1、 文科数学试卷第 1 页 共 6 页 绝密启用前 【考试时间：2020 年 4 月 24 日下午 15001700】 湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考 文科数学试题卷 本试卷共 5 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 考生注意：考生注意： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝考试顺利祝考试顺利! ! 一、选择题：本题共12小题，每小题
2、5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1已知集合|04PxRx，|3QxR x，则PQ A3,4 B3,4 C,4 D3, 2x，y互为共轭复数，且ixyiyx643 2 则yx = A B1 C22 D 3如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝 妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角 形有一个内角为30， 若向弦图内随机抛掷200颗米粒 （大小忽略不计， 取31.732） ， 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为 A20 B27 C54 D64 文科数学试卷第 2 页 共 6 页 4如图，在中，点在线
3、段上，且 = 3，若 = + ， 则 = A B C D2 5已知定义在 R 上的函数( )21 x m f x (m 为实数)为偶函数，记 0.52 (log3),(log 5),(2)afbfcfm则, ,a b c的大小关系为 Aabc Bcba Ccab Dacb 6如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图， 且图中小方格单位长度为 1，则该多面体的侧面最大面积为 A.2 3 B.6 C.2 2 D. 2 7已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左,右焦点分别为 12 ,0 ,0FcF c ,又点 2 3 , 2 b Nc a .若双 曲
4、线 C 左支上的任意一点 M 均满足 2 4MFMNb ,则双曲线 C 的离心率的取值范围为 A. 13 , 5 3 B. 13 1,5, 3 U C. 1, 513,U D. 5, 13 8 为计算 = + + + ，设计了下面的程序框图，则在 空白框中应填入 A = + B = + C = + 3 D = + 9已知ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且 3 coscos 5 aBbAc，则tan AB的最大值为 文科数学试卷第 3 页 共 6 页 A. 3 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 3 10已知函数 22 ( )2sincossin0 24 r f x
5、xx 在区间 2 5 , 36 上是增函数，且在区间 0,上恰好取得一次最大值 1，则 w 的取值范围是 A. 3 0, 5 B. 1 3 , 2 5 C. 1 3 , 2 4 D. 1 5 , 2 2 11过双曲线 22 22 10 xy ab ab 右焦点 F 的直线交两渐近线于 A、 B 两点， 若 0OA AB uur uuu r ， O 为 坐标原点，且OAB内切圆半径为 31 2 a ，则该双曲线的离心率为 A. 2 3 3 B.3 C. 4 3 3 D.31 12已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为 2 的正三 角形，,E F分别是,PA AB
6、的中点，90CEF，则球O的体积为 A68 B64 C62 D6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13命题“ + ， = ”的否定是_. 14观察分析下表中的数据： 多面体 面积（F） 顶点数（V） 棱数（E） 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中 , ,F V E所满足的等式是_. 15设函数 ( )e1 x f xx ，函数 g xmx ，若对于任意的 1 2,2x ，总存在 2 1,2x ，使得 文科数学试卷第 4 页 共 6 页 12 f xg x ，则实数 m 的取值范围是_. 16某小商品生产厂家计划每天生
7、产型、型、型三种小商品共 100 个，生产一个型小商 品需 5 分钟，生产一个型小商品需 7 分钟，生产一个型小商品需 4 分钟，已知总生产时间 不超过 10 小时若生产一个型小商品可获利润 8 元，生产一个型小商品可获利润 9 元，生 产一个型小商品可获利润 6 元该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润 是_元. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17已知数列 , nn ab满足： 11 2 1 1 41 n nnn n
