1、2018-2019 学年湖南省长沙市岳麓区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，得分分，得分 36 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求）只有一项符合题目要求） 1 （3 分）下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Axx23 Bax2+bx+c0 C D3x22xy5y20 2 （3 分）为考察甲、乙、丙三种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，计 算后得到苗高（单位：cm）的方差为，则麦苗高度 最整齐的是（ ） A甲 B乙 C丙 D都一样 3 （3 分）已知一次函数 y（2m1
2、）x+3，如果函数值 y 随 x 的增大而减小，那么 m 的取 值范围为（ ） Am2 B C Dm0 4 （3 分）方程 3x27x20 的根的情况是（ ） A方程没有实数根 B方程有两个不相等的实数根 C方程有两个相等的实数很 D不确定 5 （3 分）关于 x 的方程 x2+（m22）x150 有一个根是 x3，则 m 的值是（ ） A0 B2 C2 或2 D2 6 （3 分） 已知数据 x1， x2， x3的平均数是 5， 则数据 3x1+2， 3x2+2， 3x3+2 的平均数是 （ ） A5 B7 C15 D17 7 （3 分）抛物线 yx24x+5 的顶点坐标是（ ） A （2，1
3、） B （2，1） C （2，5） D （2，5） 8 （3 分）对于抛物线 y（x+2）21，下列说法错误的是（ ） A开口向下 B对称轴是直线 x2 第 2 页（共 27 页） Cx2 时，y 随 x 的增大而增大 Dx2，函数有最大值 y1 9 （3 分）一次函数 y3x4 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 10 （3 分）下列命题中，真命题是（ ） A两对角线相等的四边形是矩形 B两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C两对角线互相垂直的四边形是菱形 D两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 11 （3 分）某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计
4、，2015 年约为 12 万人次，若 2017 年约为 17 万人次，设游客人数年平均增长率为 x，则下列方程中正确的是（ ） A12（1+x）17 B17（1x）12 C12（1+x）217 D12+12（1+x）+12（1+x）217 12 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB12，点 E 在边 CD 上，将ADE 沿 AE 对折至 AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，且 BGCG，连接 AG、CF下列结论：ABG AFG；EAG45；CE2DE；AGCF；SFGC其中正确结论的个 数是（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6
5、 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）已知菱形 ABCD 的对角线长度是 8 和 6，则菱形的面积为 14 （3 分）把抛物线 y2（x1）2+1 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛 物线解析式 15 （3 分） 设 m， n 分别为一元二次方程 x2+2x10 的两个实数根， 则 m+n+mn 第 3 页（共 27 页） 16 （3 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（3，0） ，对称轴为直线 x1， 则点 B 的坐标是 17 （3 分）如图是一次函数 ykx+b 的图象，当 y0 时，x 的取值范围是 18
6、 （3 分）如图，有一条折线 A1B1A2B2A3B3A4B4，它是由过 A1（0，0） ，B1（2，2） ，A2 （4，0）组成的折线依次平移 4，8，12，个单位得到的，直线 ykx+2 与此折线恰有 2n（n1，且为整数）个交点，则 k 的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19解下列方程式： （1）x23x+10 （2）x2+x120 20如图，直线 l1解析式为 y2x2，且直线 l1与 x 轴交于点 D，直线 l2与 y 轴交于点 A， 且经过点 B（3，1） ，直线 l1、l2交于点 C（2，2） （1）求直线 l2的解析式； 第
