1、等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a12，S312，则 a6等于（ ） A8 B10 C12 D14 5 （5 分）已知等比数列an中，a11，且，那么 S5的值是（ ） A15 B31 C63 D64 6 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其 大意为： “有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前 一天的一半，走了 6 天后到达目的地， ”则该人第四天走的路程为（ ） A3 里 B6 里 C12 里 D24 里 7 （5 分）已知双曲
2、线1 的实轴长为 10，则该双曲线的渐近线的斜率为 （ ） A B C D 8 （5 分） “b 是与的等差中项”是“b 是与的等比中项”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）若正数 x，y 满足 x2+xy20，则 3x+y 的最小值是（ ） A4 B C2 D4 第 2 页（共 20 页） 10 （5 分）已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点在 抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A B C D 11 （5 分）若 a0，b0，3a+b1，则的最小值为（ ） A8 B7 C6 D5 12 （5 分）已知 F1，F2是椭圆和双
3、曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ） A B C4 D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 13 （5 分）已知复数 z为虚数单位） ，则|z| 14 （5 分）已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为，向量 与平面 平行，则 z 等于 15 （5 分）不等式0 的解集为 16 （5 分）已知数列an满足 a11，an+1nan（nN*） ，则 a3+a4 17 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是 AB 的中点，求 DB1与 CE 所成角的余弦 值为 18 （5 分）直线 l 过抛物线 C：y22
4、px（p0）的焦点 F（1，0） ，且与抛物线 C 相交于 A， B 两点，若 AB 的中点的纵坐标 2，则 p ，直线 l 的方程为 19 （5 分）已知xx|1x1，使等式 x2xm0 成立的实数 m 的取值集合为 M， 不等式（xa） （x+a2）0 的解集为 N，若 xN 是 xM 的必要条件，则 a 的取值范 围是 20 （5 分）给出下列四个命题 已知 P 为椭圆上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1F2的周长 第 3 页（共 20 页） 是 8； 已知 M 是双曲线上任意一点，F 是双曲线的右焦点，则|MF|1； 已知直线 l 过抛物线 C：x22py（p0）的焦点 F
5、，且 l 与 C 交于 A（x1，y1） ，B（x2， y2）两点，则 x1x2+4y1y20； 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 F1，F2是它的焦点，长 轴长为 2a，焦距为 2c，若静放在点 F1的小球（小球的半径忽略不计）从点 F1沿直线出 发则经椭圆壁反射后第一次回到点 F1时，小球经过的路程恰好是 4a 其中正确命题的序号为 （请将所有正确命题的序号都填上） 三解答题（共三解答题（共 4 小题）小题） 21 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，S4a7
6、+9，且 a1，a4，a13 成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 n 项和公式 22 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PAPD， ABAD，O 为 AD 中点，AB1，AD2，ACCD （1）证明：直线 AB平面 PCO； （2）求二面角 PCDA 的余弦值； （3）在棱 PB 上是否存在点 N，使 AN平面 PCD，若存在，求线段 BN 的长度；若不存 在，说明理由 23 （13 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） （1）求数列an的通项公式； 第 4 页（共 20 页） （2）设 bnan2an+（1）
7、nan，求数列bn的前 2n 项和 T2n 24 （13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+1（ab0）的上顶点到焦点 的距离为 2，离心率为 （1）求 a，b 的值 （2）设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点，过点 P 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两 点 （）若 k1，求OAB 面积的最大值； （）若 PA2+PB2的值与点 P 的位置无关，求 k 的值 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（一选择题（共共 12 小题）
