1、2020 年中考数学（年中考数学（3 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题 1的绝对值是（ ） A2019 B2019 C D 2据统计，2017 年河南省在线政务应用的网民规模达 3183 万人，数据“3183 万”用科学 记数法表示为（ ） A3.183103 B0.3183108 C3.183107 D31.83106 3甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现 了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 4若 mn，则下列不等式正确的是（ ） Am+2n+2 Bm2n2 C2m2n Dm2n2 5一个布袋里面
2、装有 5 个球，其中 3 个红球，2 个白球，每个球除颜色外其他完全相同， 从中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ） A B C D 6若二次函数 yx22x+m 的图象与 x 轴有两个交点，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 7如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，OC 交O 于点 D，若ABD24，则 C 的度数是（ ） A48 B42 C34 D24 8路边有一根电线杆 AB 和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电 线杆顶端 A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点 G 处，而长方形广告牌的影子刚好 落在地面上 E 点（如图），已知
3、BC5 米，长方形广告牌的长 HF4 米，高 HC3 米， DE4 米，则电线杆 AB 的高度是（ ） A6.75 米 B7.75 米 C8.25 米 D10.75 米 9如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点 A，B，C现有下面四个推断： 抛物线开口向下； 当 x2 时，y 取最大值； 当 m4 时，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm 必有两个不相等的实数根； 直线 ykx+c （k0） 经过点 A， C， 当 kx+cax2+bx+c 时， x 的取值范围是4x0； 其中推断正确的是（ ） A B C D 10如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+4 与
4、坐标轴交于 A，B 两点，OCAB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45，得 到线段 AP，连接 CP，则线段 CP的最小值为（ ） A2 B1 C2 D2 二填空题（共 8 小题） 11如果有意义，那么 x 的取值范围是 12分解因式：a2b2ab+b 13一组数据 3，5，7，8，m 的平均数为 5，则这组数据的中位数是 14若分式方程有正数解，则 k 的取值范围是 15如图，E，F 分别是矩形 ABCD 边 AD、BC 上的点，且ABG，DCH 的面积分别为 12 和 18，则图中阴影部分的面积为 16 如图， 在平行四边形 AB
5、CD 中， B30， 且 BCCA， 将ABC 沿 AC 翻折至AB C，AB交 CD 于点 E，连接 BD若 AB3，则 BD 的长度为 17如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 为 AD 的中点，CED 的外接圆与 BE 交 于点 F，则 BF 的长度为 18如图，点 A，点 B 分别在 y 轴，x 轴上，OAOB，点 E 为 AB 的中点，连接 OE 并延长 交反比例函数 y（x0）的图象于点 C，过点 C 作 CDx 轴于点 D，点 D 关于直线 AB 的对称点恰好在反比例函数图象上，则 OEEC 三解答题（共 10 小题） 19计算：（1）0+（） 1 + 20解不等式组：
6、 21解分式方程+1 22先化简，再求值：（1），从3x3 的范围内选一个合适的整 数作为 x 代入求值 23某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿 者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取 A，B，C， D 四个班，共 200 名学生进行调查将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不 完整） （1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数； （2）求 D 班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；（温馨提示：请画在答题卷 相对应的图上） （3）若该校共有学生 1500 人，试估计该校选择文明宣传的学生人数 24如图，在A