8、b aabb a ，. （1）证明： 1 1 n b 是等差数列，并求数列 n b的通项公式； （2）设 1223341 . nnn Sa aa aa aa a ，求实数 a 为何值时4 nn aSb恒成立 18如图，ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60 ，EB平面 ABCD，FD平面 ABCD，EB2FD4. （1）求证：EFAC； （2）求几何体 EFABCD 的体积 19 文科数学试卷第 5 页 共 6 页 人数 X 的可能值及其概率。 20如图，设抛物线 2 1: 4(0)Cymx m 的准线l与x轴交于椭 圆 22 2 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点 21 ,F
9、 F为 2 C的左焦点.椭圆的 离心率为 1 2 e ，抛物线 1 C与椭圆 2 C交于x轴上方一点P，连接 1 PF并延长其交 1 C于点Q， M为 1 C上一动点，且在,P Q之间移 动. （1）当 3 2 a b 取最小值时，求 1 C和 2 C的方程； 文科数学试卷第 6 页 共 6 页 （2）若 12 PFF的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ面积取最大值时，求面积最大值以 及此时直线MP的方程 21已知函数 ln x f xax e ，其中 a 为常数 （1）若直线 2 yx e 是曲线 yf x的一条切线，求实数 a 的值； （2）当1a时，若函数 ln x g xf xb x
10、 在1,上有两个零点求实数 b 的取值范 围 （二） 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 1 xt yt ， （t 为参数），曲线 2 1: 1Cyx.以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4 2sin 4 - . （1）若直线 l 与 , x y轴的交点分别为 , A B，点 P 在 1 C上，求BA BP 的取值范围； （2）若直线 l 与 2 C交于M N, 两点，点 Q 的直角坐标为 2,1 ，求|
11、 |QMQN 的值. 23选修 45：不等式选讲 已知函数 223f xxxm,Rm （1）当2m 时，求不等式 3f x 的解集； （2）若,0x ，都有 2 f xx x 恒成立，求 m 的取值范围 文数答案 第 1 页，总 12 页 绝密启用前 【考试时间：2020 年 4 月 24 日下午 15001700】 湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考 文科数学试题卷参考答案及解析文科数学试题卷参考答案及解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B C
12、 B A D C B B C B A D 1、B.【解析】由题意得，0,4P ，( 3,3)Q ，( 3,4PQ ，故选 B. 2、C【解析】设,xabi yabi，代入得 2 22 2346aabii，所以 2 22 24,36aab，解得1,1ab，所以2 2xy. 3、B 解析：设大正方体的边长为 x,则小正方体的边长为 31 22 xx，设落在小正 方形内的米粒数大约为 N，则 2 2 31 22 N 200 xx x ，解得：N 27. 4、 A 【解析】 = + = + = + = + ， 所以 = = ，从而求得 = . 5、 D 解析： 函数 f(x)是偶函数， ()f xfx
13、 在 R 上恒成立， 0m， 当0x时， 易得 21 x f x 为增函数， 0.522 3352a f logf logb f logc f， ， ， 22 325loglog，acb 6、C 由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥P ABC ， 故 1AC ， 2PA， 5BCPC ， 2 2AB ， 2 3PB ， 文数答案 第 2 页，总 12 页 1 2 11 2 ABCPAC SS ， 1 22 22 2 2 PAB S ， 1 2 326 2 PBC S ， 该多面体的侧面最大面积为2 2故选 C 7、B 解析：双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足 2 4MFMN
14、b， 即 2 min 4MFMNb， 又 21 22MFMNaMFMNa 2 2 3 2 2 b NFa a 2 22 3 24438 2 b ababab a 34802 bab aba 或 2 3 b a 2 2 2 e1,e 5 b a 或 13 1N 3 8、 B 详解：由 = + + + 得程序框图先对奇数项累加，偶数 项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入 = + ，选 B. 9 、C【解析】 3 coscos 5 aBbAc由正弦定理，得 3 5 sinAcosBsinBcosAsinC， CABsinCsin AB（）（） ， 3 5 sinAcosBsinBcosAsinA
15、cosBcosAsinB（）， 整理，得4sinAcosBsinBcosA，同除以cosAcosB， 得4tanAtanB ，由此可得 2 33 1 114 4 tanAtanBtanB tan AB tanAtanBtan B tanB tanB （）， A B、 是三角形内角， 文数答案 第 3 页，总 12 页 且tanA与tanB同号，A B 、 都是锐角，即00tanAtanB ， ， 11 4244tanBtanB tanBtanB 33 1 4 4 tan AB tanB tanB （）， 当且仅当 1 4tanB tanB ，即 1 2 tanB 时， tan AB（） 的最大
