1、 1 专题专题 02 动点问题中的函数图象及规律探索问题动点问题中的函数图象及规律探索问题 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 动点问题中函数图象的题目的解决方法是：先根据动点运动规律找出所求与动点运动之间的关系，进而获 取相应函数的解析式及函数值变化规律，达到求解的目的. 考查的重点是分段函数解析式的求解. 探索规律问题通常用归纳法，即从简单到复杂，从特殊到一般，这类题目考查的是学生的观察与归纳能力， 注意从特殊到一般的归纳方法. 二二、主要思想方法主要思想方法 分类讨论、数学归纳. 三三、精品例题解析精品例题解析 例例 1. （2019达州改编）达州改编） 如图，边长都为 4 的正方形
2、ABCD 和正三角形 EFG 如图放置，AB 与 EF 在同一 条直线上，且 A 点与 F 点重合，现将EFG 沿 AB 方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点 F 与 B 重合 时停止. 在这个运动过程中，正方形 ABCD 与EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数解析式是 【答案】 2 2 3 02 2 3 4 34t24 2 tt S t . 【解析】解： (1) (2) 当 0t2 时，如图（1）所示，由题意知：HFA=60，AHF=30， AB C D G E A FB C D G E F H H 2 AF=t，AH=3t, 1 2 SAFAH= 2 13 3 22 t
3、tt； 当 2t4 时，如图（2）所示，由题意知：E=60，AHE=30， AF=t，AE=4-t, AH=3 4t EFGEFA SSS 2 31 44t3 4t 42 23 434t 2 综上所述， 2 2 3 02 2 3 4 34t24 2 tt S t 例例 2. （2019自贡）自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 的函数关系如 图所示，则该容器是下列四个中的（ ） 【答案】D. 【解析】解：A 为圆柱体，其函数图象应为一条直线，故不合题意； B 选项下面粗上面细，其函数图象是一条折线，且后半段的变化速率较慢（图象较缓） ，故不合题意； C 选
4、项函数图象应为一条曲线，故不合题意； D 选项下面细上面粗，其函数图象是一条折线，且后半段的变化速率较快，故符合题意； 故答案为：D. 例例 3. （2019潍坊改编）潍坊改编）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2,AD=3，动点 P 沿着折线 BCD 从点 B 开始运动到 点 D，设运动的路程为 x，ADP 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是 3 【答案】 303 153 35 22 x y xx . 【解析】解：当点 P 在线段 BC 上时，即 0x3 时， 1 3 2 yADAB; 当点 P 在线段 CD 上时，即 3x5 时， 11153 35 2222 yADDPxx
5、; 综上所述， 303 153 35 22 x y xx . 例例 4. （2019深圳模拟）深圳模拟）如图，在菱形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿折线 BCDB 运动. 设点 P 经过的路程为 x，ABP 的面积为 y. 把 y 看成 x 的函数，函数的图象如图所示，则图中的 b 等于 【答案】3 7. 【解析】解：由图可知，当 x=4 时ABP 的面积最大，此时 P 点运动至点 C，即菱形 ABCD 的边长为 4， 又 x=14 时停止，即 BD=6， AD B C P 4 连接 AC 交 BD 于 O，ACBD， BD=3， 在 RtBOC 中，由勾股定理得：OC=7， AC
6、=2 7 即 b= 1 3 7 2 ACBC, 故答案为：3 7. 例例 5. 如图 1，在扇形 OAB 中，O=60，动点 P 从点 O 出发，沿 OAB 以 1cm/s 的速度匀速运动至点 B，图 2 是点 P 运动过程中，OBP 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的图象，则 a，b 的值分别为 【答案】4， 4 4 3 . 【解析】解：由题意知： 当点 P 运动至点 A 时，OBP 的面积为4 3， O=60， OAB 为等边三角形， OA=4，即 a=4， b=（OA+lAB）1= 4 4 3 . A B CD O 5 故答案为：4， 4 4 3 . 例例 6. （2019河南模
