1、2020 年高考数学二模试卷（理科）年高考数学二模试卷（理科） 一、选择题. 1已知集合 Ax|a+1x3a5，Bx|3x22，且 ABA，则实数 a 的取值范围 是（ ） A（，9 B（，9） C2，9 D（2，9） 2已知复数 z （其中 i 是虚数单位，满足 i21）则 z 的共轭复数是（ ） A12i B1+2i C2+i D1+2i 3 郑州市 2019 年各月的平均气温 （C） 数据的茎叶图如图： 则这组数据的中位数是 （ ） A20 B21 C20.5 D23 4圆（x+2）2+（y12）24 关于直线 xy+80 对称的圆的方程为（ ） A（x+3）2+（y+2）24 B（x+
2、4）2+（y6）24 C（x4）2+（y6）24 D（x+6）2+（y+4）24 5 在边长为 30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源， 已知这个光源发出的光线过旋 转轴的截面是一个等腰直角三角形， 要使整个广场都照明， 光源悬挂的高度至少为 （ ） A30 米 B20 米 C15 米 D15 米 6若 （ ，），则 2cos2sin（ ），则 sin2 的值为（ ） A B C1 D 7在如图所示的程序框图中，若输出的值是 4，则输入的 x 的取值范围是（ ） A（2，十） B（2，4 C（4，10 D（4，+） 8为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨
3、提出了 著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等 劳伦茨 曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL 的面积将 Gini ，称为基尼系数对于下列说法： Gini 越小，则国民分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的函数为 yf（x），则对x（0，1），均有 1； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx2（x0，1），则 Gini ； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx3（x0，1），则 Gini 其中不正确的是（ ） A B C D 92019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立 70 周年国庆日，将 2，0，1
4、，9，10 按照任意 次序排成一行，拼成一个 6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为（ ） A96 B84 C120 D360 10已知等差数列an的公差 d0，且 a1，a3，a13成等比数列，若 a11，Sn为数列an的 前 n 项和，则 的最小值为（ ） A4 B3 C2 2 D2 11 九章算术 中将底面为长方形， 且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马” 现 有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球 面上，则该球的表面积为（ ） A B2 C6 D24 12过双曲线 1（a0，b0）的右焦点 F 作直线 y x 的垂线，垂足为 A，交 双曲
5、线左支于 B 点，若 2 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13二项式（x ） 6 展开的所有项的系数和为 ，展开式中的常数项是 14已知函数 f（x） ，g（x）x cosxsinx，当 x4，4且 x0 时，方程 f （x）g（x）根的个数是 15 已知四边形 ABCD 中， ADBC， BAD90 ADl， BC2， M 是 AB 边上的动点， 则| |的最小值为 16设函数 ， ， 的图象上存在两点 P，Q，使得POQ 是以 O 为直角顶点 的直角三角形（其中 0 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数
6、m 的取值范 围是 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知数列an为公差不为零的等差数列，S777，且满足 a112a1 a61 （）求数列an的通项公式； （） 若数列bn满足 ， 且 ， 求数列bn的前 n 项和 Tn 18由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018 年度全国“最美中 学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于 2018 年 6 月启动，面向全国中学在校学生，通 过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋
7、学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自 觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”现随机抽取了 30 名学生的票数， 绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在 65 票以上（包括 65 票）定义为风华组票数在 65 票以下（不包括 65 票）的学生定义为青春组 （）在这 30 名学生中，青春组学生中有男生 7 人，风华组学生中有女生 12 人，试问 有没有 90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关； （）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，那么至少有 1 人在青春组的概率是多少？ （）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中
8、学（人数很多）中随机 选取 4 人，用 表示所选 4 人中青春组的人数，试写出 的分布列，并求出 的数学期 望 附： ；其中 na+b+c+d 独立性检验临界表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 K 2.706 3.841 6.635 19如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将ACD 折起，使得点 D 在平面 ABC 上的 射影恰好落在边 AB 上 （1）求证：平面 ACD平面 BCD； （2）当 时，求二面角 DACB 的余弦值 20在平面直角坐标系 xOy 内，动点 A 到定点 F（3，0）的距离与 A 到定直线 x4 距离之 比为 （）求动点 A 的轨迹
9、C 的方程； （） 设点 M， N 是轨迹 C 上两个动点直线 OM， ON 与轨迹 C 的另一交点分别为 P， Q， 且直线 OM，ON 的斜率之积等于 ，问四边形 MNPQ 的面积 S 是否为定值？请说明理 由 21已知函数 ， （）当 a1 时，求曲线 y 在 x1 处的切线方程； （）讨论函数 F（x） 在（0，十）上的单调性 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在极坐标系中，圆 C 的方程为 2asin （a0）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l
10、的参数方程为 （t 为参数） （）求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程； （）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且 求实数 a 的取值范围？ 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|a|xl| （）当 a2 时，解不等式 f（x）5； （）若（x）a|x+3|，求 a 的最小值 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1已知集合 Ax|a+1x3a5，Bx|3x22，且 ABA，则实数 a 的取值范围 是（ ） A（，9 B（，9） C2，9 D（2，9） 【分析】根据 ABA 可得
11、出 AB，从而可讨论 A 是否为空集：A时，a+13a5； A时， ，解出 a 的范围即可 解：ABA， AB，且 Ax|a+1x3a5，Bx|3x22， A时，a+13a5，解得 a3； A时， ，解得 3a9， 综上得，实数 a 的取值范围是（，9） 故选：B 2已知复数 z （其中 i 是虚数单位，满足 i21）则 z 的共轭复数是（ ） A12i B1+2i C2+i D1+2i 【分析】利用复数的运算法则化简 z，再根据共轭复数的定义即可得出 解：复数 z 2i，则 z 的共轭复数是2+i 故选：C 3 郑州市 2019 年各月的平均气温 （C） 数据的茎叶图如图： 则这组数据的中位
12、数是 （ ） A20 B21 C20.5 D23 【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可 解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为： 1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34， 所以中位数是 （20+21）20.5 故选：C 4圆（x+2）2+（y12）24 关于直线 xy+80 对称的圆的方程为（ ） A（x+3）2+（y+2）24 B（x+4）2+（y6）24 C（x4）2+（y6）24 D（x+6）2+（y+4）24 【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的 圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为
13、已知直线，进而求出所 求的圆心坐标，进而求出圆的方程 解：由圆（x+2）2+（y12）24 可得圆心坐标（2，12），半径为 2， 由题意可得关于直线 xy+80 对称的圆的圆心与 （2， 12） 关于直线对称， 半径为 2， 设所求的圆心为（a，b）则 解得：a4，b6， 故圆的方程为：（x4）2+（y6）24， 故选：C 5 在边长为 30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源， 已知这个光源发出的光线过旋 转轴的截面是一个等腰直角三角形， 要使整个广场都照明， 光源悬挂的高度至少为 （ ） A30 米 B20 米 C15 米 D15 米 【分析】如图所示，点 O 为正六边形 ABCDE
