1、2020 年高考数学（年高考数学（4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题 1已知集合 A0，1，2，3，Bx|x22x30，则 AB（ ） A（1，3） B（1，3 C（0，3） D（0，3 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z i1+2i，则 z 的共轭复数为（ ） A2i B2+i Cl2i Di2 3已知两个力（1，2），（2，3）作用于平面内某静止物体的同一点上，为 使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，（ ） A（1，5） B（1，5） C（5，1） D（5，1） 4若 ，则 tan2（ ） A B C D 5函数 f（x）x+cosx 的大致图象是（ ）
2、 A B C D 6已知 x0，y0，且，则 xy 的最小值为（ ） A100 B81 C36 D9 7已知抛物线 y22x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M，N 两点，若，则|MN|（ ） A B C2 D 8已知 a1，a2，a32，4，6，记 N（a1，a2，a3）为 a1，a2，a3中不同数字的个数，如： N（2，2，2）1，N（2，4，2）2，N（2，4，6）3，则所有的（a1，a2，a3）的排 列所得的 N（a1，a2，a3）平均值为（ ） A B3 C D4 二、多项选择题 9“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的
3、简称，旨在积极发展 我国与沿线国家经济合作关系， 共同打造政治互信、 经济融合、 文化包容的命运共同体 自 2013 年以来，“一带一路”建设成果显著如图是 20132017 年，我国对“一带一路”沿 线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ） A这五年，2013 年出口额最少 B这五年，出口总额比进口总额多 C这五年，出口增速前四年逐年下降 D这五年，2017 年进口增速最快 10关于函数，下列结论正确的是（ ） A图象关于 y 轴对称 B图象关于原点对称 C在（，0）上单调递增 Df（x）恒大于 0 11设函数，已知 f（x）在0，有且仅有 3 个零点，下列 结论正确的是（ ） A在（
4、0，）上存在 x1，x2，满足 f（x1）f（x2）2 Bf（x）在（0，）有且仅有 1 个最小值点 Cf（x）在单调递增 D 的取值范围是 12已知正方体 ABCDA1B1C1D1，过对角线 BD1作平面 交棱 AA1于点 E，交棱 CC1于点 F，下列正确的是（ ） A平面 分正方体所得两部分的体积相等 B四边形 BFD1E 一定是平行四边形 C平面 与平面 DBB1不可能垂直 D四边形 BFD1E 的面积有最大值 三、填空题 13已知双曲线 C 过点且渐近线为，则双曲线 C 的标准方程为 14若展开式的二项式系数之和是 64，则 n ；展开式中的常数项的值 是 15甲、乙、丙三位同学获得
5、某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3 人作出如下预测： 甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名若甲、乙、丙 3 人的 预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 16在ABC 中，设角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，记ABC 的面积为 S，且 4a2 b2+2c2，则的最大值为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在公比为 2 的等比数列an中，a2，a3，a44 成等差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（n+1）log2an，求数列 的前 n 项和 Tn 18在平面四边形 ABCD 中
6、，已知 AB2，AD3，ADB2ABD，BCD （1）求 BD； （2）求BCD 周长的最大值 19如图，在平行四边形 ABCD 中，BDCD，BEAD，将ABD 沿对角线 BD 折起使 ABBC，连接 AC、EC，得到如图所示的三棱锥 ABCD （1）求证：BE平面 ADC； （2）若 ED1，二面角 CBED 的平面角的正切值为，求直线 BD 与平面 ADC 所 成角的正弦值 20在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应 或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地 区 1000 名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单
7、位：天） 0，2 （2，4 （4，6 （6，8 （8，10 （10， 12 （12， 14 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1） 求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表）； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期 是否超过6天为标准进行分层抽样， 从上述1000名患者中抽取200人， 得到如下列联表 请 将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50 岁以上（含 50 岁） 100 50 岁以下 55 总计 2
