1、 1 中考中考压轴题全揭秘压轴题全揭秘 专题专题 16 16 新定义和阅读理解型问题新定义和阅读理解型问题 一、单选题一、单选题 1已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何 学家海伦（Heron，约公元 50 年）给出求其面积的海伦公式 S=，其中 p=； 我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 S=，若一个三角形的三边长分别为 2，3，4，则其面积是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 S=， 若一个三角形的三边长分别为 2，3，4，则其面积是：S= 【关键点拨】 解答本题的关
2、键是明确题意，求出相应的三角形的面积 2在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点从一个格点移动到与之相距 5的另一个格点的运动称为一次跳马变换例如，在 44 的正方形网格图形中（如图 1） ，从点A经过一 次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处现有 2020 的正方形网格图形（如图 2） ，则从该正方形的顶点 M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（ ） 2 A13 B14 C15 D16 【答案】B 【解析】 如图 1， 连接AC，CF， 则AF=3 2， 两次变换相当于向右移动 3 格， 向上移动 3 格， 又MN=20 2， 20 23
3、2= 20 3 （不是整数） ， 按ACF的方向连续变换 10 次后， 相当于向右移动了 1023=15 格，向上移动了 1023=15 格，此时M位于如图所示的 55 的正方形网格的点G处，再按如图所示的方 式变换 4 次即可到达点N处，从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变 换的次数是 14 次，故选 B 【关键点拨】本题主要考查了几何变换的类型以及勾股定理的运用，解题时注意：在平移变换下，对应线 段平行且相等，两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等解决问题的关键是找出变换的规 律 3已知点A在函数 1 1 y x （x0）的图象上，点B在直线y2=k
4、x+1+k（k为常数，且k0）上若A，B 两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”请问这两个函数图象上的“友好 点”对数的情况为（ ） A有 1 对或 2 对 B只有 1 对 C只有 2 对 D有 2 对或 3 对 【答案】A 【解析】设A（a， 1 a ） ，由题意知，点A关于原点的对称点B（ （a， 1 a ） ， ）在直线y2=kx+1+k上，则 1 a = ak+1+k，整理，得：ka 2（k+1）a+1=0 ，即（a1） （ka1）=0，a1=0 或 ka1=0，则a=1 或 ka1=0，若k=0，则a=1，此时方程只有 1 个实数根，即两个函数图象上的“
5、友好点”只有 1 对； 若k0，则a= 1 k ，此时方程有 2 个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有 2 对，综上，这两个函数 图象上的“友好点”对数情况为 1 对或 2 对，故选 A 【关键点拨】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定 义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键 4对于实数a，b，定义符号 mina，b，其意义为：当ab时，mina，b=b；当ab时，mina，b=a例 3 如：min=2，1=1，若关于x的函数y=min2x1，x+3，则该函数的最大值为（ ） A 2 3 B1 C 4 3 D 5 3
6、【答案】D 【解析】当 2x1x+3 时，x 4 3 ，当x 4 3 时，y=min2x1，x+3=x+3，当 2x1x+3 时， x 4 3 ，当x 4 3 时，y=min2x1，x+3=2x1，综上所述，y=min2x1，x+3的最大值是当x= 4 3 所对应的y的值，如图所示，当x= 4 3 时，y= 4 3 +3= 5 3 ，故选 D 【关键点拨】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用 数形结合的思想解决函数的最值问题 5根据如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值是 4 或 7 时，输出的 y 值相等，则 b 等于（ ） A9 B7
7、 C9 D7 【答案】C 【解析】 当 x=7 时，y=6-7=-1， 当 x=4 时，y=24+b=-1， 4 解得：b=-9， 故选 C 【关键点拨】 本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法 6已知: 表示不超过 的最大整数，例: ，令关于 的函数 ( 是 正整数)，例：=1，则下列结论错误 的是（ ） A B C D或 1 【答案】C 【解析】 A. =0-0=0，故 A 选项正确，不符合题意； B. =，=， 所以，故 B 选项正确，不符合题意； C. =，= ， 当 k=3 时，=0，= =1， 此时，故 C 选项错误，符合题意； D.设 n 为正整数， 当 k=4n
8、时，=n-n=0， 当 k=4n+1 时，=n-n=0， 当 k=4n+2 时，=n-n=0， 当 k=4n+3 时，=n+1-n=1， 所以或 1，故 D 选项正确，不符合题意， 故选 C. 【关键点拨】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键. 7设a，b是实数，定义的一种运算如下： 22 ababab，则下列结论： 5 若 0ab ，则a=0 或b=0； abcabac ； 不存在实数a，b，满足 22 5abab； 设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时， ab最大 其中正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】由分析可得： 对于若