14、F 的中心，PAD 是一个等腰直角三角形， APD90OAB 为等边三角形，可得 OA30，利用等腰直角三角形的性质即可得 出 解：如图所示，点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，PAD 是一个等腰直角三角形， APD90 OAB 为等边三角形，OA30， OP平面 ABCDEF， OAP45， OPOA30 要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为 30m 故选：A 6若 （ ，），则 2cos2sin（ ），则 sin2 的值为（ ） A B C1 D 【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cossin，或 cos+sin 的 值，由此求得 sin2 的值 解：法 1：（
15、 ，），且 2cos2sin（ ）， 2（cos2sin2） （sincos）， cos+sin ，或 cossin0（根据角的取值范围，此等式不成立排除） cos+sin ，则有 1+sin2 ，sin2 ； 故选：B 法 2：（ ，）， 2（，2）， sin20， 综合选项，故选：B 7在如图所示的程序框图中，若输出的值是 4，则输入的 x 的取值范围是（ ） A（2，十） B（2，4 C（4，10 D（4，+） 【分析】根据题意 i3，循环三次，可通过循环三次解出 x 解：根据结果， 33（3x2）2282，且 333（3x2）22282， 解之得 2x4， 故选：B 8为了研究国民收人
16、在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了 著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等 劳伦茨 曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL 的面积将 Gini ，称为基尼系数对于下列说法： Gini 越小，则国民分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的函数为 yf（x），则对x（0，1），均有 1； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx2（x0，1），则 Gini ； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx3（x0，1），则 Gini 其中不正确的是（ ） A B C D 【分析】可由当 Gini ，则
17、a 越小，不平等区域越小，越公平，进行判断， f（x）x，则对x（0，1），均有 1，可由判断， 先积分求 a，再求 Gini，判断 解：由题意知 A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL 的面积当 Gini ，则 a 越小，不平等区域越小，越公平，对， ：由图可知 f（x）x，则对x（0，1），均有 1，错； ：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx2（x0，1），a ，Gini ，错， ：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx3（x0，1），a ，Gini ，对， 故选：B 92019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立 70 周年国庆日，将 2，0，1，9，10 按照任意 次序排
18、成一行，拼成一个 6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为（ ） A96 B84 C120 D360 【分析】根据题意，由排除法分析：先计算将 2，0，1，9，10 按照任意次序排成一行的 排法数目，排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前中重复 的情况数目，分析可得答案 解：根据题意，将 2，0，1，9，10 按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有 A55 120 种情况， 其中数字“0”在首位的情况有：A4424 种情况， 数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：A4424 种， 则可以产生：1202424+1284 种， 故选：B 10已知
19、等差数列an的公差 d0，且 a1，a3，a13成等比数列，若 a11，Sn为数列an的 前 n 项和，则 的最小值为（ ） A4 B3 C2 2 D2 【分析】a1，a3，a13成等比数列，a11，可得：a32a1a13，即（1+2d）21+12d，d0， 解得 d可得 an，Sn代入 利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的 最小值 解：a1，a3，a13成等比数列，a11， a32a1a13， （1+2d）21+12d，d0， 解得 d2 an1+2（n1）2n1 Snn 2n2 n+1 22 24， 当且仅当 n+1 时取等号，此时 n2，且 取到最小值 4， 故选：A 11 九
