1、如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋（球的直径和圆锥直径 相同） ，如果冰淇淋融化了，是否会溢出杯子， （请在“是”和“否”两个判断 词中选填一个） 6 （3 分）已知圆锥的母线长为 5cm，侧面积为 15cm2，则此圆锥的体积为 cm3 7 （3 分）已知半径为 R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于， 且经过这三个点的小圆周长为 4，则 R 8 （3 分）如图，在三棱锥 SABC 中，E、F 分别为 SB、SC 的中点，G 是 SA 的三等分点， 且 SGSA，则截面 EFG 将三棱锥 SABC 分成两部分，则三棱锥 SEFG 与三棱锥 S ABC 的体积之
2、比为 第 2 页（共 21 页） 9 （3 分）已知 S，A，B，C 都是球 O 表面上的点，SA平面 ABC，ABBC，SA2，AB 3，BC4，则球 O 的表面积等于 10 （3 分）设复数 z11i，z23+3i，若，则|z z1|+|zz2|的最小值为 11 （3 分）三棱锥 SABC 中，SAABAC2，ASBBSCCSA30，M，N 分别为 SB，SC 上的点，则AMN 周长最小值为 12 （3 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 4，点 H 在棱 AA1上，且 HA11， 在侧面 BCC1B1内作边长为 1 的正方形 EFGC1， P 是侧面 BCC1B1内一动
3、点， 且点 P 到平 面 CDD1C1距离等于线段 PF 的长，则当点 P 运动时，|HP|2的范围是 二、选择题二、选择题 13 （3 分）直线 c、d 与异面直线 a、b 都相交，则 c、d 的位置关系是（ ） A平行 B相交 C异面 D相交于一点或异面 14 （3 分）已知方程 x2+2xa0，其中 a0，则在复数范围内关于该方程的根的结论正 确的是（ ） A该方程一定有一对共轭虚根 B该方程可能有两个正实根 C该方程两根的实部之和等于2 D若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于 1 15 （3 分）给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 垂直于同一平面的两个平面互相平行；
4、 过空间一点有且只有一条直线和已知平面平行； 第 3 页（共 21 页） 若直线 l1、l2与同一平面所成的角相等，则 l1、l2互相平行 其中假命题的个数（ ） A1 B2 C3 D4 16 （3 分）给定正三棱锥 PABC，M 点为底面正三角形 ABC 内（含边界）一点，且 M 到 三个侧面 PAB、PBC、PAC 的距离依次成等差数列，则点 M 的轨迹为（ ） A椭圆的一部分 B一条线段 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 三、解答题三、解答题 17在所有棱长都等于 2 的正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D 是 A1C1的中点，求： （1）正三棱柱的全面积； （2）点 A 到平面 B
5、1DC 的距离 18已知关于 x 的实系数方程 x2px+q0，其中 p、q 为实数 （1）若 x1+2i 是该方程的根，求 p+q 的值； （2）若 p+2q2，求该方程两根之积的最大值 19如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋 转轴旋转 120得到的，G 是的中点 （）设 P 是上的一点，且 APBE，求CBP 的大小； （）当 AB3，AD2，求二面角 EAGC 的大小 20如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，BCAD，点 E 在线段 AD 上， 且 CEAB （1）求证：CE平面 PAD； （2）若 PAAB1，A
6、D3，CD，求四棱锥 PABCD 的体积 第 4 页（共 21 页） 21如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，E、F 分别是棱 AA、CC的 中点，过直线 E、F 的平面分别与棱 BB、DD交于 M、N，设 BMx，x0，1，求： （1）求 EF 与面 ABBA 所成的角的大小； （2）求四棱锥 CMENF 的体积 Vh（x） ，并讨论它的单调性； （3）若点 P 是正方体棱上一点，试证：满足 PA+PC2 成立的点的个数为 4 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期中数学试学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期中数学试 卷卷 参考答
7、案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）棱长都是 1 的三棱锥的全面积为 【分析】求出边长为 1 的一个三角形的面积，乘以 4 得答案 【解答】解：棱长都是 1 的三棱锥是正四面体，其中每一个面都是边长为 1 的正三角形， 则其全面积 S 故答案为： 【点评】本题考查多面体全面积的求法，是基础的计算题 2 （3 分）已知复数 z 满足（1i）z3+i（i 为虚数单位） ，则 z 1+2i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（1i）z3+i，得 z， 故答案为：1+2i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 （
