1、2018-2019 学年湖南师大附中高二 （下）第一次段考数学试卷（理科）（3 月份）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知 a，b 都是实数，那么“2a2b”是“a2b2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 （5 分）如图，在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且 BD2DC，若，则 （ ） A B C2 D 3 （5 分）对于程序：试问，若输入 m4，则输出的数为（ ） INPU
2、T m IF m4 THEN m2*m+1 ELSE m1m END IF PRINT m END A9 B7 C5 或7 D5 4 （5 分）定义运算adbc，若复数 z 满足0（i 为虚数单位） ，则 z 的共 轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5 （5 分）已知正项等差数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） ，则 S11的值 为（ ） 第 2 页（共 26 页） A11 B12 C20 D22 6 （5 分）某城市有连接 8 个小区 A，B，C，D，E，F，G，H 和市中心 O 的整齐方格形道 路网，每个小方格均为正方形，如图所示某人从
3、道路网中随机地选择一条最短路径， 由小区 A 前往小区 H，则他经过市中心 O 的概率为（ ） A B C D 7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几 何体的体积为（ ） A B C D 8 （5 分）已知函数 f（x）sin（x） ，且f（x）dx0，则函数 f（x）的图象的一 条对称轴是（ ） Ax Bx Cx Dx 9 （5 分）已知 A，B 是函数 y2x的图象上的相异两点若点 A，B 到直线的距离相 等，则点 A，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A （，1） B （，2） C （，3） D （，4） 10 （5 分） 在二项式的展开
4、式中， 各项系数之和为 A， 各项二项式系数之和为 B， 且 A+B72，则展开式中常数项的值为（ ） A6 B9 C12 D18 11 （5 分）已知点 P 为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲 第 3 页（共 26 页） 线的左、右焦点， I 为PF1F2的内心（三角形 PF1F2内切圆的圆心） ，若 （分别表示IPF1， IPF2，IF1F2的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A （1，2 B （1，2） C （2，3） D （2，3 12 （5 分）已知 f（x）是定义在区间上的函数，f（x）是 f（x）的导函数，且 ，则不等式的解集是（ ） A （，1） B （1
5、，+） C D （0，1） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2xy 的取值范围为 14 （ 5 分 ） 已 知 等 比 数 列 an 满 足 a3 4 ， 前 n 项 和 Sn满 足， 则 等于 15 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，抛物线 M：y22px（p0）与圆相 交于两点，且两点间的距离为，则抛物线 M 的焦点到其准线的距离为 16 （5 分）设定义域为（0，+）的单调函数 f（x） ，对任意的 x（0，+） ，都有 ff（x） log2x6，若 x0是方程 f（x
6、）f（x）4 的一个解，且 x0（a，a+1） （aN*） ，则 实数 a 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且满足： （1）求角 C 的大小； （2）若且 a2，求ABC 的面积 18 （12 分）在四棱锥 PABCD
7、中，ADABPDPB2 第 4 页（共 26 页） （）若点 E 为 PC 的中点，求证：BE平面 PAD； （）当平面 PBD平面 ABCD 时，求二面角 CPDB 的余弦值 19 （12 分） “大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出 的口号某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合 理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 （xi， yi） （i1，2， ， 6） ，如表所示： 试销单价 x（元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 y（件） q 84 83 80 75 68 已知80 （）求出 q 的值； （）已知变
8、量 x，y 具有线性相关关系，求产品销量 y（件）关于试销单价 x（元）的 线性回归方程；可供选择的数据：， （） 用表示用 （） 中所求的线性回归方程得到的与 xi对应的产品销量的估计值 当 销售数据（xi，yi）对应的残差的绝对值时，则将销售数据（xi，yi）称为 一个“好数据” 现从 6 个销售数据中任取 3 个，求“好数据”个数 的分布列和数学期 望 E（） （参考公式： 线性回归方程中 ， 的最小二乘估计分别为，） 20 （12 分）设椭圆（ab0）的离心率为，圆 O：x2+y22 与 x 轴 正半轴交于点 A，圆 O 在点 A 处的切线被椭圆 C 截得的弦长为 第 5 页（共 26
