1、章末复习章末复习 一、向量的线性运算 1. 向量运算 法则(或几何意义) 向量的线性运算 加法 减法 数乘 (1)|a|a|； (2)当0时， a的方向与a的方向相同； 当 0). (1)用 k 表示数量积 a b； (2)求 a b 的最小值，并求出此时 a 与 b 的夹角 的大小. 解 (1)由|kab| 3|akb|， 得(kab)23(akb)2， k2a22ka bb23a26ka b3k2b2. (k23)a28ka b(13k2)b20. |a|cos2sin21，|b| cos2sin21， k238ka b13k20， a b2k 22 8k k 21 4k (k0). (2
2、)a bk 21 4k 1 4 k1 k 1 42 1 2，当且仅当 k1 时等号成立， 此时 a 与 b 的夹角 的余弦值 cos a b |a|b| 1 2， 又0 180 ，60 . 反思感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题 (1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， abx1y2x2y10， abx1x2y1y20(a，b 均为非零向量). (2)求向量的夹角和模的问题 设 a(x1，y1)，则|a| x21y21. 两向量夹角的余弦值(0，a，b 为非零向量) cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22 . 跟踪训练2 已
3、知向量AB 与AC的夹角为120 ， 且|AB|3， |AC|2.若APABAC， 且APBC， 则实数 的值为 . 答案 7 12 解析 由AP BC知AP BC0， 即AP BC(ABAC) (ACAB) (1)AB ACAB2AC2 (1)32 1 2 940， 解得 7 12. 三、余弦定理、正弦定理 1.解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程.三角形中的 元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解 三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积. 2.解斜三角形共包括四种类型： (1)已知三角形的两角和一边
4、(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)； (2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)； (3)已知三边(先用余弦定理求角)； (4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边， 注意讨论 解的个数). 3.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养. 例 3 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2BAC，向量 m(3a， b)，n(2b，c)，mn.求 A. 解 方法一 2BAC，ABC， B 3，AC 2 3 . mn，2b23ac， 由正弦定理，得 2sin2B3sin Asin C， 即 sin Asin C1
5、2， sin Asin 2 3 A 1 2， sinA 3 2 cos A1 2sin A 1 2， 3sin Acos Acos2A， cos A0 或 tan A 3 3 ，A 2或 A 6. 方法二 2BAC，ABC，B 3， 由余弦定理，得 b2a2c22accos B， 即 b2a2c2ac.(*) mn，2b23ac，b23 2ac. 将 b23 2ac 代入到(*)中， 得 2a25ac2c20， 解得 a2c 或 c2a. 当 a2c 时，b 3c，cos A3c 2c24c2 2 3cc 0， A 2； 当 c2a 时，b 3a，cos A3a 24a2a2 2 3a2a 3
6、 2 ， A 6. 综上，A 2或 A 6. 反思感悟 通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a2Rsin A，a2b2c22abcos C 等)， 利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现 的内角关系，如在ABC 中，sin Asin BAB；sin(AB)0AB；sin 2Asin 2BA B 或 AB 2等. 利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sin A a 2R，cos A b2c2a2 2bc 等，通过代数变换. 跟踪训练 3 在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sin A a 3cos C c . (1)求 C 的大小；
7、(2)如果 ab6，CA CB4，求 c 的值. 解 (1)由正弦定理，得sin A a 3cos C c sin C c ，即 tan C 3. 又C(0，)，C 3. (2)CA CB|CA|CB|cos Cabcos C4， 且 cos Ccos 3 1 2，ab8. 由余弦定理，得 c2a2b22abcos C (ab)22ab2abcos 3 (ab)23ab623812. c2 3. 1.已知平面向量AB (1,2)，AC(3,4)，则向量CB等于( ) A.(4，6) B.(4,6) C.(2，2) D.(2,2) 答案 C 解析 CB ABAC(1,2)(3,4)(2，2)，故
8、选 C. 2.设 a(1,2)，b(1,1)，cakb.若 bc，则实数 k 的值等于( ) A.3 2 B. 5 3 C. 5 3 D. 3 2 答案 A 解析 cakb(1k,2k)， 又 bc，所以 1(1k)1(2k)0，解得 k3 2. 3.如图所示， 矩形 ABCD 的对角线相交于点 O， E 为 AO 的中点， 若DE AB AD (， R)， 则 等于( ) A.1 2 B.1 2 C.1 D.1 答案 A 解析 由平面向量基本定理，化简DE DA AE DA 1 4AC AD 1 4(AB AD ) 1 4AB 3 4 AD ， 所以 1 4， 3 4，即 1 2. 4.已知
9、向量 a，b 满足|a|1，b(t,2t)，ab 与 a 垂直，则|ab|的最小值为( ) A. 2 2 B.1 C. 2 D.2 答案 B 解析 由题意知 ab 与 a 垂直， 则(ab) a0，可得 a ba21. 又由|ab|a22a bb2 12t22t2 2t121， 所以当 t1 时，|ab|取得最小值 1. 5.ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 cbcos Cccos B，且 a1，B 120 ，则 b . 答案 3 解析 cbcos Cccos B， 由正弦定理可得 sin Csin Bcos Ccos Bsin C sin(BC)sin A， ca1， B120 ， 由余弦定理可得，b a2c22accos B11211 1 2 3.
