1、2018-2019 学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知全集 U1，0，1，2，3，4，A1，0，2，4，则UA（ ） A B0，2，4 C1，3 D1，1，3 2 （4 分）设 f（x）3x+3x8，用二分法求方程 3x+3x80 在 x（1，2）内近似解的过 程中得 f（1）0，f（1.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间（ ） A （1，1.25） B （1.25，1.5） C （1
2、.5，2） D不能确定 3 （4 分）如果直线 ax+2y+10 与直线 x+y20 互相平行，那么 a 的值等于（ ） A2 B C D2 4 （4 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c 若 a3，则 B （ ） A B C或 D 5 （4 分）如图的程序运行后输出的结果为（ ） A17 B22 C25 D28 6 （4 分）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置 关系是（ ） A异面 B相交 C平行 D不能确定 7 （4 分）若ABC 中，cosA，cosB，则 cosC 的值为（ ） A B C D 8 （4 分）要从已编号（160）
3、的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试 验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是 第 2 页（共 25 页） （ ） A05，10，15，20，25，30 B03，13，23，33，43，53 C01，02，03，04，05，06 D02，04，08，16，32，48 9 （4 分）取一根长度为 5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小 于 2m 的概率是（ ） A B C D 10 （4 分）已知| |2| |0，且关于 x 的方程 x2+| |x+ 0 有实根，则 与 的夹角的 取值范围是（ ） A0， B，
4、 C， D， 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11 （4 分）已知 m0，n0，且 m+n4，则 mn 的最大值是 12 （4 分）已知函数 f（x）的值为 13 （4 分）等差数列an中，a33，a833，则an的公差为 14 （4 分）函数 y的定义域为 15 （4 分）如图，正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个大圆 上，点 P 在球面上，如果 VPABCD，则球 O 的表面积是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 40 分解答应写出文字说明，
5、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （8 分）某校从参加环保知识竞赛的 1200 名学生中，随机抽取 60 名，将其成绩（均为 整数）分成六段40，50） ，50，60） ，90，100后画出如图的频率分布直方图 （1）估计这次竞赛成绩的众数与中位数（结果保留小数点后一位） ； （2）若这次竞赛成绩不低于 80 分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的 第 3 页（共 25 页） 1200 名学生中可以获得礼物的人数 17 （8 分）已知函数的图象经过点 （1）求 a 的值； （2）求函数 f（x）的定义域和值域； （3）证明：函数 f（x）是奇函数 18
6、 （8 分）如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PA底面 ABCD，E 为 PD 的中点 （1）求证：PB平面 AEC； （2）求证：CD平面 PAD； （3）若三棱锥 CADE 的体积为，求四棱锥 PABCD 的侧面积 19 （8 分）已知向量，xR （1）若，求 tanx 的值； （2）设函数，求 f（x）的值域 20 （8 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2，an，Sn成等差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Tn； （3）对于（2）中的 Tn，设，求数列cn中的最大项 第 4 页（共 25 页） 一、选
7、择题：本大题共一、选择题：本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 15 分，在每小分，在每小题给出的四个选项中，有题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的且只有一项是符合题目要求的 21 （5 分）给出下列四个命题： 命题“若 X21，则 x1”的否命题为： “若：x21，则 x0” ； 命题“xR，x2+x10”的否定是“xR，x2+x10” ； 命题“若：xy，则 sinxsiny”的逆否命题为真命题； “x1”是“x25x60 的必要不充分条件 其中真命题的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 22 （5 分）双曲线1（a0，b0）的两顶点
8、为 A1，A2，虚轴两端点为 B1，B2， 两焦点为 F1， F2， 若以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2， 则双曲线的离心率是 （ ） A1 B C D+1 23 （5 分）设 a1，a2，an是 1，2，n 的一个排列，把排在 ai的左边且比 ai小的数 的个数为 ai（i1，2，n）的顺序数，如在排列 6，4，5，3，2，1 中，5 的顺序数为 1， 3 的顺序数为 0，则在 1 至 8 这 8 个数的排列中，8 的顺序数为 2，7 的顺序数为 3，5 的 顺序数为 3 的不同排列的种数为（ ） A48 B120 C144 D192 二、填空题：本大题二、填空题：本大题共