9、 页） （）求椭圆 C 的方程； （） 设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 M， N， 试判断|PM|PN|是否为定值？ 若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）x（lnxax） （aR） （1）当 a0 时，求函数 f（x）的最小值； （2）设 g（x）ax2（a1）x+a，若对任意的 x（1，+） ，都有 f（x）+g（x）0， 求整数 a 的最大值 （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选两题中任选-题作答，如果多作答，则按所做的第题作答，如果多作答，则按所做的第 一题计分）一题计分）
10、选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2acos（a 0） ，且曲线 C 与直线 l 有且仅有一个公共点 （）求 a； （）设 A、B 为曲线 C 上的两点，且AOB，求|OA|+|OB|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|2|x+1|的最大值 a（aR） （）求 a 的值； （）若（m0，n0） ，试比较 m+2n 与 2 的大小 第 6 页（共 26 页） 2018-
11、2019 学年湖南师大附中高二 （下） 第一次段考数学试卷 （理学年湖南师大附中高二 （下） 第一次段考数学试卷 （理 科） （科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知 a，b 都是实数，那么“2a2b”是“a2b2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】a2b2|a|b|ab2a2bab即
12、可得出结论 【解答】解：a2b2|a|b|ab 2a2bab 那么“2a2b”是“a2b2”的既不充分也不必要条件 故选：D 【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 2 （5 分）如图，在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且 BD2DC，若，则 （ ） A B C2 D 【分析】根据向量加减的几何意义可得，问题得以解决 【解答】解：BD2DC， +（）+， ， 第 7 页（共 26 页） ， ， 故选：A 【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题 3 （5 分）对于程序：试问，若输入 m4，则输出的数为（ ） IN
13、PUT m IF m4 THEN m2*m+1 ELSE m1m END IF PRINT m END A9 B7 C5 或7 D5 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是计算分段函数 y的函数值 【解答】解：由图可知： 该程序的作用是计算分段函数 y的函数值 当输入 m4 时，输出的是：1（4）5 故选：D 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型， 其处理方法是：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的 类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据 进行
14、分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解 模 4 （5 分）定义运算adbc，若复数 z 满足0（i 为虚数单位） ，则 z 的共 轭复数 在复平面内对应的点在（ ） 第 8 页（共 26 页） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由已知得2iz+i（1i）0，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由题意，2iz+i（1i）0， z， 则， 在复平面内对应的点的坐标为（） ，在第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 5 （5 分）已知正项等差数列an的前 n 项和为 Sn（nN*）
15、 ，则 S11的值 为（ ） A11 B12 C20 D22 【分析】 推导出0， 且 a60， 解得 a62， 利用 S1111a6， 能求出结果 【解答】解：正项等差数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） ， 0，且 a60， 解得 a62， S1111a622 故选：D 【点评】本题考查等差数列的前 11 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 6 （5 分）某城市有连接 8 个小区 A，B，C，D，E，F，G，H 和市中心 O 的整齐方格形道 路网，每个小方格均为正方形，如图所示某人从道路网中随机地选择一条最短路径， 由小区 A 前往小区 H，则他经过
