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2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、倾斜角为的直线过抛物线 y22x 的焦点 F,交抛物线于 A、B 两点,则|AB| 7 (3 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y28x+150,若直线 ykx2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值 是 8 (3 分)在ABC 中,AB2,则的最大值为 9 (3 分)已知椭圆的右焦点为 F,过原点 O 的直线与椭圆交于 A、B 两点,则的取值范围为 10 (3 分)已知点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动,且,若, 则 2x+3y 的取值范围为 二二.选择题选择题 11 (3 分)若i 是关于 x 的实系数方程

2、 x2+bx+c0 的一个复数根,则( ) Ab2,c3 Bb2,c1 Cb2,c1 Db2,c3 12 (3 分)设 x,y 满足约束条件,则 z2x+y 的最小值是( ) A15 B9 C1 D9 第 2 页(共 15 页) 13 (3 分)若直线 xy+10 与圆(xa)2+y22 有公共点,则实数 a 取值范围是( ) A3,1 B1,3 C3,1 D (,31,+) 14 (3 分)已知直线 l:x+y1 与双曲线(a0)交于 A、B 两点,与 y 轴交于 点 D,若,则 a 的值为( ) A B C D2 三三.解答题解答题 15设关于 x 的方程 3x26(m1)x+m2+10

3、的两根的模的和为 2,求实数 m 的值 16已知点 P(1,a)在双曲线上 (1)求双曲线的两条渐近线方程; (2)求点 P(1,a)到两条渐近线距离的乘积 17已知椭圆(a0)经过点,直线 l 与椭圆交于 A(x1,y1) 、 B(x2,y2)两点, (1)求椭圆的方程; (2)若,直线 l 经过点,求直线 l 的方程 18已知抛物线:y22px(p0)经过点 P(1,2) ,直线 l 与抛物线有两个不同的交 点 A、B,直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N (1)若直线 l 过点 Q(0,1) ,求直线 l 的斜率的取值范围; (2)若直线 l 过点 Q(0,1) ,

4、设 O(0,0) ,求+的值; (3)若直线 l 过抛物线的焦点 F,交 y 轴于点 D,求 + 的值 第 3 页(共 15 页) 2019-2020 学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)期末学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)期末 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 (3 分)椭圆的左焦点的坐标为 (1,0) 【分析】直接利用椭圆方程,求出 a,b,得到 c,即可求解焦点坐标 【解答】解:椭圆,可得 a,b1,则 c1, 所以椭圆的左焦点的坐标为: (1,0) 故答案为: (1,0) 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知识的考

5、查,基础题 2 (3 分)若 z1+2i,则|z| 【分析】直接利用复数的模的计算公式求解 【解答】解:z1+2i,|z| 故答案为: 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题 3 (3 分)若 (2,1)是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 arctan2 (结 果用反三角函数值表示) 【分析】 根据直线的法向量求出直线的一个方向向量, 从而得到直线的斜率, 根据 ktan 可求出倾斜角 【解答】解: (2,1)是直线 l 的一个法向量 可知直线 l 的一个方向向量为(1,2) ,直线 l 的倾斜角为 得,tan2 arctan2 故答案为:arcta

6、n2 【点评】本题主要考查了方向向量与斜率的关系,以及反三角的应用,同时运算求解的 能力,属于基础题 第 4 页(共 15 页) 4 (3 分)双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 a 4 【分析】由虚轴长是实轴长的 2 倍可得a4,从而可求 【解答】解:因为双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍, 所以a4 所以 a4 故答案是:4 【点评】本题主要考查了双曲线的性质的简单运用,属于基础试题 5 (3 分)圆心为 C(1,2)且经过点 P(5,1)的圆的方程为 (x1)2+(y+2)2 25 【分析】直接求出半径,即可求出圆的方程 【解答】解:由题意可得圆的半径 r2(51)2+(1+2)225,