8、00 （3）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天 发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立为了深入研究，该研究团队随 机调查了 20 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附： P（K2k0） 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 ，其中 na+b+c+d 21已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，过 F1作直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，ABF2的周长为 8 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）问：ABF2的内切圆面
9、积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理 由 22已知函数 f（x）x2 eax+1blnxax（a，bR） （1）若 b0，曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 y2x 平行，求 a 的值； （2）若 b2，且函数 f（x）的值域为2，+），求 a 的最小值 参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合 A0，1，2，3，Bx|x22x30，则 AB（ ） A（1，3） B（1，3 C（0，3） D（0，3 【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，求出 A
10、与 B 的并集 解：集合 A0，1，2，3，Bx|x22x30（1，3）， 则 AB（1，3， 故选：B 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z i1+2i，则 z 的共轭复数为（ ） A2i B2+i Cl2i Di2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案 解：z i1+2i，z2i， z 的共轭复数为：2+i， 故选：B 3已知两个力（1，2），（2，3）作用于平面内某静止物体的同一点上，为 使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，（ ） A（1，5） B（1，5） C（5，1） D（5，1） 【分析】F1，F2，F3作用于物体同一点，
11、使物体处于平衡状态，则得到F3F1+F2，代 入即可 解：根据题意可知F3F1+F2（1，2）+（2，3）（1，5），则 F3（ 1， 5 ）， 故选：A 4若 ，则 tan2（ ） A B C D 【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求 tan 的值，进而根据二倍 角的正切函数公式可求 tan2 的值 解：cos， tan， tan2 故选：C 5函数 f（x）x+cosx 的大致图象是（ ） A B C D 【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除两个选项，再看此函数与 直线 yx 的交点情况即可作出正确的判断 解：由于 f（x）x+cosx， f（x）x+c
12、osx， f（x）f（x），且 f（x）f（x）， 故此函数是非奇非偶函数，排除 CD； 又当 x时，x+cosxx， 即 f（x）的图象与直线 yx 的交点中有一个点的横坐标为，排除 A 故选：B 6已知 x0，y0，且，则 xy 的最小值为（ ） A100 B81 C36 D9 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解 zy 的最小值 解：x0，y0，且， 由基本不等式可得 1，当且仅当即 x2，y18 时取等号， 解可得 xy36，即 xy 的最小值 36 故选：C 7已知抛物线 y22x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M，N 两点，若，则|MN
13、|（ ） A B C2 D 【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线 y22x 的方程组成方程 组，消去 y 得到关于 x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求 线段 AB 的长 解：抛物线 C：y22x 的焦点为 F（，0），准线为 l：x ，设 M（x1，y1），N（x2， y2），M，N 到准线的距离分别为 dM，dN， 由抛物线的定义可知|MF|dMx1+， |NF|dNx2+， 于是|MN|MF|+|NF|x1+x2+1 ， 直线 MN 的斜率为， F（，0）， 直线 PF 的方程为 y（x）， 将 y（x）， 代入方程 y22x，并化简得 12x
14、220x+30， x1+x2 ，于是|MN|MF|+|NF|x1+x2+1+1 故选：B 8已知 a1，a2，a32，4，6，记 N（a1，a2，a3）为 a1，a2，a3中不同数字的个数，如： N（2，2，2）1，N（2，4，2）2，N（2，4，6）3，则所有的（a1，a2，a3）的排 列所得的 N（a1，a2，a3）平均值为（ ） A B3 C D4 【分析】根据分类计数原理可得平均数的定义即可求出 解：由题意可知，（a1，a2，a3）所有的排列数为 3327， 当 N（a1，a2，a3）1 时，有 3 种情形，即（2，2，2），（4，4，4），（6，6，6）； 当 N（a1，a2，a3）