8、小题） 1 （5 分）设 i 为虚数单位，复数等于（ ） A1i B1+i C1i D1+i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解 【解答】解：1+i 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 2 （5 分） “x（2，+） ，x22x0”的否定是（ ） Ax0（，2，x022x00 Bx（2，+） ，x22x0 Cx0（2，+） ，x022x00 Dx（，2，x22x0 【分析】 “xM，p（x） ”的否定为“xM，p（x） ” 【解答】解：依题意， “x（2，+） ，x22x0”的否定是：x（2，+） ，x22x 0， 故选：C 【点评】本题考查了命题的否
9、定，要注意命题的否定和否命题的区别本题属于基础题 3 （5 分）若 a，b，cR，且 ab，则下列结论一定成立的是（ ） Aacbc B Cacbc Da2b2 【分析】根据特殊值法判断 A，B，D，根据不等式的性质判断 C 【解答】解：对于 A，c0 时，不成立， 对于 B，令 a1，b2，不成立， 对于 C，根据不等式的基本性质，成立， 对于 D，令 a0，b2，不成立， 故选：C 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题 4 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a12，S312，则 a6等于（ ） 第 6 页（共 20 页） A8 B10 C12
10、 D14 【分析】由等差数列的性质和已知可得 a2，进而可得公差，可得 a6 【解答】解：由题意可得 S3a1+a2+a33a212， 解得 a24，公差 da2a1422， a6a1+5d2+5212， 故选：C 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题 5 （5 分）已知等比数列an中，a11，且，那么 S5的值是（ ） A15 B31 C63 D64 【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可 【解答】解：设公比为 q，a11，且， q38， q2， S531， 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的前 n 项和，属于基础题 6 （5 分）中国古代数学著
11、作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其 大意为： “有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前 一天的一半，走了 6 天后到达目的地， ”则该人第四天走的路程为（ ） A3 里 B6 里 C12 里 D24 里 【分析】设第一天走 a1里，则an是以 a1为首项，以为公比的等比数列，由题意得： 378，求出 a1192（里） ，由此能求出该人第四天走的路程 【解答】解：设第一天走 a1里，则an是以 a1为首项，以为公比的等比数列， 第 7 页（共 20 页） 由题意
12、得：378， 解得 a1192（里） ， 19224（里） 故选：D 【点评】本题考查等比数列的第 4 项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证 能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题 7 （5 分）已知双曲线1 的实轴长为 10，则该双曲线的渐近线的斜率为 （ ） A B C D 【分析】利用双曲线1 的实轴长为 10，求出 m，即可求出该双曲线的 渐近线的斜率 【解答】解：由题意 m2+1625，4m30，m3，3， 该双曲线的渐近线的斜率为， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础 8 （5 分） “b 是与的等差中项”
13、是“b 是与的等比中项”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 根据等差中项和等比中项的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：若 b 是与的等差中项， 则 b1， 若 b 是与的等比中项， 则 b1， 则“b 是与的等差中项”是“b 是与的等比中项”的充分不必要 条件， 第 8 页（共 20 页） 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求 出 b 的值是解决本题的关键 9 （5 分）若正数 x，y 满足 x2+xy20，则 3x+y 的最小值是（ ） A4 B C2 D4 【分
14、析】由 x2+xy20 二元换一元，表示出 3x+y2x+4，利用基本不等式求出最 小值即可 【解答】解：因为 x2+xy20， 所以， 所以 3x+y3x+2x+4，当且仅当 x1 时等号成立， 故选：A 【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题 10 （5 分）已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点在 抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A B C D 【分析】求出抛物线的准线，即有双曲线的 c2，再由离心率公式和 a2+b2c2，可 得 a，b，即可得到双曲线方程 【解答】解：抛物线的准线为 x2，则有双曲线的一个焦点为（2， 0） ， 双曲线的离心率为， 可得 a4，
15、则 b 第 9 页（共 20 页） 即有双曲线的方程为： 故选：C 【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，运用离心率公式和 a，b，c 的关系是 解题的关键 11 （5 分）若 a0，b0，3a+b1，则的最小值为（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】根据条件即可得出，然后根据基本不等式即可求出 的最小值 【解答】解：a0，b0，3a+b1， ，当且仅当，即 时取等号， 的最小值为 8 故选：A 【点评】本题考查了基本不等式的应用，注意说明等号是否取到，考查了计算能力，属 于基础题 12 （5 分）已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线离