20、章算术 中将底面为长方形， 且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马” 现 有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球 面上，则该球的表面积为（ ） A B2 C6 D24 【分析】由题意，PB 为球的直径，求出 PB，可得球的半径，即可求出球的表面积 解：如图所示，该几何体为四棱锥 PABCD底面 ABCD 为矩形， 其中 PD底面 ABCD AB1，AD2，PD1 则该阳马的外接球的直径为 PB 该阳马的外接球的表面积为： 故选：C 12过双曲线 1（a0，b0）的右焦点 F 作直线 y x 的垂线，垂足为 A，交 双曲线左支于 B 点，若 2 ，则该双
21、曲线的离心率为（ ） A B2 C D 【分析】根据题意直线 AB 的方程为 y （xc）代入双曲线渐近线方程，求出 A 的坐 标， 进而求得 B 的表达式， 代入双曲线方程整理求得 a 和 c 的关系式， 进而求得离心率 解：设 F（c，0），则直线 AB 的方程为 y （xc）代入双曲线渐近线方程 y x 得 A（ ， ）， 由 2 ，可得 B（ ， ）， 把 B 点坐标代入双曲线方程 1， 即 1，整理可得 c a， 即离心率 e 故选：C 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13二项式（x ） 6 展开的所有项的系数和为 729 ，展开式中的常数项是 160 【分析
22、】令 x1 得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即 可 解：令 x1 得所有项的系数和为（1+2）636729， 通项公式 Tk+1C x6k （ ） kC 2k x62k，k0，1，6， 令 62k0 得 k3， 即常数项为 T4C 23208160， 故答案为：729，160 14已知函数 f（x） ，g（x）x cosxsinx，当 x4，4且 x0 时，方程 f （x）g（x）根的个数是 8 【分析】先对两个函数分析可知，函数 f（x）与 g（x）都是奇函数，且 f（x）是反比例 函数，g（x）在0，上是减函数，在，2上是增函数，在2，3上是减函数，在 3，4上
23、是增函数；且 g（0）0，g（）；g（2）2；g（3）3；g （4）4；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可 解：g（x）cosxxsinxcosxxsinx； 令 g（x）0 得 xk，kZ g（x）在0，上是减函数，在，2上是增函数，在2，3上是减函数，在3， 4上是增函数； 且 g（0）0，g（）；g（2）2；g（3）3；g（4）4 故作函数 f（x）与 g（x）在0，4上的图象如下， 结合图象可知，两图象在0，4上共有 4 个交点； 又 f（x），g（x）都是奇函数，且 f（x）不经过原点， f（x）与 g（x）在4，4上共有 8 个交点，故 f（x）g（x）有 8 个零点
24、故答案为：8 15 已知四边形 ABCD 中， ADBC， BAD90 ADl， BC2， M 是 AB 边上的动点， 则| |的最小值为 3 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求出向量 的模长表达式，再 求最小值 解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设 A（0，a），M（0，b），且 0ba； 则 C（2，0），D（1，a）； 所以 （2，b）， （1，ab）； 所以 （3，a2b）， 所以 9+（a2b） 2， 当且仅当 a2b0，即 a2b 时， | |取得最小值为 3 故答案为：3 16设函数 ， ， 的图象上存在两点 P，Q，使得POQ 是以 O 为直角顶点 的直角三角形（
25、其中 0 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 m 的取值范 围是 e+1，+） 【分析】曲线 yf（x）上存在两点 P、Q 满足题设要求，则点 P、Q 只能在 y 轴两侧设 P（t，f（t）（t0），则 Q（t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为 0，构造 函数 h（x）（x+1）lnx（xe），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到 m 的范 围 解：假设曲线 yf（x）上存在两点 P、Q 满足题设要求，则点 P、Q 只能在 y 轴两侧 不妨设 P（t，f（t）（t0），则 Q（t，t3+t2）， POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形， 0，即t 2+f（t）（t
26、3+t2）0 若方程有解，存在满足题设要求的两点 P、Q；若方程无解，不存在满足题设要求 的两点 P、Q 若 0te，则 f（t）t3+t2代入式得：t2+（t3+t2）（t3+t2）0， 即 t4t2+10，而此方程无解，因此 te，此时 f（t） lnt， 代入式得：t2+（ lnt）（t 3+t2）0， 即 m（t+1）lnt，令 h（x）（x+1）lnx（xe）， 则 h（x）lnx+1 0，h（x）在e，+）上单调递增， te，h（t）h（e）e+1，h（t）的取值范围是e+1，+） 对于 me+1，方程总有解，即方程总有解 故答案为：e+1，+） 三、 解答题： 共 70 分 解答
