1、1 2020 年年河北衡水高考押题试卷河北衡水高考押题试卷 文数（二）文数（二） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设集合 | 23,ZAxxx ， 2, 1,0,1,2,3B ，则集合AB为（ ） A 2, 1,0,1,2 B 1,0,1,2 C 1,0,1,2,3 D 2, 1,0,1,2,3 2若复数izxy（x，Ry）满足1i3 iz ，则xy的值为（ ）
2、A3 B4 C5 D6 3若 1 cos() 43 ，(0,) 2 ，则sin的值为（ ） A. 42 6 B 42 6 C. 7 18 D 2 3 4 抛掷一枚质地均匀的骰子两次， 记事件A两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为 2， 则 P A （ ） A 1 9 B 1 3 C 4 9 D 5 9 5定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90的正角.已知双曲线E： 22 22 1(0,0) xy ab ab ，当其离心率 2,2e时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A0, 6 B, 63 C., 4 3 D, 3 2 6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体
3、的体积为32，则它的表面积是（ ） 2 A. 3 13 (3)222 2 B 3 133 ()222 42 C. 13 22 2 D 13 22 4 7函数sinln|yxx在区间 3,3的图象大致为（ ） A B C D 8已知函数 1 3 1 2,2, 2 2 ,2R,0 , 2 x x x f x axaa x 若 6 3 5 fff ，则a为（ ） A1 B3 4 25 C2 2 D 3 4 9执行下图的程序框图，若输入的x，y，n的值分别为 0，1，1，则输出的p的值为（ ） A.81 B 81 2 C. 81 4 D 81 8 10已知数列 n a是首项为 1，公差为 2 的等差数
4、列，数列 n b满足关系 312 123 aaa bbb 1 2 n n n a b L， 数列 n b的前n项和为 n S，则 5 S的值为（ ） A454 B450 C446 D442 11若函数 2 lnf xmxxmx在区间0,内单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A0,8 B0,8 C,0U8, D,0U8, 12 已知函数( )sin()f xAx(0,0,|,R) 2 Ax 的图象如图所示， 令( )( )( )g xf xfx， 则下列关于函数( )g x的说法中不正确的是（ ） 3 A. 函数( )g x图象的对称轴方程为() 12 xkkZ B函数( )g x的最大值为2
5、 2 C. 函数( )g x的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线:31l yx平行 D方程( )2g x 的两个不同的解分别为 1 x， 2 x，则 12 |xx的最小值为 2 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13向量( , )am n，( 1,2)b ，若向量a，b共线，且| 2|ab，则mn的值为 14已知点1,0A ，1,0B，若圆 22 8xyx6250ym上存在点P使0PA PB uur uur ，则m的 最小值为 15设x，y满足约束条件 240, 2
6、0, 10, xy xy y 则32xy的最大值为 16 在平面五边形ABCDE中， 已知120A ，90B ，120C，90E ，3AB，3AE ， 当五边形ABCDE的面积6 3,9 3)S 时，则BC的取值范围为 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 22 coscosBC 2 sin3sin sinAAB. （1）求角C； （2）若 6 A ，ABCV的面积为4 3，M为AB的中点，求CM的长. 18
7、如图所示的几何体PABCD中，四边形ABCD为菱形，120ABC，ABa，3PBa， PBAB，平面ABCD平面PAB，ACBDOI，E为PD的中点，G为平面PAB内任一点. （1）在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OEl？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作 4 法； （2） 过A，C，E三点的平面将几何体PABCD截去三棱锥DAEC， 求剩余几何体AECBP的体积. 19某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后 从该年级 800 名学生中随机抽取 100 名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统 计数据如图所示（