16、市中心 O 的概率为（ ） 第 9 页（共 26 页） A B C D 【分析】此人从小区 A 前往 H 的所有最短路径共 6 条记“此人经过市中心 O”为事件 M，则 M 包含的基本事件为共 4 个由此能求出他经过市中心的概率 【解答】解：此人从小区 A 前往 H 的所有最短路径为： ABCEH，ABOEH， ABOGH，ADOEH， ADOGH，ADFGH， 共 6 条 记“此人经过市中心 O”为事件 M，则 M 包含的基本事件为： ABOEH，ABOGH， ADOEH，ADOGH， 共 4 条 P（M） 即他经过市中心的概率为， 故选：B 【点评】本题考查概率的应用，是基础题解题时要认真
17、审题，仔细解答，注意列举法 的灵活运用 7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几 何体的体积为（ ） A B C D 第 10 页（共 26 页） 【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用体积公式求出结果 【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体是由一个底面面积为24 的直角 三角形， 高为 2 的三棱锥体， 故：V 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换的应用，几何体的体积公式的应 用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 8 （5 分）已知函数 f（x）sin（x） ，且f（x）dx0，则函数 f（
18、x）的图象的一 条对称轴是（ ） Ax Bx Cx Dx 【分析】由f（x）dx0 求得cos（+）0，故有 +k+，kz可 取 ，则 f（x）sin（x） 令 xk+，求得 x 的值，可得函数 f（x）的图象的一条对称轴方程 【解答】解：函数 f（x）sin（x） ， f（x）dxcos（x）cos（）cos（）cos sincos（+）0， +k+，kz，即 k+，kz，故可取 ，f（x）sin（x） 令 xk+，求得 xk+，kZ， 则函数 f（x）的图象的一条对称轴为 x， 故选：A 【点评】本题主要考查定积分，函数 yAsin（x+）的图象的对称性，两角和差的三 角公式的应用，属于中
19、档题 第 11 页（共 26 页） 9 （5 分）已知 A，B 是函数 y2x的图象上的相异两点若点 A，B 到直线的距离相 等，则点 A，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A （，1） B （，2） C （，3） D （，4） 【分析】依题意可得，利用均值不等式即可求解， 【解答】解：不妨设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， （x1x2） ， 可得， 利用均值不等式 1 x1+x22， 故选：B 【点评】本题考查了指数运算，均值不等式，属于中档题 10 （5 分） 在二项式的展开式中， 各项系数之和为 A， 各项二项式系数之和为 B， 且 A+B72，则展开式中常数项的值为（ ）
20、A6 B9 C12 D18 【分析】通过给 x 赋值 1 得各项系数和，据二项式系数和公式求出 B，列出方程求出 n， 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 0 得常数项 【解答】解：在二项式的展开式中， 令 x1 得各项系数之和为 4n A4n 据二项展开式的二项式系数和为 2n B2n 4n+2n72 解得 n3 的 展 开 式 的 通 项 为 令得 r1 故展开式的常数项为 T23C319 故选：B 第 12 页（共 26 页） 【点评】本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法；考查二项式系数的性质；考查 二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 1
21、1 （5 分）已知点 P 为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，I 为PF1F2的内心（三角形 PF1F2内切圆的圆心） ，若 （分别表示IPF1， IPF2，IF1F2的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A （1，2 B （1，2） C （2，3） D （2，3 【分析】设内切圆半径为 r，用 a，c，r 表示出三角形的面积，根据面积关系化简即可得 出离心率的范围 【解答】解：设三角形 PF1F2内切圆的半径为 r， 则|PF1|r，|PF2|r，|F1F2|rcr， |PF1|r|PF2|r2arar， arcr，即 2ac， e2，又 e1， 1e2
22、故选：A 【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题 12 （5 分）已知 f（x）是定义在区间上的函数，f（x）是 f（x）的导函数，且 ，则不等式的解集是（ ） A （，1） B （1，+） C D （0，1） 【分析】构造函数 g（x）， （x） ，判断 g（x）的单调性，再根据换元法求出 不等式的解 【解答】解：令 g（x）， （x） ，则 g（x） ， 第 13 页（共 26 页） x，xf（x）ln2xf（x） ， g（x）0，即 g（x）在（，+）上单调递增， 又 g（）1， 、 当x时，g（x）1，即 f（x）ln2x， 令t，则 xln2t， 不等式 f（）x 等价于 f（t