27、应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知数列an为公差不为零的等差数列，S777，且满足 a112a1 a61 （）求数列an的通项公式； （） 若数列bn满足 ， 且 ， 求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】本题第（）题先设等差数列an的公差为 d（d0），然后根据题干可列出关 于首项 a1与公差 d 的方程组，解出 a1与 d 的值，即可计算出数列an的通项公式； 第（）题由题干 可得 ， 根据递推 公式的特点可用累加法计算出数列 的通项公式，接着计算出数列b
28、n的通项公式， 然后运用裂项相消法计算前 n 项和 Tn 解：（）由题意，设等差数列an的公差为 d（d0），则 ， ，解得 an5+2 （n1）2n+3，nN* （）依题意，由 ，可得 ， 则当 n2 时， （n1）（n2+5）+3 n（n+2） 当 n1 时， ，即 3 也满足上式， n（n+2）， bn （ ），nN* Tnb1+b2+b3+b4+bn1+bn （1 ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （1 ） （1 ） 18由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018 年度全国“最美中 学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于 2018 年 6 月启动，面向全国
29、中学在校学生，通 过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自 觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”现随机抽取了 30 名学生的票数， 绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在 65 票以上（包括 65 票）定义为风华组票数在 65 票以下（不包括 65 票）的学生定义为青春组 （）在这 30 名学生中，青春组学生中有男生 7 人，风华组学生中有女生 12 人，试问 有没有 90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关； （）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，那么至少有 1 人在青春组的概率是多少？ （
30、）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机 选取 4 人，用 表示所选 4 人中青春组的人数，试写出 的分布列，并求出 的数学期 望 附： ；其中 na+b+c+d 独立性检验临界表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 K 2.706 3.841 6.635 【分析】（I）作出 22 列联表，求出 k21.832.706，从而没有 90%的把握认为成绩 分在青春组或风华组与性别有关 （） 用 A 表示“至少有 1 人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有 1 人在青春组的概率 （III）由题知，抽取的 30 名学生中有 12 名学生是青
31、春组学生，抽取 1 名学生是青春组 学生的概率为 ，从所有的中学生中抽取 1 名学生是甲组学生的概率是 ， 服从二 项分布 ， 由此能求出 的分布列、数学期望 解：（I）作出 22 列联表： 青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计 12 18 30 由列联表数据代入公式得 ， 因为 1.832.706， 故没有 90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关 （） 用 A 表示“至少有 1 人在青春组”， 则至少有 1 人在青春组的概率为 （III）由题知，抽取的 30 名学生中有 12 名学生是青春组学生，抽取 1 名学生是青春组 学生的概率为 ， 那么从所有
32、的中学生中抽取 1 名学生是甲组学生的概率是 ， 又因为所取总体数量较多，抽取 4 名学生可以看出 4 次独立重复实验，于是 服从二项 分布 ， 的取值为 0，1，2，3，4且 ， ， ， ， ， 所以得 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 数学期望 19如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将ACD 折起，使得点 D 在平面 ABC 上的 射影恰好落在边 AB 上 （1）求证：平面 ACD平面 BCD； （2）当 时，求二面角 DACB 的余弦值 【分析】 （1）设点 D 在平面 ABC 上的射影为点 E，连结 DE 推导出 DEBC，ABBC， 从而 BC平面 ABD，进而 B
33、CAD，又 ADCD，从而 AD平面 BCD，由此能证明平 面 ACD平面 BCD （2）过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 M，连结 ME，则 DEAC，AC平面 DME，EM AC，从而DMC 是二面角 DACB 的平面角，由此能求出二面角 DACB 的余弦 值 【解答】证明：（1）设点 D 在平面 ABC 上的射影为点 E，连结 DE， 则 DE平面 ABC，DEBC， 四边形 ABCD 是矩形， ABBC， BC平面 ABD，BCAD， 又 ADCD，AD平面 BCD， 而 AD平面 ACD，平面 ACD平面 BCD 解：（2）在矩形 ABCD 中，过点 D 作 AC 的垂线，垂足为