16、值为3 4 10、B解析： 2 2cos1cos1sin 242 x xx ， 2 ( )sin1sinsinsinf xxxxx. 令 2 2 xk可得 2 2 k x ，( )f x在区间0,上恰好取得一次最大值， 0 2 解得 1 2 . 令 2 2 22 kxk,解得： 2 2 22 kk x ，( )f x在区间 2 5 , 36 上 是增函数， 2 32 53 65 ,解得 3 5 .综上, 13 25 .故选：B. 11、A 解析：因为 0ab ，所以双曲线的渐近线如图所示， 设内切圆圆心为M，则M在 AOB 平分线OF上， 过点M分别作MN OA 于N，MT AB 于T，由FA
17、 OA 得四边形MTAN为正方形，由 焦点到渐近线的距离为b得FA b ，又OF c ，所以OA a ， 31 2 NAMNa ，所以 33 2 NOa ，所以tan 3 3 MNb AOF aNO ，得 2 2 1( 3 ) 3 b e a .故选 A. 文数答案 第 4 页，总 12 页 12、D解析：方法一：本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的适合空 间想象能力略差学生 设 2PAPBPCx ， ,E F分别为,PA AB中点， / /EFPB ，且 1 2 EFPBx ， ABC 为边长为 2等边三角形， 3CF 又 90CEF 2 1 3, 2 CExAEPAx AEC 中余弦
18、定理 22 43 cos 2 2 xx EAC x ，作PD AC 于D， PAPC ， D为AC中点， 1 cos 2 AD EAC PAx ， 22 431 42 xx xx ， 22 12 212 22 xxx ， 2PAPBPC ，又 =2AB BC AC ， ,PA PB PC两两垂直， 22226R ， 6 2 R ， 3 446 6 6 338 VR ，故选 D. 方法二：,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形， PABC 为正三棱锥， PBAC ，又E，F分别 PA、AB中点， / /EFPB ， EFAC ，又EF CE ，,CEACCEF平面PAC，PB 平面 文数
19、答案 第 5 页，总 12 页 PAC，2PABPAPBPC ， PABC 为正方体一部分， 22226R ，即 3 6446 6 ,6 2338 RVR ，故选 D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13、 + ， 14、2FVE 解析：凸多面体的面数为 F. 顶点数为 V 和棱数为 E， 正方体：F=6，V=8，E=12，得 F+VE=8+612=2； 三棱柱：F=5，V=6，E=9，得 F+VE=5+69=2； 三棱锥：F=4，V=4，E=6，得 F+VE=4+46=2. 根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数 F. 顶点数 V 和棱数 E 满足如下关系： 2
20、FVE 再通过举四棱锥、六棱柱、等等，发现上述公式都成立。 因此归纳出一般结论：2FVE 故答案为：2FVE 15、 1 , 2 解析：( )e1 ,( )e xx f xxfxx，对于任意的2,2x ，当2,0x 时， ( )0fx ，当 0,2x 时， ( )0fx ，即 ( )f x在2,0 上为减函数，在 0,2上为增函 数。0x 为 ( )f x在2,2 上的极小值点，也是最小值点且最小值为 2,2 ， 对于任意的 11 min 2,2 , ( )1xf x ，而总存在 2 1,2x ，使得 12 ( )f xg x ， 1 min2 min ( )f xg x. g xmx ，0m
21、 时， 2 0g x ，不合题意， 0m 时， 22 ,2g xmxm m ， 此时1m ， 不合题意， 0m 时， 22 2 ,g xmxm m ， 2 min 2g xm ， 1 21, 2 mm . 16、850【解析】依题意，每天生产的玩具A型商品x个、B商品y个、C商品的 个数等于：100xy，所以每天的利润T=8x+9y+6(100xy)=2x+3y+600. 文数答案 第 6 页，总 12 页 约束条件为： + + ，整理得 + 3 + .目标 函数为T=2x+3y+600.如图所示,做出可行域. 初始直线l0:2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，T有最大值。由 + 3 =
22、+ = 得 = = .最优解为 A(50,50)，此时Tmax=850(元).即最大日利润 是 850 元. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。 17、（1） 1 1 (1)(1)(2)2 nn n nnnnn bb b aabbb ， 1 1 11 2 n n b b 1 211 1 111 n nnn b bbb 数列 1 1 n b 是以4-为首项，1-为公差的等差数列 1 4(1)3 1 n nn b ， 12 1 33 n n b nn （2） 1 1 3
23、 nn ab n 12231 11111 4 55 6(3)(4)444(4) nnn n Sa aa aa a nnnn 2 2(1)(36)8 4 43(3)(4) nn annanan aSb nnnn 由条件可知 2 (1)(36)80anan 恒成立即可满足条件， 设 2 ( )(1)3(2)8f nanan， 当1a 时，( )380f nn 恒成立,当1a 时，由二次函数的性质知不可能成立 当1a 时， 文数答案 第 7 页，总 12 页 对称轴 3231 (1)0 2121 a aa ， f n在1,)为单调递减函数 (1)(1)(36)84150faaa ， 15 4 a ，