7、BCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，CFAE，连接 AF， BF （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）已知DAB60，AF 是DAB 的平分线，若 AD3，求 DC 的长度 25我市公交总公司为节约资源同时惠及民生，拟对一些乘客数量较少的路线换成中巴车， 该公司计划购买 10 台中巴车，现有甲、乙两种型号，已知购买一台甲型车比购买一台乙 型车少 10 万元，购买 3 台甲型车比购买 2 台乙型车多 30 万元 （1）问购买一台甲型车和一台乙型车分别需要多少万元？ （2）经了解，每台甲型车每年节省 2.5 万元，每台乙型车每年节省 2.1 万元，若要使
8、购 买的这批中巴车每年至少能节省 21.8 万，则购买甲型车至少需至少多少台？ 26如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE过点 A 作 AFDE，垂足为 F， O 经过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G （1）求证：AFGDFC； （2）若正方形 ABCD 的边长为 8，AE2，求O 的半径 27如图，在矩形 ABCD 中，AB6，P 为边 CD 上一点，把BCP 沿直线 BP 折叠，顶点 C 折叠到 C，连接 BC与 AD 交于点 E，连接 CE 与 BP 交于点 Q，若 CEBE （1）求证：ABEDEC； （2）当 AD13 时，AEDE，求 CE 的长； （
9、3）连接 CQ，直接写出四边形 CQCP 的形状： 当 CP4 时，并求 CE EQ 的值 28如图（1），二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（3，0），C（0，3）把 过 A，C 两点的直线绕点 A 旋转，旋转过程中记作直线 l，l 与抛物线的交于点 P （1）求这个二次函数的解析式；若直线 l 始终与线段 BC 有交点，点 B，C 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，求 d1+d2的最大值，并说明理由； （2）如图（2），当点 P 是抛物线的顶点时，过 P 作 PHAB 于 H若点 Q 在对称轴右 侧的抛物线上，过点 Q 作 QMAP 于 M，PQM 与APH
10、相似，求点 Q 的坐标 （3）直线 l 与 AC 的夹角为 （ 为锐角），若 tan，直接写出点 P 的坐标 参考答案 一选择题（共 10 小题，答案填在下面表格中） 1的绝对值是（ ） A2019 B2019 C D 【分析】 根据绝对值的定义，的绝对值是指在数轴上表示的点到原点的距 离，即可得到正确答案 解：| | 故的绝对值是 故选：D 2据统计，2017 年河南省在线政务应用的网民规模达 3183 万人，数据“3183 万”用科学 记数法表示为（ ） A3.183103 B0.3183108 C3.183107 D31.83106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中
11、1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 3183 万用科学记数法表示为：3.183107 故选：C 3甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现 了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念分别判断得出答案 解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图
12、形，故此选项符合题意； 故选：D 4若 mn，则下列不等式正确的是（ ） Am+2n+2 Bm2n2 C2m2n Dm2n2 【分析】根据不等式的性质判断即可 解：mn， m+2n+2，m2n2，2m2n， 故选：C 5一个布袋里面装有 5 个球，其中 3 个红球，2 个白球，每个球除颜色外其他完全相同， 从中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ） A B C D 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二 者的比值就是其发生的概率 解：共有 5 个小球，其中白球有 2 个， 从中任意摸出一个球，是白球的概率是， 故选：C 6若二次函数 yx22x+m 的图象与 x