34、M，连结 ME， DE平面 ABC，DEAC， 又 DMDED，AC平面 DME，EMAC， DMC 是二面角 DACB 的平面角， 设 ADa，则 AB2a， 在ADC 中，由题意得 AM ，DM a， 在AEM 中， ， 解得 EM a， cosDME 二面角 DACB 的余弦值为 20在平面直角坐标系 xOy 内，动点 A 到定点 F（3，0）的距离与 A 到定直线 x4 距离之 比为 （）求动点 A 的轨迹 C 的方程； （） 设点 M， N 是轨迹 C 上两个动点直线 OM， ON 与轨迹 C 的另一交点分别为 P， Q， 且直线 OM，ON 的斜率之积等于 ，问四边形 MNPQ 的
35、面积 S 是否为定值？请说明理 由 【分析】 （I） 先设 A 的坐标， 然后根据题意列出方程， 进行化简即可求解 A 的轨迹方程； （II） 由已知结合直线的斜率公式进行化简， 然后结合三角形的面积公式及已知椭圆的性 质可求 【解答】解（I）设 A（x，y），由题意， ， 化简得 x2+4y212， 所以，动点 A 的轨迹 C 的方程为 ， （）解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），则由斜率之积，得 ， ，因为点 M，N 在椭圆 C 上， 所以 ， 所以 （ ）（3 ）， 化简得 直线 AB 的方程为（y2y1）x（x2x1）y+x2y1x1y20， 原点 O 到直线 MN 的距离为
36、所以，MON 的面积 ， 根据椭圆的对称性，四边形 MNPQ 的面积 S2|x1y2x2y1|， 所以， ， 4 ， ，所以 S12 所以，四边形 MNPQ 的面积为定值 12 21已知函数 ， （）当 a1 时，求曲线 y 在 x1 处的切线方程； （）讨论函数 F（x） 在（0，十）上的单调性 【分析】（I）把 a1 代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率， 进而可求切线方程 （II）先对 F（x）求导，然后结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论，确定导数的 符号，进而可求函数的单调性 解： （） 当 a1 时， 曲线 x1 时，切线的斜率为 ，又切线过点（1，0） 所
37、以切线方程为 x2y10， （ ） ， ， ， 当 a0 时，F（x）0，函数 F（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，令 ， ， 当0 时，即 0a4，k（x）0，此时 F（x）0，函数 F（x）在（0，+）上单 调递增； 当0 时，即 a4，方程 有两个不等实根 x1x2， 所以 0x11x2， ， 此时，函数 F（x）在（0，x1），（x2，+）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减 综上所述，当 a0 时，F（x）的单减区间是（0，+）； 当 a4 时，F（x）的单减区间是 ， ，单增区间是 ， ， ， 当 0a4 时，F（x）单增区间是（0，+） 一、选择题 22在极坐标系中
38、，圆 C 的方程为 2asin （a0）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （）求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程； （）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且 求实数 a 的取值范围？ 【分析】（）利用极坐标方程进行转化即可求圆 C 的标准方程，消去参数即可求直线 l 的普通方程； （）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可 解：（）2asin （a0） 22asin， 即 x2+y22ay，即 x2+（ya）2a2，（a0） 则圆 C 的标准方程为 x2+（ya）2a2，（a0） 由 ，消去参数 t 得
39、4x3y+50， 即直线 l 的普通方程为 4x3y+50； （）由圆的方程得圆心 C（0，a），半径 Ra， 则圆心到直线的距离 d ， 2 a， 即 a2d2 a 2， 则 d2 ， 即 d ， 则 ， 则 ， 由 得 得 a10 即实数 a 的取值范围是 a10 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|a|xl| （）当 a2 时，解不等式 f（x）5； （）若（x）a|x+3|，求 a 的最小值 【分析】（）将 a2 代入 f（x），表示出 f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出 不等式的解集即可；（）问题转化为 ，求出 a 的最小值即可 解：（）当 a2 时，f（x） ， ， ， ， 由 f（x）的单调性及 f（ ）f（2）5， 得 f（x）5 的解集为x|x ，或 x2 （）由 f（x）a|x+3|得 a ， 由|x1|+|x+3|2|x+1|得 ，得 a （当且仅当 x1 或 x3 时等号成立） 故 a 的最小值为