7、拟）河南模拟）如图 1，在矩形 ABCD 中，ABBC，点 E 为对角线 AC 上的一个动点，连接 BE， DE，过 E 作 EFBC 于 F设 AEx，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的（ ） A线段 BE B线段 EF C线段 CE D线段 DE 【答案】D. 【解析】 解：A、若线段 BE 是 y，则 y 随 x 的增大先减小再增大，在点 A 的距离是 BA，在点 C 时的距离是 BC，因 为 BABC，故 A 错误； B、若线段 EF 是 y，则 y 随 x 的增大越来越小，故 B 错误； C、若线段 CE
8、 是 y，则 y 随 x 的增大越来越小，故 C 错误； D、若线段 DE 是 y，则 y 随 x 的增大先减小再增大，在点 A 的距离是 DA，在点 C 时的距离是 DC，DA DC，故选项 D 正确； 故答案为：D 例例 7. （2019博罗县一模）博罗县一模）如图，已知 A，B 是反比例函数 y（k0，x0）图象上的两点，BCx 轴，交 y 轴于点 C，动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 OABC（图中“”所示路线）匀速运动，终点 为 C，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M设三角形 OMP 的面积为 S，P 点运动时间为 t，则 S 关于 t 的函数图 象大致为（ ） A B C D 6
9、 【答案】A. 【解析】解：设AOM，点 P 运动的速度为 x， 当点 P 从点 O 运动到点 A 的过程中， S 22 111 cossincossin 222 OMPMxtxtxt 由于及 x 均为常量，即 2 1 cossin 2 x为定值，可知本段图象应为抛物线，且 S 随着 t 的增大而增大； 故选项 B、C 错误； 当点 P 从 A 运动到 B 时，由反比例函数性质可知OPM 的面积为 1 2 k，保持不变，故本段图象应为与横轴 平行的线段；故选项 C 错误； 故选：A 例例 8. （2017濮阳县一模）濮阳县一模）如图，等边ABC 边长为 2，四边形 DEFG 是平行四边形，DG
10、=2，DE=3， GDE=60 ，BC 和 DE 在同一条直线上，且点 C 与点 D 重合，现将ABC 沿 DE 的方向以每秒 1 个单位的 速度匀速运动，当点 B 与点 E 重合时停止，则在这个运动过程中，ABC 与四边形 DEFG 的重合部分的面 积 S 与运动时间 t 之间的函数关系图象大致是（ ） A B C D 【答案】B. 【解析】解：分三种情况：0t2 时，由重叠部分为边长为 t 的等边三角形； 如图 1， 7 由题意知 CDt，HDCHCD60， CDH 是等边三角形， 则 S 3 4 t2；即该段函数图象是开口朝上的抛物线的一部分，S 随 t 的增大而增大； 2t3 时，由重
11、叠部分即为ABC； 如图 2， S 3 4 223； 此段函数图象是一条平行于 x 轴的线段； 3t5 时由重叠部分是 SABCSHEC 如图 3， 根据题意可得 CECDDEt3，CHEC60， CEH 为等边三角形， 则 SSABCSHEC 3 4 22 3 4 （t3）2 3 4 t2+ 3 3 2 t 5 3 4 ； 此段函数图象为开口朝下的抛物线的一部分，且 S 随 t 的增大而减小 综上所述， 0t2 时函数图象是开口向上的抛物线的一部分， 2t3 时函数图象是平行于 x 轴的一部分， 当 3t5 时函数图象是开口向下的抛物线的一部分； 故答案为 B. 例例 9. （2019衡阳）
12、衡阳）如图，在直角三角形 ABC 中，C90，ACBC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 AC 和 BC 的垂线，垂足分别为点 D 和点 F，四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动，点 C 与点 A 重合时停止运 动，设运动时间为 t，运动过程中四边形 CDEF 与ABC 的重叠部分面积为 S则 S 关于 t 的函数图象大致 8 为（ ） ABCD 【答案】C. 【解析】解： 在直角三角形 ABC 中，C90，ACBC， ABC 是等腰直角三角形， EFBC，EDAC， 四边形 EFCD 是矩形， E 是 AB 的中点， EF 1 2 AC，DE 1 2 BC， EFED， 四边形 EF