13、 轴有两个交点，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案 解：由题意可知：44m0， m1， 故选：D 7如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，OC 交O 于点 D，若ABD24，则 C 的度数是（ ） A48 B42 C34 D24 【分析】根据切线的性质求出OAC，结合C42求出AOC，根据等腰三角形性质 求出BBDO，根据三角形外角性质求出即可 解：ABD24， AOC48， AC 是O 的切线， OAC90， AOC+C90， C904842， 故选：B 8路边有一根电线杆 AB 和一块长方形广告牌，有一天小明
14、突然发现在太阳光照射下，电 线杆顶端 A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点 G 处，而长方形广告牌的影子刚好 落在地面上 E 点（如图），已知 BC5 米，长方形广告牌的长 HF4 米，高 HC3 米， DE4 米，则电线杆 AB 的高度是（ ） A6.75 米 B7.75 米 C8.25 米 D10.75 米 【分析】过点 G 作 GQBE 于点 Q，GPAB 于点 P，可得四边形 BQGP 是矩形，然后 且APG 与FDE 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 AP 的长度，再加 上 CH 即可 解：过点 G 作 GQBE 于点 Q，GPAB 于点 P， 根据题意，四边形 BQ
15、GP 是矩形， BPGQ3 米， APGFDE， ， AP， AB+38.25（米）， 故选：C 9如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点 A，B，C现有下面四个推断： 抛物线开口向下； 当 x2 时，y 取最大值； 当 m4 时，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm 必有两个不相等的实数根； 直线 ykx+c （k0） 经过点 A， C， 当 kx+cax2+bx+c 时， x 的取值范围是4x0； 其中推断正确的是（ ） A B C D 【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象 与不等式的关系可以得出正确答案 解：由图象可知，抛物
16、线开口向下，所以正确； 若当 x2 时，y 取最大值，则由于点 A 和点 B 到 x2 的距离相等，这两点的纵 坐标应该相等，但是图中点 A 和点 B 的纵坐标显然不相等，所以错误，从而排除掉 A 和 D； 剩下的选项中都有，所以是正确的； 易知直线 ykx+c（k0）经过点 A，C，当 kx+cax2+bx+c 时，x 的取值范围是 x 4 或 x0，从而错误 故选：B 10如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OCAB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45，得 到线段 AP，连接 CP，则线
17、段 CP的最小值为（ ） A2 B1 C2 D2 【分析】由点 P 的运动确定 P的运动轨迹是在与 x 轴垂直的一段线段 MN，当线段 CP 与 MN 垂直时，线段 CP的值最小 解：由已知可得 A（0，4）B（4，0） 三角形 OAB 是等腰直角三角形 OCAB C（2，2） 又P 是线段 OC 上动点，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45， P 在线段 OC 上运动，所以 P的运动轨迹也是线段， 当 P 在 O 点时和 P 在 C 点时分别确定 P的起点与终点， P的运动轨迹是在与 x 轴垂直的一段线段 MN 当线段 CP与 MN 垂直时，线段 CP的值最小 在AOB 中，AOAN4，
18、AB4 NB44 又RtHBN 是等腰直角三角形 HB42 CP4（42）222 故选：A 二填空题（共 8 小题） 11如果有意义，那么 x 的取值范围是 x0 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案 解：由题意可知：， 解得：x0， 故答案为：x0 12分解因式：a2b2ab+b b（a1）2 【分析】先提取公因式 b，再利用完全平方公式进行二次分解 解：a2b2ab+b， b（a22a+1），（提取公因式） b（a1）2（完全平方公式） 13一组数据 3，5，7，8，m 的平均数为 5，则这组数据的中位数是 5 【分析】先根据平均数的定义求出 m 的值，然后根据
19、中位数的定义求解即可 解：由题意可知，（3+5+7+8+m）55， 解得：m2， 这组数据从小到大排列 2，3，5，7，8， 则中位数是 5 故答案为：5 14若分式方程有正数解，则 k 的取值范围是 k6 且 k1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有正数解 列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可确定出 k 的范围 解：去分母得：x6k， 解得：x6k， 由分式方程有正数解，得到 6k0 且 6k5， 解得：k6 且 k1， 则 k 的取值范围是 k6 且 k1； 故答案为：k6 且 k1 15如图，E，F 分别是矩形 ABCD 边 AD、BC 上的点
