湖南湖北四校2020届高三学情调研联考文科数学试题(含答案解析)

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1、 文科数学试卷第 1 页 共 6 页 绝密启用前 【考试时间:2020 年 4 月 24 日下午 15001700】 湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考 文科数学试题卷 本试卷共 5 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 考生注意:考生注意: 1答卷前,考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝考试顺利祝考试顺利! ! 一、选择题:本题共12小题,每小题

2、5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1已知集合|04PxRx,|3QxR x,则PQ A3,4 B3,4 C,4 D3, 2x,y互为共轭复数,且ixyiyx643 2 则yx = A B1 C22 D 3如图所示,三国时代数学家在周脾算经中利用弦图,给出了勾股定理的绝 妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角 形有一个内角为30, 若向弦图内随机抛掷200颗米粒 (大小忽略不计, 取31.732) , 则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为 A20 B27 C54 D64 文科数学试卷第 2 页 共 6 页 4如图,在中,点在线

3、段上,且 = 3,若 = + , 则 = A B C D2 5已知定义在 R 上的函数( )21 x m f x (m 为实数)为偶函数,记 0.52 (log3),(log 5),(2)afbfcfm则, ,a b c的大小关系为 Aabc Bcba Ccab Dacb 6如图所示是某多面体的三视图,左上为正视图,右上为侧视图,左下为俯视图, 且图中小方格单位长度为 1,则该多面体的侧面最大面积为 A.2 3 B.6 C.2 2 D. 2 7已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左,右焦点分别为 12 ,0 ,0FcF c ,又点 2 3 , 2 b Nc a .若双 曲

4、线 C 左支上的任意一点 M 均满足 2 4MFMNb ,则双曲线 C 的离心率的取值范围为 A. 13 , 5 3 B. 13 1,5, 3 U C. 1, 513,U D. 5, 13 8 为计算 = + + + ,设计了下面的程序框图,则在 空白框中应填入 A = + B = + C = + 3 D = + 9已知ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c,且 3 coscos 5 aBbAc,则tan AB的最大值为 文科数学试卷第 3 页 共 6 页 A. 3 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 3 10已知函数 22 ( )2sincossin0 24 r f x

5、xx 在区间 2 5 , 36 上是增函数,且在区间 0,上恰好取得一次最大值 1,则 w 的取值范围是 A. 3 0, 5 B. 1 3 , 2 5 C. 1 3 , 2 4 D. 1 5 , 2 2 11过双曲线 22 22 10 xy ab ab 右焦点 F 的直线交两渐近线于 A、 B 两点, 若 0OA AB uur uuu r , O 为 坐标原点,且OAB内切圆半径为 31 2 a ,则该双曲线的离心率为 A. 2 3 3 B.3 C. 4 3 3 D.31 12已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上,PAPBPC,ABC是边长为 2 的正三 角形,,E F分别是,PA AB

6、的中点,90CEF,则球O的体积为 A68 B64 C62 D6 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13命题“ + , = ”的否定是_. 14观察分析下表中的数据: 多面体 面积(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中 , ,F V E所满足的等式是_. 15设函数 ( )e1 x f xx ,函数 g xmx ,若对于任意的 1 2,2x ,总存在 2 1,2x ,使得 文科数学试卷第 4 页 共 6 页 12 f xg x ,则实数 m 的取值范围是_. 16某小商品生产厂家计划每天生

7、产型、型、型三种小商品共 100 个,生产一个型小商 品需 5 分钟,生产一个型小商品需 7 分钟,生产一个型小商品需 4 分钟,已知总生产时间 不超过 10 小时若生产一个型小商品可获利润 8 元,生产一个型小商品可获利润 9 元,生 产一个型小商品可获利润 6 元该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大,则最大日利润 是_元. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:60 分。 17已知数列 , nn ab满足: 11 2 1 1 41 n nnn n

8、b aabb a ,. (1)证明: 1 1 n b 是等差数列,并求数列 n b的通项公式; (2)设 1223341 . nnn Sa aa aa aa a ,求实数 a 为何值时4 nn aSb恒成立 18如图,ABCD 是边长为 2 的菱形,DAB60 ,EB平面 ABCD,FD平面 ABCD,EB2FD4. (1)求证:EFAC; (2)求几何体 EFABCD 的体积 19 文科数学试卷第 5 页 共 6 页 人数 X 的可能值及其概率。 20如图,设抛物线 2 1: 4(0)Cymx m 的准线l与x轴交于椭 圆 22 2 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点 21 ,F