9、22 40abababab，则a=0 或b=0 正确； 对于 22 44abcabcabcabac而 44abacabac 故正确； 对于 22 5abab，由 22 22 45ababababab，可得由 22 450aabb化简： 2 2 20abb解出存在实数a，b，满足 22 5abab； 对于a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时， ab最大正确 故选 C 8在ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB 2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如 图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，
10、则 PF 2+PG2的最小值为（ ） A B C34 D10 【答案】D 【解析】 设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P，此时 PN 取最小值 6 DE=4，四边形 DEFG 为矩形， GF=DE，MN=EF， MP=FN= DE=2， NP=MN-MP=EF-MP=1， PF 2+PG2=2PN2+2FN2=212+222=10 故选 D 【关键点拨】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找 出 PN 的最小值是解题的关键 9我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全
11、等的直 角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个 这样的图形拼成，若 a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ） A20 B24 C D 【答案】B 【解析】 设小正方形的边长为 x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得 ：2（ax+x 2+bx）=（a+x） （b+x）, 化简得 ：ax+x 2+bx-ab=0， 又 a = 3 ， b = 4 ， x 27x=12; 该矩形的面积为=（a+x） （b+x）=（3+x） （4+x）=x 27x+12=24. 7 故答案为：B. 【关键点拨】 本题考查了勾股定理的证明以及运用和
12、一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的 关键. 10阅读理解： ， ， ， 是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：， 例如：.二元一次方程组的解可以利用 阶行列式表示为：；其中，.问题：对于用上面的方法解二 元一次方程组时，下面说法错误的是（ ） A B C D方程组的解为 【答案】C 【解析】 A、D=2（-2）-31=7，故 A 选项正确，不符合题意； B、Dx=2112=14，故 B 选项正确，不符合题意； C、Dy=21213=21，故 C 选项不正确，符合题意； D、方程组的解：x=2，y=3，故 D 选项正确，不符合题意， 故选 C 【关键点拨】本题考查了阅读理解型问题
13、，考查了 22 阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材 料中提供的方法进行解答是关键. 11已知二次函数 y=x 2+x+6 及一次函数 y=x+m，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下 方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示） ，请你在图中画出这个新图象，当直线 y=x+m 与 新图象有 4 个交点时，m 的取值范围是（ ） 8 Am3 Bm2 C2m3 D6m2 【答案】D 【解析】 如图，当 y=0 时，x 2+x+6=0，解得 x 1=2，x2=3，则 A（2，0） ，B（3，0） ， 将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方的
14、部分图象的解析式为 y=（x+2） （x3） ， 即 y=x 2x6（2x3） ， 当直线 y=x+m 经过点 A（2，0）时，2+m=0，解得 m=2； 当直线 y=x+m 与抛物线 y=x 2x6 （2x3） 有唯一公共点时， 方程 x2x6=x+m 有相等的实数解， 解得 m=6， 所以当直线 y=x+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围为6m2， 故选 D 【关键点拨】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与 x 轴的交点等，把求二次函数 y=ax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程是解决此类问题常用的方法. 12如图，
15、一段抛物线 y=x 2+4（2x2）为 C 1，与 x 轴交于 A0，A1两点，顶点为 D1；将 C1绕点 A1旋转 180得到 C2，顶点为 D2；C1与 C2组成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1（x1，y1） ，P2 （x2，y2） ，与线段 D1D2交于点 P3（x3，y3） ，设 x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则 t 的取值范围是（ ） 9 A6t8 B6t8 C10t12 D10t12 【答案】D 【解析】 翻折后的抛物线的解析式为 y=（x4） 24=x28x+12， 设 x1，x2，x3均为正数， 点 P1（x1，y1） ，P2（x2
