1、理科数学试卷 第 1 页 (共 6 页) 湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考 理科数学试题卷 本试卷共 5 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 考生注意：考生注意： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝考试顺利祝考试顺利! ! 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要
2、求的。 1已知集合|04PxRx，|3QxR x，则PQ A3,4 B3,4 C,4 D3, 2x，y互为共轭复数，且ixyiyx643 2 则yx = A B1 C22 D 3如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝 妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角 形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取 31.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为 A20 B27 C54 D64 4如图，在中，点在线段上，且 = 3，若 = + ， 理科数学试卷 第 2 页 (共 6 页) 则 = A B C D2 5
3、已知定义在 R 上的函数( )21 x m f x (m 为实数)为偶函数，记 0.52 (log3),(log 5),(2)afbfcfm则, ,a b c的大小关系为 Aabc Bcba Ccab Dacb 6如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图， 且图中小方格单位长度为 1，则该多面体的侧面最大面积为 A.2 3 B.6 C.2 2 D. 2 7已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左,右焦点分别为 12 ,0 ,0FcF c ,又点 2 3 , 2 b Nc a .若双 曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足 2 4MFMNb ,则双
4、曲线 C 的离心率的取值范围为 A. 13 , 5 3 B. 13 1,5, 3 U C. 1, 513,U D. 5, 13 8已知在关于, x y的不等式组 0 0 10 xya xy y ，（其中0a）所表示的平面区域内，存在点 00 ,P x y，满足 22 00 331xy，则实数a的取值范围是 A3, B,26 C26, D 62, 9已知ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且 3 coscos 5 aBbAc，则tan AB的 最大值为 理科数学试卷 第 3 页 (共 6 页) A. 3 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 3 10已知函数 22 ( )
5、2sincossin0 24 r f xxx 在区间 2 5 , 36 上是增函数，且在区间 0,上恰好取得一次最大值 1，则 w 的取值范围是 A. 3 0, 5 B. 1 3 , 2 5 C. 1 3 , 2 4 D. 1 5 , 2 2 11 已知抛物线 2 :4C yx和直线: 10l xyF , 是抛物口回线 C 的焦点， P 是直线l上一点过点 P 作抛物线 C 的一条切线与 y 轴交于点 Q，则 PQF 外接圆面积的最小值为 A 2 B 2 2 C2 D2 12有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六 根铁条端点处相连能 够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的
6、铁架（不考虑焊接处的长度损失），则此三棱锥体积的取 值范围是 A. 8 3 (0, 27 B. 2 3 (0, 3 C. 3 (0, 3 D. 16 3 (0, 27 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知二项式 6 1 x ax的展开式中的常数项为160，则 a_ 14观察分析下表中的数据： 多面体 面积（F） 顶点数（V） 棱数（E） 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中 , ,F V E所满足的等式是_. 15设函数 ( )e1 x f xx ，函数 g xmx ，若对于任意的 1 2,2x ，总存在 2 1,