23、）ln2t， t，即，故 1exe， 解得 0x1 故选：D 【点评】本题考查了函数单调性的判断与应用，根据条件构造函数 g（x）是解题的关键， 属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2xy 的取值范围为 （1，6） 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 14 页（共 26 页） 化目标函数 z2xy 为 y2xz， 由图可知，当直线 y2xz 过点
24、A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为1； 当直线 y2xz 过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 6 z2xy 的取值范围为（1，6） 故答案为： （1，6） 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 14 （ 5 分 ） 已 知 等 比 数 列 an 满 足 a3 4 ， 前 n 项 和 Sn满 足， 则 等于 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q，a34，前 n 项和 Sn满足， q1，4，9， 联立解得：a11，q2 则 （a1+a3+a19） + （a2+a4+a20） 2
25、（a1+a3+a19）2 故答案为： 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 15 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，抛物线 M：y22px（p0）与圆相 第 15 页（共 26 页） 交于两点，且两点间的距离为，则抛物线 M 的焦点到其准线的距离为 【分析】依题意不妨设抛物线 M：y22px（p0）与圆 C 的一个交点为 O，设令一个交 点为 A（x1，y1） ，又因为点 A 在抛物线上，求出 p 的值，问题得以解决 【解答】解：依题意不妨设抛物线 M：y22px（p0）与圆 C 的一个交点为 O，设另一 个交点为 A（x1，y1） 又|OA
26、|， cosAOC， 则AOC， 点 A 坐标为（，） ，代入抛物线方程，解得 p， 则抛物线 M 的焦点到其准线的距离为 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力 16 （5 分）设定义域为（0，+）的单调函数 f（x） ，对任意的 x（0，+） ，都有 ff（x） log2x6，若 x0是方程 f（x）f（x）4 的一个解，且 x0（a，a+1） （aN*） ，则 实数 a 1 【分析】由题意可得 f（x）log2x 为定值，设为 t，代入可得 t4，进而可得函数的解 析式，化方程有解为函数 F（x）f（x）f（x）4log2x有零点，易得 F （1）0，F（2
27、）0，由零点的判定可得答案 【解答】解：根据题意，对任意的 x（0，+） ，都有 ff（x）log2x6， 又由 f（x）是定义在（0，+）上的单调函数， 则 f（x）log2x 为定值， 第 16 页（共 26 页） 设 tf（x）log2x，则 f（x）t+log2x， 又由 f（t）6，可得 t+log2t6， 可解得 t4，故 f（x）4+log2x，f（x）， 又 x0是方程 f（x）f（x）4 的一个解， 所以 x0是函数 F（x）f（x）f（x）4log2x的零点， 分析易得 F（1）0，F（2）110， 故函数 F（x）的零点介于（1，2）之间，故 a1， 故答案为：1 【点评
28、】本题考查函数的零点的判断，涉及导数的运算和性质，属中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且满足： （1）求角 C 的大小； （2）若且 a2，求ABC 的面积 【分析】 （1）利用正弦定理，余弦定理建立方程关系进行求
29、解即可 （2）根据条件求出 A 的大小，结合正弦定理求出 c 的值，结合三角形的面积公式进行计 算即可 【解答】解： （1） 由正弦定理 a2+b2c22absinC 即 cosCsinC， 即 tanC， 则 C， （2）， asinBbcosA， 即 sinAsinBsinBcosA， 第 17 页（共 26 页） sinB0， sinAcosA，即 tanA1， 则 A，B， a2， 得，得 c， 则三角形的面积 SacsinB2sin（+）（+） 【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角形的面积，两 角和差的正弦公式进行转化求解是解决本题的关键考查学生的计算能力
30、 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ADABPDPB2 （）若点 E 为 PC 的中点，求证：BE平面 PAD； （）当平面 PBD平面 ABCD 时，求二面角 CPDB 的余弦值 【分析】 （）取 CD 的中点为 M， 连结 EM，BM 证明ADC90， 得到 BMAD可 得 BM平面 PAD再证明 EM平面 PAD由面面平行的判定可得平面 BEM平面 PAD从而得到 BE平面 PAD； （）连结 AC，交 BD 于点 O，连结 PO，由对称性知，O 为 BD 的中点，且 ACBD， POBD由已知得到 PO平面 ABCD，POAO1，CO3以 O 为坐标原点，的 方向为 x 轴正