9、共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分分 24 （5 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛 物线 C 的极坐标方程为 cos24sin （0） ， 直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 设直线 l 与抛物线 C 的两交点为 A、B，点 F 为抛物线 C 的焦点，则|AF|+|BF| 25 （5 分）若存在实数 a，b（0ab）满足 abba，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 2 小题，共小题，共 25 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 26 （
10、12 分）设椭圆 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A， 过点 A 与 AF2垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q，且 （1）求椭圆 C 的离心率； 第 5 页（共 25 页） （2）若过 A、Q、F2三点的圆恰好与直线 l：相切，求椭圆 C 的方程； （3）在（2）的条件下，过右焦点 F2作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，在 x 轴上是否存在点 P（m，0）使得以 PM，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在， 求出 m 的取值范围，如果不存在，说明理由 27 （13 分）已知函数 f（x）ln（x+1） ， （1）若 a0，f（x）g（x）在（0，+）上
11、恒成立，求 b 的取值范围； （2）设数列，Sn为数列cn的前 n 项和，求证：； （3）当 a0 时，设函数 f（x1）的图象 C1与函数 g（x）的图象 C2交于点 P，Q，过 线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1，C2于点 M，N，问是否存在点 R，使 C1在 M 处的切线与 C2在 N 处的切线平行？若存在，求出 R 的横坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1
12、0 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知全集 U1，0，1，2，3，4，A1，0，2，4，则UA（ ） A B0，2，4 C1，3 D1，1，3 【分析】由全集 U 及 A，求出 A 的补集即可 【解答】解：全集 U1，0，1，2，3，4，A1，0，2，4， UA1，3 故选：C 【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键 2 （4 分）设 f（x）3x+3x8，用二分法求方程 3x+3x80 在 x（1，2）内近似解的过 程中得
13、 f（1）0，f（1.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间（ ） A （1，1.25） B （1.25，1.5） C （1.5，2） D不能确定 【分析】由已知“方程 3x+3x80 在 x（1，2）内近似解” ，且具体的函数值的符号也 已确定，由 f（1.5）0，f（1.25）0，它们异号 【解答】解析：f（1.5） f（1.25）0， 由零点存在定理，得， 方程的根落在区间（1.25，1.5） 故选：B 【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理： 一般地，若函数 yf（x）在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线， 且 f（a）f（b）0，则函数 yf（x）在区间
14、（a，b）上有零点 3 （4 分）如果直线 ax+2y+10 与直线 x+y20 互相平行，那么 a 的值等于（ ） A2 B C D2 【分析】根据题意，由直线平行的判定方法可得 a12，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，如果直线 ax+2y+10 与直线 x+y20 互相平行， 则有 a12， 第 7 页（共 25 页） 解可得 a2； 故选：D 【点评】本题考查直线的一般式方程的应用，涉及直线平行的判定，属于基础题 4 （4 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c 若 a3，则 B （ ） A B C或 D 【分析】由已知及正弦定理可求 sinB，利
15、用大边对大角可求 B 为锐角，利 用特殊角的三角函数值即可得解 B 的值 【解答】解：a3， 由正弦定理可得：sinB， ab，B 为锐角， B 故选：A 【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的 应用，属于基础题 5 （4 分）如图的程序运行后输出的结果为（ ） A17 B22 C25 D28 【分析】模拟程序语言的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果 【解答】解：模拟程序语言的运行过程知， x5，y20； x0，y20+317； 输出 xy5（17）22 第 8 页（共 25 页） 故选：B 【点评】本题考查了程序语言的应用问题，是基础题 6 （4 分