7、2x ，使得 理科数学试卷 第 4 页 (共 6 页) 12 f xg x ，则实数 m 的取值范围是_. 16 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin :sin:sinln2:ln4:lnABCt， 且 2 CA CBmc ，有下列结论： 2 8t ； 2 2 9 m； 4t ，ln2a 时， ABC面积为 2 15ln 2 8 ； 当 5 28t 时，ABC为钝角三角形. 其中正确的是_（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求
8、作答。 （一）必考题：60 分。 17已知数列 , nn ab满足： 11 2 1 1 41 n nnn n b aabb a ，. （1）证明： 1 1 n b 是等差数列，并求数列 n b的通项公式； （2）设 1223341 . nnn Sa aa aa aa a ，求实数 a 为何值时4 nn aSb恒成立 18在Rt ABC中，ABC90 ，tanACB1 2.已知E，F分别是BC，AC的中点将 CEF 沿 EF 折起，使 C 到 C的位置且二面角 CEFB 的大小是 60 .连接 CB，CA，如图： （1）求证：平面 CFA平面 ABC； （2）求平面 AFC与平面 BEC所成二面
9、角的大小 理科数学试卷 第 5 页 (共 6 页) 19 20如图，设抛物线 2 1: 4(0)Cymx m 的准线l与x轴交于椭圆 22 2 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点 21 ,F F为 2 C的左焦点.椭圆的离 心率为 1 2 e ，抛物线 1 C与椭圆 2 C交于x轴上方一点P，连接 1 PF 并延长其交 1 C于点Q， M为 1 C上一动点，且在,P Q之间移动. （1）当 3 2 a b 取最小值时，求 1 C和 2 C的方程； （2）若 12 PFF的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ面积取最大值时，求面积最大值以 及此时直线MP的方程 理科数学试卷 第 6
10、页 (共 6 页) 21已知函数 ln x f xax e ，其中 a 为常数 （1）若直线 2 yx e 是曲线 yf x的一条切线，求实数 a 的值； （2）当1a时，若函数 ln x g xf xb x 在1,上有两个零点求实数 b 的取值范 围 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 1 xt yt ， （t 为参数），曲线 2 1: 1Cyx.以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4 2sin
11、4 - . （1）若直线 l 与 , x y轴的交点分别为 , A B，点 P 在 1 C上，求BA BP 的取值范围； （2）若直线 l 与 2 C交于M N, 两点，点 Q 的直角坐标为 2,1 ，求| |QMQN 的值. 23. 选修 45：不等式选讲 已知函数 223f xxxm,Rm （1）当2m 时，求不等式 3f x 的解集； （2）若,0x ，都有 2 f xx x 恒成立，求 m 的取值范围 理数答案 第 1 页，总 12 页 绝密启用前 【考试时间：2020 年 4 月 24 日下午 15001700】 湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考 理科数学试题参考答案及解析
12、理科数学试题参考答案及解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B C B A D C B D C B A D 1、B.【解析】由题意得，0,4P ，( 3,3)Q ，( 3,4PQ ，故选 B. 2、C【解析】设,xabi yabi，代入得 2 22 2346aabii，所以 2 22 24,36aab，解得1,1ab，所以2 2xy. 3、B 解析：设大正方体的边长为 x,则小正方体的边长为 31 22 xx，设落在小正 方形内的米粒数大约为
13、N，则 2 2 31 22 N 200 xx x ，解得：N 27. 4、 A 【解析】 = + = + 3 4 = + 3 4 ( ) = 1 4 + 3 4 ， 所以 = 1 4 , = 3 4，从而求得 = 1 3. 5、 D 解析： 函数 f(x)是偶函数， ()f xfx 在 R 上恒成立， 0m， 当0x时， 易得 21 x f x 为增函数， 0.522 3352a f logf logb f logc f， ， ， 22 325loglog，acb 6、C 由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥P ABC， 故 1AC ， 2PA， 5BCPC，2 2AB ，2 3
14、PB ， 理数答案 第 2 页，总 12 页 1 2 11 2 ABCPAC SS ， 1 22 22 2 2 PAB S ， 1 2 326 2 PBC S ， 该多面体的侧面最大面积为2 2故选 C 7、B 解析：双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足 2 4MFMNb， 即 2 min 4MFMNb， 又 21 22MFMNaMFMNa 2 2 3 2 2 b NFa a 2 22 3 24438 2 b ababab a 34802 bab aba 或 2 3 b a 2 2 2 e1,e 5 b a 或 13 1N 3 8、D【解析】由条件可得可行域，如图所示， 由 0 yx xy