31、方向， 建立空间直角坐标系 Oxyz 分别求出平面 PBD 的一个法向量与平 面 PCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 CPDB 的余弦值 【解答】 （）证明：取 CD 的中点为 M，连结 EM，BM 由已知得，BCD 为等边三角形，BMCD ADAB2， ADBABD30， 第 18 页（共 26 页） ADC90，BMAD 又BM平面 PAD，AD平面 PAD， BM平面 PAD E 为 PC 的中点，M 为 CD 的中点，EMPD 又EM平面 PAD，PD平面 PAD， EM平面 PAD EMBMM，平面 BEM平面 PAD BE平面 BEM，BE平面 PAD； （）
32、解：连结 AC，交 BD 于点 O，连结 PO，由对称性知，O 为 BD 的中点，且 AC BD，POBD 平面 PBD平面 ABCD，POBD， PO平面 ABCD，POAO1，CO3 以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz 则 D（0，0） ，C（3，0，0） ，P（0，0，1） 易知平面 PBD 的一个法向量为 设平面 PCD 的法向量为， 则， ， 令，得 x1，z3， cos 由图可知二面角 CPDB 为锐角， 二面角 CPDB 的余弦值为 第 19 页（共 26 页） 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空
33、间向量求解二面角的大小，是中档题 19 （12 分） “大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出 的口号某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合 理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 （xi， yi） （i1，2， ， 6） ，如表所示： 试销单价 x（元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 y（件） q 84 83 80 75 68 已知80 （）求出 q 的值； （）已知变量 x，y 具有线性相关关系，求产品销量 y（件）关于试销单价 x（元）的 线性回归方程；可供选择的数据：， （） 用表示用 （） 中所求的线性
34、回归方程得到的与 xi对应的产品销量的估计值 当 销售数据（xi，yi）对应的残差的绝对值时，则将销售数据（xi，yi）称为 一个“好数据” 现从 6 个销售数据中任取 3 个，求“好数据”个数 的分布列和数学期 第 20 页（共 26 页） 望 E（） （参考公式： 线性回归方程中 ， 的最小二乘估计分别为，） 【分析】 （）根据 y 的平均数求出 q 的值即可； （）分别求出回归方程的系数的值，求出回归方程即可； （）根据回归方程分别计算出共有 3 个“好数据” ，求出满足条件的概率，列出分布列， 求出均值即可 【解答】解： （），可得： （q+84+83+80+75+68）80， 求得
35、q90（2 分） （），（4 分） ， 所以所求的线性回归方程为（6 分） （）利用（）中所求的线性回归方程， 可得，当 x14 时，；当 x25 时，； 当 x36 时，；当 x47 时，； 当 x58 时，；当 x69 时， 与销售数据对比可知满足（i1，2，6）的共有 3 个“好数据” ： （4，90） 、 （6，83） 、 （8，75） （8 分） 于是 的所有可能取值为 0，1，2，3 ； 第 21 页（共 26 页） ；， 的分布列为： 0 1 2 3 P 于是（12 分） 【点评】本题考查了求平均数和回归方程问题，考查分布列以及均值问题，是一道中档 题 20 （12 分）设椭圆（
36、ab0）的离心率为，圆 O：x2+y22 与 x 轴 正半轴交于点 A，圆 O 在点 A 处的切线被椭圆 C 截得的弦长为 （）求椭圆 C 的方程； （） 设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 M， N， 试判断|PM|PN|是否为定值？ 若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 【分析】 （）根据离心率得到，代入椭圆方程，根据题意得知点在 椭圆上，并将该点的坐标代入椭圆，可求出 b 的值，进而得出 a 的值，从而求出椭圆 C 的方程； （）对圆 O 在点 P 处的切线的斜率是否存在进行分类讨论 一是斜率不存在时，可得出点 M、N 的坐标，从而求出|PM|PN|的值； 二是斜
37、率存在时，设该切线方程为 ykx+m，设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，由直线 MN 与圆 O 相切得出 m 与 k 之间所满足的关系式， 并将直线 MN 的方程与椭圆 C 的方程联立， 列出韦达定理，利用向量数量积的运算得出，得出 OMON，由OMP 与 NOP 相似得，|OP|2|PM|PN|，于是证出结论 【解答】解： （）设椭圆的半焦距为 c，由椭圆的离心率为知， 椭圆 C 的方程可设为 易求得，点在椭圆上， 第 22 页（共 26 页） 解得，椭圆 C 的方程为； （）当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由（） 知， ，则，OMON 当过点