8、3 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 BD 与 AC1所成角的大小为 90 【分析】由线面垂直及线线垂直的判定得：BD面 ACC1，又 AC1面 ACC1，所以 BD AC1，得解 【解答】解：连接 AC， 则 BDAC，BDCC1， 所以 BD面 ACC1， 又 AC1面 ACC1， 所以 BDAC1， 故答案为：90 第 6 页（共 21 页） 【点评】本题考查了线面垂直的判定及线线垂直的判定，属简单题 4 （3 分）若集合 Ai、i2、i3、i4（i 为虚数单位） B1，1，则 AB 1，1 【分析】首先明确 A，然后根据交集定义求得 【解答】解：Ai，1，i，1，AB1
9、，1 故答案为：1，1 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 5 （3 分）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋（球的直径和圆锥直径 相同） ，如果冰淇淋融化了，是否会溢出杯子， 否 （请在“是”和“否”两个判断词 中选填一个） 【分析】根据题意，求出半球的体积，圆锥的体积，比较二者大小，判断是否溢出，即 可得答案 【解答】解：V半球43134（cm3） ， V圆锥r2h4212201（cm3） V半球V圆锥， 冰淇淋融化了，不会溢出杯子 故答案为：否 【点评】本题考查球的体积，圆锥的体积，考查计算能力，是基础题 6 （3 分）已知圆锥的母线长为 5c
10、m，侧面积为 15cm2，则此圆锥的体积为 12 cm3 第 7 页（共 21 页） 【分析】先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积 【解答】解：已知圆锥的母线长为 5cm，侧面积为 15cm2， 所以圆锥的底面周长：6 底面半径是：3 圆锥的高是：4 此圆锥的体积为： 故答案为：12 【点评】本题考查圆锥的侧面积、体积，考查计算能力，是基础题 7 （3 分）已知半径为 R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于， 且经过这三个点的小圆周长为 4，则 R 2 【分析】根据球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，得出 ABBC CAR，利用其周长得到正三角形 ABC
11、的外接圆半径 r2，故可以得到高，设 D 是 BC 的中点，在OBC 中，又可以得到角以及边与 R 的关系，在 RtABD 中，再利用直角三 角形的勾股定理，即可解出 R 【解答】解：球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于， ABCBCACAB， ABBCCAR，设球心为 O， 因为正三角形 ABC 的外径 r2，故高 ADr3，D 是 BC 的中点 在OBC 中，BOCOR，BOC， 所以 BCBOR，BDBCR 在 RtABD 中，ABBCR，所以由 AB2BD2+AD2，得 R2R2+9，所以 R2 故答案为：2 【点评】本题考查对球的性质认识及利用，以及学生的空间想象能力，是中档
12、题解题 时要认真审题，注意合理地进行等价转化 8 （3 分）如图，在三棱锥 SABC 中，E、F 分别为 SB、SC 的中点，G 是 SA 的三等分点， 且 SGSA，则截面 EFG 将三棱锥 SABC 分成两部分，则三棱锥 SEFG 与三棱锥 S 第 8 页（共 21 页） ABC 的体积之比为 1：12 【分析】在平面 SAB 内，过 E 作 EHAB，交 SA 于点 H，连接 FH，分别求出三棱锥 S EFG、SABC 与三棱锥 SEFH 体积的关系，则答案可求 【解答】解：在平面 SAB 内，过 E 作 EHAB，交 SA 于点 H，连接 FH， E 为 SB 的中点，H 为 SA 的
13、中点， 又 SGSA，GH，则 SG2GH， VSEFG2VHEFG， 由平面 EFH平面 ABC，且 E 为 SB 的中点， 得 VSABC8VSEFH，而， 故答案为：1：12 【点评】本题考查棱锥体积间的关系，作出过 E 与底面平行的截面图是关键，是中档题 9 （3 分）已知 S，A，B，C 都是球 O 表面上的点，SA平面 ABC，ABBC，SA2，AB 3，BC4，则球 O 的表面积等于 29 【分析】由已知中 S、A、B、C 是球 O 表面上的点，SA平面 ABC，ABBC，易 S、A、 第 9 页（共 21 页） B、C 四点均为长宽高分别 SA，AB，BC 三边长的长方体的顶点
