1、2018-2019 学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ）只有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）在复平面上，复数 32i 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）若 （pq）为假命题，则（ ） Ap 为真命题，q 为假命题 Bp 为假命题，q 为假命题 Cp 为真命题，q 为真命题 Dp 为假命题，q 为真命题 3 （5 分）若 xR，则“x1”是“|x
2、|1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4（5 分） 已知 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， 则下列命题正确的是 （ ） A若 mn，m，则 n B若 m，n，则 mn C若 m，m，则 D若 m，则 m 5 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条，则 z3x+y 的最大值为（ ） A2 B6 C8 D11 6 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ） A10 B6 C14 D18 第 2 页（共 18 页） 7 （5 分）已知向量（，） ，（，） ，则ABC（
3、 ） A30 B45 C60 D120 8 （5 分）若 a0，b0，且 a+b4，则下列不等式恒成立的是（ ） A B+1 C2 Da2+b28 9 （5 分）设双曲线1（a0，b0）的虚轴长为 2，焦距为 2，则双曲线的 渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dy2x 10 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b2+c2a2+bc，若 sinB sinCsin2A，则ABC 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 11 （5 分）数列 an2n+1，其前 n 项和为 Tn，若不等式 nlog2（Tn+
4、4）（n+1）+73n 对一切 nN*恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A3 B4 C23 D34 12 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x） ，其导函数为 f（x） ；当 x0 时，恒有f （x）+f（x）0，若 g（x）x2f（x） ，则不等式 g（x）g（12x）的解集为（ ） A （，1） B （，）（1，+） C （，+） D （，） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上 ）分把答案填在题中的横线上 ） 13 （5 分）若直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，则直
5、线 l 的斜率为 14 （5 分）已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 是无限不循环小数；根据 演绎推理三段论形式推出的结论是 15 （5 分）i 是虚数单位，设（1+i）x1+yi，其中 x，y 是实数，则|x+yi| 16 （5 分）函数 f（x）ln x（a0） ，若x0R，使得x11，2都有 f（x1）f（x0） ， 则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 第 3 页（共 18
6、页） 骤 ）骤 ） 17 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系已知圆 C 的极坐标方程为 cos+sin，直线 l 的极坐标方程为 sin（） （1）求圆 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）当 （0，）时，求直线 l 与圆 C 公共点的极坐标 18 （12 分）高三某班 50 名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间， 将测试结果按如下方式分成五组，第一组13，14） ，第二组14，15） ，第五组17， 18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；
7、 （2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在 15 秒以内的学生人数； （3）设 m，n 表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知 m，n13，14）17，18） ， 求事件|mn|2 的概率 19 （12 分）已知公差不为零的等差数列an中，a37，又 a2，a4，a9成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn 20 （12 分）如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，ADPA2，CD2，E，F 分别 是 AB、PD 的中点 （1）求证：AF平面 PCD （2）求三棱锥 PEFC 的体积 第 4 页（共 18 页） 21 （12 分）如图，抛物线
8、关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2） ，A（x1，y1） ， B（x2，y2）均在抛物线上 （）写出该抛物线的方程及其准线方程； （）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1+y2的值及直线 AB 的斜率 22 （12 分）已知函数 f（x）， （a0） （1）当 a1 时，求函数 yf（x）在 x1 处的切线方程； （2）求函数 f（x）在a，2a上的最小值； （3）证明：x（0，+） ，都有 lnx 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
9、参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ）只有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）在复平面上，复数 32i 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接写出复数 32i 对应的点的坐标得答案 【解答】解：在复平面上，复数 32i 对应的点的坐标为（3，2） ，位于第四象限 故选：D 【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 2 （5 分）若 （pq）为假命题，则（ ）