16、）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置 关系是（ ） A异面 B相交 C平行 D不能确定 【分析】由题意设 l，a，a，然后过直线 a 作与 、 都相交的平面 ，利 用平面与平面平行的性质进行求解 【解答】解：设 l，a，a， 过直线 a 作与 、 都相交的平面 ， 记 b，c， 则 ab 且 ac， bc 又 b，l， bl al 故选：C 【点评】此题考查平面与平面平行的性质及其应用，解题的关键的画出图形，此题是道 基础题 7 （4 分）若ABC 中，cosA，cosB，则 cosC 的值为（ ） A B C D 【分析】运用同角的平方关系，可得 sinA
17、，sinB，再由诱导公式和两角和的余弦公式， 计算即可得到所求值 【解答】解：ABC 中，cosA，cosB， 即有 sinA， 第 9 页（共 25 页） sinB， 则 cosCcos（A+B）（cosAcosBsinAsinB） （） 故选：D 【点评】本题考查两角和的余弦公式的运用，同时考查同角的平方关系和诱导公式的运 用，考查运算能力，属于基础题 8 （4 分）要从已编号（160）的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试 验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是 （ ） A05，10，15，20，25，30 B03，13，2
18、3，33，43，53 C01，02，03，04，05，06 D02，04，08，16，32，48 【分析】将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽 样又称等距抽样，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量，若不能整除时，要先去掉 几个个体 【解答】解：从 60 枚某型导弹中随机抽取 6 枚， 采用系统抽样间隔应为10， 只有 B 答案中导弹的编号间隔为 10， 故选：B 【点评】一般地，要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，可将总体分成均衡的若 干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本 9 （4 分）取一根长度为 5m 的绳子，
19、拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小 于 2m 的概率是（ ） A B C D 【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为 3m 的绳子分成相等的三段， 在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间 1m 处的两个界点，再求出其比值 【解答】解：记“两段的长都不小于 2m”为事件 A， 则只能在中间 1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于 2m， 所以事件 A 发生的概率 第 10 页（共 25 页） 故选：A 【点评】 本题主要考查概率中的几何概型长度类型， 关键是找出两段的长都不小于 2m 的 界点来 10 （4 分）已知| |2| |0，且关于 x 的方程 x2+|
20、 |x+ 0 有实根，则 与 的夹角的 取值范围是（ ） A0， B， C， D， 【分析】根据关于 x 的方程有实根，可知方程的判别式大于等于 0， 找出，再由 cos，可得答案 【解答】解：，且关于 x 的方程有实根， 则，设向量的夹角为 ， cos， ， 故选：B 【点评】本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题属基础题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11 （4 分）已知 m0，n0，且 m+n4，则 mn 的最大值是 4 【分析】由基本不等式可得 mn4，注意等号成立的条件即可 【解答】解：m0，
21、n0，且 m+n4， 由基本不等式可得 mn4， 当且仅当 mn2 时，取等号， 故答案为：4 【点评】本题考查基本不等式的应用，属基础题 第 11 页（共 25 页） 12 （4 分）已知函数 f（x）的值为 【分析】推导出 f（）2，从而 ff（）f（2） ，由此能求出结果 【解答】解：函数， f（）2， ff（）f（2）2 2 故答案为： 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理 运用 13 （4 分）等差数列an中，a33，a833，则an的公差为 6 【分析】根据题意和等差数列的性质、通项公式直接求出公差 d 【解答】解：因为等差数列an中，a33
22、，a833， 所以公差 d6， 故答案为：6 【点评】本题考查了等差数列的性质、通项公式，属于基础题 14 （4 分）函数 y的定义域为 ， （kZ） 【分析】依题意可得 2sinx10 即 sinx，解不等式可得 【解答】解：由题意可得 2sinx10sinx 故答案为： 第 12 页（共 25 页） 【点评】本题考查了函数定义域的求解，三角不等式的解法，解三角不等式的常用方法 是借助于单位圆中的三角函数线进行求解，试题较易 15 （4 分）如图，正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个大圆 上，点 P 在球面上，如果 VPABCD，则球 O 的表面积是 16
23、 【分析】由题意可知，PO平面 ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的 表面积 【解答】解：如图，正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个 大圆上，点 P 在球面上， PO底面 ABCD，POR，SABCD2R2，VPABCD， 所以2R2R， 解得：R2， 球 O 的表面积：S4R216， 故答案为：16 第 13 页（共 25 页） 【点评】在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我 们通常有如下办法：构造三角形，解三角形求出 R；找出几何体上到各顶点距离相 等的点，即球心，进而求出 R；将几何体补成一个长方体，其对角线