14、，由长方体外接球的直径 等于长方体对角线，可得球 O 的直径（半径） ，代入球的表面积公式即可得到答案 【解答】解：SA平面 ABC，ABBC， 四面体 SABC 的外接球半径等于以长宽高分别 SA，AB，BC 三边长的长方体的外接 球的半径 SA2，AB3，BC4， 2R 球 O 的表面积 S4R229 故答案为：29 【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出 球 O 的直径（半径） ，是解答本题的关键 10 （3 分）设复数 z11i，z23+3i，若，则|z z1|+|zz2|的最小值为 【分析】将|zz1|+|zz2|化简得|zz1|+|zz2| ，
15、A（1， 3） ，B（3，1） ，P（，） ，则点 P 的轨迹方程为 x2+y22，因此|z z1|+|zz2|表示点A 和点B 到圆 x2+y22上任意一点的距离之和， 然后求出最小值即可 【解答】解：|zz1|+|zz2| |+| 令 A（1，3） ，B（3，1） ，P（，） ， 因为 R，所以点 P 的轨迹方程为 x2+y22， 所以|zz1|+|zz2|表示点 A 和点 B 到圆 x2+y22 上任意一点的距离之和， 又过 AB 两点的直线方程为 xy20， 圆心（0，0）到直线 AB 的距离 R 所以直线与圆 x2+y22 相切，记切点为 Q， 所以（|zz1|+|zz2|）min|
16、AQ|+|BQ|AB| 即|zz1|+|zz2|的最小值为： 第 10 页（共 21 页） 故答案为： 【点评】本题考查了复数模的计算和根号型函数的最值，考查了转化思想和数形结合思 想，属基础题 11 （3 分）三棱锥 SABC 中，SAABAC2，ASBBSCCSA30，M，N 分别为 SB，SC 上的点，则AMN 周长最小值为 2 【分析】沿着侧棱 SA 把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点 A 被分到两处 A，A， 则线段 AA的长度即为AMN 周长的最小值 【解答】解：沿着侧棱 SA 把正三棱锥展开在同一个平面内， 原来的点 A 被分到两处 A，A， 则线段 AA的长度即为AMN 周
17、长的最小值 SAA中，SASA2，ASBBSCCSA30， 故ASA90， AA2 故答案为： 【点评】本题考查三角形周长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空 间思维能力的培养 12 （3 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 4，点 H 在棱 AA1上，且 HA11， 在侧面 BCC1B1内作边长为 1 的正方形 EFGC1， P 是侧面 BCC1B1内一动点， 且点 P 到平 面 CDD1C1距离等于线段 PF 的长，则当点 P 运动时，|HP|2的范围是 22， 第 11 页（共 21 页） 【分析】建立空间直角坐标系，过点 H 作 HMBB，垂足为 M，连
18、接 MP，得出 HP2 HM2+MP2，利用空间直角坐标系求出 MP2的取值范围，则答案可求 【解答】解：建立空间直角坐标系如图所示， 过点 H 作 HMBB，垂足为 M，连接 MP， 则 HMPM， HP2HM2+MP2 过 P 作 PNCC，垂足为 N， 设 P（x，4，z） ， 则 F（1，4，3） ，M（4，4，3） ，N（0，4，z） ，且 0x4，0z4 PNPF， x，化简得 2x1（z3）2，则 2x10，即 MP2（x4）2+（z3）2（x4）2+2x1x26x+156， 此时 HP2HM2+MP216+MP222， 故答案为：22， 【点评】本题考查空间直角坐标系的应用问题
19、，考查数学转化思想方法，训练了利用二 第 12 页（共 21 页） 次函数求最值，属难题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）直线 c、d 与异面直线 a、b 都相交，则 c、d 的位置关系是（ ） A平行 B相交 C异面 D相交于一点或异面 【分析】直线 c 与直线 d 分别与两条异面直线 a 与直线 b 相交于点 A，B，C，D，当点 B 与点 C 重合时，两条直线 c 与 d 相交，当点 B 与点 D 不重合时，两条直线 c 与 d 异面 【解答】解：已知直线 a 与 b 是异面直线， 设直线 c 与直线 d 分别与两条异面直线 a 与直线 b 相交于点 A，B，C，D， 当点 B 与
20、点 C 重合时，两条直线 c 与 d 相交， 当点 B 与点 D 不重合时，两条直线 c 与 d 异面 故选：D 【点评】本题考查两直线位置关系的判断，考查平面的基本性质及其推论等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 14 （3 分）已知方程 x2+2xa0，其中 a0，则在复数范围内关于该方程的根的结论正 确的是（ ） A该方程一定有一对共轭虚根 B该方程可能有两个正实根 C该方程两根的实部之和等于2 D若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于 1 【分析】据二次方程的根与判别式的符号有关，二次方程的根满足韦达定理，判断出 A， B 错；不管判别式大于 0 还是小于 0，二次方程的根满足韦达定