38、P 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 ykx+m，M（x1，y1） ， N（x2，y2） ， ，即 m22（k2+1） 联立直线和椭圆的方程得 x2+2（kx+m）26， （1+2k2）x2+4kmx+2m260，得 ，OMON x1x2+（kx1+m） （kx2+m） ， 综上所述，圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 M，N，都有 OMON 在 RtOMN 中，由OMP 与NOP 相似得，|OP|2|PM|PN|2 为定值 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在椭圆中的 应用，并结合向量运算一起考查，考查计算能力，属于难题 21
39、（12 分）已知函数 f（x）x（lnxax） （aR） （1）当 a0 时，求函数 f（x）的最小值； （2）设 g（x）ax2（a1）x+a，若对任意的 x（1，+） ，都有 f（x）+g（x）0， 求整数 a 的最大值 第 23 页（共 26 页） 【分析】 （1）求出函数的导数，得到极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性， 然后求解最小值 （2）由题意 f（x）+g（x）0 对任意的 x（1，+）恒成立，可得 xlnx（a1）x+a 0 对任意的 x（1，+）恒成立即对任意的 x（1，+）恒成立 （*） 记， 得， 设t （ x ） x 2 lnx ， ，利用函数的导数求解函数的单
40、调性求出函数的最值即可 【解答】解： （1）当 a0 时，f（x）xlnx，定义域为（0，+） f（x）lnx+1，令 f （x）0，可得 列表： x （0，） （，+） f（x） 0 + f（x） 增函数 极小值 减函数 所以，函数 f（x）的最小值为 （2）由题意 f（x）+g（x）0 对任意的 x（1，+）恒成立， 可得 xlnx（a1）x+a0 对任意的 x（1，+）恒成立 即对任意的 x（1，+）恒成立 （*） 记，得， 设 t（x）x2lnx，则 t（x）在（1，+）是单调增函数， 又 t（3）1ln30，t（4）2ln40，且 t（x）在3，4上的图象是不间断的， 所以，存在唯一
41、的实数 x0（3，4） ，使得 t（x0）0， 当 1xx0时，t（x）0，（x）0，（x）在（1，x0）上递减； 当 xx0时，t（x）0，（x）0，（x）在（x0，+）上递增 所以当 xx0时，（x）有极小值，即为最小值， 又 t（x0）x02lnx00，故 lnx0x02，所以， 第 24 页（共 26 页） 由（*）知，ax0，又 x0（3，4） ，aZ， 所以整数 a 的最大值为 3 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化 思想以及计算能力 （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选两题中任选-题作答，
42、如果多作答，则按所做的第题作答，如果多作答，则按所做的第 一题计分）一题计分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2acos（a 0） ，且曲线 C 与直线 l 有且仅有一个公共点 （）求 a； （）设 A、B 为曲线 C 上的两点，且AOB，求|OA|+|OB|的最大值 【分析】 （）直线 l 的参数方程消去参数，能求出直线 l 的普通方程；由曲线 C 的极坐 标方程能求出曲线 C 的直角坐标方程，依题意直线 l
43、 与圆相切，由此能求出 a 的值 （）设 A（1，） ，B（2，） ，则|OA|+|OB|1+22cos+2cos（） 3cos2cos（） ，由此能求出|OA|+|OB|的最大值 【解答】解： （）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 直线 l 的普通方程是 x+30， 曲线 C 的极坐标方程为 2acos（a0） ， 曲线 C 的直角坐标方程是（xa）2+y2a2， 依题意直线 l 与圆相切，则 da， 解得 a3，或 a1， a0，a1 （）如图，不妨设 A（1，） ，B（2，） ， 则 12cos， 第 25 页（共 26 页） |OA|+|OB|1+22cos+2cos（）3co
44、s2cos（） ， +2k，即，kZ 时，|OA|+|OB|最大值是 2 【点评】本题考查实数值的求法，考查两线段和的求法，考查参数方程、直角坐标方程、 极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|2|x+1|的最大值 a（aR） （）求 a 的值； （）若（m0，n0） ，试比较 m+2n 与 2 的大小 【分析】 （）去掉绝对值，利用分段函数写出 f（x）的解析式，再计算 f（x）的最大值 a； （）由2，利用基本不等式求 m+2n 的最小值即可 【解答】解： （）函数 f（x）|x1|2|x+1| ； f（x）的最大值为 f（1）2， a2； （）2， 且 m0，n0， m+2n（m+2n）（+） （2+）（2+2）2， 第 26 页（共 26 页） 当且仅当，即 m1，n时等号成立； 所以 m+2n2 【点评】本题考查了含有绝对值的函数以及基本不等式的应用问题，是基础题