24、即为球的直径， 进而求出 R 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 40 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （8 分）某校从参加环保知识竞赛的 1200 名学生中，随机抽取 60 名，将其成绩（均为 整数）分成六段40，50） ，50，60） ，90，100后画出如图的频率分布直方图 （1）估计这次竞赛成绩的众数与中位数（结果保留小数点后一位） ； （2）若这次竞赛成绩不低于 80 分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的 1200 名学生中可以获得礼物的人数 【分析】 （1）由频率分布直方图能求出本次
25、竞赛成绩的众数和中位数 （2）不低于 80 分的频率为 0.3，由此能求出 1200 名学生中可以获得礼物的人数 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知，本次竞赛成绩的众数是 75 因为前三个小组的频率之和为 0.4，所以中位数落在第四个小组内 设中位数为 x，则有（x70）0.030.50.4，解得 x73.3 所以中位数约为 73.3 （2）因为不低于 80 分的频率（0.025+0.005）100.3， 所以 1200 名学生中可以获得礼物的人数约为 12000.3360 第 14 页（共 25 页） 【点评】本题考查众数、中位数、频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识， 考查
26、运算求解能力、数据处理能力，是基础题 17 （8 分）已知函数的图象经过点 （1）求 a 的值； （2）求函数 f（x）的定义域和值域； （3）证明：函数 f（x）是奇函数 【分析】 （1）根据题意，将点的坐标代入解析式可得，解可得 a 的值， 即可得答案； （2）根据题意，由（1）可得，结合指数函数的性质分析可得答案； （3）根据题意，先分析函数的定义域，结合解析式分析可得 f（x）f（x） ，即可得 答案 【解答】解： （1）根据题意，函数的图象经过点 则，解得 a1 （2）由（1）知，又由 2x0，2x+11，故 f（x）的定义域为 R 则，又 2x（0，+） ， 则， 则 f（x）的值
27、域为（1，1） （3）由（2）可得：f（x）的定义域为 R，且， 故 f（x）是奇函数 【点评】本题考查函数的奇偶性、值域、解析式的判定以及计算，属于基础题 18 （8 分）如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PA底面 ABCD，E 为 PD 的中点 （1）求证：PB平面 AEC； 第 15 页（共 25 页） （2）求证：CD平面 PAD； （3）若三棱锥 CADE 的体积为，求四棱锥 PABCD 的侧面积 【分析】（1） 连结 BD， 交 AC 于点 O 连结 OE 推导出 O 为 BD 的中点， 从而 OEPB 由 此能证明 PB平面 AEC （2）推导出 CDA
28、D，CDPA由此能证明 CD平面 PAD （3）求出 PA2h2PBPD2四棱锥 PABCD 的侧面积为 S2SPAB+2SPBC， 由此能求出结果 【解答】证明： （1）连结 BD，交 AC 于点 O连结 OE 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 为 BD 的中点， 又 E 为 PD 的中点，所以 OE 为PBD 的中位线， 所以 OEPB 又 PB平面 AEC，OE平面 AEC， 所以 PB平面 AEC （2）因为四边形 ABCD 是正方形，所以 CDAD 因为 PA底面 ABCD，所以 CDPA 又 ADPAA，所以 CD平面 PAD 解： （3）因为， 又因为底面 ABCD 是边
29、长为 2 的正方形， 所以 SACD2，所以 h1 又因为 E 是 PD 的中点，所以 PA2h2所以 PBPD2 所以四棱锥 PABCD 的侧面积为： S2SPAB+2SPBC 第 16 页（共 25 页） 【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （8 分）已知向量，xR （1）若，求 tanx 的值； （2）设函数，求 f（x）的值域 【分析】 （1）由，可得0，化简即可； （2）根据条件可得 f（x），然后利用整体思想求出 f（x）的值域即 可 【解答】解： （1）， ， （
30、2） ， 当时， ， f（x）的值域为 【点评】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系和三角函数的图象与性质，属基础 题 第 17 页（共 25 页） 20 （8 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2，an，Sn成等差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Tn； （3）对于（2）中的 Tn，设，求数列cn中的最大项 【分析】 （1）利用 an，结合等比数列的通项公式即可求解； （2）由（1）可求，然后利用错位相减法可求； （3）求出 cn，结合数列的单调性可求 【解答】解： （1）2an2+Sn， 2an12+Sn1（n2） 得 an2a
31、n1（n2） ，又 2a12+a1，a12， （2）， 用错位相减法得：， ， ，得 （3）， 由，得， 解得 2n3（nN*） n2 或 n3 时，cn最大，即为cn中的最大项 【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解的通项公式，等差数列的性质及错位 相减求和，还考查了利用数列的单调性求解数列的最大项，属于数列知识的综合应用 一、选择一、选择题：本大题共题：本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，有分，在每小题给出的四个选项中，有 第 18 页（共 25 页） 且只有一项是符合题目要求的且只有一项是符合题目要求的 21 （5 分）