16、，y2）在第四象限， 根据对称性可知：x1+x2=8， 2x34， 10x1+x2+x312， 即 10t12， 故选 D 【关键点拨】本题考查二次函数与 x 轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活 应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键. 13如图，抛物线与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作，将向左 平移得到，与 x 轴交于点 B、D，若直线与、共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是 A B C D 【答案】C 【解析】 抛物线与 x 轴交于点 A、B， 10 =0， x1=5，x2=9， ， 抛物线向左平移 4 个单位长度后的
17、解析式， 当直线过 B 点，有 2 个交点， ， ， 当直线与抛物线相切时，有 2 个交点， ， ， 相切， ， ， 如图， 若直线与、共有 3 个不同的交点， -， 故选 C 【关键点拨】 本题考查了抛物线与 x 轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答 本题的关键. 11 14定义一种对正整数 n 的“F”运算：当 n 为奇数时，F（n）=3n+1；当 n 为偶数时，F（n）=（其 中 k 是使 F（n）为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取 n=24，则： 若 n=13，则第 2018 次“F”运算的结果是（ ） A1 B4 C2018 D4 2
18、018 【答案】A 【解析】 若 n=13， 第 1 次结果为：3n+1=40， 第 2 次结果是：， 第 3 次结果为：3n+1=16， 第 4 次结果为：=1， 第 5 次结果为：4， 第 6 次结果为：1， 可以看出，从第四次开始，结果就只是 1，4 两个数轮流出现， 且当次数为偶数时，结果是 1；次数是奇数时，结果是 4， 而 2018 次是偶数，因此最后结果是 1， 故选 A 【关键点拨】 本题考查了规律题数字的变化类，能根据所给条件得出 n=13 时六次的运算结果，找出规律是解答此题 的关键 15在求 1+6+6 2+63+64+65+66+67+68+69 的值时，小林发现：从第
19、二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6 倍，于是她设： S=1+6+6 2+63+64+65+66+67+68+69 然后在式的两边都乘以 6，得： 6S=6+6 2+63+64+65+66+67+68+69+610 12 得 6SS=6 101，即 5S=6101，所以 S= ，得出答案后，爱动脑筋的小林想： 如果把“6”换成字母“a”（a0 且 a1） ，能否求出 1+a+a 2+a3+a4+a2014的值？你的答案是（ ） A B C Da 20141 【答案】B 【解析】 设 S=1+a+a 2+a3+a4+a2014， 则 aS=a+a 2+a3+a4+a2014+a2015， 得
20、： （a1）S=a 20151， S=， 故选 B 二、填空题二、填空题 16 对于实数 a， b， 定义运算“”： ab=， 例如 43， 因为 43 所以 43=5 若 x，y 满足方程组，则 xy=_. 【答案】60 【解析】 由题意可知：， 解得： xy，原式=512=60 故答案为：60 【关键点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确 理解新定义运算法则，本题属于基础题型 17观察下列运算过程：S=1+3+32+33+32017+32018 ， 3 得 3S=3+32+33+32018+32019 ， 得 2S=320191，S= 运用上
21、面计算方法计算：1+5+52+53+52018=_ 【答案】 13 【解析】 设 S=1+5+5 2+53+52018 ， 则 5S=5+5 2+53+54+52019， 得：4S=5 20191，所以 S= ， 故答案为： 【关键点拨】 本题考查了规律型数字的变化类，涉及了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题 的关键 18对于任意实数 a、b，定义：ab=a 2+ab+b2若方程（x2）5=0 的两根记为 m、n，则 m2+n2= 【答案】6 【解析】 （x2）5=x 2+2x+45， m、n 为方程 x 2+2x1=0 的两个根， m+n=2，mn=1， m 2+n2=（m
22、+n）22mn=6 故答案为：6 【关键点拨】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于 、两根之积等于 是解题的关键 19规定：，如：，若，则 _. 【答案】1 或-3 【解析】 依题意得： （2+x）x=3， 整理，得 x 2+2x=3， 所以 （x+1） 2=4， 所以 x+1=2， 所以 x=1 或 x=-3 故答案是：1 或-3 【关键点拨】 14 用配方法解一元二次方程的步骤： 把原方程化为 ax 2+bx+c=0（a0）的形式； 方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边； 方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个
23、常数； 如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方 程无实数解 20对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab=a 2ab，例如，53=5253=10若（x+1）（x2） =6，则 x 的值为_ 【答案】1 【解析】 由题意得， （x+1） 2（x+1） （x2）=6， 整理得，3x+3=6， 解得，x=1， 故答案为：1 【关键点拨】本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是 解题的关键 21我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求 积公式，即如果一个三角形的三边长