20、，且ABG，DCH 的面积分别为 12 和 18，则图中阴影部分的面积为 30 【分析】连接 EF，易证EFG 的面积与ABG 的面积，即可解决 解：连接 EF，如图所示： SABFSEBF， SEFGSABG12； 同理：SEFHSDCH18， S阴影SEFG+SDCH12+1830 故答案为：30 16 如图， 在平行四边形 ABCD 中， B30， 且 BCCA， 将ABC 沿 AC 翻折至AB C，AB交 CD 于点 E，连接 BD若 AB3，则 BD 的长度为 6 【分析】作 CMAB 于 M，由折叠的性质得：BCBCAC，ABCBCAB 30， ABABCD， 由平行四边形的性质得
21、出 ADCB， ABCD， ADCB30， 求出 ADAC，AMBMAB，BACB30，由等腰三角形的性质得 出ACDADC30， 由直角三角形的性质得出 CM， 证出 ADBC2CM3， 再由勾股定理即可得出结果 解：作 CMAB 于 M，如图所示： 由折叠的性质得：BCBCAC，ABCBCAB30，ABABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，ABCD，ADCB30，BADBCD180B150， BAD150303090， BCAC， AMBMAB，BACB30， CM， ADBC2CM3， 在 RtABD 中，由勾股定理得：BD6； 故答案为：6 17如图，在矩形 ABCD
22、 中，AB4，BC6，E 为 AD 的中点，CED 的外接圆与 BE 交 于点 F，则 BF 的长度为 3.6 【分析】连接 CF，根据圆内接四边形对角互补可得CFECFB90，因为 cos CBFcosAEB，在 RtBFC 中，利用锐角三角函数即可得出 BF 的长 解：如图，连接 CF， 在矩形 ABCD 中，ADC90，A90 CED 的外接圆与 BE 交于点 F， CFE+ADC180， CFECFB90， AB4，BCAD6，E 为 AD 的中点， BE， cosAEB， ADBC， AEBCBF， cosCBF， BF3.6 故答案为：3.6 18如图，点 A，点 B 分别在 y
23、轴，x 轴上，OAOB，点 E 为 AB 的中点，连接 OE 并延长 交反比例函数 y（x0）的图象于点 C，过点 C 作 CDx 轴于点 D，点 D 关于直线 AB 的对称点恰好在反比例函数图象上，则 OEEC 【分析】由题意可得直线 OC 的解析式为 yx，设 C（a，a），由点 C 在反比例函数 y （x0）的图象上，求得 C（1，1），求得 D 的坐标，根据互相垂直的两条直线斜 率之积为1，可设直线 AB 的解析式为 yx+b，则 B（b，0），BDb1由点 D 和点 F 关于直线 AB 对称，得出 BFDBb1，那么 B（b，b1），再将 F 点坐标代 入 y， 得到 b （b1）
24、1， 解方程即可求得 B 的坐标， 然后通过三角形相似求得 OE， 根据 OEECOE（OCOE）2OEOC 即可求得结果 解：点 A，点 B 分别在 y 轴，x 轴上，OAOB，点 E 为 AB 的中点， 直线 OC 的解析式为 yx， 设 C（a，a）， 点 C 在反比例函数 y（x0）的图象上， a21， a1， C（1，1）， D（1，0）， 设直线 AB 的解析式为 yx+b，则 B（b，0），BDb1 点 B 和点 F 关于直线 AB 对称， BFBDb1， F（b，b1）， F 在反比例函数 y的图象上， b（b1）1， 解得 b1，b2 （舍去）， B（，0）， C（1，1），
25、 ODCD1， OC， 易证ODCOEB， ，即， OE， OEECOE（OCOE）2OEOC 故答案为： 三解答题（共 10 小题） 19计算：（1）0+（） 1 + 【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案 解：原式1+32+3 2+3 20解不等式组： 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 解： 解不等式得 x1； 解不等式得 x3； 不等式组的解集是：3x1 21解分式方程+1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解确定出 x 的值，经检验即 可得到分式方程的解 解：去分母得：4x2（x+2）x24 解得：x10，x2