7、 所以圆的方程为: (x1)2+(y+2)225, 故答案为: : (x1)2+(y+2)225 【点评】考查求圆的方程,属于基础题 6 (3 分)倾斜角为的直线过抛物线 y22x 的焦点 F,交抛物线于 A、B 两点,则|AB| 4 【分析】先求出直线 AB 的方程,再与抛物线方程联立,利用韦达定理求出 x1+x2,再结 合|AB|x1+x2+p,即可求出结果 【解答】解:抛物线 y22x,焦点 F(,0) , 直线 AB 的方程为:yx, 联立方程,消去 y 得:4x212x+10, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , x1+x23, |AB|x1+x2+14, 故答案为:4 【

8、点评】本题主要考查了抛物线的定义,是中档题 第 5 页(共 15 页) 7 (3 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y28x+150,若直线 ykx2 上 至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1为半径的圆与圆C有公共点, 则k的最大值是 【分析】由于圆 C 的方程为(x4)2+y21,由题意可知,只需(x4)2+y21 与直 线 ykx2 有公共点即可 【解答】解:圆 C 的方程为 x2+y28x+150,整理得: (x4)2+y21,即圆 C 是以 (4,0)为圆心,1 为半径的圆; 又直线 ykx2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点

9、, 只需圆 C: (x4)2+y24 与直线 ykx2 有公共点即可 设圆心 C(4,0)到直线 ykx2 的距离为 d, 则 d2,即 3k24k0, 0k k 的最大值是 故答案为: 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“ (x4)2+y24 与直线 ykx 2 有公共点”是关键,考查学生灵活解决问题的能力,属于中档题 8 (3 分)在ABC 中,AB2,则的最大值为 【分析】先利用正弦定理得到 bsinB;再根据cbcosAsinBcosA sinBcos(120B)结合二倍角以及辅助角公式;即可整理得到的 2sin(2B+60);之后结合角 B 的范围即可求解 【解答】解:

10、ABC 中,AB2, c2; ; bsinB; 则cbcosA 第 6 页(共 15 页) sinBcosA sinBcos(120B) sinB(cos120cosB+sin120sinB) sinB(sinBcosB) (2sin2Bsin2B) (1cos2B)sin2B 2sin(2B+60); 0B120; 当 2B+60270时即 B105; 取最大值为:2(1)2+; 故答案为:2+ 【点评】本题考查了数量积运算性质、正弦定理的应用,三角函数的性质,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题 9 (3 分)已知椭圆的右焦点为 F,过原点 O 的直线与椭圆交于 A、B 两点,则的取值范

11、围为 【 分 析 】 利 用 椭 圆 的 定 义 设 |AF| x1 , 3 , 则 |BF| 4 x , 构 造 函 数 ,利用导数求其范围即可 【解答】解:取椭圆左焦点 F,连接 AF,BF,AF,BF,易知四边形 AFBF为平 行四边形,即有|AF|+|BF|AF|+|AF|2a4, 设|AF|x1,3,则|BF|4x,故, 令,则 , 易知函数 f(x)在1,2)上单调递减,在2,3上单调递增, 第 7 页(共 15 页) , 即的 取 值 范 围 为 故答案为: 【点评】本题考查椭圆的定义及导数的运用,考查转化思想及函数思想,属于中档题 10 (3 分)已知点 C 在以 O 为圆心的

12、圆弧 AB 上运动,且,若, 则 2x+3y 的取值范围为 【分析】可以 O 为原点,OA 为 x 轴,建立平面直角坐标系,并设 OA1,从而得出 ,可设 C(cos,sin) ,从而可得出 ,其中,并可求出,这 样即可求出 2x+3y 的取值范围 【解答】解:由题意,以 O 为原点,OA 为 x 轴的正向,建立如图所示的坐标系,设 OA 1,则: , 设 C(cos,sin) ,0, , 第 8 页(共 15 页) ,解得, ,其中, , ,且, , 2x+3y 的取值范围为 故答案为: 【点评】本题考查了通过建立平面直角坐标系,利用向量坐标解决向量问题的方法,向 量坐标的加法和数乘运算,两