10、 Ap 为真命题，q 为假命题 Bp 为假命题，q 为假命题 Cp 为真命题，q 为真命题 Dp 为假命题，q 为真命题 【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可 【解答】解：若 （pq）为假命题， 则 pq 为真命题， 则 p 为真命题，q 为真命题， 故选：C 【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键 3 （5 分）若 xR，则“x1”是“|x|1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可 【解答】解：由|x|1 得1x
11、1， 则“x1”是“|x|1” ”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题 的关键 第 6 页（共 18 页） 4（5 分） 已知 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， 则下列命题正确的是 （ ） A若 mn，m，则 n B若 m，n，则 mn C若 m，m，则 D若 m，则 m 【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论 【解答】解：对于 A，根据线面垂直的性质定理，可得 A 正确； 对于 B，若 m，n，则 mn，m，n 相交或异面，不正确； 对于 C，若 m
12、，m，则 ，不正确； 对于 D，若 m，则 m 与 的位置关系不确定，不正确 故选：A 【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属 于基础题 5 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条，则 z3x+y 的最大值为（ ） A2 B6 C8 D11 【分析】 先根据约束条件画出可行域， 再利用目标函数中 z 的几何意义， 求出直线 z3x+y 的最大值即可 【解答】解：作出变量 x，y 满足约束条的可行域如图， 由 z3x+y 知，y3x+z， 所以动直线 y3x+z 的纵截距 z 取得最大值时，目标函数取得最大值 由得 A（3，2） ， 结合可行域可知当动直线经
13、过点 A（3，2）时， 目标函数取得最大值 z33+211 故选：D 第 7 页（共 18 页） 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 6 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ） A10 B6 C14 D18 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S 的值，当 i8 时满足条件 i 5，退出循环，输出 S 的值为 6 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S20，i1 i2，S18 不满足条件 i5，i4，S14 不满足条件 i5，i8，S6 满足条件 i5，退出循环，输出 S 的值为 6 故选：B 第 8 页（
14、共 18 页） 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 i，S 的值是解 题的关键，属于基础题 7 （5 分）已知向量（，） ，（，） ，则ABC（ ） A30 B45 C60 D120 【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向 量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值 【解答】解：，； ； 又 0ABC180； ABC30 故选：A 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角 的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角 8 （5 分）若 a0，b0，且 a+b4，则下列不等式恒
15、成立的是（ ） A B+1 C2 Da2+b28 【分析】 利用基本不等式， 得出 ab4， 然后对各选项的代数式进行变形， 利用 ab4 进行验证， 【解答】解：（当且仅当 ab 时，等号成立） ，即，ab4， ，选项 A、C 不成立； ，选项 B 不成立； a2+b2（a+b）22ab162ab8，选项 D 成立 故选：D 【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理 配凑，属于中等题 9 （5 分）设双曲线1（a0，b0）的虚轴长为 2，焦距为 2，则双曲线的 渐近线方程为（ ） 第 9 页（共 18 页） Ayx Byx Cyx Dy2x 【分析】由题意
16、可得 b，c，由双曲线的 a，b，c 的关系可得 a，再由双曲线的渐近线方 程，即可得到 【解答】解：由题意可得，双曲线的 b1，c， 则 a， 则双曲线的渐近线方程为 yx， 即为 yx 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于 基础题 10 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b2+c2a2+bc，若 sinB sinCsin2A，则ABC 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 【分析】 b2+c2a2+bc， 利用余弦定理可得 cosA， 可得 由 sin
17、Bsin Csin2A， 利正弦定理可得：bca2，代入 b2+c2a2+bc，可得 bc 【解答】解：在ABC 中，b2+c2a2+bc，cosA， A（0，） ， sin Bsin Csin2A， bca2， 代入 b2+c2a2+bc，（bc）20，解得 bc ABC 的形状是等边三角形 故选：C 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 11 （5 分）数列 an2n+1，其前 n 项和为 Tn，若不等式 nlog2（Tn+4）（n+1）+73n 对一切 nN*恒成立，则实数 的取值范围为（ ） 第 10 页（共 18 页） A3
18、 B4 C23 D34 【分析】不等式 nlog2（Tn+4）bn+73n 化为 n2n+7（n+1） ，可得 对 一切 nN*恒成立，利用不等式，即可得出结论 【解答】解an2n+1， Tn2n+24 不等式 nlog2（Tn+4）（n+1）+73n 化为 n2n+7（n+1） ， nN*， 对一切 nN*恒成立 而（n+1）+3233， 当且仅当 n+1即 n2 时等号成立， 3， 故选：A 【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、 求解的能力，属于中档题 12 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x） ，其导函数为 f（x） ；当 x0 时，恒有