15、2 时，有 种； 当 N（a1，a2，a3）3 时，有 种， 那么所有27个 （a1， a2， a3） 的排列所得的N （a1， a2， a3） 的平均值为 故选：A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展 我国与沿线国家经济合作关系， 共同打造政治互信、 经济融合、 文化包容的命运共同体 自 2013 年以来，“一带一路”建设成果显著如图是 20132017 年，我国对“一
16、带一路”沿 线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ） A这五年，2013 年出口额最少 B这五年，出口总额比进口总额多 C这五年，出口增速前四年逐年下降 D这五年，2017 年进口增速最快 【分析】根据条形统计图，结合选项判断即可 解：对于 A，2013 出口额最少，故 A 对； 对于 B，这五年，出口总额比进口总额多，故 B 对； 对于 C，20132014 出口速率在增加，故 C 错； 对于 D，根据蓝色线斜率可知，2017 年进口速度最快，故 D 对 故选：ABD 10关于函数，下列结论正确的是（ ） A图象关于 y 轴对称 B图象关于原点对称 C在（，0）上单调递增 Df（x）恒
17、大于 0 【分析】，定义域为（，0）（0，+）利用奇偶性、单 调性即可判断出正误 解：，定义域为（，0）（0，+） f（x），满足 f（x）f（x），可得函数 f（x）为偶函数，因此其图象关 于 y 轴对称 x0 时，ex1，可得 ex10，f（x）0；同理可得：x0 时，f（x）0即函数 f（x）在定义域内恒大于 0 由于 y，y1+在 x（0，+）上单调递减且恒大于 0，因此函数 f（x）单调 递减因此 f（x）在（，0）上单调递增 综上可得：只有 ACD 正确 故选：ACD 11设函数，已知 f（x）在0，有且仅有 3 个零点，下列 结论正确的是（ ） A在（0，）上存在 x1，x2，满
18、足 f（x1）f（x2）2 Bf（x）在（0，）有且仅有 1 个最小值点 Cf（x）在单调递增 D 的取值范围是 【分析】由题意根据 f（x）在区间0，有 3 个零点画出大致图象，可得区间长度 介 于周期T+|OA|，T+|OA|），再用 表示周期，得 的范围 解：画出函数 f（x）sin（x）大致图象如图所示， 当 x0 时 ysin（）； 又 0，所以 x0 时 f（x）在 y 轴右侧第一个最大值区间内单调递增， 函数在0，仅有 3 个零点时，则 的位置在 CD 之间（包括 C，不包括 D）， 令 f（x）sin（x）0，则 xk 得，x（+k）（kz）， y 轴右侧第一个点横坐标为，周期
19、 T， 所以+T+T， 即+，解得，所以 D 错误； 在区间0，上，函数 f（x）达到最大值和最小值， 所以存在 x1，x2，满足 f（x1）f（x2）2，所以 A 正确； 由大致图象得，f（x）在（0，）内有且只有 1 个最小值，B 正确； 因为 最小值为，所以 0x时，x（，）， 所以 x（0，）时，函数 f（x）不单调递增，所以 C 错误 故选：AB 12已知正方体 ABCDA1B1C1D1，过对角线 BD1作平面 交棱 AA1于点 E，交棱 CC1于点 F，下列正确的是（ ） A平面 分正方体所得两部分的体积相等 B四边形 BFD1E 一定是平行四边形 C平面 与平面 DBB1不可能垂
20、直 D四边形 BFD1E 的面积有最大值 【分析】利用正方体的对称性即可判断 A 正确； 由平行平面的性质可判断 B 正确； 当 E、F 为棱中点时，通过线面垂直可得面面垂直，判断 C 错误； 当 E 与 A 重合，F 与 C1重合时，四边形 BFD1E 的面积有最大值，判断 D 正确 解：如图所示， 对于 A，由正方体的对称性可知，平面 分正方体所得两部分的体积相等，A 正确； 对于 B，因为平面 ABB1A1CC1D1D，平面 BFD1E平面 ABB1A1BF，平面 BFD1E平 面 CC1D1DD1E， 所以 BFD1E，同理可证 D1FBE，所以四边形 BFD1E 是平行四边形，B 正
21、确； 对于 C，当 E、F 为棱中点时，EF平面 BB1D，又因为 EF平面 BFD1E， 所以平面 BFD1E平面 BB1D，所以 C 错误； 对于 D， 当 E 与 A 重合， F 与 C1重合时， 四边形 BFD1E 的面积有最大值， 所以 D 正确 故选：ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知双曲线 C 过点且渐近线为，则双曲线 C 的标准方程为 【分析】 根据题意， 双曲线的一条渐近线方程为， 可设双曲线方程为 （0），又由双曲线过点 P，将点 P 的坐标代入可得 的值，进而可得答案 解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为为， 设双曲线方程为（
22、0）， 双曲线 C 过点， ，即 所求双曲线方程为 故答案为： 14若展开式的二项式系数之和是 64，则 n 6 ；展开式中的常数项的值是 135 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，在展开式的通项公式中，令 x 的 幂指数等于 0，求得 r 的值，可得展开式中的常数项的值 解：展开式的二项式系数之和是 2n64，则 n6， 故的展开式中的通项公式为：Tr+1 36 r x ， 令 60，求得 r4，可得展开式中的常数项的值是 32135， 故答案为：6，135 15甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3 人作出如下预测： 甲说：我不是第三名；乙说：我是
23、第三名；丙说：我不是第一名若甲、乙、丙 3 人的 预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 甲 【分析】若甲正确，则乙、丙均错误，从而可得甲为第三名，且乙、丙中必有一人正确， 一人错误，再假设丙错误（则乙正确），可导出矛盾，从而可得丙为第二名，故得答案 解：若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说： 我不是第三名”正确相矛盾， 故甲错误，因此，甲为第三名； 于是乙、丙中必有一人正确，一人错误 若丙错误（则乙正确），即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确“我 是第三名”矛盾， 故丙正确，即丙不是第一名，为第二名； 故答案为：甲 16在ABC 中