13、角和的正弦公式,正弦函数的图象,考查了计算能力,属 于中档题 二二.选择题选择题 11 (3 分)若i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 的一个复数根,则( ) Ab2,c3 Bb2,c1 Cb2,c1 Db2,c3 【分析】由题意,将根代入实系数方程 x2+bx+c0 整理后根据得数相等的充要条件得到 关于实数 a,b 的方程组,解方程得出 a,b 的值即可选出正确选项 【解答】解:由题意 1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 1+2i2+b+bi+c0,即 ,解得 b2,c3 故选:D 【点评】本题考查复数相等的充要条件,解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件, 能

14、根据它得到关于实数的方程,本题考查了转化的思想,属于基本计算题 12 (3 分)设 x,y 满足约束条件,则 z2x+y 的最小值是( ) A15 B9 C1 D9 第 9 页(共 15 页) 【分析】先根据条件画出可行域,z2x+y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y 轴上的截距,只需求出直线 Z2x+y,过可行域内的点 A(6,3)时的最小值,从而 得到 Z 的最小值即可 【解答】解:x,y 满足约束条件的可行域如图: 在坐标系中画出可行域ABC,A(6,3) ,B(0,1) ,C(6,3) , 由图可知,当 x6,y3 时,则目标函数 z2x+y 的最小,最小值为15 故选:A 【

15、点评】借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归 思想线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定 13 (3 分)若直线 xy+10 与圆(xa)2+y22 有公共点,则实数 a 取值范围是( ) A3,1 B1,3 C3,1 D (,31,+) 【分析】根据直线 xy+10 与圆(xa)2+y22 有公共点,可得圆心到直线 xy+1 0 的距离不大于半径,从而可得不等式,即可求得实数 a 取值范围 【解答】解:直线 xy+10 与圆(xa)2+y22 有公共点 圆心到直线 xy+10 的距离为 |a+1|2 3a1 故选:C 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,解

16、题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半 第 10 页(共 15 页) 径,建立不等式 14 (3 分)已知直线 l:x+y1 与双曲线(a0)交于 A、B 两点,与 y 轴交于 点 D,若,则 a 的值为( ) A B C D2 【分析】由,得到 5x112x2,再联立解方程组,解出 x,x,再求出 a 即可 【解答】解:设 D(0,n) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ,得 5(x2x1)7x17x1, 5x112x2, 由,得, , x1+x2, 得, 所以 x, 由,得 a2, 故 a, 故选:A 【点评】考查直线与双曲线的综合,向量与圆锥曲线的综合,中档题 三三.解答题解答

17、题 15设关于 x 的方程 3x26(m1)x+m2+10 的两根的模的和为 2,求实数 m 的值 【分析】设两个根分别为 x1,x2,则 x1+x22(m1) ,x1x20,由题意可得, 2|x1|+|x2|x1+x2|,代入可求然后考虑根不都是实数时,根 第 11 页(共 15 页) 据复数的运算可求 【解答】解:设两个根分别为 x1,x2, (i)若两根都为实数,则 x1+x22(m1) ,x1x20,可知两根同号, 且36(m1)212(1+m2)0, 整理可得,m23m+10, 由题意可得,2|x1|+|x2|x1+x2|, 故 2(m1)2, 解可得,m2(舍)或 m0, 若两根不

18、是实数时,36(m1)212(1+m2)0, 由 x1+x22(m1) ,x1x20,可知 x1,x2为共轭复数, |x1|+|x2|2, x1x21, 解可得 m或 m(舍) , 综上可得,m或 m0 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用,考查了基本运算 16已知点 P(1,a)在双曲线上 (1)求双曲线的两条渐近线方程; (2)求点 P(1,a)到两条渐近线距离的乘积 【分析】本题第(1)题根据双曲线的渐近线方程 yx 可得结果;第(2)题先将点 P 坐标代入双曲线方程可得 a 的值,然后根据点到直线距离公式计算出点 P 到两条渐近 线距离,即可计算出乘积 【解答】解

