1、20192020 学年度第二学期下九调考试高三年级数学试卷（文科）学年度第二学期下九调考试高三年级数学试卷（文科） 第 I 卷 一、选择题 1若全集UR，集合11Axx ，20Bx xx，则 U AB为（ ） A02xx B0xx C0xx D1xx 2已知复数 2 1 1 i z ii ，则下列结论正确的是（ ） Az的虚部为i B2z Cz的共扼复数1zi D 2 z为纯虚数 3中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里 40 名 学生得分数据的茎叶图如图 若规定得分不低于 85 分的学生得到“诗词达人”的称号， 低于 85 分且不低于 70 分的
2、学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号根据该次比赛的成绩按照称号的不同 进行分层抽样抽选 10 名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ） A6 B5 C4 D2 4已知向量2,2AB ，1,ACa，若1BC ，则AB AC（ ） A2 B4 C6 D8 5已知 5 log 2a ， 0.5 log0.2b ， 0.2 0.5c ，则a，b，c的大小关系为（ ） Aacb Babc Cbca Dcab 6如图，已知正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的 侧面绕行两周到达 1 A点的最短路线的长为（ ） A
3、12 B13 C61 D15 7若数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 2 2a ， 2 21 111 nnn SSS ，则 n S （ ） A 1 2 n n B 1 2n C21 n D 1 21 n 8若双曲线 22 22 :1 xy C ab （0a ，0b ）的右顶点A到一条渐近线的距离为 2 2 3 a，则双曲线的离 心率为（ ） A 2 2 3 B 1 3 C3 D2 2 9 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”， 设ABC的三个内角A， B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为 2 222 22 1 42 ac
4、b Sa c ， 若 2 sin5sinaCA， 2 2 16acb则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为（ ） A 3 2 B3 C 1 2 D2 10将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数 2 2 21yxmn x在6,上为增函 数的概率是（ ） A 1 2 B 3 4 C 5 6 D 2 3 11已知函数 sinf xwx（0w，0 2 ）的图象过两点A（0， 2 2 ） 、B（ 4 ，0） ， f x 在（0， 4 ）内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则（ ） A sin 3 4 f xx B 3 sin 5 4 f xx C sin 7 4 f xx D 3
5、sin 9 4 f xx 12已知2.71828e，设函数 2 1 ln 2 f xxbxax存在极大值点 0 x，且对于b的任意可能取值， 恒有极大值 0 0f x，则下列结论中正确的是（ ） A存在 0 xa，使得 0 1 f x e B存在 0 xa，使得 0 f xe Ca的最大值为 2 e Da的最大值为 3 e 第卷 二、填空题 13若 4 cos 45 ，则sin2_ 14已知实数x，y满足约束条件 2 10 240 x xy xy ，则3zxy的取值范围为_ 15已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内， 当此四棱锥体积取得最大值
6、时，其表面积等于22 3，则球O的体积等于_ 16双曲线 22 22 :1 xy C ab （0a ，0b ）的左右焦点分别为 1 F， 2 F，焦距2c，以右顶点A为圆心， 半径为 2 ac 的圆与过 1 F的直线l相切与点N，设l与C交点为P，Q，若2PQPN，则双曲线C的离 心率为_ 三、解答题（第 1721 题为必考题，第 22、23 为选考题） 17设数列 n a满足： 1 1a ，且 11 22 nnn aaan ， 34 12aa （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 2 1 nn a a 的前n项和 18 如图， 在四棱锥PABCD中，ABCD为菱形，PA 平面ABCD，
7、 连接AC、BD交于点O，6AC ， 8BD ，E是棱PC上的动点，连接DE （1）求证：平面BDE 平面PAC； （2）当BED面积的最小值是 4 时，求此时动点E到底面ABCD的距离 19某城市先后采用甲、乙两种方案治理空气污染各一年，各自随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质 量指数 API 的检测数据进行分析，若空气质量指数值在0，300内为合格，否则为不合格表 1 是甲方案检 测数据样本的频数分布表，如图是乙方案检测数据样本的频率分布直方图 表 1： API 值 0，50 （50，100 （100，150 （150，200 （200，250 （250，300 大于 300
