲线上 （1）求双曲线的两条渐近线方程； （2）求点 P（1，a）到两条渐近线距离的乘积 17已知椭圆（a0）经过点，直线 l 与椭圆交于 A（x1，y1） 、 B（x2，y2）两点， （1）求椭圆的方程； （2）若，直线 l 经过点，求直线 l 的方程 18已知抛物线：y22px（p0）经过点 P（1，2） ，直线 l 与抛物线有两个不同的交 点 A、B，直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N （1）若直线 l 过点 Q（0，1） ，求直线 l 的斜率的取值范围； （2）若直线 l 过点 Q（0，1） ，
4、设 O（0，0） ，求+的值； （3）若直线 l 过抛物线的焦点 F，交 y 轴于点 D，求 + 的值 第 3 页（共 15 页） 2019-2020 学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期末学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期末 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）椭圆的左焦点的坐标为 （1，0） 【分析】直接利用椭圆方程，求出 a，b，得到 c，即可求解焦点坐标 【解答】解：椭圆，可得 a，b1，则 c1， 所以椭圆的左焦点的坐标为： （1，0） 故答案为： （1，0） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考
5、查，基础题 2 （3 分）若 z1+2i，则|z| 【分析】直接利用复数的模的计算公式求解 【解答】解：z1+2i，|z| 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （3 分）若 （2，1）是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为 arctan2 （结 果用反三角函数值表示） 【分析】 根据直线的法向量求出直线的一个方向向量， 从而得到直线的斜率， 根据 ktan 可求出倾斜角 【解答】解： （2，1）是直线 l 的一个法向量 可知直线 l 的一个方向向量为（1，2） ，直线 l 的倾斜角为 得，tan2 arctan2 故答案为：arcta
6、n2 【点评】本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的 能力，属于基础题 第 4 页（共 15 页） 4 （3 分）双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 a 4 【分析】由虚轴长是实轴长的 2 倍可得a4，从而可求 【解答】解：因为双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍， 所以a4 所以 a4 故答案是：4 【点评】本题主要考查了双曲线的性质的简单运用，属于基础试题 5 （3 分）圆心为 C（1，2）且经过点 P（5，1）的圆的方程为 （x1）2+（y+2）2 25 【分析】直接求出半径，即可求出圆的方程 【解答】解：由题意可得圆的半径 r2（51）2+（1+2）225，
7、 所以圆的方程为： （x1）2+（y+2）225， 故答案为： ： （x1）2+（y+2）225 【点评】考查求圆的方程，属于基础题 6 （3 分）倾斜角为的直线过抛物线 y22x 的焦点 F，交抛物线于 A、B 两点，则|AB| 4 【分析】先求出直线 AB 的方程，再与抛物线方程联立，利用韦达定理求出 x1+x2，再结 合|AB|x1+x2+p，即可求出结果 【解答】解：抛物线 y22x，焦点 F（，0） ， 直线 AB 的方程为：yx， 联立方程，消去 y 得：4x212x+10， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， x1+x23， |AB|x1+x2+14， 故答案为：4 【
8、点评】本题主要考查了抛物线的定义，是中档题 第 5 页（共 15 页） 7 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y28x+150，若直线 ykx2 上 至少存在一点， 使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆C有公共点， 则k的最大值是 【分析】由于圆 C 的方程为（x4）2+y21，由题意可知，只需（x4）2+y21 与直 线 ykx2 有公共点即可 【解答】解：圆 C 的方程为 x2+y28x+150，整理得： （x4）2+y21，即圆 C 是以 （4，0）为圆心，1 为半径的圆； 又直线 ykx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点
9、， 只需圆 C： （x4）2+y24 与直线 ykx2 有公共点即可 设圆心 C（4，0）到直线 ykx2 的距离为 d， 则 d2，即 3k24k0， 0k k 的最大值是 故答案为： 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“ （x4）2+y24 与直线 ykx 2 有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题 8 （3 分）在ABC 中，AB2，则的最大值为 【分析】先利用正弦定理得到 bsinB；再根据cbcosAsinBcosA sinBcos（120B）结合二倍角以及辅助角公式；即可整理得到的 2sin（2B+60）；之后结合角 B 的范围即可求解 【解答】解：