26、2 当 x2 时，x240， 当 x0 时，x240 x0 是分式方程的解， 22先化简，再求值：（1），从3x3 的范围内选一个合适的整 数作为 x 代入求值 【分析】先把括号内通分，再把分子与分母因式分解和除法运算化为乘法运算，约分后 得到原式，由于 x 不能取2，3，所以把可把 x0 代入计算 解：原式（） ， x2 且 x3， 在3x3 的范围内使分式有意义的 x 的值为 x1，0，1 取 x0 时，得原式 23某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿 者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取 A，B，C， D 四个班，共
27、200 名学生进行调查将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不 完整） （1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数； （2）求 D 班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；（温馨提示：请画在答题卷 相对应的图上） （3）若该校共有学生 1500 人，试估计该校选择文明宣传的学生人数 【分析】（1）由折线图得出选择交通监督的人数，除以总人数得出选择交通监督的百分 比，再乘以 360即可求出扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数； （2）用选择环境保护的学生总人数减去 A，B，C 三个班选择环境保护的学生人数即可 得出 D 班选择环境保护的学生人数，进而补全折线图； （3）用 1
28、500 乘以样本中选择文明宣传的学生所占的百分比即可 解：（1）选择交通监督的人数是：12+15+13+1454（人）， 选择交通监督的百分比是：100%27%，扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心 角度数是：36027%97.2； （2）D 班选择环境保护的学生人数是：20030%15141615（人） 补全折线统计图如图所示： （3）根据题意得： 1500（130%27%5%）570（人）， 即估计该校选择文明宣传的学生人数是 570 人 24如图，在ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，CFAE，连接 AF， BF （1）求证：四边形 BFDE 是矩形；
29、（2）已知DAB60，AF 是DAB 的平分线，若 AD3，求 DC 的长度 【分析】（1）由题意可证四边形 DFBE 是平行四边形，且 DEAB，可得结论 （2）根据直角三角形的边角关系可求 DE 的长度，则可得 BF 的长度，即可求 CD 的长 度 【解答】证明（1）四边形 ABCD 是平行四边形 DCAB，DCAB CFAE DFBE 且 DCAB 四边形 DFBE 是平行四边形 又DEAB 四边形 DFBE 是矩形； （2）DAB60，AD3，DEAB AE，DEAE 四边形 DFBE 是矩形 BFDE AF 平分DAB FABDAB30，且 BFAB ABBF CD 25我市公交总公
30、司为节约资源同时惠及民生，拟对一些乘客数量较少的路线换成中巴车， 该公司计划购买 10 台中巴车，现有甲、乙两种型号，已知购买一台甲型车比购买一台乙 型车少 10 万元，购买 3 台甲型车比购买 2 台乙型车多 30 万元 （1）问购买一台甲型车和一台乙型车分别需要多少万元？ （2）经了解，每台甲型车每年节省 2.5 万元，每台乙型车每年节省 2.1 万元，若要使购 买的这批中巴车每年至少能节省 21.8 万，则购买甲型车至少需至少多少台？ 【分析】 （1） 设购买甲型车需要 x 万元， 则乙型车需要 （x+10） 万元， 列方程 3x2 （x+10） 30； （2） 设购买甲型车 y 台，
31、则购买乙型车 （10y） 台， 列不等式 2.5y+2.1 （10y） 21.8； 解：（1）设购买甲型车需要 x 万元，则乙型车需要（x+10）万元， 根据题意得： 3x2（x+10）30， 解得 x50， x+1060（万元）， 购买一台甲型车需要 50 万元，购买一台乙型车需要 60 万元 （2）设购买甲型车 y 台，则购买乙型车（10y）台， 根据题意得： 2.5y+2.1（10y）21.8， y2， 购买甲型车至少 2 台 26如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE过点 A 作 AFDE，垂足为 F， O 经过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G （1）求证
32、：AFGDFC； （2）若正方形 ABCD 的边长为 8，AE2，求O 的半径 【分析】（1）证明GAFCDF 和AGFDCF 即可； （2）根据AFGDFC，得到，求出 AG 长度，再求出 DG 长，在 RtGDC 中利用勾股定理求出直径 GC，最后换算成半径长 解：（1）GAF+ADF90，CDF+ADF90， GAFCDF O 经过点 C、D、G、F， FCD+FGD180 又AGF+FGD180， AGFDCF AFGDFC； （2）在 RtAED 和 RtAFD 中 tanADF AFGDFC， ，即，解得 AG2 GD826 连接 GC，GDC90， GC 为直径 在 RtGDC