7、 4 页（共 27 页） （2）根据图象，求四边形 OACD 的面积 21为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并 对成绩进行了统计，绘制出如下的统计图和图，请跟进相关信息，解答下列问题： （）本次抽测的男生人数为 ，图中 m 的值为 ； （）求本次抽测的这组数据的平均数、众数和中位数； （）若规定引体向上 5 次以上（含 5 次）为体能达标，根据样本数据，估计该校 350 名九年级男生中有多少人体能达标 22如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，AC、BD 交于点 O，12 （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若BOC120，AB4cm，求四
8、边形 ABCD 的面积 23长沙市的“口味小龙虾”冠绝海内外，如“文和友老长沙龙虾馆”订单排队上千号某 衣贸市场甲、乙两家农贸商店售卖小龙虾，甲、乙平时以同样的价格出售品质相同的小 龙虾， “中非贸易博览会”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额 y甲，y乙（单位： 元）与原价 x（单位：元）之间的函数关系如图所示 第 5 页（共 27 页） （1）请求出 y甲，y乙关于 x 的函数关系式； （2） “中非贸易博览会”期间，如果你是龙虾馆采购员，如何选择甲、乙两家商店购买 小龙虾更省钱？ 24已知两个共一个顶点的等腰直角ABC 和等腰直角CEF，ABCCEF90，连 接 AF，M 是 AF
9、的中点，连接 MB、ME （1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MBCF； （2）如图 1，若 CBa，CE2a，求 BM，ME 的长； （3）如图 2，当BCE45时，求证：BMME 25 已知关于x的方程x2kx+k2+n0有两个不相等的实数根x1、 x2， 且 （2x1+x2） 28 （2x1+x2） +150 （1）求证：n0； （2）试用 k 的代数式表示 x1； （3）当 n3 时，求 k 的值 26图 1，抛物线与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0） ，顶点为 D（1，4） ，点 P 为 y 轴上 一动点 （1）求抛物线的解析式； （2）在 y 轴的负半
10、轴上是否存在点 P，使BDP 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 27 页） （3）如图 2，点在抛物线上，求的最小值 第 7 页（共 27 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市岳麓区八年级（下）期末数学年湖南省长沙市岳麓区八年级（下）期末数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，得分分，得分 36 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求）只有一项符合题目要求） 1 （3 分）下列方程中是关于 x 的一元
11、二次方程的是（ ） Axx23 Bax2+bx+c0 C D3x22xy5y20 【分析】一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0 【解答】解：A、由 xx23 得到：x2x30，符合一元二次方程的定义，故本选项 正确； B、当 a0 时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； C、该方程不是整式方程，故本选项错误； D、该方程属于二元二次方程，故本选项错误； 故选：A 【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整 式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c0（且 a0） 特别要注意 a0 的条 件这是
12、在做题过程中容易忽视的知识点 2 （3 分）为考察甲、乙、丙三种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，计 算后得到苗高（单位：cm）的方差为，则麦苗高度 最整齐的是（ ） A甲 B乙 C丙 D都一样 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定 【解答】解：因为 S丙 26.3S 甲 24.1S 乙 23.5，方差最小的为乙， 所以麦苗高度最整齐的是乙 第 8 页（共 27 页） 故选：B 【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大， 表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这 组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即