24、，设角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，记ABC 的面积为 S，且 4a2 b2+2c2，则的最大值为 【分析】利用余弦定理，求出 cosA，结合函数的单调性求出的最大值 解：4a2b2+2c2，a2 ， cosA ， ，令 t， 则， 令 g（t），g（t）， 所以 g（t）在（0，）递增，（递减， 所以 g（t）， 所以的最大值为， 当且仅当 11b214c2时，取等号， 故答案为： 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在公比为 2 的等比数列an中，a2，a3，a44 成等差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（
25、n+1）log2an，求数列 的前 n 项和 Tn 【分析】本题第（1）题根据等比数列的定义可得 a32a2，a44a2然后根据等差中项 的性质列出算式，代入解出 a2的值，即可得到数列an的通项公式； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后计算出数列 的通项公式，根据通项公式的特点运用裂项相消法计算前 n 项和 Tn 解：（1）由题意，可知 a3a2 22a2，a4a2 224a2 a2，a3，a44 成等差数列， a2+a442a3，即 a2+4a242 2a2， 解得 a24 ana2 2n24 2n22n，nN* （2）由（1）知，bn（n+1）log2an（n
26、+1）log22nn（n+1） 2 Tn + 2（）+2（）+2 2+ + 2 18在平面四边形 ABCD 中，已知 AB2，AD3，ADB2ABD，BCD （1）求 BD； （2）求BCD 周长的最大值 【分析】（1）在ABD 中，由正弦定理可求出 cosABD，再利用余弦定理即可 求出 BD； （2）在BCD 中，BCD，由余弦定理可得（BC+CD）2BD2+3BCCD，再利 用基本不等式得（BC+CD）24BD2，结合 BD 的值即可求出BCD 周长的最大值 解：（1）在ABD 中，由正弦定理得：2cosABD， cosABD， cosABD， 即：BD28BD+150， 解得：BD3
27、或 5； （2）在BCD 中，BCD，由余弦定理得：cosBCD， BC2+CD2BD2BCCD， （BC+CD）2BD2+3BCCD， 由基本不等式得：， （BC+CD）2， ， （BC+CD）24BD2， 当 BD3 时，BC+CD6，即 3BC+CD6，所以 6BC+CD+BD9， 当 BD5 时，BC+CD10，即 3BC+CD10，所以 6BC+CD+BD13 所以BCD 周长的最大值为：9 或 13 19如图，在平行四边形 ABCD 中，BDCD，BEAD，将ABD 沿对角线 BD 折起使 ABBC，连接 AC、EC，得到如图所示的三棱锥 ABCD （1）求证：BE平面 ADC；
28、（2）若 ED1，二面角 CBED 的平面角的正切值为，求直线 BD 与平面 ADC 所 成角的正弦值 【分析】（1）推导出 ABBD，ABBC，从而 AB平面 BDC，进而 ABCD，CD 平面 ABD，BECD，再由 BEAD，能证明 BE平面 ADC （2）ED1，二面角 CBED 的平面角的正切值为，以 D 为原点，DB 为 x 轴， DC 为 y 轴，过 D 作平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 直线 BD 与平面 ADC 所成角的正弦值 【解答】证明：（1）在平行四边形 ABCD 中，BDCD，BEAD，BDAB， 将ABD 沿对角线 BD 折起使
29、 ABBC， 连接 AC、 EC， 得到如图所示的三棱锥 ABCD ABBD，ABBC， BDBCB，AB平面 BDC， CD平面 BDC，ABCD， CDBD，ABBDB，CD平面 ABD， BE平面 ABD，BECD， BEAD，ADCDD， BE平面 ADC 解：（2）ED1，二面角 CBED 的平面角的正切值为， 以 D 为原点，DB 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角 坐标系， RtBEDRtABD，设 BDa，则 ADa2，ABCDa， B（a，0，0），C（0，a，0），E（）， （a，a，0），（ ，0，）， 设平面 BCE 的
30、法向量 （x，y，z）， 则，取 x1，得 （1，）， 平面 BED 的法向量 （0，1，0） 二面角 CBED 的平面角的正切值为， 二面角 CBED 的平面角的余弦值为， |cos|， 解得 a，B（，0，0），A（），D（0，0，0），C（0，0）， （，0，0），（），（0，0）， 设平面 ADC 的法向量 （x，y，z）， 则，取 x，得 （，0，1）， 设直线 BD 与平面 ADC 所成角为 ， 则 sin 直线 BD 与平面 ADC 所成角的正弦值为 20在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应 或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为