16、心率倒数之和的最大值为（ ） A B C4 D 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论 【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1， （aa1） ，半焦距为 c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2 F1PF2，则由余弦定理可得 4c2（r1）2+（r2）22r1r2cos， 在椭圆中，化简为即 4c24a23r1r2， 在双曲线中，化简为即 4c24a12+r1r2， 第 10 页（共 20 页） +4， 由柯西不等式得（1+） （+）（+）2 + 故选：B 【点评】本
17、题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决 本题的关键属于难题 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 13 （5 分）已知复数 z为虚数单位） ，则|z| 2 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可 【解答】解：z， 2 故答案为：2 【点评】本题主要考查复数模长的计算，比较基础 14 （5 分）已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为，向量 与平面 平行，则 z 等于 9 【分析】直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为，向量 与平面 平行，由此得到和 垂直，由此能求出 z 【解答】解：直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量
18、为， 向量与平面 平行， 3+6+z0， 解得 z9 故答案为：9 【点评】本题考查实数值的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 第 11 页（共 20 页） 15 （5 分）不等式0 的解集为 x|2x3 【分析】原不等式可化为 x3 与 x+2 乘积小于 0，即 x3 与 x+2 异号，可化为两个一元 一次不等式组，分别求出解集，两解集的并集即为原不等式的解集 【解答】解：原不等式可化为： （x3） （x+2）0， 即或， 解得：2x3， 原不等式的解集为x|2x3 故答案为：x|2x3 【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想，是一道基础题 16
19、（5 分）已知数列an满足 a11，an+1nan（nN*） ，则 a3+a4 8 【分析】利用数列的递推关系式式，逐步求解即可 【解答】解：数列an满足 a11，an+1nan（nN*） ， 所以 a21a11， a32a22， a43a36 则 a3+a48 故答案为：8 【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，根据数列通项公式和前 n 项和之间的关 系是解决本题的关键，是中档题 17 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是 AB 的中点，求 DB1与 CE 所成角的余弦 值为 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐
20、标系，利 用向量法能求出 DB1与 CE 所成角的余弦值 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2， 则 D（0，0，0） ，B1（2，2，2） ，C（0，2，0） ，E（2，1，0） ， （2，2，2） ，（2，1，0） ， 设 DB1与 CE 所成角为 ， 第 12 页（共 20 页） 则 cos DB1与 CE 所成角的余弦值为 故答案为： 【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18 （5 分）
21、直线 l 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F（1，0） ，且与抛物线 C 相交于 A， B 两点，若 AB 的中点的纵坐标 2，则 p 2 ，直线 l 的方程为 xy10 【分析】由焦点坐标求出抛物线方程，设直线 AB 的方程与抛物线联立，求出两根之和， 再由中点的纵坐标直线方程 【解答】解：由题意得：1，p2，所以抛物线方程为：y24x， 由题意知直线 l 的斜率不为零，设直线 l 的方程：xmy+1，A（x，y） ，B（x，y） ， 由题意得由中点的纵坐标为 2，即 y+y224， 联立与椭圆的方程整理：y24my40，y+y4m，4m4，m1； 故答案为：2，xy10 【点评】考
22、查抛物线的性质，属于基础题 19 （5 分）已知xx|1x1，使等式 x2xm0 成立的实数 m 的取值集合为 M， 不等式（xa） （x+a2）0 的解集为 N，若 xN 是 xM 的必要条件，则 a 的取值范 第 13 页（共 20 页） 围是 【分析】先利用等价转化求出集合 M，再分类讨论求出集合 N，由题可知，MN，再利 用数轴法便可求出 a 的取值范围 【解答】解：由题可知，方程 mx2x，在 x（1，1）有解的实数 m 的取值范围为 M； 令 f（x）x2x，x（1，1） ，则有，M 又xN 是 xM 的必要条件，MN 当 a1 时，N，不合题意，舍去； 当 a1 时，则有 N（2
