1、2019-2020 学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷一、选择题 1 （5 分）若 ab 则下列不等式正确的是（ ） Aa2b2 Bacbc Cac2bc2 Dacbc 2 （5 分）在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为 11，乙组数据的中位数为 9，则 x+y （ ） A6 B5 C4 D3 3 （5 分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A20 B24 C28 D32 4（5 分） 设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A若 m，n，则 mn B若 ，m，n，则 mn C若 m，n，nm，则 n
2、 D若 m，mn，n，则 5 （5 分）已知| |1，| |6， （ ）2，则向量 与向量 的夹角是（ ） A B C D 6 （5 分）已知圆的方程为 x2+y26x0，过点（1，2）的该圆的所有弦中，最短弦的长为 （ ） A B1 C2 D4 7 （5 分）设 aR，若关于 x 的不等式 x2ax+10 在区间1，2上有解，则（ ） 第 2 页（共 22 页） Aa2 Ba2 Ca Da 8 （5 分） 已知ABC 中， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边， acosAbcosB， 则ABC 为 （ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 9 （5
3、 分）已知等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn， （n+1）Sn（6n+18）Tn若 ，则 n 的取值集合为（ ） A1，2，3 B1，2，3，4 C1，2，3，5 D1，2，3，6 10 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，|） ，其图象相邻的两个对称中心 之间的距离为，且有一条对称轴为直线 x，则下列判断正确的是（ ） A函数 f（x）的最小正周期为 4 B函数 f（x）的图象关于直线 x对称 C函数 f（x）在区间，上单调递增 D函数 f（x）的图象关于点（，0）对称 11 （5 分）设函数，若关于 x 的方程 f2（x）af（x）+20 恰有 6 个不同的
4、实数根，则实数 a 的范围是（ ） A （2，2） B （2，3） C （3，4） D （2，4） 12 （5 分） 在ABC 中， AC6， BC7， cosA， O 是ABC 的内心， 若x， 其中 0x1，0y1，动点 P 的轨迹所覆盖的面积为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）已知 a0，b0，若 log4alog6blog9（a+b） ，则 14 （5 分）数列an中，若 a12，an+12an+3，则 a10 15 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB5，AC7，现向该矩形 ABC
5、D 内随机投一点 P，则APB 90的概率为 第 3 页（共 22 页） 16 （5 分）设向量 ， ， 满足| |1，| |2，| |3， 0若12，则| + + （1） |的最大值是 三三.解答题（解答题（17 题满分题满分 70 分，其他题满分分，其他题满分 70 分）分） 17 （10 分）已知函数 f（x） （）求 f（x）的定义域； （）设 是第三象限角，且 tan，求 f（）的值 18 （12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名中学生的笔试成绩， 按成绩分组，得到的频率分布表如所示 组号 分组 频数 频率 第 1 组 160，165） 5 0.05
6、0 第 2 组 165，170） 0.350 第 3 组 170，175） 30 第 4 组 175，180） 20 0.200 第 5 组 180，185） 10 0.100 合计 100 1.00 （1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试， 求：第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率 第 4
7、页（共 22 页） 19 （12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边， （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，ABC 的面积为，求边 b，c 20 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2， D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 （1）求证：PABD； （2）求证：平面 BDE平面 PAC； （3）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积 21 （12 分）已知等差数列an满足 a12，a6a4+4，公比为正数的等比数列bn满足 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设，求数列cn的前
8、 n 项和 Tn 22 （12 分）已知函数 f（x）ax23x+4（a0） （1）若 yf（x）在区间0，2上的最小值为，求 a 的值； （2）若存在实数 m，n 使得 yf（x）在区间m，n上单调且值域为m，n，求 a 的取值 范围 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷 参考答参考答案与试题解析案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （5 分）若 ab 则下列不等式正确的是（ ） Aa2b2 Bacbc Cac2bc2 Dacbc 【分析】根据不等式的性质结合特值法逐项判断即可 【解答】解：当 ba0