31、潜伏期一研究团队统计了某地 区 1000 名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位：天） 0，2 （2，4 （4，6 （6，8 （8，10 （10， 12 （12， 14 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1） 求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表）； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期 是否超过6天为标准进行分层抽样， 从上述1000名患者中抽取200人， 得到如下列联表 请 将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6 天
32、潜伏期6 天 总计 50 岁以上（含 50 岁） 100 50 岁以下 55 总计 200 （3）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天 发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立为了深入研究，该研究团队随 机调查了 20 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附： P（K2k0） 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 ，其中 na+b+c+d 【分析】（1）根据统计数据计算平均数即可； （2）根据题意补充完整列联表，计算 K2，对照临界值得出结论； （3）根据题意
33、知随机变量 XB（20，），计算概率 P（Xk），列不等式组并结合 题意求出 k 的值 解：（1）根据统计数据，计算平均数为 （185+3205+5310+7250+9130+1115+135）5.4（天）； （2）根据题意，补充完整列联表如下； 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50 岁以上（含 5065 35 100 岁） 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 根据列联表计算 K2 2.0833.841， 所以没有 95%的把握认为潜伏期与年龄有关； （3）根据题意得，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为， 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的
34、人数为 X，则 XB（20，）， P（Xk），k0，1，2，20； 由， 得， 化简得，解得k； 又 kN，所以 k8，即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人 21已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，过 F1作直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，ABF2的周长为 8 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）问：ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理 由 【分析】（1）由离心率及过焦点的三角形的轴得 a，c 的值和 a，b，c 之间的关系求出 椭圆的标准方程； （2）要使ABF2的内切圆面积最大，只需 的
35、值最大显然直线的斜率不为零， 设直线 l 的方程，联立与椭圆的方程，求出两根之和两根之积，进而求出弦长 AB，再求 F 到直线 AB 的距离进而求出面积，只有均值不等式求出面积的最大值，进而得出内切圆 有最大值 解：（1）离心率为，a2c， ABF2的周长为 8，4a8，得 a2，c1，b2a2c23， 因此，椭圆 C 的标准方程为 （2）设ABF2的内切圆半径为 r， ， 又|AF2|+|AB|+|BF2|8， ， 要使ABF2的内切圆面积最大，只需 的值最大 设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 l：xmy1， 联立消去 x 得：（3m2+4）y26my90， 易得0，且， 所以
36、， 设，则， 设，所以在1，+）上单调递增， 所以当 t1，即 m0 时，的最大值为 3， 此时，所以ABF2的内切圆面积最大为 22已知函数 f（x）x2 eax+1blnxax（a，bR） （1）若 b0，曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 y2x 平行，求 a 的值； （2）若 b2，且函数 f（x）的值域为2，+），求 a 的最小值 【分析】（1）将 b0 代入，求导并令 f（1）2，求出 a 的值，再验证即可； （2）将 b2 代入，通过换元，函数 f（x）可化为 g（t）tlnt+1，进一步转化为当 t 1 时，lnt2lnx+ax+1 有解，从而得解 解：（1）当 b
37、0 时，f（x）x2eax+1ax，f（x）xeax+1（2+ax）a， 由 f（1）ea+1（2+a）a2， 得 ea+1（2+a）（a+2）0， 即（ea+11）（2+a）0， 解得 a1 或 a2， 当 a1 时，f（1）e0+12，此时直线 y2x 恰为切线，故舍去， 所以 a2； （2）当 b2 时，f（x）x2eax+12lnxax， 设 tx2eax+1，则 lnt2lnx+ax+1， 故函数 f（x）可化为 g（t）tlnt+1， 由，可得 g（t）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1， +）， 所以 g（t）的最小值为 g（1）1ln1+12， 此时 t1，函数的 f（x）的值域为2，+）， 问题转化为当 t1 时，lnt2lnx+ax+1 有解， 即 ln12lnx+ax+10，得， 设，则， 故 h（x）的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以 h（x）的最小值为， 故 a 的最小值为