10、ABC 中，AB2， c2； ； bsinB； 则cbcosA 第 6 页（共 15 页） sinBcosA sinBcos（120B） sinB（cos120cosB+sin120sinB） sinB（sinBcosB） （2sin2Bsin2B） （1cos2B）sin2B 2sin（2B+60）； 0B120； 当 2B+60270时即 B105； 取最大值为：2（1）2+； 故答案为：2+ 【点评】本题考查了数量积运算性质、正弦定理的应用，三角函数的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 9 （3 分）已知椭圆的右焦点为 F，过原点 O 的直线与椭圆交于 A、B 两点，则的取值范
11、围为 【 分 析 】 利 用 椭 圆 的 定 义 设 |AF| x1 ， 3 ， 则 |BF| 4 x ， 构 造 函 数 ，利用导数求其范围即可 【解答】解：取椭圆左焦点 F，连接 AF，BF，AF，BF，易知四边形 AFBF为平 行四边形，即有|AF|+|BF|AF|+|AF|2a4， 设|AF|x1，3，则|BF|4x，故， 令，则 ， 易知函数 f（x）在1，2）上单调递减，在2，3上单调递增， 第 7 页（共 15 页） ， 即的 取 值 范 围 为 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的定义及导数的运用，考查转化思想及函数思想，属于中档题 10 （3 分）已知点 C 在以 O 为圆心的
12、圆弧 AB 上运动，且，若， 则 2x+3y 的取值范围为 【分析】可以 O 为原点，OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系，并设 OA1，从而得出 ，可设 C（cos，sin） ，从而可得出 ，其中，并可求出，这 样即可求出 2x+3y 的取值范围 【解答】解：由题意，以 O 为原点，OA 为 x 轴的正向，建立如图所示的坐标系，设 OA 1，则： ， 设 C（cos，sin） ，0， ， 第 8 页（共 15 页） ，解得， ，其中， ， ，且， ， 2x+3y 的取值范围为 故答案为： 【点评】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向 量坐标的加法和数乘运算，两
13、角和的正弦公式，正弦函数的图象，考查了计算能力，属 于中档题 二二.选择题选择题 11 （3 分）若i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 的一个复数根，则（ ） Ab2，c3 Bb2，c1 Cb2，c1 Db2，c3 【分析】由题意，将根代入实系数方程 x2+bx+c0 整理后根据得数相等的充要条件得到 关于实数 a，b 的方程组，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项 【解答】解：由题意 1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 1+2i2+b+bi+c0，即 ，解得 b2，c3 故选：D 【点评】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件， 能
14、根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题 12 （3 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值是（ ） A15 B9 C1 D9 第 9 页（共 15 页） 【分析】先根据条件画出可行域，z2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截距，只需求出直线 Z2x+y，过可行域内的点 A（6，3）时的最小值，从而 得到 Z 的最小值即可 【解答】解：x，y 满足约束条件的可行域如图： 在坐标系中画出可行域ABC，A（6，3） ，B（0，1） ，C（6，3） ， 由图可知，当 x6，y3 时，则目标函数 z2x+y 的最小，最小值为15 故选：A 【
15、点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归 思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定 13 （3 分）若直线 xy+10 与圆（xa）2+y22 有公共点，则实数 a 取值范围是（ ） A3，1 B1，3 C3，1 D （，31，+） 【分析】根据直线 xy+10 与圆（xa）2+y22 有公共点，可得圆心到直线 xy+1 0 的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数 a 取值范围 【解答】解：直线 xy+10 与圆（xa）2+y22 有公共点 圆心到直线 xy+10 的距离为 |a+1|2 3a1 故选：C 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解
16、题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半 第 10 页（共 15 页） 径，建立不等式 14 （3 分）已知直线 l：x+y1 与双曲线（a0）交于 A、B 两点，与 y 轴交于 点 D，若，则 a 的值为（ ） A B C D2 【分析】由，得到 5x112x2，再联立解方程组，解出 x，x，再求出 a 即可 【解答】解：设 D（0，n） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， ，得 5（x2x1）7x17x1， 5x112x2， 由，得， ， x1+x2， 得， 所以 x， 由，得 a2， 故 a， 故选：A 【点评】考查直线与双曲线的综合，向量与圆锥曲线的综合，中档题 三三.解答题解答
