1、已知点 A（0，2） ，B（1，3） ，C（1，5） ，则ABC 的面积是 5 （3 分）已知 2i1 是方程 2x2+px+q0（p，qR）的一个根，则 p+q 6 （3 分）已知抛物线 x2py2上的点 A（2，2） ，则 A 到准线的距离为 7 （3 分）在等比数列an中，已知 a2a52a3，且 a4与 2a7的等差中项为，则 S5 8 （3 分）向量经过矩阵变换后的向量是 9 （3 分）若双曲线的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方 程是 10 （3 分）已知直线 l 经过点 P（2，1） ，且点 A（1，2）到 l 的距离等于，则直 线 l 的方程为 11 （3 分）已知数列2n 1a
2、 n的前 n 项和 Sn96n，则数列an的通项公式为 12 （3 分）若向量，且 x33x4y0，则 与 的夹角等于 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知ABC 的边 BC 上有一点满足，则可表示为（ ） A B C D 14（3 分） 设 l 表示直线， m 是平面 内的任意一条直线， 则 “lm” 是 “l” 成立的 （ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页（共 18 页） 15 （3 分）已知单位向量，的夹角为 60，若2，则ABC 为（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 16 （3 分）在等比数列a
3、n中，若，则（ ） A B C D2 三、解答题三、解答题 17在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知，E 是 AB 的中点 （1）求四棱锥 A1BCDE 的体积 （2）求异面直线 A1E 与 B1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 18已知平行四边形 ABCD 中，F 是 BC 边上的点，且 2，若 AF 与 BD 交于 E 点，建立如图所示的直角坐标系 （1）求 F 点的坐标； （2）求 19如图，在 y 正半轴上的 A 点有一只电子狗，B 点有一个机器人，它们运动的速度确定， 且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到 达某点，那么电子狗将被
4、机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若 ABBO3 （1）求失败点组成的区域 第 3 页（共 18 页） （2） 电子狗选择 x 正半轴上的某一点 P， 若电子狗在线段 AP 上获胜， 问点 P 应在何处？ 20已知椭圆的左右焦点为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，且 b c （1）求直线 AB 的方向向量； （2）若 Q 是椭圆上的任意一点，求F1QF2的最大值； （3）过 F1作 AB 的平行线交椭圆于 C、D 两点，若|CD|3，求椭圆的方程 21已知数列an的前 n 项和为 Sn，通项公式为，数列bn的通项公式为 bn2n 6 （1）若，求数列cn的前 n 项和 Tn及的值
5、； （2）若，数列en的前 n 项和为 En，求 E1，E2，E3的值，根据 计算结果猜测 En关于 n 的表达式，并用数学归纳法加以证明； （3）对任意正整数 n，若恒成立，求 t 的取值范围 第 4 页（共 18 页） 2018-2019 学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）已知 i3z12i（i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数为 2i 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概 念得答案 【解答】解：i3z12i， iz12i， i（i
6、z）i（12i） ， 即 z2+i， 2i， 故答案为：2i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题 2 （3 分）已知定点 A（4，0）和曲线 x2+y28 上的动点 B，则线段 AB 的中点 P 的轨迹方 程为 （x2）2+y22 【分析】设出 P，B 的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用端点 B 在圆 x2+y24 上运 动，可得轨迹方程 【解答】解：设线段 AB 中点为 P（x，y） ，B（m，n） ，则 m2x4，n2y 端点 B 在圆 x2+y28 上运动， m2+n28， （2x4）2+（2y）28， （x2）2+y22 故答案为： （x2）2+y