9、 F为 2 C的左焦点.椭圆的 离心率为 1 2 e ,抛物线 1 C与椭圆 2 C交于x轴上方一点P,连接 1 PF并延长其交 1 C于点Q, M为 1 C上一动点,且在,P Q之间移 动. (1)当 3 2 a b 取最小值时,求 1 C和 2 C的方程; 文科数学试卷第 6 页 共 6 页 (2)若 12 PFF的边长恰好是三个连续的自然数,当MPQ面积取最大值时,求面积最大值以 及此时直线MP的方程 21已知函数 ln x f xax e ,其中 a 为常数 (1)若直线 2 yx e 是曲线 yf x的一条切线,求实数 a 的值; (2)当1a时,若函数 ln x g xf xb x

10、 在1,上有两个零点求实数 b 的取值范 围 (二) 选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分。 22选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 2 1 xt yt , (t 为参数),曲线 2 1: 1Cyx.以 坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 4 2sin 4 - . (1)若直线 l 与 , x y轴的交点分别为 , A B,点 P 在 1 C上,求BA BP 的取值范围; (2)若直线 l 与 2 C交于M N, 两点,点 Q 的直角坐标为 2,1 ,求|

11、 |QMQN 的值. 23选修 45:不等式选讲 已知函数 223f xxxm,Rm (1)当2m 时,求不等式 3f x 的解集; (2)若,0x ,都有 2 f xx x 恒成立,求 m 的取值范围 文数答案 第 1 页,总 12 页 绝密启用前 【考试时间:2020 年 4 月 24 日下午 15001700】 湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考 文科数学试题卷参考答案及解析文科数学试题卷参考答案及解析 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B C

12、 B A D C B B C B A D 1、B.【解析】由题意得,0,4P ,( 3,3)Q ,( 3,4PQ ,故选 B. 2、C【解析】设,xabi yabi,代入得 2 22 2346aabii,所以 2 22 24,36aab,解得1,1ab,所以2 2xy. 3、B 解析:设大正方体的边长为 x,则小正方体的边长为 31 22 xx,设落在小正 方形内的米粒数大约为 N,则 2 2 31 22 N 200 xx x ,解得:N 27. 4、 A 【解析】 = + = + = + = + , 所以 = = ,从而求得 = . 5、 D 解析: 函数 f(x)是偶函数, ()f xfx

13、 在 R 上恒成立, 0m, 当0x时, 易得 21 x f x 为增函数, 0.522 3352a f logf logb f logc f, , , 22 325loglog,acb 6、C 由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥P ABC , 故 1AC , 2PA, 5BCPC , 2 2AB , 2 3PB , 文数答案 第 2 页,总 12 页 1 2 11 2 ABCPAC SS , 1 22 22 2 2 PAB S , 1 2 326 2 PBC S , 该多面体的侧面最大面积为2 2故选 C 7、B 解析:双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足 2 4MFMN

14、b, 即 2 min 4MFMNb, 又 21 22MFMNaMFMNa 2 2 3 2 2 b NFa a 2 22 3 24438 2 b ababab a 34802 bab aba 或 2 3 b a 2 2 2 e1,e 5 b a 或 13 1N 3 8、 B 详解:由 = + + + 得程序框图先对奇数项累加,偶数 项累加,最后再相减.因此在空白框中应填入 = + ,选 B. 9 、C【解析】 3 coscos 5 aBbAc由正弦定理,得 3 5 sinAcosBsinBcosAsinC, CABsinCsin AB()() , 3 5 sinAcosBsinBcosAsinA

15、cosBcosAsinB(), 整理,得4sinAcosBsinBcosA,同除以cosAcosB, 得4tanAtanB ,由此可得 2 33 1 114 4 tanAtanBtanB tan AB tanAtanBtan B tanB tanB (), A B、 是三角形内角, 文数答案 第 3 页,总 12 页 且tanA与tanB同号,A B 、 都是锐角,即00tanAtanB , , 11 4244tanBtanB tanBtanB 33 1 4 4 tan AB tanB tanB (), 当且仅当 1 4tanB tanB ,即 1 2 tanB 时, tan AB() 的最大

16、值为3 4 10、B解析: 2 2cos1cos1sin 242 x xx , 2 ( )sin1sinsinsinf xxxxx. 令 2 2 xk可得 2 2 k x ,( )f x在区间0,上恰好取得一次最大值, 0 2 解得 1 2 . 令 2 2 22 kxk,解得: 2 2 22 kk x ,( )f x在区间 2 5 , 36 上 是增函数, 2 32 53 65 ,解得 3 5 .综上, 13 25 .故选:B. 11、A 解析:因为 0ab ,所以双曲线的渐近线如图所示, 设内切圆圆心为M,则M在 AOB 平分线OF上, 过点M分别作MN OA 于N,MT AB 于T,由FA