21、理 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：4+4a 当0，方程有两个根 由韦达定理知，两个根的和为2 故 A，B 错 当0 时，方程的两个根为 其实部和为2 故选：C 【点评】注意在复数集中，对于二次方程原有的韦达定理仍成立，但求根公式不成立 15 （3 分）给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 垂直于同一平面的两个平面互相平行； 过空间一点有且只有一条直线和已知平面平行； 若直线 l1、l2与同一平面所成的角相等，则 l1、l2互相平行 其中假命题的个数（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】在中，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面；在中，垂直于同一 平面的两个平
22、面相交或平行；在中，过空间一点有 0 条直线或无数条直线已知平面平 行；在中，l1、l2相交、平行或异面 【解答】解：在中，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故错误； 在中，垂直于同一平面的两个平面相交或平行，故错误； 在中，过空间一点有 0 条直线或无数条直线已知平面平行，故错误； 在中，若直线 l1、l2与同一平面所成的角相等，则 l1、l2相交、平行或异面，故错 误 其中假命题的个数为 4 故选：D 【点评】本题考查两直线位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 16 （3 分）给定正三棱锥 PABC，M 点为底面正三角形 A
23、BC 内（含边界）一点，且 M 到 三个侧面 PAB、PBC、PAC 的距离依次成等差数列，则点 M 的轨迹为（ ） 第 14 页（共 21 页） A椭圆的一部分 B一条线段 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 【分析】先设点 M 到三个侧面 PAB、PBC、PCA 的距离为 da，d，d+a，正三棱锥 P ABC 中各个侧面的面积为 S，体积为 V，用等体积法可得 d 为常数，作平面 面 PBC 且它们的面面距离为 d，则 与面 ABC 的交线即为点 M 的轨迹 【解答】解：设点 M 到三个侧面 PAB、PBC、PCA 的距离为 da，d，d+a 正三棱锥 PABC 中各侧面的面积为 S，体
24、积为 V， 则S（da）+d+（d+a ）V，即 SdV， 所以 d 为常数 作平面 使 面 PBC 且它们的距离为 d，则 与面 ABC 的交线即为点 M 的轨迹 易知 M 的轨迹为一条线段 故选：B 【点评】本小题主要考查等差数列、体积法的应用、轨迹方程等基础知识，考查空间想 象能力思想、化归与转化思想属于基础题 三、解答题三、解答题 17在所有棱长都等于 2 的正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D 是 A1C1的中点，求： （1）正三棱柱的全面积； （2）点 A 到平面 B1DC 的距离 【分析】 （1）正三棱柱的全面积：S +2S ABC+3 （2）以 A 为原点，在平面 ABC 内
25、过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 A 到平面 B1DC 的距离 【解答】解： （1）所有棱长都等于 2 的正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D 是 A1C1的中点， 正三棱柱的全面积： S+ 2SABC+3 第 15 页（共 21 页） 2+322 2+12 （2）以 A 为原点，在平面 ABC 内过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1为 z 轴， 建立空间直角坐标系， A（0，0，0） ，B1（，1，2） ，C（0，2，0） ，D（0，1，2） ， （0，1，2） ，（，0，0） ，（0，
26、1，2） ， 设平面 B1DC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （0，2，1） ， 点 A 到平面 B1DC 的距离： d 【点评】本题考查正三棱柱的全面积的求法，考查点面距离的求解，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 18已知关于 x 的实系数方程 x2px+q0，其中 p、q 为实数 （1）若 x1+2i 是该方程的根，求 p+q 的值； （2）若 p+2q2，求该方程两根之积的最大值 【分析】 （1）一元二次方程的复数根成对出现，利用韦达定理可解， （2）利用关系 p+2q2，将方程化简成一个参数，利用方程判别式求解即可
27、第 16 页（共 21 页） 【解答】 解： （1） x1+2i 是实系数方程 x2px+q0 的根， 则 x12i 也是该方程的根， 由根与系数的关系知，p（1+2i）+（12i）2，q（1+2i） （12i）1+45， p+q7； （2）若 p+2q2，则 p22q； 则原方程化为 x2（22q）x+q0， 其中 p、q 为实数则为实系数一元二次方程， 该方程两根之积为 q， （22q）24q4（q23q+1） 0 时，方程有两实根， 解得：q或 q， 0 时方程有两相等实根 0 时方程有两共轭负数根，q时 q 无最大值， q时，q 最大值为： q 的最大值； 【点评】本题考查复数的基本知