19、: (1)由题意,可知 a1,b2, 则 yx2x, 双曲线的两条渐近线方程为 y2x (2)由题意,点 P(1,a)在双曲线上, 第 12 页(共 15 页) 则 11,解得 a20 故点 P 坐标为(1,0) 设点 P 到渐近线 y2x 的距离为 d1,则 d1, 同理,设点 P 到渐近线 y2x 的距离为 d2,则 d2, 故 d1d2 点 P(1,a)到两条渐近线距离的乘积为 【点评】本题主要考查双曲线的基础知识,点到直线的距离公式,方程思想,逻辑思维 能力和数学运算能力本题属中档题 17已知椭圆(a0)经过点,直线 l 与椭圆交于 A(x1,y1) 、 B(x2,y2)两点, (1)

20、求椭圆的方程; (2)若,直线 l 经过点,求直线 l 的方程 【分析】 (1)把点的坐标代入椭圆方程即可得解; (2)根据直线 l 的斜率是否存在分两种情况讨论,若斜率不存在,则 x0,易得 A、B 两点的坐标;若斜率存在,设其方程为,将其与椭圆方程联立,利用韦达定理, 再结合,即可得解 【解答】解: (1)将点代入椭圆方程有,解得 a24, 所以椭圆的方程为 (2)当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x0,A(0,2) ,B(0,2) ,不满足, 不符合题意 当直线 l 的斜率存在时,设其方程为, 联立得, 第 13 页(共 15 页) 则, 因为, 所以 84k20,解得, 直线 l

21、的方程为 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积,是常规考法,属于简单题 18已知抛物线:y22px(p0)经过点 P(1,2) ,直线 l 与抛物线有两个不同的交 点 A、B,直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N (1)若直线 l 过点 Q(0,1) ,求直线 l 的斜率的取值范围; (2)若直线 l 过点 Q(0,1) ,设 O(0,0) ,求+的值; (3)若直线 l 过抛物线的焦点 F,交 y 轴于点 D,求 + 的值 【分析】 (1)由过点的坐标可得 p 值,即求出排污池的方程,求出焦点 F 的坐标,由题 意可得直线 l 的斜率存在且不为 0,再由

22、直线 PA 交 y 轴于 M 可得直线不过(1,2) , 而过这个点时斜率为3,直线与抛物线联立由题意由两个交点可得判别式大于 0,求出 直线 l 的斜率的范围,综上所述可得直线 l 的斜率的范围; (2)由题意设直线 l 的方程,与抛物线联立求出两根之和及两根之积,由, ,求出 , 的表达式,进而求出求+的值; (3)由题意设直线 l 的方程,与(2)类似求出 , 的表达式,进而求出 + 的值 【解答】解:由题意可得 222p1,可得 p2,所以抛物线的方程为:y24x, (1)因为直线过(0,1)由题意可得直线与抛物线有两个交点可得,直线 l 的斜率存在 且不为 0,设直线 l 的方程为:

23、ykx+1, 由题意可得直线 l 不过 P,而 kPQ1, 若直线与抛物线的一个交点为(1,2) ,则该点与 P 所在的直线与 y 轴没有交点,与题 意矛盾这时 k3,所以直线的斜率 k3, 第 14 页(共 15 页) 直线与抛物线联立可得:,整理可得:k2x2+(2k4)x+10, 可得(2k4)24k20,解得 k1, 综上所述:直线 l 的斜率的取值范围 k(,1) ,且 k3 且 k0; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由(1)可知 x1+x2,x1x2, 直线 PA 的方程为:y2(x1) , 令 x0,可得 M 的纵坐标,则 yM+2+2, 同理可得 N 的纵坐标,yN+2, 再由,可得:1yM,1yN, 所以 + 2, 所以+的值为 2; (3)由题意设直线 l 的方程为:xmy+1,令 x0 可得 D 的纵坐标 yD,即 D 在 坐标为: (0,) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 直线与抛物线联立:整理可得:y24mx40, 第 15 页(共 15 页) 则可得 y1+y24m,y1y24, 由,可得 1+,1+, 所以 +2+(+)2+2+1 所以 + 的值为1 【点评】考查直线与抛物线的中及向量的关系求参数 , 的代数式,属于中难题