13、波动越小，数据越稳定 3 （3 分）已知一次函数 y（2m1）x+3，如果函数值 y 随 x 的增大而减小，那么 m 的取 值范围为（ ） Am2 B C Dm0 【分析】根据 y 随 x 的增大而减小可知 2m10，解不等式即可 【解答】解：函数值 y 随自变量 x 的增大而减小， 2m10， m 故选：C 【点评】本题主要考查了一次函数 ykx+b（k0）的性质，当 k0 时，y 随 x 的增大而 增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 4 （3 分）方程 3x27x20 的根的情况是（ ） A方程没有实数根 B方程有两个不相等的实数根 C方程有两个相等的实数很 D不确定 【分析】先
14、计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况 【解答】解：由根的判别式b24ac（7）243（2）49+24730， 所以方程有两个不相等的实数根 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的 实数根；当0 时，方程无实数根 5 （3 分）关于 x 的方程 x2+（m22）x150 有一个根是 x3，则 m 的值是（ ） A0 B2 C2 或2 D2 【分析】把 x3 代入方程 x2+（m22）x150 得 9+3m26150，然后解关于 m 第 9 页（共
15、27 页） 的方程即可 【解答】解：把 x3 代入方程 x2+（m22）x150 得 9+3m26150， 整理得 m2 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 是一元二次方程的解 6 （3 分） 已知数据 x1， x2， x3的平均数是 5， 则数据 3x1+2， 3x2+2， 3x3+2 的平均数是 （ ） A5 B7 C15 D17 【分析】先根据算术平均数的定义求出 x1+x2+x3的值，进而可得出结论 【解答】解：x1，x2，x3的平均数是 5， x1+x2+x315， 17 故选：D 【点评】本题考查的是算术平均数，熟知算术平均数的定
16、义是解答此题的关键 7 （3 分）抛物线 yx24x+5 的顶点坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，5） D （2，5） 【分析】先把抛物线的解析式配成顶点式得到 y（x2）2+1，然后根据抛物线的性质 求解 【解答】解：yx24x+5 （x2）2+1， 所以抛物线的顶点坐标为（2，1） 故选：A 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图 象为抛物线， 当 a0， 抛物线开口向上； 对称轴为直线 x， 抛物线顶点坐标为 （ ，） ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c） ；当 b24ac0，抛物线与 x 轴有 两个交点；当 b2
17、4ac0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24ac0，抛物线与 x 轴没 有交点 8 （3 分）对于抛物线 y（x+2）21，下列说法错误的是（ ） A开口向下 第 10 页（共 27 页） B对称轴是直线 x2 Cx2 时，y 随 x 的增大而增大 Dx2，函数有最大值 y1 【分析】根据二次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：y（x+2）21， 该抛物线的开口向下，顶点坐标是（2，1） ，对称轴为直线 x2， 当 x2 时，函数有最大值 y1，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 的 说法错误， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的性质
18、，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质 解答 9 （3 分）一次函数 y3x4 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据 k、b 的值确定一次函数 y3x4 的图象经过的象限 【解答】解：k30，图象过一三象限；b40，图象过第四象限， 一次函数 y3x4 的图象不经过第二象限 故选：B 【点评】本题考查一次函数的 k0，b0 的图象性质 10 （3 分）下列命题中，真命题是（ ） A两对角线相等的四边形是矩形 B两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C两对角线互相垂直的四边形是菱形 D两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 【分析】分别利用矩形