9、时，a2b2，故 A 错误； ab，当 c0 时，acbc，故 B 错误； ab，当 c0 时，ac2bc2，故 C 错误； ab，由不等式的可加性，不等号两端同时加上c，即可得到 acbc，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题 2 （5 分）在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为 11，乙组数据的中位数为 9，则 x+y （ ） A6 B5 C4 D3 【分析】甲组数据的众数为 11，得到 x1，乙组数据中间的两个数分别为 6 和 10+x，由 中位数是 9，解得 y2，由此能求出 x+y 【解答】解：由甲组数据的众数为 11，得到 x1， 乙组数据中间的两个
10、数分别为 6 和 10+x， 中位数是：9， 解得 y2， x+y3 故选：D 【点评】本题考查中位数、众数的和的求法，考查众数、中位数、茎叶图等基础知识， 考查理解能力、运算求解能力，是基础题 3 （5 分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） 第 6 页（共 22 页） A20 B24 C28 D32 【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱， 圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面 【解答】解：由三视图知
11、，空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 2， 在轴截面中圆锥的母线长是4， 圆锥的侧面积是 248， 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4， 圆柱表现出来的表面积是 22+22420 空间组合体的表面积是 28， 故选：C 【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几 何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端 4（5 分） 设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A若 m，n，则 mn B若 ，m，n，则 mn C若 m，n，nm，则 n D若 m，mn，
12、n，则 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合面面垂直的判定定 理即可找出正确选项 【解答】解：A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面； C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 第 7 页（共 22 页） D正确，由 m，mn 便得 n，又 n，即 故选：D 【点评】考查根据选项中的条件及结论想象对应图形的能力，两直线平行、两平面平行、 线面垂直的概念，以及面面垂直的判定定理 5 （5 分）已知| |1，| |6， （ ）2，则向量 与向量 的夹角是（
13、） A B C D 【分析】利用向量的运算法则及向量模的平方即是向量的平方求出，再利用向量的 数量积公式求出向量的夹角余弦，求出向量夹角 【解答】解：2 又， 3 即cosa，b316cosa，b， 得 cosa，b， a 与 b 的夹角为， 故选：C 【点评】本题考查向量的运算律；向量模的性质；利用向量的数量积公式求向量的夹角 6 （5 分）已知圆的方程为 x2+y26x0，过点（1，2）的该圆的所有弦中，最短弦的长为 （ ） A B1 C2 D4 【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，如何利用垂径定理求得答 案 【解答】解：由 x2+y26x0，得（x3）2+y29，圆心坐
14、标为（3，0） ，半径为 3 如图：当过点 P（1，2）的直线与连接 P 与圆心的直线垂直时，弦 AB 最短， 第 8 页（共 22 页） 则最短弦长为 故选：C 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，是基础题 7 （5 分）设 aR，若关于 x 的不等式 x2ax+10 在区间1，2上有解，则（ ） Aa2 Ba2 Ca Da 【分析】关于 x 的不等式 x2ax+10 在区间1，2上有解，x1， 2利用函数的单调性即可得出 【解答】解：关于 x 的不等式 x2ax+10 在区间1，2上有解， ，在 x1，2上有解，x1，2 函数 f（x），在1，2上单调递增， ，a 故选
15、：D 【点评】本题考查了函数的单调性、分离参数法，考查了转化思想和计算能力，属基础 题 8 （5 分） 已知ABC 中， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边， acosAbcosB， 则ABC 为 （ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 【分析】根据正弦定理化简可得 sin2Asin2B，再利用正弦函数的性质得出 A，B 的关 【解答】解：acosAbcosB， sinAcosAsinBcosB， sin2Asin2B， 2A2B 或 2A+2B180， AB 或 A+B90， 第 9 页（共 22 页） ABC 是等腰三角形或直角三角形 故选：D