8、天数 9 13 19 30 14 11 4 （1） 将频率视为概率， 求乙方案样本的频率分布直方图中a的值， 以及乙方案样本的空气质量不合格天数； （2）根据如图，求乙方案样木的中位数； （3）填写下面 2 2 列联表（如表 2） ，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该城市的空气质量指数值与 两种方案的选择有关 表 2： 甲方案 乙方案 合计 合格天数 _ _ _ 不合格天数 _ _ _ 合计 _ _ _ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 P Kk 0.10 0.05 0.025 k 2.706 3.841 5.024 20已知椭圆 22 22 :1 xy C ab
9、（0a ，0b ）的离心率为 3 2 ，直线:20l xy与以原点为圆心、 椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切 （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点0,Mm，使22OAOBOAOB成立？ 若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由 21设函数 sin x f xemxn（其中2.71828e，m，n为常数） （1）当1m时，对0,x有 0f x 恒成立，求实数n的取值范围； 若曲线 yf x在0x 处的切线方程为10xy ，函数 2g xxf xx的零点为 0 x，求所有 满足 0 ,1xk k的整数k的和 选做题：请在第 22、23 题中任选一题
10、作答如果多做，则按所做的第一题计分 22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 12cos : 2sin x C y （为参数） ，以原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin2 4 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知点P（-2，0） ，直线l交曲线C于A，B两点，求 11 PAPB 的值 23已知函数 2f xxaa （1）当2a 时，求不等式 6f x 的解集； （2）设函数 21g xx，当xR时， 3f xg x，求a的取值范围 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】 【分析】 考查一元二次不等式的解法，描述法表示集合的概念
11、，以及交集、补集的运算 可先求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可 【解答】 解：02Bx xx或； 02 UB xx 0 U ABxx 故选：B 2.【答案】D 【解析】解： 2 12 12 1 1111 iii zi iiiiii ， z的虚部为 1；2z ；1zi ； 2 2 12zii是纯虚数 故选：D 利用复数代数形式的乘除运算化简，逐一核对四个选项得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了分层抽样和茎叶图，属于基础题 由茎叶图可得，获“诗词能手”的称号有 16 人，再根据分层抽样的定义即可求出 【解答】解：
12、由茎叶图可得，获“诗词能手”的称号有 16 人， 据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生， 则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为 16 104 40 人 故选 C. 4.【答案】C 【解析】解：1,2BCACABa ， 由1BC ，可得 22 121a，可得2a 则2 1 2 26AB AC 故选：C 由1BC ，可得2a 即可求AB AC 5.【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数 1 作为中间量来比较本题属基础题本题先 将a、b、c的大小与 1 作个比较，发现1b，a、c都小于 1.再对a、c的表达式进行变形，判断a
13、、c 之间的大小 【解答】解：由题意，可知： 5 log 21a ， 1 1 0.5122 2 2 1 log0.2loglog5log 5log 42 5 bb 0.2 0.51c ， b最大，a、c都小于 1 5 5 1 log 2 log 2 a ， 1 1 5 0.2 5 5 11 0.52 22 c 而 5 22 log 5log 422， 5 2 11 log 52 ac，acb故选：A 6.【答案】C 【解析】解：如图所示， 把侧面展开两周可得对角线最短： 22 1 6561cmAA 故选：C. 如图所示，把侧面展开两周可得对角线最短，利用勾股定理即可得出 本题考查了侧面展开图、
14、勾股定理、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查了等比数列的判定及通项公式，属于较易题 由 2 21 111 nnn SSS 可得数列 1 n S 是等比数列，由等比数列的通项公式可求1 n S ，进而 得出 n S 【解答】 解： 2 21 111 nnn SSS ， 即 1 1 n S 是1 n S 与 2 1 n S 的等比中项， 数列1 n S 是等比数列， 1 1a ， 2 2a ， 11 1Sa， 2 3S ， 等比数列1 n S 的首项 1 12S ，公比为 2 1 1 2 1 S S ， 12n n S ，21 n