17、题 15设关于 x 的方程 3x26（m1）x+m2+10 的两根的模的和为 2，求实数 m 的值 【分析】设两个根分别为 x1，x2，则 x1+x22（m1） ，x1x20，由题意可得， 2|x1|+|x2|x1+x2|，代入可求然后考虑根不都是实数时，根 第 11 页（共 15 页） 据复数的运算可求 【解答】解：设两个根分别为 x1，x2， （i）若两根都为实数，则 x1+x22（m1） ，x1x20，可知两根同号， 且36（m1）212（1+m2）0， 整理可得，m23m+10， 由题意可得，2|x1|+|x2|x1+x2|， 故 2（m1）2， 解可得，m2（舍）或 m0， 若两根不
18、是实数时，36（m1）212（1+m2）0， 由 x1+x22（m1） ，x1x20，可知 x1，x2为共轭复数， |x1|+|x2|2， x1x21， 解可得 m或 m（舍） ， 综上可得，m或 m0 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用，考查了基本运算 16已知点 P（1，a）在双曲线上 （1）求双曲线的两条渐近线方程； （2）求点 P（1，a）到两条渐近线距离的乘积 【分析】本题第（1）题根据双曲线的渐近线方程 yx 可得结果；第（2）题先将点 P 坐标代入双曲线方程可得 a 的值，然后根据点到直线距离公式计算出点 P 到两条渐近 线距离，即可计算出乘积 【解答】解
19、： （1）由题意，可知 a1，b2， 则 yx2x， 双曲线的两条渐近线方程为 y2x （2）由题意，点 P（1，a）在双曲线上， 第 12 页（共 15 页） 则 11，解得 a20 故点 P 坐标为（1，0） 设点 P 到渐近线 y2x 的距离为 d1，则 d1， 同理，设点 P 到渐近线 y2x 的距离为 d2，则 d2， 故 d1d2 点 P（1，a）到两条渐近线距离的乘积为 【点评】本题主要考查双曲线的基础知识，点到直线的距离公式，方程思想，逻辑思维 能力和数学运算能力本题属中档题 17已知椭圆（a0）经过点，直线 l 与椭圆交于 A（x1，y1） 、 B（x2，y2）两点， （1）
20、求椭圆的方程； （2）若，直线 l 经过点，求直线 l 的方程 【分析】 （1）把点的坐标代入椭圆方程即可得解； （2）根据直线 l 的斜率是否存在分两种情况讨论，若斜率不存在，则 x0，易得 A、B 两点的坐标；若斜率存在，设其方程为，将其与椭圆方程联立，利用韦达定理， 再结合，即可得解 【解答】解： （1）将点代入椭圆方程有，解得 a24， 所以椭圆的方程为 （2）当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x0，A（0，2） ，B（0，2） ，不满足， 不符合题意 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为， 联立得， 第 13 页（共 15 页） 则， 因为， 所以 84k20，解得， 直线 l
21、的方程为 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积，是常规考法，属于简单题 18已知抛物线：y22px（p0）经过点 P（1，2） ，直线 l 与抛物线有两个不同的交 点 A、B，直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N （1）若直线 l 过点 Q（0，1） ，求直线 l 的斜率的取值范围； （2）若直线 l 过点 Q（0，1） ，设 O（0，0） ，求+的值； （3）若直线 l 过抛物线的焦点 F，交 y 轴于点 D，求 + 的值 【分析】 （1）由过点的坐标可得 p 值，即求出排污池的方程，求出焦点 F 的坐标，由题 意可得直线 l 的斜率存在且不为 0，再由
22、直线 PA 交 y 轴于 M 可得直线不过（1，2） ， 而过这个点时斜率为3，直线与抛物线联立由题意由两个交点可得判别式大于 0，求出 直线 l 的斜率的范围，综上所述可得直线 l 的斜率的范围； （2）由题意设直线 l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，由， ，求出 ， 的表达式，进而求出求+的值； （3）由题意设直线 l 的方程，与（2）类似求出 ， 的表达式，进而求出 + 的值 【解答】解：由题意可得 222p1，可得 p2，所以抛物线的方程为：y24x， （1）因为直线过（0，1）由题意可得直线与抛物线有两个交点可得，直线 l 的斜率存在 且不为 0，设直线 l 的方程为：
23、ykx+1， 由题意可得直线 l 不过 P，而 kPQ1， 若直线与抛物线的一个交点为（1，2） ，则该点与 P 所在的直线与 y 轴没有交点，与题 意矛盾这时 k3，所以直线的斜率 k3， 第 14 页（共 15 页） 直线与抛物线联立可得：，整理可得：k2x2+（2k4）x+10， 可得（2k4）24k20，解得 k1， 综上所述：直线 l 的斜率的取值范围 k（，1） ，且 k3 且 k0； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由（1）可知 x1+x2，x1x2， 直线 PA 的方程为：y2（x1） ， 令 x0，可得 M 的纵坐标，则 yM+2+2， 同理可得 N 的纵坐标，yN+2， 再由，可得：1yM，1yN， 所以 + 2， 所以+的值为 2； （3）由题意设直线 l 的方程为：xmy+1，令 x0 可得 D 的纵坐标 yD，即 D 在 坐标为： （0，） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 直线与抛物线联立：整理可得：y24mx40， 第 15 页（共 15 页） 则可得 y1+y24m，y1y24， 由，可得 1+，1+， 所以 +2+（+）2+2+1 所以 + 的值为1 【点评】考查直线与抛物线的中及向量的关系求参数 ， 的代数式，属于中难题