16、 【点评】本题考查了三角形的形状判断，属于中档题 9 （5 分）已知等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn， （n+1）Sn（6n+18）Tn若 ，则 n 的取值集合为（ ） A1，2，3 B1，2，3，4 C1，2，3，5 D1，2，3，6 【分析】由题意可得，运用等差数列的求和公式和中项性质，可得 6+，即可得到 n 的集合 【解答】解：等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn， （n+1）Sn（6n+18）Tn， 即为， 则 6+， ，可得 n1，2，3，6， 故选：D 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中 档题 10 （
17、5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，|） ，其图象相邻的两个对称中心 之间的距离为，且有一条对称轴为直线 x，则下列判断正确的是（ ） A函数 f（x）的最小正周期为 4 B函数 f（x）的图象关于直线 x对称 第 10 页（共 22 页） C函数 f（x）在区间，上单调递增 D函数 f（x）的图象关于点（，0）对称 【分析】根据条件确定函数的解析式，然后根据解析逐一判断，即可得出结论 【解答】解：图象相邻的两个对称中心之间的距离为， 周期， f（x）sin（4x+） ，又 f（x）有一条对称轴为直线 x， ， ，|， ，f（x）sin（4x+） ， 对照选项，可得 C 正确 故选
18、：C 【点评】本题主要考查利用 yAsin（x+）的图象特征，由函数 yAsin（x+）的 部分图象求解析式，属于中档题 11 （5 分）设函数，若关于 x 的方程 f2（x）af（x）+20 恰有 6 个不同的实数根，则实数 a 的范围是（ ） A （2，2） B （2，3） C （3，4） D （2，4） 【分析】由已知中函数，若关于 x 的方程 f2（x）af（x）+20 恰有 6 个不同的实数解，可以根据函数 f（x）的图象分析出实数 a 的取值范围 【解答】解：函数的图象如下图所示： 关于 x 的方程 f2（x）af（x）+20 恰有 6 个不同的实数解， 令 tf（x） ，可得 t
19、2at+20， （*） 则方程（*）的两个解在（1，2， 第 11 页（共 22 页） 可得，解得 a（2，3） 故选：B 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析 式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键 12 （5 分） 在ABC 中， AC6， BC7， cosA， O 是ABC 的内心， 若x， 其中 0x1，0y1，动点 P 的轨迹所覆盖的面积为（ ） A B C D 【分析】画出图形，由已知条件便知 P 点在以 OA，OB 为邻边的平行四边形内，从而所 求面积为 2 倍的AOB 的面积，从而需求 SAOB：由余弦定理可以求出 AB 的长
20、为 5，根 据 O 为ABC 的内心，从而 O 到ABC 三边的距离相等，从而 SAOBSABC， 由面积公式可以求出ABC 的面积，从而求出AOB 的面积，这样 2SAOB便是所求的 面积 【解答】解：如图，根据题意知，P 点在以 OA，OB 为邻边的平行四边形内部，动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 2SAOB； 在ABC 中，cosBAC，AC6，BC7； 第 12 页（共 22 页） 由余弦定理得，； 解得 AB5，或 AB（舍去） ； 又 O 为ABC 的内心； SAOBSABC56sinBAC； 动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 故选：A 【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向
21、量数乘的几何意义，余弦定理，以及三角 形内心的定义，三角形的面积公式 SabsinC 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）已知 a0，b0，若 log4alog6blog9（a+b） ，则 【分析】设 log4alog6blog9（a+b）M，从而可得 a+b，然后解方程即可 【解答】解：设 log4alog6blog9（a+b）M， 则 a4M，b6M，a+b9M， 9M，a+b； ， 故答案为： 【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，同时考查了整体思想与转化思想的应用， 属基础题 14 （5 分）数列an中，若
22、 a12，an+12an+3，则 a10 2557 第 13 页（共 22 页） 【分析】本题可根据递推式的形式用待定系数法设 an+1t2（ant） ，然后解出 t 的值， 构造一个新数列bn是等比数列 通过求出新数列bn的通项公式即可得到数列an的通 项公式最终得到结果 【解答】解：由题意，设 an+1t2（ant） ， 整理，得 an+12ant， t3 an+1+32（an+3） ， a1+35， 令 bnan+3， 新数列bn是以 5 为首项，2 为公比的等比数列 bn52n 1，nN* an52n 13，nN* a105210 132557 故答案为：2557 【点评】本题主要考查
23、由递推式求通项公式时待定系数法的运用，数列的构造以及计算 能力，本题属中档题 15 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB5，AC7，现向该矩形 ABCD 内随机投一点 P，则APB 90的概率为 【分析】由已知求出矩形的面积，以及使APB90成立的 P 的对应的区域面积，利 用几何概型求值 【解答】解：由题意，AD，矩形的面积为 10，如图 而使APB90成立的区域为以 AB 为直径的半圆，面积为， 由几何概型公式得到向该矩形 ABCD 内随机投一点 P，则APB90的概率为： ； 故答案为： 第 14 页（共 22 页） 【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出满足向该矩形 ABCD