7、22 【点评】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键 3 （3 分）如果球的体积为，那么该球的表面积为 9 【分析】设球的半径为 R，由体积求得半径，代入表面积公式求解 【解答】解：设球的半径为 R，由 V，得 R 第 5 页（共 18 页） 该球的表面积为 4R2 故答案为：9 【点评】本题考查球的表面积与体积公式，是基础的计算题 4 （3 分）已知点 A（0，2） ，B（1，3） ，C（1，5） ，则ABC 的面积是 3 【分析】根据三点用两点间的距离公式求出 AB、AC 和 BC 的长度，然后用余弦定理求 出角 A，再用面积公式求三角形的面积即可 【解答】解：由
8、点 A（0，2） ，B（1，3） ，C（1，5） ，得 AB，AC，BC 由余弦定理，有 cosA，sinA， 故答案为：3 【点评】本题考查了两点间的距离公式、余弦定理和面积公式，属基础题 5 （3 分）已知 2i1 是方程 2x2+px+q0（p，qR）的一个根，则 p+q 14 【分析】由条件知方程另一个根为12i，然后由根于系数的关系求出 p 和 q 【解答】解：2i1 是方程 2x2+px+q0（p，qR）的一个根， 根据实系数多项式虚根成对定理知，方程另一个根为12i， p2（1+2i）+（12i）4，q2（1+2i） （12i）10， p+q14 故答案为：14 【点评】本题考查
9、了实系数多项式虚根成对定理和根与系数的关系，属基础题 6 （3 分）已知抛物线 x2py2上的点 A（2，2） ，则 A 到准线的距离为 【分析】利用点的坐标满足抛物线方程，求出 p，然后求解准线方程，即可推出结果 【解答】解：抛物线 x2py2上的点 A（2，2） ， 可得 p，所以抛物线方程为：y22x，准线方程为 x， 则 A 到准线的距离为： 第 6 页（共 18 页） 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 7 （3 分）在等比数列an中，已知 a2a52a3，且 a4与 2a7的等差中项为，则 S5 31 【分析】根据 a2a52a3，求出 a42，又
10、 a4与 2a7的等差中项为，得到 a7，所以 可以求出，a116，即可求出 S5 【解答】解：依题意，数列an是等比数列，a2a52a3，即，所以 a4 2， 又 a4与 2a7的等差中项为，所以 2+2a72，所以 a7， 所以 q3，所以 q 所以 a116， 所以 S531 故答案为：31 【点评】本题考查了等差数列的等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和 公式本题属于基础题 8 （3 分）向量经过矩阵变换后的向量是 【分析】运用矩阵的向量变换，计算可得所求 【解答】解：， 故答案为： 【点评】本题考查矩阵的变换，考查运算能力，属于基础题 9 （3 分）若双曲线的一个焦点
11、是，则该双曲线的渐近线方 程是 y 【分析】利用双曲线的焦点坐标，求解 a，然后求解双曲线的渐近线方程 第 7 页（共 18 页） 【解答】解：双曲线的一个焦点是，可得 a2+913，解 得 a2， 所以双曲线的渐近线方程是：y 故答案为：y 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 10 （3 分）已知直线 l 经过点 P（2，1） ，且点 A（1，2）到 l 的距离等于，则直 线 l 的方程为 2xy+50 或 x+2y0 【分析】当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2，不成立；当直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l 的方程为 kxy+2k+10，由点 A（
12、1，2）到 l 的距离等于，解得 k2 或 k，由此能求出直线 l 的方程 【解答】解：直线 l 经过点 P（2，1） ， 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2， 点 A（1，2）到 l 的距离 d1，不成立； 当直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l 的方程为 y1k（x+2） ， 即 kxy+2k+10， 点 A（1，2）到 l 的距离等于， d， 解得 k2 或 k， 直线 l 的方程为 y12（x+2）或 y1（x+2） ， 即 2xy+50 或 x+2y0 故答案为：2xy+50 或 x+2y0 【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式等基础知