15、a ,得A 2 2 a a ，.因为直线0xya与 直线yx垂直，所以只需圆心到 A 的距离小于等于 1 满足题意即可，即 22 331 22 aa ，解得6262a ，当a62时恒存在点满足题 意，故实数a的取值范围 62, 理数答案 第 3 页，总 12 页 9 、C【解析】 3 coscos 5 aBbAc由正弦定理，得 3 5 sinAcosBsinBcosAsinC， CA BsinCsin A B（）（） ， 3 5 sinAcosBsinBcosAsinAcosBcosAsinB（）， 整理，得4sinAcosBsinBcosA，同除以cosAcosB， 得4tanAtanB ，
16、由此可得 2 33 1 114 4 tanAtanBtanB tan AB tanAtanBtan B tanB tanB （）， A B、 是三角形内角， 且 tanA与tanB同号，A B 、 都是锐角，即00tanAtanB ， ， 11 4244tanBtanB tanBtanB 33 1 4 4 tan AB tanB tanB （）， 当且仅当 1 4tanB tanB ，即 1 2 tanB 时， tan A B（） 的最大值为3 4 10、B解析： 2 2cos1cos1sin 242 x xx ， 2 ( )sin1sinsinsinf xxxxx. 令 2 2 xk可得 2
17、 2 k x ，( )f x在区间0,上恰好取得一次最大值， 0 2 解得 1 2 . 令 2 2 22 kxk,解得： 2 2 22 kk x ， ( )f x在区间 2 5 , 36 上 是增函数， 2 32 53 65 ,解得 3 5 .综上, 13 25 .故选：B. 理数答案 第 4 页，总 12 页 11、答案：A 解析：将直线l与抛物线 C 联立 2 4 10 yx xy ，得 2 110xxy ，即直 线l与抛物线 C 相切，且切点为(1 ) 2 ,.又 P 是直线l上点，当点 P为切点(1 )2 , 时， 1(0 )Q,. 又 0(1 )F , ，此时 PQF 为直角三角形，
18、且外接圆的半径为 1，故圆的面积为.当点 P 不为 切点(1 ) 2 , 时，设点 00 1()P xx ,，切线斜率为 k，则切线方程为 00 1yxk xx ，即 00 10kxykxx .将切线方程与抛物线方程联立 2 00 4 10 yx kxykxx ，得 2 00 10 4 ky ykxx ，其中 0 110kkx，则 0 1 PQ kk x .此时切线方程化简得 0 0 1 yxx x ，则点 0 (0)Qx, ，可得 0FQ kx .又 1 PQFQ kk ，所以 PQF 为直角三角形.设 PQF 的外接圆的半径为 r，PF的中点为 00 11 , 22 xx M ，且点 M
19、为外接圆的圆心，则 2 2 rMQ 22 2 000 111 222 xxx ，所以 PQF 外接圆的面积为 2 2 0 1 2 x r ，当 0 0x 时，面积取到最小值为 2 ，综上， PQF 外接圆面积的最小值为 2 . 12、D 解析：设焊接的三棱锥形铁架如图所示，取AB的中点 D,连接,SD CD. 由题设条件易知AB 平面SCD,且 2 4 4 a SDCD，则SCD的面积为 2 1 4 22 a a,三 棱锥的体积 2 11 4 322 a Vaa 2 2 1 4 62 a a，02 2a，令 2 ,(0,8)at t,则 23 111 44 6262 t Vttt.令 23 1
20、 ( )4,(0,8) 2 f xtt t, 则 2 33 ( )8(8) 22 fttttt. 令( )0f t得 16 3 t ， 且 16 (0,) 3 t时，( )0f t，( )f t单调递增， 16 (0,) 3 t 时，( )0f t，( )f t单调递减，所以 2 max 164 ( )()16 327 f tf，则 V 的最 大值为 2 141216 3 1616 6276273 3 ,故此三棱锥体积的取值范围是 理数答案 第 5 页，总 12 页 16 3 (0, 27 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 132 【解析】 二项式 ax1 x
21、6 的展开式的通项是 Tr1Cr6 (ax)6 r 1 x r Cr6 a6 r (1)r x62r.令62r0，得r3，因此二项式 ax1 x 6 的展开式中的常数项是 C36 a6 3 (1)3160，故 a2. 14、2FVE 解析：凸多面体的面数为 F. 顶点数为 V 和棱数为 E， 正方体：F=6，V=8，E=12，得 F+VE=8+612=2； 三棱柱：F=5，V=6，E=9，得 F+VE=5+69=2； 三棱锥：F=4，V=4，E=6，得 F+VE=4+46=2. 根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数 F. 顶点数 V 和棱数 E 满足如下关系： 2FVE 再通过举四棱锥、六棱