24、分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S=现 已知ABC 的三边长分别为 1，2，则ABC 的面积为_ 【答案】1 【解析】 15 S=，ABC的三边长分别为 1，2，则ABC的面积为： S=1， 故答案为：1 【关键点拨】 本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答 22对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的 每条边都至少有一个公共点（如图 1） ，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称 为该矩形的高如图 2，菱形 ABCD 的边长为 1，边 AB 水平放置如果该菱形的高是宽的 ，那么它的
25、宽的 值是_ 【答案】 【解析】 在菱形上建立如图所示的矩形 EAFC， 设 AF=x，则 CF= x， 在 RtCBF 中，CB=1，BF=x1， 由勾股定理得：BC 2=BF2+CF2， 即：1 2=（x-1）2+（ x）2， 解得：x=或 0（舍） ， 即它的宽的值是， 故答案为： 16 【关键点拨】本题考查了新定义题，矩形的性质、勾股定理等，根据题意正确画出图形，熟练应用相关的 知识进行解答是关键. 23对于任意实数 a、b，定义一种运算：ab=aba+b2例如，25=252+52=ll请根据上述的 定义解决问题：若不等式 3x2，则不等式的正整数解是_ 【答案】1 【解析】 3x=3
26、x3+x22， x ， x 为正整数， x=1， 故答案为：1 【关键点拨】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出 x 是解题的关键 24如图，把平面内一条数轴 x 绕原点 O 逆时针旋转角 （090）得到另一条数轴 y，x 轴和 y 轴构成一个平面斜坐标系规定：过点 P 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 A，过点 P 作 x 轴的平行线，交 y 轴 于点 B，若点 A 在 x 轴上对应的实数为 a，点 B 在 y 轴上对应的实数为 b，则称有序实数对（a，b）为点 P 的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知 =60，点 M的斜坐标为（3，2） ，点 N 与点 M 关于
27、y 轴对称， 则点 N 的斜坐标为_ 【答案】 （2，5） 【解析】 如图作 NDx 轴交 y 轴于 D，作 NCy 轴交 x 轴于 CMN 交 y 轴于 K 17 NK=MK，DNK=BMK，NKD=MKB， NDKMBK， DN=BM=OC=2，DK=BK， 在 RtKBM 中，BM=2，MBK=60， BMK=30， DK=BK= BM=1， OD=5， N（-2，5） ， 故答案为（-2，5） 【关键点拨】本题考查坐标与图形变化，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三 角形解决问题，属于中考常考题型 25如图 1，作BPC 平分线的反向延长线 PA，现要分别以APB，
28、APC，BPC 为内角作正多边形，且边 长均为 1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案例如，若以BPC 为内角，可作出一个边 长为 1 的正方形，此时BPC=90，而=45 是 360（多边形外角和）的 ，这样就恰好可作出两个边长 均为 1 的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图 2 所示 图 2 中的图案外轮廓周长是_； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_ 【答案】 14 21 【解析】 图 2 中的图案外轮廓周长是：82+2+82=14； 18 设BPC=2x， 以BPC 为内角的正多边形的边数为：， 以APB 为内角的正多
29、边形的边数为：， 图案外轮廓周长是=2+2+2=+6， 根据题意可知：2x 的值只能为 60，90，120，144， 当 x 越小时，周长越大， 当 x=30 时，周长最大，此时图案定为会标， 则则会标的外轮廓周长是=6=21， 故答案为：14，21 【关键点拨】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相 等，各外角相等，且外角和为 360是关键，并利用数形结合的思想解决问题 26若 为实数，则表示不大于 的最大整数，例如，等. 是大于 的最小整数，对任意的实数 都满足不等式. ，利用这个不等式，求出满足 的所有解，其所有解为_ 【答案】 或 1. 【解析
30、】 对任意的实数 x 都满足不等式xxx+1，x=2x-1， 2x-1x2x-1+1， 解得，0x1， 2x-1 是整数， x=0.5 或 x=1， 故答案为：x=0.5 或 x=1. 【关键点拨】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，会解答一元一次不等式. 27 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能 容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是_步 19 【答案】 【解析】 如图， 四边形 CDEF 是正方形， CD=E
31、D，DECF， 设 ED=x，则 CD=x，AD=12-x， DECF， ADE=C，AED=B， ADEACB， ， ， x=， 故答案为：. 【关键点拨】 本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键 28在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 E，F，G，H 都是格点，且四边形 EFGH 为正方形， 我们把这样的图形称为格点弦图 例如， 在如图 1 所示的格点弦图中， 正方形 ABCD 的边长为， 20 此时正方形 EFGH 的而积为 5