13、识， 考查运算求解能力，是基础题 11 （3 分）已知数列2n 1a n的前 n 项和 Sn96n，则数列an的通项公式为 第 8 页（共 18 页） 【分析】利用递推式即可得出 【解答】解：数列2n 1a n的前 n 项和 Sn96n， 当 n1 时，20a196，解得 a13 当 n2 时，Sn196（n1）156n， 2n 1a nSnSn196n（156n）6， 故答案为： 【点评】本题考查了递推式的应用，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 12 （3 分）若向量，且 x33x4y0，则 与 的夹角等于 90 【分析】由平面向量数量积的运算得：y 2+（x3
14、3x）24y+x33x0， 即 与 的夹角等于 90，得解 【解答】解：由 （，1） ， （，） ， 所以0，| |4，| |1， 所以y 2+（x33x）24y+x33x0， 即 与 的夹角等于 90， 故答案为：90 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题 二、选择题二、选择题 第 9 页（共 18 页） 13 （3 分）已知ABC 的边 BC 上有一点满足，则可表示为（ ） A B C D 【分析】根据即可得出，解出向量即可 【解答】解：； ； ； 故选：D 【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算 14（3 分） 设 l 表示直线， m 是平面 内的任意一条直线，
15、则 “lm” 是 “l” 成立的 （ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解：因为 m 是平面 内的任意一条直线，m 具有任意性，若 lm，由线面垂直 判定定理，则 l，所以充分性成立； 反过来，若 l，m 是平面 内的任意一条直线，则 lm，所以必要性成立， 故“lm”是“l”成立的充要条件 故选：A 【点评】本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，意在考查考生对基本概念的掌握 情况根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键 15 （3 分）已知单位向量，的夹角为 60，若2，则ABC 为
16、（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 【分析】根据题意，由向量加减法的意义，用向量、表示出向量、， 结合题意，求出向量、的模，由三角形的性质，分析可得答案 第 10 页（共 18 页） 【解答】解：根据题意，由2+， 可得2， 则|2|2， 由，可得|2|2 22 + 2 1211+11， 故|1， 由（2+）+， 则|2|+|2 2+2 + 2 1+211+13， 可得|， 在ABC 中，由|2，|1，|， 可得|2|2+|2， 则ABC 为直角三角形； 故选：C 【点评】本题考查数量积的性质与运用，注意先用向量的加法、减法的性质，表示出 ABC 的三边的向量
17、16 （3 分）在等比数列an中，若，则（ ） A B C D2 【分析】利用等比数列通项公式先求出公比 q，再由 ，能求出结果 【解答】解：在等比数列an中，若 a2，a3， 第 11 页（共 18 页） 公比 q， ， 故选：B 【点评】本题考查等比数列中两项和与另外两项和的比值的求法，考查等比数列的性质 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 三、解答题三、解答题 17在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知，E 是 AB 的中点 （1）求四棱锥 A1BCDE 的体积 （2）求异面直线 A1E 与 B1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【分析】 （1）先求
18、出 SBCDESABCDSADE，由此能求出四棱锥 A1BCDE 的体 积 （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出异面直线 A1E 与 B1C 所成角的大小 【解答】解： （1）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 AB 的中点， SBCDESABCDSADE， 四棱锥 A1BCDE 的体积： （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 第 12 页（共 18 页） 则 A1（） ，E（，0） ，B1（） ，C（0，2，0） ， （0，1，） ，（，0，）
19、， 设异面直线 A1E 与 B1C 所成角为 ， 则 cos， arccos， 异面直线 A1E 与 B1C 所成角的大小为 arccos 【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18已知平行四边形 ABCD 中，F 是 BC 边上的点，且 2，若 AF 与 BD 交于 E 点，建立如图所示的直角坐标系 （1）求 F 点的坐标； （2）求 【分析】 （1）根据题意知EBFEDO，利用2求得点 F 的坐标； 第 13 页（共 18 页） （2）根据求得点 E 的坐标，再计算、，求出数量积 【解答