22、柱、等等，发现上述公式都成立。 因此归纳出一般结论：2FVE 故答案为：2FVE 15、 1 , 2 解析：( )e1 ,( )e xx f xxfxx，对于任意的2,2x ，当2,0x 时， ( )0fx ，当0,2x时， ( )0fx ，即 ( )f x在2,0 上为减函数，在0,2上为增函 数。0x 为 ( )f x在2,2 上的极小值点，也是最小值点且最小值为 2,2 ， 对于任意的 11 min 2,2 , ( )1xf x ，而总存在 2 1,2x ，使得 12 ( )f xg x ， 1 min2 min ( )f xg x. g xmx ，0m 时， 2 0g x ，不合题意，
23、 0m 时， 22 ,2g xmxm m ， 此时1m ， 不合题意， 0m 时， 22 2 ,g xmxm m ， 2 min 2g xm ， 1 21, 2 mm . 16、解析： sin:sin:sinln2:ln4:lnABCt ， : :ln2:ln4:lna b ct ， 理数答案 第 6 页，总 12 页 故可设 ln2ak ， ln42 ln2bkk ， lnckt ， 0k . bacba ， l n 23 l n 2kck ， 则2 8t ，当 5 28t 时， 222 0abc ，故 ABC 为钝角三角形. 面 2 2ln5 22 cos 222222222 ckcba
24、ab cba abCabCBCA ， 又 2 CA CBmc ， 222 22 222 5ln 2 5ln 21 2 22 kc CA CBk m ccc . ln23 ln2kck ， 222 22222 555 18ln 222ln 2 kkk kck ，即 22 2 55ln 25 1822 k c ， 2 2 9 m .当 4t ， ln2a 时， ABC 的面积为 2 15ln 2 4 ，故四个结论中，只有不正确.填。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。
25、17、（1） 1 1 (1)(1)(2)2 nn n nnnnn bb b aabbb ， 1 1 11 2 n n b b 1 211 1 111 n nnn b bbb 数列 1 1 n b 是以4-为首项，1-为公差的等差数列 1 4(1)3 1 n nn b ， 12 1 33 n n b nn （2） 1 1 3 nn ab n 12231 11111 4 55 6(3)(4)444(4) nnn n Sa aa aa a nnnn 2 2(1)(36)8 4 43(3)(4) nn annanan aSb nnnn 由条件可知 2 (1)(36)80anan 恒成立即可满足条件，
26、设 2 ( )(1)3(2)8f nanan， 当1a 时，( )380f nn 恒成立,当1a 时，由二次函数的性质知不可能成立 当1a 时， 对称轴 3231 (1)0 2121 a aa ， f n在1,)为单调递减函数 理数答案 第 7 页，总 12 页 (1)(1)(36)84150faaa ， 15 4 a ，时4 n aSb恒成立 综上知：1a 时，4 n aSb恒成立 18【解析】()解法一：F 是 AC 的中点，AFCF.设 AC的中点 为 G， 连接 FG.设 BC的中点为 H， 连接 GH， EH.易证： CEEF， BEEF， BEC即为二面角 CEFB 的平面角BEC
27、60 ，而 E 为 BC 的中点易知 BEEC，BEC为等边三角形，EHBC. EFCE，EFBE，CEBEE，EF平面 BEC.而 EFAB， AB平面 BEC， ABEH， 即 EHAB. 由， BCABB， EH平面 ABC.G，H 分别为 AC，BC的中点GH 綊1 2AB 綊 FE，四 边形 EHGF 为平行四边形FGEH，FG平面 ABC，又平面 AFC.平 面 AFC平面 ABC.6 分 解法二：如图，建立空间直角坐标系，设 AB2. 则 A(0，0，2)，B(0，0，0)，F(0，2，1)，E(0，2，0)，C( 3，1，0) 设平面 ABC的法向量为 a(x1，y1，z1)，
28、BA (0，0，2)，BC ( 3，1， 0)， z 10， 3x1y10，令 x 11，则 a(1， 3，0)，设平面 AFC的法 向量为 b(x2， y2， z2)， AF (0， 2， 1)， AC ( 3， 1， 2)， 2y 2z20， 3x2y22z20， 令 x2 3，则 b( 3，1，2) a b0，平面 AFC平面 ABC.6 分 ()如图，建立空间直角坐标系，设 AB2.则 A(0，0，2)，B(0，0，0)，F(0，2， 1)，E(0，2，0)，C( 3，1，0)显然平面 BEC的法向量 m(0，0，1)，8 分 设平面 AFC的法向量为 n(x，y，z)，AC ( 3，