32、问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为时，正方形 EFGH 的面积的所 有可能值是_（不包括 5） 【答案】9 或 13 或 49. 【解析】 当 DG=，CG=2时，满足 DG 2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH 的面积为 13 当 DG=8，CG=1 时，满足 DG 2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为 49； 当 DG=7，CG=4 时，满足 DG 2+CG2=CD2，此时 HG=3，可得正方形 EFGH 的面积为 9. 故答案为：9 或 13 或 49 【关键点拨】本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数
33、形结合的思想解决问 题，属于中考填空题中的压轴题 29刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在九章算术中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边 形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O 的半径为 1，若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计圆 O 的 面积，则 S=_ （结果保留根号） 【答案】 【解析】 依照题意画出图象，如图所示 六边形 ABCDEF 为正六边形， ABO 为等边三角形， 21 O 的半径为 1， OM=1， BM=AM=， AB=， S=6SABO=6 1=2 故答案为：2. 【关键点拨】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边 形的
34、边长是解题的关键 30定义新运算：ab=a 2+b，例如 32=32+2=11，已知 4x=20，则 x=_ 【答案】4 【解析】 4x=4 2+x=20， x=4 故答案为：4 【关键点拨】本题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，依照新运算的定义找出关于 x 的一元一 次方程是解题的关键 31设双曲线与直线交于 ， 两点（点 在第三象限） ，将双曲线在第一象限的一支沿射 线的方向平移，使其经过点 ，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点 ，平移 后的两条曲线相交于点 ， 两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的 “眸”，为双曲线的“眸径”.当双
35、曲线的眸径为 6 时， 的值为_. 22 【答案】 【解析】 以 PQ 为边，作矩形 PQQP交双曲线于点 P、Q，如图所示 联立直线 AB 及双曲线解析式成方程组， 解得：， 点 A 的坐标为（-，-） ，点 B 的坐标为（，） PQ=6， OP=3，点 P 的坐标为（-，） 根据图形的对称性可知：AB=OO=PP， 点 P的坐标为（-+2，+2） 23 又点 P在双曲线 y= 上， （-+2）（+2）=k， 解得：k= 故答案为： 【关键点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性 质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点 P的坐标是
36、解题的关键 32如图，若ABC 内一点 P 满足PAC=PCB=PBA，则称点 P 为ABC 的布罗卡尔点，三角形的布罗卡 尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他 的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮已知ABC 中，CA=CB， ACB=120，P 为ABC 的布罗卡尔点，若 PA=，则 PB+PC=_ 【答案】1+ 【解析】 作 CHAB 于 H CA=CB，CHAB，ACB=120， AH=BH，ACH=BCH=60，CAB=CBA=30， AB=2BH=2BCcos30=BC， PAC=PCB=PBA， P
37、AB=PBC， PABPBC， ， PA=， PB=1，PC=， 24 PB+PC=1+ 故答案为 1+ 【关键点拨】 本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题 的关键是准确寻找相似三角形解决问题 三、解答题三、解答题 33综合与实践 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也 伴随着我们初中数学的学习 在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借 助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数 学的
38、眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论 实践操作 如图 1，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 翻折，使点 B落在矩形 ABCD 所在平面内，BC 和 AD 相交于点 E， 连接 BD 解决问题 (1)在图 1 中， BD 和 AC 的位置关系为 ； 将AEC 剪下后展开，得到的图形是 ； (2)若图 1 中的矩形变为平行四边形时(ABBC)，如图 2 所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选 其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由； (3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对 称图形，则小红折叠的矩形纸片的长