19、、菱形、正方形及平行四边形的判定方法判定后即可确定正确的 选项 【解答】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形，故 A 错； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 B 正确； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故 C 错； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故 D 错误； 故选：B 第 11 页（共 27 页） 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形、正方形及平行 四边形的判定方法，难度不大 11 （3 分）某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015 年约为 12 万人次，若 2017 年约为 17 万人次，设游客人数年平均
20、增长率为 x，则下列方程中正确的是（ ） A12（1+x）17 B17（1x）12 C12（1+x）217 D12+12（1+x）+12（1+x）217 【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，参照本题，如果 游客人数的年平均增长率为 x， 根据 2015 年约为 12 万人次， 预计 2017 年约为 17 万人次， 即可得出方程 【解答】解：设游客人数的年平均增长率为 x， 则 2016 的游客人数为：12（1+x） ， 2017 的游客人数为：12（1+x）2 那么可得方程：12（1+x）217 故选：C 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题一
21、般是根据题意分别列 出不同时间按增长率所得游客人数与预计游客人数相等的方程 12 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB12，点 E 在边 CD 上，将ADE 沿 AE 对折至 AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，且 BGCG，连接 AG、CF下列结论：ABG AFG；EAG45；CE2DE；AGCF；SFGC其中正确结论的个 数是（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】依据 HL 即可判定 RtABGRtAFG；依据BAGFAG，DAEFAE， 第 12 页（共 27 页） 即可得到EAFBAD；依据勾股定理列方程，即可得到 DE4，CE8，进而得出 CE2DE；依
22、据三角形外角性质，即可得到AGBGCF，即可得到 AGCF；根据 GF6，EF4，GFC 和FCE 等高，即可得到 SGFCSGCE 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD12，BGCED90， 由折叠的性质得：AFAD，AFED90， AFG90B，ABAF， 在 RtABG 和 RtAFG 中， ， RtABGRtAFG（HL） ，故正确； BAGFAG， 由折叠可得，DAEFAE， EAFBAD45，故正确； 由题意得：EFDE，BGCG6GF， 设 DEEFx，则 CE12x 在直角ECG 中，根据勾股定理，得 CE2+CG2GE2， 即（12x）2+62（x+6）
23、2， 解得：x4， DE4，CE8， CE2DE，故正确； CGBG，BGGF， CGGF， GFCGCF 又RtABGRtAFG， AGBAGF， AGB+AGF2AGBGFC+GCF2GCF， AGBGCF， AGCF，故正确； 第 13 页（共 27 页） SGCEGCCE6824， GF6，EF4，GFC 和FCE 等高， SGFC：SFCE3：2， SGFC24，故正确 故选：D 【点评】本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾 股定理以及三角形的面积计算等知识的综合运用；解折叠问题时，我们常常设要求的线 段长为 x， 然后根据折叠和轴对称的性质用含 x
24、的代数式表示其他线段的长度，选择适当 的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）已知菱形 ABCD 的对角线长度是 8 和 6，则菱形的面积为 24 【分析】根据菱形 ABCD 的面积等于对角线乘积的一半进行解答即可 【解答】解：菱形的对角线长的长度分别为 6、8， 菱形 ABCD 的面积 SBDAC6824 故答案为 24 【点评】本题考查了菱形对角线互相平分的性质，本题中菱形 ABCD 的面积等于对角线 乘积的一半是解题的关键 14 （3 分）把抛物线 y2（x1）2
25、+1 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛 物线解析式 y2x2+3 【分析】先利用顶点式得到抛物线 y2（x1）2+1 顶点坐标为（1，1） ，再根据点平移 的坐标特征得到点（1，1）平移后所得对应点的坐标为（0，3） ，然后根据顶点式写出平 移后的抛物线的解析式即可 【解答】解：抛物线 y2（x1）2+1 顶点坐标为（1，1） ，点（1，1）先向左平移 2 个 单位，再向上平移 1 个单位后所得对应点的坐标为（0，3） ，所以平移后的抛物线的解析 第 14 页（共 27 页） 式为 y2x2+3 故答案是 y2x2+3 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平