19、f （x）+f（x）0，若 g（x）x2f（x） ，则不等式 g（x）g（12x）的解集为（ ） A （，1） B （，）（1，+） C （，+） D （，） 【分析】根据函数 f（x）为偶函数，则 g（x）也为偶函数，利用导数可以判断 g（x）在 0，+）为减函数，则不等式 g（x）g（12x）转化为|x|12x|，解得即可 【解答】解：定义在 R 上的偶函数 f（x） ， f（x）f（x） x0 时，恒有f（x）+f（x）0， x2f（x）+2xf（x）0， g（x）x2f（x） ， g（x）2xf（x）+x2f（x）0， 第 11 页（共 18 页） g（x）在0
20、，+）为减函数， f（x）为偶函数， g（x）为偶函数， g（x）在（，0）上为增函数， g（x）g（12x） |x|12x|， 即（x1） （3x1）0， 解得x1， 故选：A 【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题 和解决问题的能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上 ）分把答案填在题中的横线上 ） 13 （5 分）若直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，则直线 l 的斜率为 3 【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截
21、式， 求出斜率即可 【解答】解：直线 l 的参数方程为（t 为参数） 消去参数 t 得 y23（x1） 化简得 y3x+5，则直线 l 的斜率为3， 故答案为3 【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题 14 （5 分）已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 是无限不循环小数；根据 演绎推理三段论形式推出的结论是 是无理数 【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论 【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立， 大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 是无限不循环小数；根据演绎推理三段 论形式推出的结论是： 是无理数， 故答案为： 是无理数 【点评】本
22、题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题 第 12 页（共 18 页） 15 （5 分）i 是虚数单位，设（1+i）x1+yi，其中 x，y 是实数，则|x+yi| 【分析】由复数相等的条件列式求得 x，y 的值，再由复数模的公式计算 【解答】解：由（1+i）x1+yi，得 x+xi1+yi， xy1， 则|x+yi|1+i| 【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题 16 （5 分）函数 f（x）ln x（a0） ，若x0R，使得x11，2都有 f（x1）f（x0） ， 则实数 a 的取值范围是 （0，1）（2，+） 【分析】x0R，使得x11，2都有 f（x
23、1）f（x0） ，f（x）maxf（t）max，其中 x1， 2，tR且 f（a）不在区间1，2内f（x）（a0，x0） 研 究单调性即可得出极值与最值 【解答】解：x0R，使得x11，2都有 f（x1）f（x0） ，f（x）maxf（t）max， 其中 x1，2，tR f（x）（a0，x0） 可得：函数 f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减 xa 时，函数 f（x）取得极大值即最大值，f（a）lna1 x0R，使得x11，2都有 f（x1）f（x0） ，可得 f（a）不在区间1，2内 a（0，1）（2，+） 故答案为： （0，1）（2，+） 【点评】本题考查了利用导数研究函
24、数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推 理能力由于计算能力，属于难题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤 ）骤 ） 17 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系已知圆 C 的极坐标方程为 cos+sin，直线 l 的极坐标方程为 sin（） （1）求圆 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）当 （0，）时，求直线 l 与圆 C 公共点的极坐标 第 13 页（共 18 页） 【分析】 （1）圆 C 的极
25、坐标方程转化为 2cos+sin，由此能求出圆 C 的直角坐标方 程；直线 l 的极坐标方程转化为 sincos1，由此能求出直线 l 的直角坐标方程 （2）由，得，由此求出直线 l 与圆 C 公共点的极坐标 【解答】解： （1）圆 C 的极坐标方程为 cos+sin，2cos+sin， 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2x+y， x2+y2xy0， 直线 l 的极坐标方程为 sin（），sincos1， 直线 l 的直角坐标方程为：yx1，即 xy+10 （2）由，得， 直线 l 与圆 C 公共点的极坐标为（1，） 【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的
26、求 法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18 （12 分）高三某班 50 名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间， 将测试结果按如下方式分成五组，第一组13，14） ，第二组14，15） ，第五组17， 18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数； （2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在 15 秒以内的学生人数； （3）设 m，n 表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知 m，n13，14）17，18） ， 求事件|mn|2 的概率 【分析】 （1）由频率分布直方