15、n S 故选 C 8.【答案】C 【解析】解：由题意可得右顶点,0A a，渐近线的方程为：0 b yx a ，即0bxay， 所以A到渐近线的距离为： 22 abab c ab ，由题意可得： 2 2 3 ab a c ，可得 2 2 8 9 b c ， 22 2 8 9 ca c ，整理可得 2 2 9 c a ，所以离心率3 c e a ， 故选：C 由双曲线的方程可得A的坐标及渐近线的方程，再由点到直线的距离公式及题意可得a，c的关系， 进而求出双曲线的离心率 考查双曲线的性质，属于基础题， 9.【答案】D 【解析】解：因为： 2 sin5sinaCA， 由正弦定理可得： 2 5a ca
16、，得5ac ， 则由 2 2 16acb， 得 222 162162 56acbac ， 则 2 2 16 52 42 ABC S . 故选：D 根据正弦定理：由 2 sin5sinaCA，得5ac ，则由 2 2 16acb得 222 6acb，利用公式可 得结论 本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，比较基础 10.【答案】B 【解析】解：将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n， 基本事件总数6 636N ， 函数 2 2 21yxmn x在6,上为增函数， 26mn， 36 个基本事件中满足26mn的有： （4，1） ， （5，1） ， （5，2） ， （5，3） ，
17、（6，1） ， （6，2） ， （6，3） ， （6，4） ， （6，5） ，共 9 个， 函数 2 2 21yxmn x在6,上为增函数包含的基本事件的个数36 927M ， 函数 2 2 21yxmn x在6,上为增函数的概率 273 364 M p N 故答案为： 3 4 本题考查的是概率与函数的综合问题，利用古典概型的特点分别求出基本事件的总数及所求事件包含的基 本事件的个数，利用二次函数的性质求解，属于中档题 基本事件总数6 636N ，由函数 2 2 21yxmn x在6,上为增函数，得26mn，求 出满足此条件的事件个数，由古概率概率计算公式能求出函数 2 2 21yxmn x在
18、6,上为增函 数的概率 11.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质，属中档题 由利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质逐一检验即可得解 【解答】 解：由已知可得： 2 sin 2 ，0， 所以 4 ， 当 4 时，sin0 44 ， 所以1 4k ，kN ， 若3时， sin 3 4 f xx 在（0， 4 ）有一个极大值点，不符合题意， 若7时， sin 7 4 f xx 在（0， 4 ）极大值点为 28 小于极小值点 5 28 ，符合题意，故选：C 12.【答案】D 【解析】解：函数的定义域为（0，） ， 则函数的导数 a fxxb x
19、， 若函数 f x存在极大值点 0 x， 则 0fx有解， 即 2 0xbxa有两个不等的正根， 则 2 12 12 40 0 0 ba xxb xxa ，得ba ， （0a ） ， 由 0fx得 2 1 4 2 bba x ， 2 2 4 2 bba x ， 分析易得 f x的极大值点为 10 xx， ba ， （0a ） ， 2 10 2 42 0, 2 4 bbaa xxa bba ， 则 2222 000000000 111 lnlnln 222 f xf xxbxaxxxaaxxaxa 极大值 ， 设 2 1 ln 2 g xaxxa， 0,xa， f x的极大值恒小于 0 等价为
20、g x恒小于 0， 2 aax gxx xx ， g x在（0，a）上单调递增， 故 3 ln0 2 g xgaaaa， 得 3 ln 2 a ，即 3 ae， 故a的最大值为是 3 e， 故选：D 求函数的导数，根据函数存在极小值等价为 0fx有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与 判别式之间的关系进行转化求解即可 本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的 与判别式之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度极大 13.【答案】 7 25 【解析】解： 4 cos 45 ， 2 167 sin2cos22cos121 242525 故
21、答案为： 7 25 利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于 基础题 14.【答案】5，9 【解析】解：作出所对应的可行域（如图阴影） ， 变形目标函数可得3yxz ，作出直线3yx ， 经平移直线知，当直线过点C（1，2）时，3zxy取最小值 5， 当直线过点A（2，3）时，3zxy取最大值 9， 故3zxy的取值范围为：5，9 故答案为：5，9 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 15.【