26、移后的形状不变，故 a 不 变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点 平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出 解析式 15 （3 分） 设 m， n 分别为一元二次方程 x2+2x10 的两个实数根， 则 m+n+mn 3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出 m+n2，mn1，将其代入 m+n+mn 中即可求出结论 【解答】解：m，n 分别为一元二次方程 x2+2x10 的两个实数根， m+n2，mn1， 则 m+n+mn213 故答案为：3 【点评】 本题考查了根与系数的关系， 根据一元二次方程根与系数的关
27、系得出 m+n2， mn1 是解题的关键 16 （3 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（3，0） ，对称轴为直线 x1， 则点 B 的坐标是 （1，0） 【分析】利用点 B 与点 A 关于直线 x1 对称确定 B 点坐标 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点， 点 A 与点 B 关于直线 x1 对称， 而对称轴是直线 x1，点 A 的坐标为（3，0） ， 点 B 的坐标是（1，0） 故答案为（1，0） 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数， 第 15 页（共 27 页）
28、 a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程 17 （3 分）如图是一次函数 ykx+b 的图象，当 y0 时，x 的取值范围是 x2 【分析】根据一次函数的性质和图象，可以写出 x 的取值范围，本题得以解决 【解答】解：由图象可知， 当 x2 时，y0，该函数图象 y 随 x 的增大而增大， 当 y0 时，x 的取值范围是 x2， 故答案为：x2 【点评】本题考查一次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合 的思想解答 18 （3 分）如图，有一条折线 A1B1A2B2A3B3A4B4，它是由过 A1（0，0） ，B1（2，2） ，A2 （4，0）组成的折
29、线依次平移 4，8，12，个单位得到的，直线 ykx+2 与此折线恰有 2n（n1，且为整数）个交点，则 k 的值为 【分析】由点 A1、A2的坐标，结合平移的距离即可得出点 An的坐标，再由直线 ykx+2 与此折线恰有 2n（n1，且为整数）个交点，即可得出点 An+1（4n，0）在直线 ykx+2 上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出 k 值 【解答】解：A1（0，0） ，A2（4，0） ，A3（8，0） ，A4（12，0） ， An（4n4，0） 直线 ykx+2 与此折线恰有 2n（n1，且为整数）个交点， 第 16 页（共 27 页） 点 An+1（4n，0）在直线 ykx
30、+2 上， 04nk+2， 解得：k 故答案为： 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化中的平移，根据 一次函数图象上点的坐标特征结合点 An的坐标，找出 04nk+2 是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19解下列方程式： （1）x23x+10 （2）x2+x120 【分析】 （1）根据配方法即可求出答案； （2）根据因式分解法即可求出答案； 【解答】解： （1）x23x+10， x23x1， x23x+， （x）2， x； （2）x2+x120， （x+4） （x3）0， x4 或 x3； 【点评】本题考查一
31、元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属 于基础题型 20如图，直线 l1解析式为 y2x2，且直线 l1与 x 轴交于点 D，直线 l2与 y 轴交于点 A， 且经过点 B（3，1） ，直线 l1、l2交于点 C（2，2） （1）求直线 l2的解析式； （2）根据图象，求四边形 OACD 的面积 第 17 页（共 27 页） 【分析】 （1）利用直线 l1的解析式令 y0，求出 x 的值即可得到点 D 的坐标；把点 C 的 坐标代入直线 l1的解析式求出 m 的值，即可得解；根据点 B、C 的坐标，利用待定系数 法求一次函数解析式解答； （2）先求出点 A 的坐标，再求出
32、AD 的长，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即 可得解 【解答】解： （1）点 D 是直线 l1：y2x2 与 x 轴的交点， y0，02x2，x1， D（1，0） ， 点 C（2，2） 、B（3，1）在直线 l2上， ， 解之得：， 直线 l2的解析式为 yx+4； （2）点 A 是直线 l2与 y 轴的交点， x0， 即 y0+44， 即点 A（4，0） ， AD1（4）5， 四边形 OACD 的面积SADC+SAOD52+417 【点评】本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一 次函数解析式，都是基础知识，一定要熟练掌握并灵活运用 21为了解某校九年级男生