27、图能求出样本数据的众数 第 14 页（共 18 页） （2）数据落在第一、二组的频率为 0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在 15 秒以内的学生人数 （3）成绩在13，14）的人数有 2 人，设为 a，b，成绩在17，18的人数有 3 人，设为 A， B，C，由此利用列举法能求出事件|mn|2 的概率 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： 众数落在第三组15，16）中， 样本数据的众数为：15.5 （2）数据落在第一、二组的频率为：10.04+10.180.22， 该班在这次百米跑测试中，成绩在 15 秒以内的学生人数为 0.225011 （3）成绩在13，14）的人数有：5
28、00.042 人，设为 a，b， 成绩在17，18的人数有：500.063 人，设为 A，B，C， m，n13，14）时有 ab 一种情况， m，n17，18时，有 AB，AC，BC 三种情况， m，n 分别在13，14）和17，18时有 aA，aB，aC，bA，bB，bC 六种情况， 基本事件总数 n10， 设事件|mn|2 为事件 A，它由 aA，aB，aC，bA，bB，bC 这六个基本事件组成， P（A） 【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 19 （12 分）已知公差不为零的等差数列an中，a37，又 a2，a4，a
29、9成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）设公差 d 不为零的等差数列an，运用等比数列的中项性质和等差数列的 通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）bn（） ，由数列的裂项相消求和即 可得到所求和 【解答】解： （1）公差 d 不为零的等差数列an中，a37，又 a2，a4，a9成等比数列， 可得 a1+2d7，a42a2a9，即（a1+3d）2（a1+d） （a1+8d） ， 第 15 页（共 18 页） 解得 a11，d3， 则 ana1+（n1）d1+3（n1）3n2； （2）bn（） ， 可得前
30、 n 项和 Sn（1+） （1） 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和， 考查化简运算能力，属于中档题 20 （12 分）如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，ADPA2，CD2，E，F 分别 是 AB、PD 的中点 （1）求证：AF平面 PCD （2）求三棱锥 PEFC 的体积 【分析】 （1）推导出 AFPD，PACD，ADCD，从而 CD平面 PAD，进而 AFCD， 由此能证明 AF平面 PCD （2）取 PC 的中点 G，连结 EG，GF，则四边形 AEGF 为平行四边形，从而 EGAF， 进而 GF平面 PCD，EG 为三棱锥 EPF
31、C 的高，由此能求出三棱锥 PEFC 的体积 【解答】证明： （1）PAAD2，F 为 AD 中点，AFPD， PA平面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD， ADCD，PAADA，CD平面 PAD， AF平面 PAD，AFCD， PDCDD，AF平面 PCD 解： （2）取 PC 的中点 G，连结 EG，GF，则 GFCD，GF， 第 16 页（共 18 页） 又 EACD，EACD，AEGF，AEGF， 四边形 AEGF 为平行四边形， EGAF， 由（1）知 AF平面 PDC，GF平面 PCD，EG 为三棱锥 EPFC 的高， 又 GFAFEG，PF， ， 三棱锥 PEFC 的体积
32、 V 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 21 （12 分）如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2） ，A（x1，y1） ， B（x2，y2）均在抛物线上 （）写出该抛物线的方程及其准线方程； （）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1+y2的值及直线 AB 的斜率 【分析】 （I）设出抛物线的方程，把点 P 代入抛物线求得 p 则抛物线的方程可得，进而 求得抛物线的准线方程 （II）设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为
33、 kPB，则可分别表示 kPA和 kPB，根据倾 斜角互补可知 kPAkPB，进而求得 y1+y2的值，把 A，B 代入抛物线方程两式相减后即 第 17 页（共 18 页） 可求得直线 AB 的斜率 【解答】解： （I）由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px 点 P（1，2）在抛物线上222p1，得 p2 故所求抛物线的方程是 y24x 准线方程是 x1 （II）设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB 则， PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 kPAkPB 由 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在抛物线上，得 y124x1（1）y224x2（2） y1+2（y2
34、+2） y1+y24 由（1）（2）得直线 AB 的斜率 【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题 和解决问题的能力 22 （12 分）已知函数 f（x）， （a0） （1）当 a1 时，求函数 yf（x）在 x1 处的切线方程； （2）求函数 f（x）在a，2a上的最小值； （3）证明：x（0，+） ，都有 lnx 第 18 页（共 18 页） 【分析】 （1）求出函数的导数，计算 f（1）的值，求出切线方程即可； （2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小 值即可； （3）问题等价于证明 xlnx令 g（x）xln
35、x，根据函数的单调性证明即可 【解答】解： （1）a1 时，f（x）xlnx，f（x）lnx+1， 切线斜率 kf（1）1，切点为（1，0） ，切线方程为 yx1； （2）f（x），令 f（x）0，解得：x， 当 a时，f（x）0，f（x）在a，2a上单调递增， f（x）minf（a）lna； 当a2a，即a时，f（x）在a，上单调递减，在，2a上单调递增， f（x）minf（）； 当 a时，f（x）0，f（x）在a，2a上单调递减， f（x）minf（2a）2ln（2a） ； （3）证明：要证的不等式两边同乘以 x，则等价于证明 xlnx 令 g（x）xlnx，则由（1）知 f（x）minf（）， 令 （x），则 （x），当 0x1 时，（x）0，（x）递增； 当 x1 时，（x）0，（x）递减；（x）max（1）， f（x）min（x）max，且最值不同时取到，即 xlnx， x（0，+） ，都有 lnx 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考 查分类讨论思想，是一道中档题