29、1，2)，AF (0，2， 1)， 2yz0， 3xy2z0， n( 3，1，2).9 分 cosm, n m n | m | | n 2 2 ，10 分 由图形观察可知，平面 AFC与平面 BEC所成的二面角的平面角为锐角 平面 AFC与平面 BEC所成二面角大小为 45 .12 分 理数答案 第 8 页，总 12 页 19、 20、（1）因为 1 , 2 c cm e a ，则2 ,3am bm，所以 3 2 a b 取最小值时1m， 此时抛物线 2 1: 4Cyx ，此时 2 2,3ab，所以椭圆 2 C的方程为 22 1 43 xy ； 理数答案 第 9 页，总 12 页 （2）因为
30、1 , 2 c cm e a ，则2 ,3am bm，设椭圆的标准方程为 22 22 1 43 xy mm ， 0011 ,P x yQ x y由 22 22 2 1 4 3 4 xy mm ymx 得 22 316120xmxm，所以 0 2 3 xm 或 0 6xm（舍去），代入抛物线方程得 0 2 6 3 ym，即 22 6 , 33 mm P ， 于是 12112 576 ,2,2 333 mmm PFPFaPFFFm，又 12 PFF的边长恰好是三个 连续的自然数，所以3m此时抛物线方程为 2 12yx ， 1 3,0 ,2,2 6FP，则 直线PQ的方程为2 63yx 联立 2 2
31、 63 12 yx yx ， 得 1 9 2 x 或 1 2x （舍去） ， 于是 9 , 3 6 2 Q 所以 2 2 925 22 63 6 22 PQ ， 设 2 ,3 6,2 6 12 t Mtt 到直线PQ的距离为d，则 2 6675 3022 dt ， 当 6 2 t 时， max 6755 6 3024 d，所以MPQ的面积最大值为 1255 6125 6 22416 此时 42 :66 33 MP yx 21、（1）函数( )f x的定义域为(0,)， 1 ( ) axae fx exex ， 曲线( )yf x在点 00 ,x y处的切线方程为 2 yx e . 由题意得 0
32、 0 00 12 , 2 ln a exe x xax ee 解得1a ， 0 xe.所以 a 的值为 1. （2）当1a时，( )ln x f xx e ，则 11 ( ) xe fx exex ，由( )0fx，得xe， 理数答案 第 10 页，总 12 页 由( )0fx，得0xe，则( )f x有最小值为( )0f e ， 即( ) 0f x ，所以 ln ( )ln xx g xxb ex ，(0)x ， 由已知可得函数 ln ln xx yx xe 的图象与直线 yb有两个交点， 设 ln ( )ln(0) xx h xxx xe ，则 2 22 11 ln1ln ( ) xexe
33、exx h x xxeex ， 令 2 ( )lnxexeexx ， 2 2 ( )2 eexex xex xx ， 由 2 20exex ，可知( )0x，所以( )x在(0,)上为减函数， 由( )0e，得0xe时，( )0x，当xe时，( )0x， 即当0xe时，( )0h x，当xe时，( )0h x， 则函数( )h x在(0, ) e上为增函数，在, e 上为减函数， 所以，函数( )h x在xe处取得极大值 1 ( )h e e ， 又 1 (1)h e ， 322 3 31 341h eee ee ， 所以，当函数( )g x在1,)上有两个零点时，b 的取值范围是 11 b
34、ee ， 即 1 1 ,b e e . 22、(1)由题意可知：直线l的普通方程为 10xy ， 1,0A ， 0, 1B 1 C的方程可化 为 22 10xyy，设点 P 的坐标为cos ,sin，0， cossin12sin10, 21 4 BA BP 理数答案 第 11 页，总 12 页 (2)曲线 2 C的直角坐标方程为： 22 228xy直线l的标准参数方程为 2 2 2 2 1 2 xm ym (m 为参数)，代入 2 C得： 2 270mm设 ,M N两点对应的参数分别为 12 ,m m 1212 2,70mmmm 故 12 ,m m异号 12 2QMQNmm 23、答案：（1）
35、当2m 时， 41(0) 3 ( ) |2 |23| 2 1(0) 2 3 45() 2 xx f xxxx xx 当 413 0 x x 解得 1 0 2 x当 3 0,13 2 x恒成立. 当 453 3 2 x x 解得 3 2 2 x ，此不等式的解集为 1 2, 2 . （2） 43(0) 3 ( ) |2 |23|3(0) 2 3 43() 2 xm x f xxxmmx xm x ， 当(,0)x 时， 3 3(0) 2 ( ) |2 |23| 3 43() 2 mx f xxxm xm x 当 3 0 2 x时，( )3f xm，当 3 ,( )43 2 xf xxm 单调递减， ( )f x的最小值为3m 设 2 ( )(0)g xxx x 理数答案 第 12 页，总 12 页 当 2 0,2 2xx x ，当且仅当 2 x x 时，取等号 2 2 2x x 即 2x 时，( )g x取得最大值 2 2 . 要使 2 ( )f xx x 恒成立，只需 32 2m ，即 2 23m .