33、的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并 对成绩进行了统计，绘制出如下的统计图和图，请跟进相关信息，解答下列问题： 第 18 页（共 27 页） （）本次抽测的男生人数为 50 ，图中 m 的值为 28 ； （）求本次抽测的这组数据的平均数、众数和中位数； （）若规定引体向上 5 次以上（含 5 次）为体能达标，根据样本数据，估计该校 350 名九年级男生中有多少人体能达标 【分析】 （）根据 4 次的人数及其百分比可得总人数，用 6 次的人数除以总人数求得 m 即可； （）根据平均数、众数、中位数的定义求解可得； （）总人数乘以样本中 5、6、7 次人数之和占被调查人数的比例
34、可得 【解答】解： （）本次抽测的男生人数为 1020%50，m%100%28%， 所以 m28， 故答案为：50、28； （）平均数为5.16 次， 众数为 5 次，中位数为5 次； （）350252， 答：估计该校 350 名九年级男生中有 252 人体能达标 【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题 的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 22如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，AC、BD 交于点 O，12 （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若BOC120，AB4cm，求四边形 ABCD 的面积 第 19 页（共 27 页） 【
35、分析】 （1）因为12，所以 BOCO，2BO2CO，又因为四边形 ABCD 是平行 四边形，所以 AOCO，BOOD，则可证 ACBD，根据对角线相等的平行四边形是矩 形即可判定； （2）在BOC 中，BOC120，则1230，AC2AB，根据勾股定理可求 得 BC 的值，则四边形 ABCD 的面积可求 【解答】 （1）证明：12， BOCO，即 2BO2CO 四边形 ABCD 是平行四边形， AOCO，BOOD， AC2CO，BD2BO， ACBD 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形； （2）解：在BOC 中，BOC120， 12（180120）230， 在 RtA
36、BC 中，AC2AB248（cm） ， BC（cm） 四边形 ABCD 的面积 【点评】此题把矩形的判定、勾股定理和平行四边形的性质结合求解考查学生综合运 用数学知识的能力解决本题的关键是读懂题意，得到相应的四边形的各边之间的关系 23长沙市的“口味小龙虾”冠绝海内外，如“文和友老长沙龙虾馆”订单排队上千号某 衣贸市场甲、乙两家农贸商店售卖小龙虾，甲、乙平时以同样的价格出售品质相同的小 龙虾， “中非贸易博览会”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额 y甲，y乙（单位： 元）与原价 x（单位：元）之间的函数关系如图所示 第 20 页（共 27 页） （1）请求出 y甲，y乙关于 x 的函数关
37、系式； （2） “中非贸易博览会”期间，如果你是龙虾馆采购员，如何选择甲、乙两家商店购买 小龙虾更省钱？ 【分析】 （1）利用待定系数法即可求出 y 甲，y 乙关于 x 的函数关系式； （2）当 0x2000 时，显然到甲商店购买更省钱；当 x2000 时，分三种情况进行讨 论即可 【解答】解： （1）设 y甲kx，把（2000，1600）代入， 得 2000k1600，解得 k0.8， 所以 y甲0.8x； 当 0x2000 时，设 y乙ax， 把（2000，2000）代入，得 2000a2000，解得 a1， 所以 y乙x； 当 x2000 时，设 y乙mx+n， 把（2000，2000）
38、 ， （4000，3400）代入，得 ， 解得 所以 y乙； （2）当 0x2000 时，0.8xx，到甲商店购买更省钱； 当 x2000 时，若到甲商店购买更省钱，则 0.8x0.7x+600，解得 x6000； 若到乙商店购买更省钱，则 0.8x0.7x+600，解得 x6000； 若到甲、乙两商店购买一样省钱，则 0.8x0.7x+600，解得 x6000； 故当购买金额按原价小于 6000 元时，到甲商店购买更省钱； 第 21 页（共 27 页） 当购买金额按原价大于 6000 元时，到乙商店购买更省钱； 当购买金额按原价等于 6000 元时，到甲、乙两商店购买花钱一样 【点评】本题考