33、中，GC10， 所以O 的半径为 5 27如图，在矩形 ABCD 中，AB6，P 为边 CD 上一点，把BCP 沿直线 BP 折叠，顶点 C 折叠到 C，连接 BC与 AD 交于点 E，连接 CE 与 BP 交于点 Q，若 CEBE （1）求证：ABEDEC； （2）当 AD13 时，AEDE，求 CE 的长； （3）连接 CQ，直接写出四边形 CQCP 的形状： 菱形 当 CP4 时，并求 CE EQ 的值 【分析】（1）由题意可得AEB+CED90，且ECD+CED90，可得AEB ECD，且AD90，则可证ABEDEC； （2）设 AEx，则 DE13x，由相似三角形的性质可得，即：，可
34、 求 x 的值，即可得 DE9，根据勾股定理可求 CE 的长； （3） 由折叠的性质可得 CPCP， CQCQ， CPQCPQ， BCPBCP90， 由平行线的性质可得CPQCQPCPQ，即可得 CQCPCQCP，则四边形 CQCP 是菱形，通过证CEQEDC，可得，即可求 CE EQ 的值 【解答】证明：（1）CEBE， BEC90， AEB+CED90， 又ECD+CED90， AEBECD， 又AD90， ABEDEC （2）设 AEx，则 DE13x， 由（1）知：ABEDEC， ，即： x213x+360， x14，x29， 又AEDE AE4，DE9， 在 RtCDE 中，由勾股定
35、理得： （3） 折叠， CPCP，CQCQ，CPQCPQ，BCPBCP90， CEBC，BCP90， CECP， CPQCQP， CQPCPQ， CQCP， CQCPCQCP， 四边形 CQCP 是菱形， 故答案为：菱形 四边形 CQCP 是菱形， CQCP，CQCP，EQCECD 又CEQD90 CEQEDC 即：CE EQDC CQ6424 28如图（1），二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（3，0），C（0，3）把 过 A，C 两点的直线绕点 A 旋转，旋转过程中记作直线 l，l 与抛物线的交于点 P （1）求这个二次函数的解析式；若直线 l 始终与线段 BC
36、有交点，点 B，C 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，求 d1+d2的最大值，并说明理由； （2）如图（2），当点 P 是抛物线的顶点时，过 P 作 PHAB 于 H若点 Q 在对称轴右 侧的抛物线上，过点 Q 作 QMAP 于 M，PQM 与APH 相似，求点 Q 的坐标 （3）直线 l 与 AC 的夹角为 （ 为锐角），若 tan，直接写出点 P 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； 如图 1 中，作 BM直线 l 于 M，CN直线 l 于 N则 d1BMBD，d2CNCD， 可得 d1+d2CD+BD，推出 d1+d2BC，即可解决问题； （2）如图 2 中，延长 PQ
37、 交 X 轴于 N首先证明 ANNP，设 ANNPm，在 RtPHN 中，利用勾股定理求出 m 的值，再求出直线 AN 的解析式，构建方程组确定点 P 坐标即 可； （3）如图 3 中，设直线 PA 交 y 轴与 D，作 DEAC 于 E设 DEk首先求出直线 AP 的解析式，利用方程组确定解得 P 坐标，再根据对称性，求出直线 AP 关于直线 AC 的 对称的直线 AD的解析式，利用方程组确定交点坐标即可； 解：（1）把点 A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入二次函数 yax2+bx+c 得到 ， 解得， 二次函数的解析式为 yx2+2x+3 如图 1 中，作 BM直线 l 于 M，
38、CN直线 l 于 N 则 d1BMBD，d2CNCD， d1+d2CD+BD， d1+d2BC， OCOB3， BC3， d1+d2的最大值为 3 （2）如图 2 中，延长 PQ 交 X 轴于 N由题意 P（1，4） PQM 与APH 相似， 观察图象可知，只有QPMPAH， NAPN，设 NAPNm， 在 RtPNH 中，PH2+NH2PN2， m242+（m2）2， 解得 m5， ON4， N（4，0）， 直线 PN 的解析式为 yx+， 由，解得或， Q（，） （3）如图 3 中，设直线 PA 交 y 轴与 D，作 DEAC 于 E设 DEk tanEAD，tanDCE， AE2k，EC3k， AC5k， AC， k， DE，EC， CD2， D（0，1）， 直线 AP 的解析式为 yx+1， 由，解得或， P（2，3） 作点 D 关于直线 AC 的对称点 D， E（，）， D（，）， 直线 AD的解析式为 y7x7， 由解得或， P（10，77）， 综上所述，满足条件的点 P 坐标为（2，3）或（10，77）