17、 OA 得四边形MTAN为正方形,由 焦点到渐近线的距离为b得FA b ,又OF c ,所以OA a , 31 2 NAMNa ,所以 33 2 NOa ,所以tan 3 3 MNb AOF aNO ,得 2 2 1( 3 ) 3 b e a .故选 A. 文数答案 第 4 页,总 12 页 12、D解析:方法一:本题也可用解三角形方法,达到求出棱长的目的适合空 间想象能力略差学生 设 2PAPBPCx , ,E F分别为,PA AB中点, / /EFPB ,且 1 2 EFPBx , ABC 为边长为 2等边三角形, 3CF 又 90CEF 2 1 3, 2 CExAEPAx AEC 中余弦

18、定理 22 43 cos 2 2 xx EAC x ,作PD AC 于D, PAPC , D为AC中点, 1 cos 2 AD EAC PAx , 22 431 42 xx xx , 22 12 212 22 xxx , 2PAPBPC ,又 =2AB BC AC , ,PA PB PC两两垂直, 22226R , 6 2 R , 3 446 6 6 338 VR ,故选 D. 方法二:,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形, PABC 为正三棱锥, PBAC ,又E,F分别 PA、AB中点, / /EFPB , EFAC ,又EF CE ,,CEACCEF平面PAC,PB 平面 文数

19、答案 第 5 页,总 12 页 PAC,2PABPAPBPC , PABC 为正方体一部分, 22226R ,即 3 6446 6 ,6 2338 RVR ,故选 D 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13、 + , 14、2FVE 解析:凸多面体的面数为 F. 顶点数为 V 和棱数为 E, 正方体:F=6,V=8,E=12,得 F+VE=8+612=2; 三棱柱:F=5,V=6,E=9,得 F+VE=5+69=2; 三棱锥:F=4,V=4,E=6,得 F+VE=4+46=2. 根据以上几个例子,猜想:凸多面体的面数 F. 顶点数 V 和棱数 E 满足如下关系: 2

20、FVE 再通过举四棱锥、六棱柱、等等,发现上述公式都成立。 因此归纳出一般结论:2FVE 故答案为:2FVE 15、 1 , 2 解析:( )e1 ,( )e xx f xxfxx,对于任意的2,2x ,当2,0x 时, ( )0fx ,当 0,2x 时, ( )0fx ,即 ( )f x在2,0 上为减函数,在 0,2上为增函 数。0x 为 ( )f x在2,2 上的极小值点,也是最小值点且最小值为 2,2 , 对于任意的 11 min 2,2 , ( )1xf x ,而总存在 2 1,2x ,使得 12 ( )f xg x , 1 min2 min ( )f xg x. g xmx ,0m

21、 时, 2 0g x ,不合题意, 0m 时, 22 ,2g xmxm m , 此时1m , 不合题意, 0m 时, 22 2 ,g xmxm m , 2 min 2g xm , 1 21, 2 mm . 16、850【解析】依题意,每天生产的玩具A型商品x个、B商品y个、C商品的 个数等于:100xy,所以每天的利润T=8x+9y+6(100xy)=2x+3y+600. 文数答案 第 6 页,总 12 页 约束条件为: + + ,整理得 + 3 + .目标 函数为T=2x+3y+600.如图所示,做出可行域. 初始直线l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点A时,T有最大值。由 + 3 =

22、+ = 得 = = .最优解为 A(50,50),此时Tmax=850(元).即最大日利润 是 850 元. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求 作答。 17、(1) 1 1 (1)(1)(2)2 nn n nnnnn bb b aabbb , 1 1 11 2 n n b b 1 211 1 111 n nnn b bbb 数列 1 1 n b 是以4-为首项,1-为公差的等差数列 1 4(1)3 1 n nn b , 12 1 33 n n b nn (2) 1 1 3

23、 nn ab n 12231 11111 4 55 6(3)(4)444(4) nnn n Sa aa aa a nnnn 2 2(1)(36)8 4 43(3)(4) nn annanan aSb nnnn 由条件可知 2 (1)(36)80anan 恒成立即可满足条件, 设 2 ( )(1)3(2)8f nanan, 当1a 时,( )380f nn 恒成立,当1a 时,由二次函数的性质知不可能成立 当1a 时, 文数答案 第 7 页,总 12 页 对称轴 3231 (1)0 2121 a aa , f n在1,)为单调递减函数 (1)(1)(36)84150faaa , 15 4 a ,

24、时4 n aSb恒成立 综上知:1a 时,4 n aSb恒成立 18 【解析】 (1)连接 DB,DF平面 ABCD,EB平面 ABCD,EBFD,E, F,D,B 四点共面,ACEB,3 分设 DBACO,ABCD 为菱形, ACDB.DBEBB,AC平面 EFDB,EF平面 EFDB, ACEF.6 分 (2)EBFD,EBBD,EFDB 为直角梯形,在菱形 ABCD 中, DAB60 ,AB2,BD2,AOCO 3,梯形 EFDB 的面积 S (24) 2 2 6,9 分AC平面 EFDB,VEFABCDVCEFDBVAEFDB1 3 S AO1 3S CO4 3.12 分 文数答案 第