22、答案】 4 3 【解析】解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥， 该四棱锥的表面积等于22 3， 设球O的半径为R，则2ACR，SOR，如图， 该四棱锥的底面边长为2ABR， 则有 2 2 2 12 24222 3 22 R RRR ， 1R ，得球O的体积是 3 44 1 33 故答案为： 4 3 当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于22 3，确定该四棱锥的 底面边长和高，进而可求球的半径为R，从而可求球的体积 本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解，是中档题 16.【答案】2 【解析】 【分析】 本题考查
23、双曲线的离心率的求法，考查直角三角形的性质和直线与双曲线的方程联立，运用韦达定理和中 点坐标公式，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题 由题意可得N为PQ的中点，ANPQ，运用直角三角形的性质可不妨设直线PQ的斜率为 3 3 ， AN的斜率为3，求得直线PQ的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得N的坐 标，再由直线的斜率公式和离心率公式，化简整理即可得到所求值 【解答】 解：由2PQPN，可得N为PQ的中点， ANPQ， 在直角三角形 1 F AN中， 1 AFac， 2 ac AN ， 即有 1 30NF A， 直线PQ的斜率为 3 3
24、，由对称性不妨设斜率为 3 3 ，AN的斜率为3， 由 1 F（c，0） ，A（a，0） ， 可得直线PQ的方程为 3 3 yxc， 代入双曲线的方程可得 22222222 3230baxca xa ca b， 设 11 ,P x y， 22 ,Q x y， 可得 2 12 22 2 3 a c xx ba ， PQ的中点N的横坐标为 2 22 3 a c ba ， 纵坐标为 22 2222 33 333 a ccb c baba ， 由 0 3 N AN N y k xa ， 即为 2 223 3 3 3 cb a caba ， 即为 222322 3a ca caac ca ， 化为 2
25、20ca， 即2ca，可得2 c e a 故答案为 2 17.【答案】解： （1）依题意，由 11 22 nnn aaan 可知数列 n a是等差数列 设等差数列 n a的公差为d，则 3411 232512aaadadd， 解得2d 1 2121 n ann ，nN （2）由（1）知， 2 11111 21 234 2123 nn a annnn ， 设数列 2 1 nn a a 的前n项和为 n T，则 1324352112 111111 n nnnnnn T a aa aa aaaaaa a 111 111 11111111111 1 454 374 594 25214 23214 21
26、23nnnnnn 111111111111 1 453759252123212123nnnnnn 111111 1 432123321 23 n nnnn . 【解析】本题第（1）题先根据等差中项判别法可得数列 n a是等差数列然后设数列 n a的公差为d， 然后根据等差数列的通项公式可列出关于首项 1 a的方程，解出 1 a的值，即可得到数列 n a的通项公式；第 （2）题可根据第（1）题的结果求出数列 2 1 nn a a 的通项公式，然后运用裂项相消法求出前n项和为 n T 本题主要考查等差数列的性质应用，以及运用裂项相消法求数列的前n项和考查了方程思想，转化思想 的应用，逻辑思维能力和
27、数学运算能力本题属中档题 18.【答案】证明：因为ABCD是菱形，所以ABCD， PA 平面ABCD，BD 平面ABCD，PABD 又PAACA，PA平面PAC，AC 平面PAC，BD 平面PAC， 又BD 平面BDE，平面BDE 平面PAC （2）连OE，由（1）知BD 平面PAC，OE 平面PAC， BDOE 8BD ，由min 1 4 2 BDE SBD OE 得：min1OE. 当OEPC时，OE取到最小值 1.此时 2222 312 2CEOCOE. 作/EH PA交AC于H，PA 平面ABCD，EH 平面ABCD， 由 2 2 3 OE CE EH OC .得点E到底面ABCD的距
28、离 2 2 3 EH . 【解析】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，点到平面的距离的求法，考查转化思想以及空间想 象能力 （1）证明ACBD，PABD，推出BD 平面PAC，然后证明平面BDE 平面PAC （2） 连OE， 推出BDOE， 求出min1OE.求出CE， 作/EH PA交AC于H， 证明EH 平面ABCD， 然后求解点E到底面ABCD的距离 19.【答案】解： （1）由频率分布直方图知， 0.00100.00300.00400.00500.00300.0018501a ， 解得0.0022a ， 乙方案样本中不合格天数为0.0022 50 10011（天） ； （2）根据图
29、 1，得0.00100.00300.0040500.4， 又0.0050 500.25, 0.40.250.65， 中位数在（150，200之间，设中位数为x, 则0.41500.00500.5x，解得170x , 乙方案样本的中位数为 170； （3）由题意填写2 2列联表如下， 甲方案 乙方案 合计 合格天数 96 89 185 不合格天数 4 11 15 合计 100 100 200 由表中数据，计算 22 2 20096 11 89 4 3.532 100 100 185 15 n adbc K abcdacbd ， 且3.5322.706， 有 90%的把握认为该城市的空气质量指数值