39、查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，正确求出函数 解析式并进行分类讨论是解题的关键 24已知两个共一个顶点的等腰直角ABC 和等腰直角CEF，ABCCEF90，连 接 AF，M 是 AF 的中点，连接 MB、ME （1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MBCF； （2）如图 1，若 CBa，CE2a，求 BM，ME 的长； （3）如图 2，当BCE45时，求证：BMME 【分析】 （1）由“ASA”可证ABMFDM，可得 ABDF，可得 BEDE，可得EBD 45FCE，可得结论； （2）由题意可得 BEDEa，可得BDE 是等腰直角三角形，BDa，由等腰直角
40、 三角形的性质可求 BM，ME 的长； （3）延长 AB 交 CE 于点 D，连接 DF，延长 FE 与 CB 交于点 G，连接 AG，推出 BM、 ME 是两条中位线：BMDF，MEAG；然后证明ACGDCF，得到 DFAG， 从而证明 BMME； 【解答】证明： （1）如图 1，延长 BM 交 EF 于点 D， ABEABCCEF90， 第 22 页（共 27 页） ABEF DFMBAM，且 AMMF，AMBDMF ABMFDM（ASA） ABDF，BMDM 在等腰直角ABC 和等腰直角CEF 中，ABBC，ECEF，FCE45 DFABBC ECBCEFDF BEDE，且BED90 E
41、BD45FCE BMCF （2）由（1）可知：ABBCDF，BMDM CBa，CE2a， BEDEa，且CEF90 BDE 是等腰直角三角形，BDa，且 BMDM BMEMBDa， （3）如图 2，延长 AB 交 CE 于点 D，连接 DF，延长 FE 与 CB 交于点 G，连接 AG， ABC 是等腰直角三角形 ABBC，BACBCA45，ABC90 ECB45 BDC45ECBCAB BDBC，ACCD 第 23 页（共 27 页） ABBD，点 M 为 AF 中点， BMDF 同理可得：CFCG，MEAG 在ACG 与DCF 中， ACGDCF（SAS） ， DFAG， BMME 【点评
42、】本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质， 等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题 的关键，也是本题的难点 25 已知关于x的方程x2kx+k2+n0有两个不相等的实数根x1、 x2， 且 （2x1+x2） 28 （2x1+x2） +150 （1）求证：n0； （2）试用 k 的代数式表示 x1； （3）当 n3 时，求 k 的值 【分析】 （1）方程有两个不相等的实数根，则0，建立关于 n，k 的不等式，结合不 等式的性质，证出结论； （2）根据根与系数的关系，把 x1+x2k 代入已知条件（2x1+x2）28（2x1+x2）
43、+150， 即可用 k 的代数式表示 x1； （3）首先由（1）知 nk2，又 n3，求出 k 的范围再把（2）中求得的关系式 代入原方程，即可求出 k 的值 【解答】证明： （1）关于 x 的方程 x2kx+k2+n0 有两个不相等的实数根， k24（k2+n）3k24n0， nk2 又k20， n0 第 24 页（共 27 页） 解： （2）（2x1+x2）28（2x1+x2）+150，x1+x2k， （x1+x1+x2）28（x1+x1+x2）+150 （x1+k）28（x1+k）+150 （x1+k）3（x1+k）50 x1+k3 或 x1+k5， x13k 或 x15k （3）nk2
44、，n3， k24，即：2k2 原方程化为：x2kx+k230， 把 x13k 代入，得到 k23k+20， 解得 k11，k22（不合题意） ， 把 x25k 代入，得到 3k215k+220，390，所以此时 k 不存在 k1 【点评】本题综合考查了一元二次方程的解法、一元二次方程根的定义、一元二次方程 根的判别式、一元二次方程根与系数的关系以及分类讨论的思想 26图 1，抛物线与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0） ，顶点为 D（1，4） ，点 P 为 y 轴上 一动点 （1）求抛物线的解析式； （2）在 y 轴的负半轴上是否存在点 P，使BDP 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的
45、坐 标；若不存在，请说明理由 （3）如图 2，点在抛物线上，求的最小值 第 25 页（共 27 页） 【分析】 （1）由已知抛物线顶点 D 可设抛物线顶点式，再把点 A 代入即求得二次项系数 a 的值 （2）由点 B、D 坐标可求 BD 的长设点 P 坐标为（0，t） ，用 t 表示 BP2，DP2对 BP BD、DPBD、BPDP 三种情况进行分类讨论计算，解方程求得 t 的值并讨论是否合 理 （3）由点 B、C 坐标可得BCO45，所以过点 P 作 BC 垂线段 PQ 即构造出等腰直 角PQC，可得 PQPC，故有 MP+PCMP+PQ过点 M 作 BC 的垂线段 MH， 根据垂线段最短性质，可知当点 M、P、Q 在同一直线上时，MP+PCMP+PQMH 最小，即需求 MH 的长连接 MB、MC 构造BCM，利用 y 轴分成BCD 与CD