20、】解： （1）根据题意知，EBFEDO， 则 O（0，0） ，B（2，0） ，C（3，1） ，D（1，1） ， 由2，利用相似比的性质得 F（，） ； （2）（，） ， E（，） ， 从而（，） ，（，） ， + 【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，根据相似比得出各点的坐标是解题的 关键，是基础题 19如图，在 y 正半轴上的 A 点有一只电子狗，B 点有一个机器人，它们运动的速度确定， 且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到 达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若 ABBO3 （1）求失败点组成的区域 （2） 电子狗选择
21、 x 正半轴上的某一点 P， 若电子狗在线段 AP 上获胜， 问点 P 应在何处？ 【分析】 （1）设失败点为 M（x，y） ，则 A（0，6） ，B（0，3） ，不妨设机器人速度为 V， 第 14 页（共 18 页） 则机器人速度为 2V，由题意有，代入坐标计算求解即可； （2）设 P（x，0） ， （x0）由题意有，代入坐标计算求解即可 【解答】解： （1）设失败点为 M（x，y） ， 则 A（0，6） ，B（0，3） ， 不妨设机器人速度为 V，则机器人速度为 2V， 由题意有， 即 x2+（y2）24， 即失败点为 M 的轨迹为以（0，2）为圆心，2 为半径的圆面上运动， 故失败点组成
22、的区域为：以（0，2）为圆心，2 为半径的圆面 （2）设 P（x，0） ， （x0） 由题意有， 则， 即 x20， 所以 P 点在 x 轴正半轴上即可 【点评】本题考查合情推理，涉及了一个具体情境，注意阅读，理清关系即可 20已知椭圆的左右焦点为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，且 b c （1）求直线 AB 的方向向量； （2）若 Q 是椭圆上的任意一点，求F1QF2的最大值； （3）过 F1作 AB 的平行线交椭圆于 C、D 两点，若|CD|3，求椭圆的方程 【分析】 （1）可得 a，kAB即直线 AB 的方向向量为 ； （ 2 ） 在 F1QF2中 ， 设PF1 m PF2 n
23、 ， 则cos F1QF2 0， 即可 求解 第 15 页（共 18 页） （3）设椭圆方程：直线 CD 的方程为：x利用韦达定理、 弦长公式计算 【解答】解： （1）bc，a， 顶点为 A（，0） ，上顶点为 B（0，b） ，则 kAB 直线 AB 的方向向量为； （2）在F1QF2中，设 PF1m PF2n， 则 cosF1QF2 0， 当且仅当 mn 时，即 Q 为上（或下）顶点时，F1QF2，最大，最大值为 （3）设椭圆方程： ABCD，直线 CD 的方程为：x 由可得 4y2+2byb20 ， |CD|y1y2|3，解得 b22，a24 椭圆方程： 第 16 页（共 18 页） 【点
24、评】本题考查了椭圆的方程、性质，考查了弦长计算，属于中档题 21已知数列an的前 n 项和为 Sn，通项公式为，数列bn的通项公式为 bn2n 6 （1）若，求数列cn的前 n 项和 Tn及的值； （2）若，数列en的前 n 项和为 En，求 E1，E2，E3的值，根据 计算结果猜测 En关于 n 的表达式，并用数学归纳法加以证明； （3）对任意正整数 n，若恒成立，求 t 的取值范围 【分析】 （1）根据等比数列的求和公式和极限的定义即可求 （2）求出 en，可求 E1，E2，E3的值，猜想 En的表达式，再根据数学 归纳法的证题步骤进行证明 （3）问题转化为 t，对于任意正整数 n 恒成立
25、，设 f（n），利用导 数求出函数的最值即可求出 t 的范围 【解答】解： （1）an3n 1， cn（）n 1， Tn（1）（）n 1， （1）； （2）bn2n6， 第 17 页（共 18 页） E1e1，E2e1+e2+，E2e1+e2+e3+， 猜想 En， 理由如下，当 n1 时，成立， 假设 nk 时成立，则 Ek， 那么当 nk+1 时，Ek+1Ek+ek+1+ ， 即 nk+1 时，猜想也成立 故由和，可知猜想成立； （3）Sn（3n1） ， 若恒成立， 则（3n）tn6， 即 t，对于任意正整数 n 恒成立， 设 f（n） f（n）， 令 f（n）0，解得 n6+， 当 1n6+时，f（n）0，函数 f（n）单调递增， 当 n6+时，f（n）0，函数 f（n）单调递减， ln31， 01， 66+7 f（6）0，f（7）， f（n）maxf（7）， t 第 18 页（共 18 页） 【点评】本题考查了等比数列的求和公式，数学归纳法，函数最值的等知识，考查了转 化与化归思想，属于中档题