25、 8 页,总 12 页 19、 文数答案 第 9 页,总 12 页 20、(1)因为 1 , 2 c cm e a ,则2 ,3am bm,所以 3 2 a b 取最小值时1m, 此时抛物线 2 1: 4Cyx ,此时 2 2,3ab,所以椭圆 2 C的方程为 22 1 43 xy ; (2) 因为 1 , 2 c cm e a ,则2 ,3am bm,设椭圆的标准方程为 22 22 1 43 xy mm , 0011 ,P x yQ x y由 22 22 2 1 4 3 4 xy mm ymx 得 22 316120xmxm,所以 0 2 3 xm 或 0 6xm(舍去),代入抛物线方程得

26、0 2 6 3 ym,即 22 6 , 33 mm P , 于是 12112 576 ,2,2 333 mmm PFPFaPFFFm,又 12 PFF的边长恰好是三个 连续的自然数,所以3m此时抛物线方程为 2 12yx , 1 3,0 ,2,2 6FP, 则直线PQ的方程为2 63yx联立 2 2 63 12 yx yx ,得 1 9 2 x 或 1 2x (舍 去),于是 9 , 3 6 2 Q 所以 2 2 925 22 63 6 22 PQ , 设 2 ,3 6,2 6 12 t Mtt 到直线PQ的距离为d,则 2 6675 3022 dt , 当 6 2 t 时, max 6755

27、 6 3024 d,所以MPQ的面积最大值为 1255 6125 6 22416 此时 42 :66 33 MP yx 21、(1)函数( )f x的定义域为(0,), 1 ( ) axae fx exex , 曲线( )yf x在点 文数答案 第 10 页,总 12 页 00 ,x y处的切线方程为 2 yx e . 由题意得 0 0 00 12 , 2 ln a exe x xax ee 解得1a , 0 xe.所以 a 的值为 1. (2)当1a时,( )ln x f xx e ,则 11 ( ) xe fx exex ,由( )0fx,得xe, 由( )0fx,得0xe,则( )f x

28、有最小值为( )0f e , 即( ) 0f x ,所以 ln ( )ln xx g xxb ex ,(0)x , 由已知可得函数 ln ln xx yx xe 的图象与直线 yb有两个交点, 设 ln ( )ln(0) xx h xxx xe ,则 2 22 11 ln1ln ( ) xexeexx h x xxeex , 令 2 ( )lnxexeexx , 2 2 ( )2 eexex xex xx , 由 2 20exex ,可知( )0x,所以( )x在(0,)上为减函数, 由( )0e,得0xe时,( )0x,当xe时,( )0x, 即当0xe时,( )0h x,当xe时,( )0

29、h x, 则函数( )h x在(0, ) e上为增函数,在, e 上为减函数, 所以,函数( )h x在xe处取得极大值 1 ( )h e e , 又 1 (1)h e , 322 3 31 341h eee ee , 所以,当函数( )g x在1,)上有两个零点时,b 的取值范围是 11 b ee , 文数答案 第 11 页,总 12 页 即 1 1 ,b e e . 22、(1)由题意可知:直线l的普通方程为 10xy , 1,0A , 0, 1B 1 C的方程可化 为 22 10xyy,设点 P 的坐标为cos ,sin,0, cossin12sin10, 21 4 BA BP (2)曲

30、线 2 C的直角坐标方程为: 22 228xy直线l的标准参数方程为 2 2 2 2 1 2 xm ym (m 为参数),代入 2 C得: 2 270mm设 ,M N两点对应的参数分别为 12 ,m m 1212 2,70mmmm 故 12 ,m m异号 12 2QMQNmm 23、答案:(1)当2m 时, 41(0) 3 ( ) |2 |23| 2 1(0) 2 3 45() 2 xx f xxxx xx 当 413 0 x x 解得 1 0 2 x 当 3 0,13 2 x恒成立. 当 453 3 2 x x 解得 3 2 2 x ,此不等式的解集为 1 2, 2 . (2) 43(0)

31、3 ( ) |2 |23|3(0) 2 3 43() 2 xm x f xxxmmx xm x , 文数答案 第 12 页,总 12 页 当(,0)x 时, 3 3(0) 2 ( ) |2 |23| 3 43() 2 mx f xxxm xm x 当 3 0 2 x 时,( )3f xm,当 3 ,( )43 2 xf xxm 单调递减, ( )f x的最小值为3m 设 2 ( )(0)g xxx x 当 2 0,2 2xx x ,当且仅当 2 x x 时,取等号 2 2 2x x 即 2x 时,( )g x取得最大值 2 2 . 要使 2 ( )f xx x 恒成立,只需 32 2m ,即 2 23m .

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