32、给出下列四个命题： 命题“若 X21，则 x1”的否命题为： “若：x21，则 x0” ； 命题“xR，x2+x10”的否定是“xR，x2+x10” ； 命题“若：xy，则 sinxsiny”的逆否命题为真命题； “x1”是“x25x60 的必要不充分条件 其中真命题的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据否命题的定义：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题，把题中条件与结论互换； 根据否命题的定义把小于改为大于等于； 利用三角函数的知识看 xy 与 sinxsiny 是否能够互相，判断原命题的真假，从而得
33、出其逆否命题的真假； 解出方程 x25x60 的根，再判断其与 x1 的逻辑关系； 【解答】解：若 x21，则 x1”的否命题：若为 x1 则 x21；故错误； 命题“xR，x2+x10”的否定是“xR，x2+x10” ，故错误； xysinxsiny， 反之如果 sinxsiny，例如 sinsin，但， 所以 sinxsiny，推不出 xy， 原命题是真命题， 原命题的逆否命题为真命题，故正确； x25x60，（x+1） （x6）0， 解得 x1 或 6， x1x1 或 6，反之则不能， “x1”是“x25x60 的充分不必要条件，故错误 真命题的个数是 1， 故选：A 【点评】此题考查的
34、知识面比较广，主要考查四种逻辑关系，解题的关键是将各个命题 的内容具体化使之成为简单的命题，然后再求解 第 19 页（共 25 页） 22 （5 分）双曲线1（a0，b0）的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为 B1，B2， 两焦点为 F1， F2， 若以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2， 则双曲线的离心率是 （ ） A1 B C D+1 【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可 得2b2ca4，再由 a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】解：由题意可得 A1（a，0） ，A2（a，0） ，B1（0，b） ，B2（0，b）
35、 ， F1（c，0） ，F2（c，0） ， 且 a2+b2c2，菱形 F1B1F2B2的边长为， 由以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为 A，B，C，D 由面积相等，可得2b2ca4， 即为 b2c2a2（b2+c2） ， 即有 c4+a43a2c20， 由 e，可得 e43e2+10， 解得 e2， 可得 e，或 e（舍去） 故选：C 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运 算能力，属于中档题 23 （5 分）设 a1，a2，an是 1，2，n 的一个排列，把排在 ai的左边且比 ai小的数 的个数为 ai（i1，2，n）的顺序
36、数，如在排列 6，4，5，3，2，1 中，5 的顺序数为 1， 第 20 页（共 25 页） 3 的顺序数为 0，则在 1 至 8 这 8 个数的排列中，8 的顺序数为 2，7 的顺序数为 3，5 的 顺序数为 3 的不同排列的种数为（ ） A48 B120 C144 D192 【分析】根据 8 和 7 的特点得到 8 和 7 的位置，题目转换为数列 123456 保证 5 的顺序 数是 3 就可以，分两种情况讨论，6 在 5 前面，此时 5 一定在第 5 位，除 6 外前面有 3 个数，6 在 5 后面，此时 5 一定在第 4 位上，6 在后面两个数字上，根据分类原理得到结 果 【解答】解：
37、由题意知 8 一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几而且对其他数的 顺序数没有影响，因为 8 最大，7 一定在第五位，因为前面除了 8 以外所有数都比他小现 在对其他数的顺序数没有影响， 在 8 后面又比其他数小这两个可以不管可以把题转换为数列 123456 保证 5 的顺序 数是 3 就可以了， 分两种情况 6 在 5 前面，此时 5 一定在第 7 位，除 6 外前面有 3 个数，故有 443 2196 种 6 在 5 后面，此时 5 一定在第 6 位上，6 在后面两个数字上，故有 24 32148共有 96+48144 种结果， 故选：C 【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多
38、样，把排列问题包含在数字问题 中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分分 24 （5 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛 物线 C 的极坐标方程为 cos24sin （0） ， 直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 设直线 l 与抛物线 C 的两交点为 A、B，点 F 为抛物线 C 的焦点，则|AF|+|BF| 【分析】 把抛物线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程， 把直线的参数方程化为普通方程， 把直线方程代入抛物线 C
39、的方程求得 y1+y2由抛物线的定义可得|AF|+|BF| （ y1+1）+（y2+1） ，运算求得结果 【解答】解：抛物线 C 的极坐标方程为 cos24sin（0） ，即 x24y，焦点（0，1） ， 准线方程 y1 直线 l 的参数方程（t 为参数） ，即 xy+0， 第 21 页（共 25 页） 把直线方程代入抛物线 C 的方程可得 3y210y+30，y1+y2 由抛物线的定义可得|AF|+|BF|（ y1+1）+（y2+1） 故答案为 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方 程的方法，抛物线的定义以及标准方程的应用，属于基础题 25 （5 分）