8、视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题： （1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数； （2）若等级A、B、C、D、E分别对应 100 分、90 分、80 分、70 分、60 分，学校要求当学生获得的 等级成绩的平均分大于 90 分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前 心理稳定情况是否整体过关？ （3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E的 16 名学生（其中男生 4 人，女生 12 人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的 4 人中任意抽取 2 名，求恰好抽到 1 名 男生的概率 20已知椭圆C： 22 2
9、2 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且过点 23 (,) 22 P，动直线l：ykxm交 椭圆C于不同的两点A，B，且0OA OB（O为坐标原点） （1）求椭圆C的方程. （2）讨论 22 32mk是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由. 21设函数 22 ( )lnf xaxxax ()aR. （1）试讨论函数( )f x的单调性； 5 （2）如果0a且关于x的方程( )f xm有两解 1 x， 2 x（ 12 xx），证明 12 2xxa. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，
10、则按所做的第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C： 3cos , 2sin xt yt （t为参数，0a），在以坐标原点为极点，x轴的非 负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2 C：4sin. （1）试将曲线 1 C与 2 C化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围； （2）当3a 时，两曲线相交于A，B两点，求|AB的值. 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |21|1|f xxx. （1）在给出的直角坐标系中作出函数( )yf x的图象，并从图中找出满足不等式( )3f x 的解集； （2）若函数( )yf x的
11、最小值记为m，设,Ra b，且有 22 abm，试证明： 22 1418 117ab . 6 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 1-5:BCAAD 6-10:AADCB 11、12：AC 二、填空题二、填空题 138 1416 15 22 3 16 3,3 3 三、解答题三、解答题 17解：（1）由 22 coscosBC 2 sin3sinsinAAB， 得 22 sinsinCB 2 sin3sinsinAAB. 由正弦定理，得 222 3cbaab， 即 222 3cabab. 又由余弦定理，得 222 cos 2 abc C ab 33 22 ab ab . 因为0C，所以 6
12、C . （2）因为 6 AC ， 所以ABCV为等腰三角形，且顶角 2 3 B . 故 2 1 sin 2 ABC SaB V 2 3 4 3 4 a ，所以4a. 在MBCV中，由余弦定理，得 222 CMMBBC2cosMB BCB4 162 1 2 428 2 . 解得2 7CM . 18解：（1）过G点存在直线l使OEl，理由如下： 由题可知O为BD的中点，又E为PD的中点， 所以在PBDV中，有OEPB. 若点G在直线PB上，则直线PB即为所求作直线l， 所以有OEl； 若点G不在直线PB上，在平面PAB内， 7 过点G作直线l，使lPB， 又OEPB，所以OEl， 即过G点存在直线
13、l使OEl. （2）连接EA，EC，则平面ACE将几何体分成两部分： 三棱锥DAEC与几何体AECBP（如图所示）. 因为平面ABCD平面PAB，且交线为AB， 又PBAB，所以PB 平面ABCD. 故PB为几何体PABCD的高. 又四边形ABCD为菱形，120ABC，ABa，3PBa， 所以2 ABCD S 四边形 22 33 42 aa， 所以 1 3 P ABCDABCD VSPB 四边形 23 131 3 322 aaa. 又 1 2 OEPB，所以OE 平面ACD， 所以 D AECE ACD VV 三棱锥三棱锥 1 3 ACD SEO V 3 11 48 P ABCD Va ， 所
14、以几何体AECBP的体积 P ABCDD EAC VVV 三棱锥 333 113 288 aaa. 19解：（1）从条形图中可知这 100 人中，有 56 名学生成绩等级为B， 故可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为 5614 10025 ， 则该校高三年级学生获得成绩等级为B的人数约有 14 800448 25 . （2）这 100 名学生成绩的平均分为 1 (32 10056 907 803 702 60) 100 91.3（分）， 因为91.390，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关. （3）按分层抽样抽取的 4 人中有 1 名男生，3 名女生，记男生为a，3 名女