24、 内随机投一 点 P，则APB90的区域面积，利用公式解答 16 （5 分）设向量 ， ， 满足| |1，| |2，| |3， 0若12，则| + + （1） |的最大值是 +1 【分析】不妨设，则| + +（1） | ，表示线段 2x+3y+60（6x3）上的点到 圆 x2+y21 的距离，然后求出最大距离即可 【解答】解：| |1，| |2，| |3， 0， 不妨设， + +（1） （cos+33，sin+2） ， | + +（1） |， 12，| + +（1） |表示线段 2x+3y+60（6x3）上的点到圆 x2+y2 1 的距离， 在直角坐标系中画出线段线段 2x+3y+60（6x3
25、）和圆 x2+y21，如下： 第 15 页（共 22 页） 由图象知当| + +（1） |max|OA|+1+1+1 故答案为：+1 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算和向量模的几何意义，考查了转化思想与数形 结合思想，属中档题 三三.解答题（解答题（17 题满分题满分 70 分，其他题满分分，其他题满分 70 分）分） 17 （10 分）已知函数 f（x） （）求 f（x）的定义域； （）设 是第三象限角，且 tan，求 f（）的值 【分析】 （）由题意利用诱导公式、三角函数的定义域，求出 f（x）的定义域 （）由题意利用同角三角函数的基本关系求得 的正弦值和余弦值，再利用两角和差 的三角
26、公式、二倍角公式化简要求的式子，可得结果 【解答】解： （）对于函数 f（x），应 有 cosx0， 即 xk+，kZ，故函数的定义域为x|xk+，kZ （）设 是第三象限角，且 tan，sin2+cos21，sin，cos ， 第 16 页（共 22 页） 则函数 f（） 2cos+2sin 【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数的定义域，同角三角函数的基本关系，两角 和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题 18 （12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名中学生的笔试成绩， 按成绩分组，得到的频率分布表如所示 组号 分组 频数 频率 第 1 组 160，
27、165） 5 0.050 第 2 组 165，170） 0.350 第 3 组 170，175） 30 第 4 组 175，180） 20 0.200 第 5 组 180，185） 10 0.100 合计 100 1.00 （1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试， 求：第 4 组至少有一名学生被考官 A
28、 面试的概率 【分析】 （1）由频率分布直方图能求出第 2 组的频数，第 3 组的频率，从而完成频率分 布直方图 （2）第 3、4、5 组共有 60 名学生，由此利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生进入 第 17 页（共 22 页） 第二轮面试，能求出第 3、4、5 组分别抽取进入第二轮面试的人数 （3）设第 3 组的 3 位同学为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B2，第 5 组的 1 位 同学为 C1，利用列举法能出从这六位同学中抽取两位同学，第 4 组至少有一名学生被考 官 A 面试的概率 【解答】解： （1）由题可知，第 2 组的频数为 0.3510035
29、 人， 第 3 组的频率为0.300， 频率分布直方图如图所示， （4 分） （2）因为第 3、4、5 组共有 60 名学生， 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试， 每组抽取的人数分别为： 第 3 组：63 人， 第 4 组：62 人， 第 5 组：61 人， 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人进入第二轮面试 （7 分） （3）设第 3 组的 3 位同学为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B2，第 5 组的 1 位 同学为 C1， 则从这六位同学中抽取两位同学有 15 种选法，分别为： （A1，A2） ， （A1，A3） ， （A1
30、，B1） ， （A1，B2） ， （A1，C1） ， （A2，A3） ， （A2，B1） ， （A2， B2） ， （A2，C1） ， （A3，B1） ， （A3，B2） ， （A3，C1） ， （B1，B2） ， （B1，C1） ， （B2，C1） ， 其中第 4 组的 2 位同学 B1，B2中至少有一位同学入选的有 9，分别为： （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A3，B1） ， （A3，B2） ， （B1，B2） ， （B1， C1） ， （B2，C1） ， 第 18 页（共 22 页） 第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率为 （