28、识的应用，一元二次方程的复数根，韦达定理，考查计 算能力 19如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋 转轴旋转 120得到的，G 是的中点 （）设 P 是上的一点，且 APBE，求CBP 的大小； （）当 AB3，AD2，求二面角 EAGC 的大小 【分析】 （）由 APBE，ABBE，得 BE平面 ABP，从而 BEBP，由此能求出 CBP30 （）以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在的直线为 x，y，z 轴，建立空间直角 第 17 页（共 21 页） 坐标系，利用向量法能求出二面角 EAGC 的大小 【解答】 （本小题满分 12
29、分） 解： （）因为 APBE，ABBE，AB，AP平面 ABP，ABAPA， 所以 BE平面 ABP，（2 分） 又 BP平面 ABP，（3 分） 所以 BEBP，又EBC120， 因此CBP30（4 分） （）以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 由题意得 A（0，0，3）E（2，0，0） ， 故，（6 分） 设 （x1，y1，z1）是平面 AEG 的一个法向量 由，得， 取 z12，可得平面 AEG 的一个法向量 （3，2） （8 分） 设 （x2，y2，z2）是平面 ACG 的一个法向量 由，得，取 z22，可得平面
30、 ACG 的一个法向量 （3， ，2） （10 分） 所以 cos 因此二面角 EAGC 的大小为 60（12 分） 第 18 页（共 21 页） 【点评】本题考查角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思 想、函数与方程思想，是中档题 20如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，BCAD，点 E 在线段 AD 上， 且 CEAB （1）求证：CE平面 PAD； （2）若 PAAB1，AD3，CD，求四棱锥 PABCD 的体积 【分析】 （1）由 CEPA，CEAD 即可得出
31、CE平面 PAD； （2）计算 DE，得出 AD，代入棱锥的体积公式计算即可 【解答】证明： （1）PA底面 ABCD，CE平面 ABCD， PACE， ABAD，CEAB， CEAD， 又 PAADA，PA平面 PAD，AD平面 PAD， CE平面 PAD （2）ABAD，BCAD，CEAB， 四边形 ABCE 是矩形，CEAB1，CEDE， 又 CD，DE1， AEADDE2，即 BC2， VPABCDS梯形ABCDPA（2+3）11 【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题 21如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，E、F 分别是棱 AA、CC的 中点，过直
32、线 E、F 的平面分别与棱 BB、DD交于 M、N，设 BMx，x0，1，求： （1）求 EF 与面 ABBA 所成的角的大小； 第 19 页（共 21 页） （2）求四棱锥 CMENF 的体积 Vh（x） ，并讨论它的单调性； （3）若点 P 是正方体棱上一点，试证：满足 PA+PC2 成立的点的个数为 4 【分析】 （1）利用线面角的定义即可求解； （2）利用分割法，求出四棱锥 CMENF 的体积是一个常数，不具有单调性； （3）对正方体的棱分底面棱和侧棱讨论，即可证出 【解答】解： （1）取 BB的中点 G，连接 EG，FG，如图所示： ， E、F 分别是棱 AA、CC的中点，FG平面
33、ABBA， EF 与面 ABBA 所成的角为FEG， 又在 RtFEG 中，EM1，FG1，EF， FEG45， EF 与面 ABBA 所成的角为 450； （2）如图所示： 第 20 页（共 21 页） ， 易知四边形 MENF 为平行四边形， VCMENF2VCMNF2VNMFC， 四棱锥 CMENF 的体积 Vh（x）是一个常函数，不具有单调性； （3）易知当点 P 是点 D 或点 B 时，满足 PA+PC2， 在底面 ABCD 内，满足 PA+PC2 的点 P 的轨迹是以 A，C 为焦点的椭圆，短半轴长 为， 即点 D， B 是上， 下顶点， 如图所示： 椭圆与底面 ABCD 的棱上只
34、有 B，D 这两个点满足题意， 当点 P 在棱 AA上时，若点 P 由点 A 向 A移动，0PA1，1PC，并且都在增 大，1PA+PC1+， 在在棱 AA上存在一点 P 满足 PA+PC2， 同理可证在棱 CC上存在一点 P 满足 PA+PC2， 当点 P 在棱 CC上时，总有 PA1，PC1，所以不存在点 P 满足 PA+PC2， 同理可证在棱 BB也不存在点 P 满足 PA+PC2， 当点 P 在上底面 ABCD时，点 A，C 到上底面 ABCD 的距离为 1， 上底面 ABCD 的任意一点到点 A 的距离都是大于等于 1，到点 C 的距离都也大于等 于 1，且不可能同时取到 1， 第 21 页（共 21 页） 上底面 ABCD 内任意一点 P 都有 PA+PC2， 上底面 ABCD 内不存在点 P 满足 PA+PC2， 综上所述，正方体棱上满足 PA+PC2 成立的点的个数为 4 【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，是中档 题