23、a，a） ，利用数轴法，可知，； 当 a1 时，则有 N（a，2a） ，利用数轴法，可知， 故答案为： 【点评】此题考查了必要条件，利用分类讨论思想求集合 N，最后利用数轴法求参数 a 的取值范围 20 （5 分）给出下列四个命题 已知 P 为椭圆上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1F2的周长 是 8； 已知 M 是双曲线上任意一点，F 是双曲线的右焦点，则|MF|1； 已知直线 l 过抛物线 C：x22py（p0）的焦点 F，且 l 与 C 交于 A（x1，y1） ，B（x2， y2）两点，则 x1x2+4y1y20； 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反
24、射后，反射光线 经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 F1，F2是它的焦点，长 轴长为 2a，焦距为 2c，若静放在点 F1的小球（小球的半径忽略不计）从点 F1沿直线出 发则经椭圆壁反射后第一次回到点 F1时，小球经过的路程恰好是 4a 其中正确命题的序号为 （请将所有正确命题的序号都填上） 【分析】求得椭圆的 a，c，所以PF1F2的周长2a+2c，可得结论； 求得双曲线的 a，b，c，讨论 M 在双曲线的左支或右支上，求得最小值，即可判断； 第 14 页（共 20 页） 设出直线 l 的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断； 可假设长轴在 x 轴，短轴在 y
25、轴，设 A 为左焦点，B 是它的右焦点，对球的运动方向 分沿 x 轴向左直线运动，沿 x 轴向右直线运动，及球从 A 不沿 x 轴，斜向上（或向下） 运动，讨论即可 【解答】 解： 对于， 由椭圆方程可知 a2， c， 所以PF1F2的周长2a+2c4+2 8，故错； 对于，已知 M 是双曲线 a2，b，则 c3，若 M 在双曲线左支上，可得|MF| 51，故对； 对于， 已知直线 l 过抛物线 C： x22py （p0） 的焦点 F， 设直线 l 的方程为 ykx+， 代入抛物线的方程可得 x22pkxp20，且 l 与 C 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点， 可得 x1x2p
26、2，y1y2，则 x1x2+4y1y20，故正确； 对于，假设长轴在 x 轴，短轴在 y 轴，设 A 为左焦点，B 是它的右焦点，以下分为三 种情况： （1）球从 A 沿 x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到 A 路程是 2（ac） ； （2 ）球从 A 沿 x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到 A 路程 是 2（a+c） ； （3）球从 A 不沿 x 轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点 C，反弹后经过椭圆的另 一个焦点 B， 再弹到椭圆上一点 D，经 D 反弹后经过点 A此时小球经过的路程是 4a 综上所述，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反射后
27、第一次回到点 A 时， 小球经过的路程是 4a 或 2（ac）或 2（a+c） 故错误 故答案为： 【点评】本题考查圆锥曲线的定义、方程和性质，考查分类讨论思想方法和化简整理的 运算能力，属于中档题 三解答题（共三解答题（共 4 小题）小题） 21 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，S4a7+9，且 a1，a4，a13 成等比数列 第 15 页（共 20 页） （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 n 项和公式 【分析】 （1）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差， 即可得到所求通项公式； （2）运用等差数列的求和公式，可得
28、 Sn3n+n（n1） 2n2+2n， （） ，再由裂项相消求和，可得所求和 【解答】解： （1）公差 d 不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， S4a7+9，可得 4a1+6da1+6d+9， 且 a1，a4，a13成等比数列，可得 a42a1a13，即（a1+3d）2a1（a1+12d） ， 解得 a13，d2， 则 an3+2（n1）2n+1； （2）Sn3n+n（n1） 2n2+2n， （） ， 则数列的前 n 项和为（1+） （1+） 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力， 以及数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题 22 （1
29、2 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PAPD， ABAD，O 为 AD 中点，AB1，AD2，ACCD （1）证明：直线 AB平面 PCO； （2）求二面角 PCDA 的余弦值； （3）在棱 PB 上是否存在点 N，使 AN平面 PCD，若存在，求线段 BN 的长度；若不存 在，说明理由 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （1）在平面 ABCD 中，由已知证明 COAD，再由 ABAD，可得 ABCO，利 用线面平行的判定可得直线 AB平面 PCO； （2）由已知证明 POAD，POCO，建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz，分别求出 平面 PC