31、12 分） 【点评】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能 力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题 19 （12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边， （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，ABC 的面积为，求边 b，c 【分析】 （1）由题意利用正弦定理、两角和差的三角公式、诱导公式求得 cosA 的值，可 得 A 的值 （2） 由题意利用三角形面积公式求得 bc 的值， 再利用余弦定理求得 b2+c2 的值， 可得 b、 c 的值 【解答】解： （1）由及正弦定理得， 整理得，sinAcosB+cosAs
32、inB2sinCcosA，即 sin（A+B）2sinCcosA 因为 sin（A+B）sin（C）sinC，且 sinC0， 所以， 又 0A，所以， （2）因为ABC 的面积， 所以，bc4 由余弦定理得，a2b2+c22bccosA， 所以，b2+c2 8， 联立解得，bc2 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，两角和差的三角公式， 属于中档题 20 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2， D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 （1）求证：PABD； （2）求证：平面 BDE平面 PAC； （3）当 PA
33、平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积 第 19 页（共 22 页） 【分析】 （1）运用线面垂直的判定定理可得 PA平面 ABC，再由性质定理即可得证； （2）要证平面 BDE平面 PAC，可证 BD平面 PAC，由（1）运用面面垂直的判定定 理可得平面 PAC平面 ABC，再由等腰三角形的性质可得 BDAC，运用面面垂直的性 质定理，即可得证； （3）由线面平行的性质定理可得 PADE，运用中位线定理，可得 DE 的长，以及 DE 平面 ABC，求得三角形 BCD 的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值 【解答】解： （1）证明：由 PAAB，PABC， AB平面 ABC，B
34、C平面 ABC，且 ABBCB， 可得 PA平面 ABC， 由 BD平面 ABC， 可得 PABD； （2）证明：由 ABBC，D 为线段 AC 的中点， 可得 BDAC， 由 PA平面 ABC，PA平面 PAC， 可得平面 PAC平面 ABC， 又平面 PAC平面 ABCAC， BD平面 ABC，且 BDAC， 即有 BD平面 PAC， BD平面 BDE， 可得平面 BDE平面 PAC； （3）PA平面 BDE，PA平面 PAC， 且平面 PAC平面 BDEDE， 可得 PADE， 又 D 为 AC 的中点， 第 20 页（共 22 页） 可得 E 为 PC 的中点，且 DEPA1， 由 P
35、A平面 ABC， 可得 DE平面 ABC， 可得 SBDCSABC221， 则三棱锥 EBCD 的体积为DESBDC11 【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关 系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判 定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属 于中档题 21 （12 分）已知等差数列an满足 a12，a6a4+4，公比为正数的等比数列bn满足 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）设等差数列an的公差为 d，由 a12，a6a4
36、+4，解得 d，可得 an公比 q 为正数的等比数列bn满足利用通项公式可得 bn （2），利用错位相减法即可得出 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d，a12，a6a4+4， 2d4，解得 d2 an2+2（n1）2n 公比 q 为正数的等比数列bn满足 第 21 页（共 22 页） ，可得 q bn （2）， 数列cn的前 n 项和 Tn2+2+， Tn1+1+， Tn2+1+， Tn8 【点评】本题考查了等比数列与等差数列通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）ax23x+4（a0） （1）若 yf（x）在区间
37、0，2上的最小值为，求 a 的值； （2）若存在实数 m，n 使得 yf（x）在区间m，n上单调且值域为m，n，求 a 的取值 范围 【分析】 （1）对 a 分类利用二次函数求最小值，再由最小值为求 a 的值； （2）若 yf（x）在m，n上单调递增，则mn，可得 m，n 是方程 ax24x+40 的两个不同根，利用0 且当 x时，要有 ax24x+40 列式求得 a 的范围； 若 yf（x）在m，n上单调递减，则 mn，可得 m，n 是方程的 两个不同根，利用0 且当 x时，要有列式求解 a 的范 围，最后取并集得答案 【解答】解： （1）若 02，即 a时，解得 a； 若，即 0a时，解得 a（舍去） ； 综上，a 第 22 页（共 22 页） （2）若 yf（x）在m，n上单调递增，则mn， 则，即 m，n 是方程 ax24x+40 的两个不同根， 1616a0，即 0a1， 且当 x时，要有 ax24x+40， 即，可得 a a1； 若 yf（x）在m，n上单调递减，则 mn， 则，两式相减得 将 m代入 an23n+4m，得 即 m，n 是方程的两个不同根， 0，即 0， 且当 x时，要有 即，解得 a， a 综上，a，） 【点评】本题考查函数与方程的综合运用，考查数学转化思想方法，训练了一元二次方 程根的分布，属难题