24、时4 n aSb恒成立 综上知：1a 时，4 n aSb恒成立 18 【解析】 (1)连接 DB，DF平面 ABCD，EB平面 ABCD，EBFD，E， F，D，B 四点共面，ACEB，3 分设 DBACO，ABCD 为菱形， ACDB.DBEBB，AC平面 EFDB，EF平面 EFDB， ACEF.6 分 (2)EBFD，EBBD，EFDB 为直角梯形，在菱形 ABCD 中， DAB60 ，AB2，BD2，AOCO 3，梯形 EFDB 的面积 S （24） 2 2 6，9 分AC平面 EFDB，VEFABCDVCEFDBVAEFDB1 3 S AO1 3S CO4 3.12 分 文数答案 第
25、 8 页，总 12 页 19、 文数答案 第 9 页，总 12 页 20、（1）因为 1 , 2 c cm e a ，则2 ,3am bm，所以 3 2 a b 取最小值时1m， 此时抛物线 2 1: 4Cyx ，此时 2 2,3ab，所以椭圆 2 C的方程为 22 1 43 xy ； （2） 因为 1 , 2 c cm e a ，则2 ,3am bm，设椭圆的标准方程为 22 22 1 43 xy mm ， 0011 ,P x yQ x y由 22 22 2 1 4 3 4 xy mm ymx 得 22 316120xmxm，所以 0 2 3 xm 或 0 6xm（舍去），代入抛物线方程得
26、0 2 6 3 ym，即 22 6 , 33 mm P ， 于是 12112 576 ,2,2 333 mmm PFPFaPFFFm，又 12 PFF的边长恰好是三个 连续的自然数，所以3m此时抛物线方程为 2 12yx ， 1 3,0 ,2,2 6FP， 则直线PQ的方程为2 63yx联立 2 2 63 12 yx yx ，得 1 9 2 x 或 1 2x （舍 去），于是 9 , 3 6 2 Q 所以 2 2 925 22 63 6 22 PQ ， 设 2 ,3 6,2 6 12 t Mtt 到直线PQ的距离为d，则 2 6675 3022 dt ， 当 6 2 t 时， max 6755
27、 6 3024 d，所以MPQ的面积最大值为 1255 6125 6 22416 此时 42 :66 33 MP yx 21、（1）函数( )f x的定义域为(0,)， 1 ( ) axae fx exex ， 曲线( )yf x在点 文数答案 第 10 页，总 12 页 00 ,x y处的切线方程为 2 yx e . 由题意得 0 0 00 12 , 2 ln a exe x xax ee 解得1a ， 0 xe.所以 a 的值为 1. （2）当1a时，( )ln x f xx e ，则 11 ( ) xe fx exex ，由( )0fx，得xe， 由( )0fx，得0xe，则( )f x
28、有最小值为( )0f e ， 即( ) 0f x ，所以 ln ( )ln xx g xxb ex ，(0)x ， 由已知可得函数 ln ln xx yx xe 的图象与直线 yb有两个交点， 设 ln ( )ln(0) xx h xxx xe ，则 2 22 11 ln1ln ( ) xexeexx h x xxeex ， 令 2 ( )lnxexeexx ， 2 2 ( )2 eexex xex xx ， 由 2 20exex ，可知( )0x，所以( )x在(0,)上为减函数， 由( )0e，得0xe时，( )0x，当xe时，( )0x， 即当0xe时，( )0h x，当xe时，( )0
29、h x， 则函数( )h x在(0, ) e上为增函数，在, e 上为减函数， 所以，函数( )h x在xe处取得极大值 1 ( )h e e ， 又 1 (1)h e ， 322 3 31 341h eee ee ， 所以，当函数( )g x在1,)上有两个零点时，b 的取值范围是 11 b ee ， 文数答案 第 11 页，总 12 页 即 1 1 ,b e e . 22、(1)由题意可知：直线l的普通方程为 10xy ， 1,0A ， 0, 1B 1 C的方程可化 为 22 10xyy，设点 P 的坐标为cos ,sin，0， cossin12sin10, 21 4 BA BP (2)曲
30、线 2 C的直角坐标方程为： 22 228xy直线l的标准参数方程为 2 2 2 2 1 2 xm ym (m 为参数)，代入 2 C得： 2 270mm设 ,M N两点对应的参数分别为 12 ,m m 1212 2,70mmmm 故 12 ,m m异号 12 2QMQNmm 23、答案：（1）当2m 时， 41(0) 3 ( ) |2 |23| 2 1(0) 2 3 45() 2 xx f xxxx xx 当 413 0 x x 解得 1 0 2 x 当 3 0,13 2 x恒成立. 当 453 3 2 x x 解得 3 2 2 x ，此不等式的解集为 1 2, 2 . （2） 43(0)
31、3 ( ) |2 |23|3(0) 2 3 43() 2 xm x f xxxmmx xm x ， 文数答案 第 12 页，总 12 页 当(,0)x 时， 3 3(0) 2 ( ) |2 |23| 3 43() 2 mx f xxxm xm x 当 3 0 2 x 时，( )3f xm，当 3 ,( )43 2 xf xxm 单调递减， ( )f x的最小值为3m 设 2 ( )(0)g xxx x 当 2 0,2 2xx x ，当且仅当 2 x x 时，取等号 2 2 2x x 即 2x 时，( )g x取得最大值 2 2 . 要使 2 ( )f xx x 恒成立，只需 32 2m ，即 2 23m .