15、生分别为 1 b， 2 b， 3 b.从中抽取 2 人的所有情况为 1 ab， 2 ab， 3 ab， 1 2 bb， 1 3 bb， 2 3 b b， 共 6 种情况， 其中恰好抽到 1 名男生的有 1 ab， 2 ab， 8 3 ab，共 3 种情况，故所求概率 1 2 P . 20解：（1）由题意可知 2 2 c a ， 所以 2222 22()acab，整理，得 22 2ab， 又点 23 (,) 22 P在椭圆上，所以有 22 23 1 44ab ， 由联立，解得 2 1b ， 2 2a ， 故所求的椭圆方程为 2 2 1 2 x y. （2） 22 32mk为定值，理由如下： 设
16、1122 ( ,), (,)A x yB xy，由0OA OB， 可知 1212 0x xy y. 联立方程组 2 2 , 1, 2 ykxm x y 消去y，化简得 222 (1 2)4220kxkmxm， 由 2222 168(1)(1 2)0k mmk ， 得 22 12km， 由根与系数的关系，得 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 22 1 2 m x x k ， 由 1212 0x xy y，ykxm， 得 1 212 ()()0x xkxm kxm， 整理，得 22 1212 (1)()0kx xkm xxm. 将代入上式，得 2 22 22 224 (1)0
17、1 21 2 mkm kkmm kk . 9 化简整理，得 22 2 322 0 1 2 mk k ，即 22 322mk. 21 解： （1） 由 22 ( )lnf xaxxax ， 可知 2 ( )2 a fxxa x 22 2(2)()xaxaxa xa xx . 因为函数( )f x的定义域为(0,)，所以， 若0a，则当(0, )xa时，( )0fx ，函数( )f x单调递减，当( ,)xa时，( )0fx ， 函数( )f x 单调递增； 若0a，则当( )20fxx在(0,)x内恒成立，函数( )f x单调递增； 若0a，则当(0,) 2 a x时，( )0fx ，函数( )
18、f x单调递减，当(,) 2 a x 时，( )0fx ，函 数( )f x单调递增. （2）要证 12 2xxa，只需证 12 2 xx a . 设 g xfx 2 2 a xa x ， 因为 2 2 20 a gx x ， 所以 g xfx为单调递增函数. 所以只需证 12 0 2 xx ffa ， 即证 2 12 12 2 0 a xxa xx ， 只需证 12 2 xx 12 2 1 0xxa a .（*） 又 22 111 lnaxxaxm， 22 222 lnaxxaxm， 所以两式相减，并整理，得 12 12 lnlnxx xx 12 2 1 0xxa a . 把 12 2 1
19、xxa a 12 12 lnlnxx xx 代入（*）式， 10 得只需证 12 1212 lnln2 0 xx xxxx ， 可化为 1 2 1 1 2 2 21 ln0 1 x xx x x x . 令 1 2 x t x ，得只需证 21 ln0 1 t t t . 令 21 ln 1 t tt t （01t ）， 则 2 41 1 t t t 2 2 1 0 1 t tt ， 所以 t在其定义域上为增函数， 所以 10t. 综上得原不等式成立. 22解：（1）曲线 1 C： 3cos , 2sin , xt yt 消去参数t可得普通方程为 222 (3)(2)xya. 由4sin，得
20、2 4 sin.故曲线 2 C：4sin化为平面直角坐标系中的普通方程为 22 (2)4xy. 当两曲线有公共点时a的取值范围为1,5. （2）当3a 时，曲线 1 C： 33cos , 23sin , xt yt 即 22 (3)(2)9xy， 联立方程 22 2 2 (3)(2)9, 24, xy xy 消去y，得两曲线的交点A，B所在直线方程为 2 3 x . 曲线 22 (2)4xy的圆心到直线 2 3 x 的距离为 2 3 d ， 所以 48 2 | 2 4 93 AB . 11 23. 解：（1）因为( ) |21|1|f xxx 3 ,1, 1 2, 1, 2 1 3 ,. 2
21、x x xx x x 所以作出函数( )f x的图象如图所示. 从图中可知满足不等式( )3f x 的解集为 1,1. （2）证明：从图中可知函数( )yf x的最小值为 3 2 ，即 3 2 m . 所以 22 3 2 ab，从而 22 7 11 2 ab ， 故 22 14 11ab 22 22 214 (1)(1)() 71 ab aab 22 22 214(1) 5() 711 ba ab 22 22 21 4(1)18 52 7117 ba ab . 当且仅当 22 22 14(1) 11 ba ab 时，等号成立， 即 2 1 6 a ， 2 4 3 b 时，原式有最小值， 所以 22 1418 117ab 得证.