30、D 与平面 ABCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 PCD A 的余弦值； （3）若存在点 N 是棱 PB 上一点，使 AN平面 PCD，则存在 0，1，使得 ，求得，由与平面 PCD 的法向量 共线列式求得 值， 由此可得存在点 N 是棱 PB 上一点， 使 AN平面 PCD， 并求得|BN| 【解答】 （1）证明：在平面 ABCD 中，ACCD，O 为 AD 的中点， COAD，由 ABAD， ABCO， AB平面 PCO，CO平面 PCO， 直线 AB平面 PCO； （2）解：PAPD，POAD 又PO平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD，PO平面 ABCD CO
31、平面 ABCD，POCO ACCD，COAD，如图建立空间直角坐标系 Oxyz 由题意得，A（0，1，0） ，B（1，1，0） ，C（2，0，0） ，D（0，1，0） ，P（0，0，1） ， 设平面 PCD 的法向量为 （x，y，z） ， 则，令 z2，则 x1，y2 （1，2，2） 第 17 页（共 20 页） 又平面 ABCD 的法向量为（0，0，1） ， cos 二面角 PCDA 的余弦值为； （3）解：若存在点 N 是棱 PB 上一点，使 AN平面 PCD， 则存在 0，1使得， 因此 AN平面 PCD，由（2）得平面 PCD 的法向量为 （1，2，2） ，即 解得 0，1， 存在点
32、N 是棱 PB 上一点，使 AN平面 PCD，此时|BN| 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 23 （13 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnan2an+（1）nan，求数列bn的前 2n 项和 T2n 【分析】 （1）求出 a1S11当 n2 时，anSnSn1求解即可 （2）求出 bnan2an+（1）nan，列出数列的和的表达式，通过分组求和求解即可 【解答】解： （1）由 Sn（nN*） ，得 a1S11 第 18 页（共 20 页） 当 n2 时，an
33、SnSn1n a11 适合上式，ann； （2）bnan2an+（1）nann2n+（1）nn， 设数列bn的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n（1211）+（222+2）+（3233）+（2n22n+2n） （12+222+323+2n22n）+1+23+（2n1）+2n 设 A2n121+222+323+2n22n 则 2A2n122+223+324+2n22n+1 得：A2n2+（22+23+24+22n）2n22n+1 2+ 2+（12n）22n+1 所以 A2n2+（2n1）22n+1； T2nA2n+1+23+（2n1）+2n2+（2n1）22n+1+n 【点评】本题考查数列的
34、求和个数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 24 （13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+1（ab0）的上顶点到焦点 的距离为 2，离心率为 （1）求 a，b 的值 （2）设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点，过点 P 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两 点 （）若 k1，求OAB 面积的最大值； （）若 PA2+PB2的值与点 P 的位置无关，求 k 的值 【分析】 （1）由题设知 a2，e，由此能求出 a2，b1 （2） （i）由（1）得，椭圆 C 的方程为+y21设点 P（m，0） （2m2） ，点 A （x1，y1） ，点 B（x2，y2） 若
35、k1，则直线 l 的方程为 yxm联立直线 l 与椭圆 C 的方程，得x22mx+m210|AB|，点 O 到直线 l 的距离 d， 由此求出 SOAB取得最大值 1 （） 设直线 l 的方程为 yk （xm） 将直线 l 与椭圆方程联立， 得 （1+4k2） x28mk2x+4 第 19 页（共 20 页） （k2m21）0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出 k 的 【解答】 （本小题满分 16 分） 解： （1）由题设知 a2，e， 所以 c，故 b2431 因此，a2，b1（2 分） （2） （i）由（1）可得，椭圆 C 的方程为+y21 设点 P（m，0） （2m2） ，点 A（x1
36、，y1） ，点 B（x2，y2） 若 k1，则直线 l 的方程为 yxm 联立直线 l 与椭圆 C 的方程， 即将 y 消去，化简得x22mx+m210 解得 x1，x2， 从而有，x1+x2，x1x2， 而 y1x1m，y2x2m， 因此，|AB| ， 点 O 到直线 l 的距离 d， 所以，SOAB|AB|d|m|， 因此，S2OAB（ 5m2）m2 （）21（6 分） 又2m2，即 m20，4 所以，当 5m2m2，即 m2，m时，SOAB取得最大值 1（8 分） （）设直线 l 的方程为 yk（xm） 将直线 l 与椭圆 C 的方程联立，即 第 20 页（共 20 页） 将 y 消去，化简得（1+4k2）x28mk2x+4（k2m21）0， 解得，x1+x2，x1x2（10 分） 所以 PA2+PB2（x1m）2+y12+（x2m）2+y22 （x12+x22）2m（x1+x2）+2m2+2 （*） （14 分） 因为 PA2+PB2的值与点 P 的位置无关，即（*）式取值与 m 无关， 所以有8k46k2+20，解得 k 所以，k 的值为（16 分） 【点评】本题考查椭圆方程中的参数的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直 线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用