39、宽之比为 ； 拓展应用 (4)在图 2 中，若B=30，AB=4，当ABD 恰好为直角三角形时，BC 的长度为 25 【答案】(1)BD/AC，菱形；(2)见解析；(3)1：1 或：1；(4)4 或 6 或 8 或 12. 【解析】 (1)将剪下后展开，得到的图形是菱形； 故答案为，菱形； (2)选择证明如下： 四边形是平行四边形， ， ， 将沿翻折至， ， ， ， 是等腰三角形； 将剪下后展开，得到的图形四边相等， 将剪下后展开，得到的图形四边是菱形 选择证明如下， 四边形是平行四边形， ， 将沿翻折至， ， ， ， 26 ， ， ， (3)当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之
40、比为；， ， 当矩形的长宽之比为时，满足条件，此时可以证明四边形是等腰梯形，是轴对称图形； 综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为或； (4)， ， ， 四边形是等腰梯形， ， 是直角三角形， 当，时，如图 3 中， 设， ， 解得， ， ， ， ， 当，时，如图 4， 27 ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； 当，时，如图 5， ， ， ， ， ， ， ， ， 28 当时，如图 6， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 已知当的长为 4 或 6 或 8 或 12 时，是直角三角形 故答案为：平行，菱形，或，4 或 6 或 8 或
41、12； 【关键点拨】 本题考查折叠图形的性质与运用，解题的关键时能够知道在折叠过程中的变量与形成的新的关系. 34如图，在 RtABC 中，以下是小亮探究与之间关系的方法： sinA= ，sinB= ， c=，c=， 29 =， 根据你掌握的三角函数知识在图的锐角ABC 中，探究、之间的关系，并写出探究过程 【答案】=，理由见解析. 【解析】 =，理由为： 如图，过 A 作 ADBC，BEAC， 在 RtABD 中，sinB=，即 AD=csinB， 在 RtADC 中，sinC=，即 AD=bsinC， csinB=bsinC，即=， 同理可得=， 则= 【关键点拨】本题考查了解直角三角形，
42、熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键 35 如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O， ADy 轴于点 E （点 A 在点 D 的左侧） ， 经过 E、D 两点的函数 y= x 2+mx+1（x0）的图象记为 G 1，函数 y= x 2mx1（x0）的图象记为 G 2， 其中 m 是常数，图象 G1、G2合起来得到的图象记为 G设矩形 ABCD 的周长为 L 30 （1）当点 A 的横坐标为1 时，求 m 的值； （2）求 L 与 m 之间的函数关系式； （3）当 G2与矩形 ABCD 恰好有两个公共点时，求 L 的值； （4）设 G 在4x2 上最高点的纵坐标
43、为 y0，当 y09 时，直接写出 L 的取值范围 【答案】 （1） ； （2）L=8m+4 （3）20； （4）12L44 【解析】 （1）由题意 E（0，1） ，A（1，1） ，B（1，1） 把 B（1，1）代入 y= x 2+mx+1 中，得到 1= +m+1， m= ； （2）抛物线 G1的对称轴 x=m， AE=ED=2m， 矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O， AD=BC=4m，AB=CD=2， L=8m+4； （3）当 G2与矩形 ABCD 恰好有两个公共点， 抛物线 G2的顶点 M（m， m 21）在线段 AE 上， m 21=1， m=2 或2（舍弃） ， L=82+4
44、=20； （4）当最高点是抛物线 G1的顶点 N（m， m 2+1）时， 若 m 2+1= ，解得 m=1 或1（舍弃） ， 31 若 m 2+1=9 时，m=4 或4（舍弃） ， 又m2， 观察图象可知满足条件的 m 的值为 1m2， 当（2，2m1）是最高点时， 解得 2m5， 综上所述，1m5， 12L44 【关键点拨】本题考查了二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理 解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问 题 36我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形” （1）在“平行四边形，矩形，菱形，
45、正方形”中，一定是“十字形”的有 ； 在凸四边形 ABCD 中，AB=AD 且 CBCD，则该四边形 “十字形” （填“是”或“不是”） （2）如图 1，A，B，C，D 是半径为 1 的O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD 交于点 E，ADB CDB=ABDCBD，当 6AC 2+BD27 时，求 OE 的取值范围； （3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax 2+bx+c（a，b，c 为常数，a0，c0）与 x 轴交于 A， C 两点（点 A 在点 C 的左侧） ，B 是抛物线与 y 轴的交点，点 D 的坐标为（0，ac） ，记“十字形”ABCD 的 32 面
46、积为 S，记AOB，COD，AOD，BOC 的面积分别为 S1，S2，S3，S4求同时满足下列三个条件的抛物 线的解析式； = ；= ；“十字形”ABCD 的周长为 12 【答案】 （1）菱形，正方形；不是； （2）（OE0） ； （3）y=x 29 【解析】 （1）菱形，正方形的对角线互相垂直， 菱形，正方形是：“十字形”， 平行四边形，矩形的对角线不一定垂直， 平行四边形，矩形不是“十字形”， 故答案为：菱形，正方形； 如图， 当 CB=CD 时，在ABC 和ADC 中， ， ABCADC（SSS） ， BAC=DAC， AB=AD， ACBD， 当 CBCD 时，四边形 ABCD 不是“十字形”， 故答案为：不是； （