30、与两种方案的选择有关 【解析】本题考查了频率分布直方图和独立性检验的应用问题，是中档题 （1）由频率和为 1 列方程求得a的值，再计算乙方案样本中不合格天数； （2）根据频率分布直方图求得中位数； （3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论 20.【答案】解： （1）由已知得 222 2 3 2 b c a abc ，解得2 2a ，2b，6c ， 椭圆C的方程为 22 1 82 xy ； （2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为ykxm， 联立 22 1 82 ykxm xy ，得 222 418480kxkmxm 22 16 820km ， 设 11 ,
31、A x y ， 22 ,B x y，则 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 48 41 m x x k ， 22 22 12121212 2 8 41 mk y ykxmkxmk x xkm xxm k ， 由22OAOBOAOB，得OAOB，即0OA OB，即 1212 0x xy y， 故 22 8580km，得 2 8 5 m ，即 22 858km代入式解得 2 3 2 m ， 所以 2 10 5 m 或 2 10 5 m 【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法， 是中档题 （1）由题意列关于a，b，c，的方程组
32、，求解可得a，b，c，的值，则椭圆方程可求； （2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为ykxm，联立直线方程与椭圆 方程， 利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的积， 结合22OAOBOAOB可得k与m的关系， 再由判别式大于 0 求得实数m的取值范围 21.【答案】解：当1m时， sin x f xexn， 所以 cos0 x fxex对任意的0,x都成立， 故 f x在0,x单调递增， 所以 01f xfn ， 要使得对0,x有 0f x 恒成立，则10n即1n， （2）因为 cos x fxemx， 所以 011fm 即0m，又 011fn ，即2n， 2 x f
33、 xe， 2 x g xxex ， 显然0x 不是 g x的零点，所以20 x xex可化为 2 10 x e x ， 令 2 1 x h xe x ，则 2 2 0 x h xe x ， 所以 h x在,0，0,上单调递增， 又 130he ， 2 220he， 3 11 30 3 h e ， 2 1 20h e 故 h x在3, 2 ，1,2上各有 1 个零点， 所以 g x在3, 2 ，1,2上各有 1 个零点， 所以 1 3k ， 2 1k ， 12 2kk 【解析】 （1）把1m代入，然后对函数求导，结合导数与单调性的关系可判断函数的单调性，由不等式的 恒成立转换为为求解函数的最值或
34、范围，可求 （2） 结合已知曲线及导数的几何意义可求m，n， 然后结合函数的单调性及函数的零点判定定理即可求解 本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围及导数的几何意义，函数的性质及零点判定定理的综合应 用 22.【答案】解： （1）已知曲线 12cos : 2sin x C y （为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 2 14xy. 直线l的极坐标方程为sin2 4 .转换为直角坐标方程为 22 2 22 yx， 整理得20xy. （2）由于点点P（-2，0）在直线l上，所以转换为参数方程为 2 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ， 代入 2 2 14xy， 得到： 2 230tt
35、 ， 所以： 12 2tt， 1 2 3t t ， 所以 12 1 2 112 1214 33 tt PAPBt t 【解析】 （1）直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的 应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 23.【答案】解： （1）当2a 时， 222f xx， 6f x ， 2226x，224x，12x ， 212x ， 解得13x ， 不等式 6f x 的解集为13xx （2） 21g xx， 2123f xg xxxaa ， 1 223 22 a xxa， 13 222 aa xx ， 当3a 时， 3 0 2 a ，故不等式一定成立， 当3a 时， 1113 10 222222 aaa xxxxa ， 22 13aa， 解得23a， a的取值范围是2, 【解析】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意不等式性质的合理运用 （1）当2a 时，由己知得2226x，去绝对值求出不等式 6f x 的解集. （2）利用含绝对值的三角不等式求得 f xg x的最小值 1 1 2 a ,由 1 13 2 a,能求出a的取值范围.