40、若存在实数 a，b（0ab）满足 abba，则实数 a 的取值范围是 （1，e） 【分析】0ab）满足 abba，由 blnaalnb，化为，令 f（x）， （x 0） ，利用导数研究其单调性极值与最值，画出其图象即可得出 【解答】解：0ab）满足 abba， blnaalnb，化为， 令 f（x）， （x0） ， 则 f（x）， 可得 xe 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减；当 0xe 时，f（x）0，此 时函数 f（x）单调递增 当 xe 时，函数 f（x）取得最大值，f（e） 当 x0 时，f（x）；当 x+时，f（x）0 当 a（1，e）时，函数 yk 与 f（x）的图象有两
41、个交点 实数 a 的取值范围是（1，e） ， 故答案为： （1，e） 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了数形结合的思想方法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：本大三、解答题：本大题共题共 2 小题，共小题，共 25 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第 22 页（共 25 页） 26 （12 分）设椭圆 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A， 过点 A 与 AF2垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q，且 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）若过 A、Q、F2三点的圆恰好与直线 l：相切，求椭圆
42、 C 的方程； （3）在（2）的条件下，过右焦点 F2作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，在 x 轴上是否存在点 P（m，0）使得以 PM，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在， 求出 m 的取值范围，如果不存在，说明理由 【分析】 （1）设 Q（x0，0） ，由 F2（c，0） ，A（0，b）结合向量条件及向量运算得出关 于 a，c 的等式，从而求得椭圆的离心率即可； （2）由（1）知 a，c 的一个方程，再利用AQF 的外接圆得出另一个方程，解这两个方 程组成的方程组即可求得所求椭圆方程； （3）由（）知直线 l：yk（x1） ，将直线的方程代入椭圆的方程，消去
43、y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点 P 且 m 的 取值范围 【解答】解： （1）设 Q（x0，0） ，由 F2（c，0） ，A（0，b） 知 ， 由于即 F1为 F2Q 中点 故b23c2a2c2， 故椭圆的离心率， （3 分） 第 23 页（共 25 页） （2）由（1）知，得于是 F2（a，0）Q， AQF 的外接圆圆心为（a，0） ，半径 r|FQ|a 所以，解得 a2，c1，b， 所求椭圆方程为， （6 分） （3）由（）知 F2（1，0）l：yk（x1） 代入得（3+4k2）x28k2x+4k2120 设 M（x1，y1） ，N（x
44、2，y2） 则，y1+y2k（x1+x22） ， （8 分） （x1+x22m，y1+y2） 由于菱形对角线垂直，则 故 k（y1+y2）+x1+x22m0 则 k2（x1+x22）+x1+x22m0k2（10 分） 由已知条件知 k0 且 kR 故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 （12 分） 【点评】当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算 弦长（即应用弦长公式） ；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直 线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻 找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 27 （1
45、3 分）已知函数 f（x）ln（x+1） ， （1）若 a0，f（x）g（x）在（0，+）上恒成立，求 b 的取值范围； 第 24 页（共 25 页） （2）设数列，Sn为数列cn的前 n 项和，求证：； （3）当 a0 时，设函数 f（x1）的图象 C1与函数 g（x）的图象 C2交于点 P，Q，过 线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1，C2于点 M，N，问是否存在点 R，使 C1在 M 处的切线与 C2在 N 处的切线平行？若存在，求出 R 的横坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）分 b0，0b1，b1 三种情况分别考虑 f（x）g（x）在（0，+） 是否恒成立； （2）由（1）得 ln（x+1）x 在（0，+）上恒成立，然后令则有 1ln（n+2）+ln（n+1） ，即可得证； （3）设点 P，Q 的坐标是 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，且 0x1x2，求出 C1在点 M 处的 切线斜率 k1，C2在点 N 处的切线斜率 k2，假设 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切 线平行，可得，利用反正法推出矛盾结论即可 【解答】解： （1）a0 时，f（x）g（x）即 ln（x+1