13、CD 是正方形， 设正方形的边长为 a， 如图 1,当移动的距离小于 a 时， S正方形的面积EEH 的面积a2 1 2 t2； 当移动的距离大于 a 时，如图 2， 9 SSACH 1 2 （2at）2 1 2 t22at+2a2， S 关于 t 的函数图象大致为 C 选项， 综上所述，移动距离小于正方形 CDEF 边长时，函数图象是开口朝下的抛物线一部分，且 S 随 t 的增大而减 小；移动距离大于正方形 CDEF 边长时，函数图象是开口朝上的抛物线一部分，且 S 随 t 的增大而减小； 故答案为：C 例例 10. a 是不为 1 的有理数，我们把 1 1a 成为 a 的差倒数，如 2 的
14、差倒数是1，1 的差倒数是 0.5. 已知 a1=5，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差倒数，以此类推，则 a2019的值是 . 【答案】 4 5 . 【解析】解：由题意知： a1=5，a2= 1 4 ，a3= 4 5 ，a4=5， 20193=673， 即 a2019= 4 5 . 例例 11. （2019潍坊）潍坊）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点 O，它们的半径分 别为 1,2,3，按照“加 1”依次递增，一组平行线，l0，l1，l2，l3，都与 x 轴垂直，相邻两直线的 间距为 1，其中 l0与 y 轴重合. 若半径为 2 的圆与 l1
15、在第一象限交于点 P1，半径为 3 的圆与 l2在第一象限交 于点 P2，半径为 n+1 的圆与 ln 在第一象限交于点 Pn，则点 Pn的坐标为 10 【答案】4. 【解析】解：连接 OP1，设 l1与 x 轴交于点 A1，由题意知：OP1=2，OA1=1， 在 RtOP1A1中，由勾股定理得：P1A1=3 即 P1 1, 3； 同理得：P2 2, 5，P3 3, 7，P4 4, 9 即 Pn , 21nn. 例例 12. （2019连云港）连云港） 如图，将一等边三角形三条边各八等分按顺时针方向标注各等分点的序号 0、1、 2、3、4、5、6、7、8，如图所示，将和为 8 的点连接起来，得
16、到了“三角形坐标系”.在建立的坐标系中， 每一点的坐标用过这一点且平行（重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开 始，按顺时针方向） ，如点 A 的坐标为（1,2,5） ，点 B 的坐标为（4,1,3） ，则点 C 的坐标为 【答案】 （2,4,2）. 【解析】由题意知，通过点 C 的数字依次是 2,4,2（顺时针） ，故答案为（2,4,2）. 例例 13. （2019衡阳）衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线 yx2的图象如图所示已知 A 点坐标为（1，1） ，过 点 A 作 AA1x 轴交抛物线于点 A1，过点 A1作 A1A2OA 交抛物线于点 A2，过点 A2作 A2
17、A3x 轴交抛物线 x y O l0 l1l2l3l4l5 P1 P2 P3P4P 5 P6 x y O l0 l1l2l3l4l5 P1 P2 P3P4P 5 P6 A1 11 于点 A3， 过点 A3作 A3A4OA 交抛物线于点 A4， 依次进行下去， 则点 A2019的坐标为 【答案】 （1010，10102）. 【解析】解：A 点坐标为（1，1） ， 直线 OA 为 yx，A1（1，1） ， A1A2OA， 直线 A1A2为 yx+2， 联立 y=x+2，y=x2 得，A2（2，4） ，A3（2，4） ， A3A4OA， 直线 A3A4为 yx+6， 同理得：A4（3，9） ，A5（3，9） ， A2019（1010，10102） ， 故答案为（1010，10102） 例例 14. （2019怀化）怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙” ，则整面“分数墙” 的总面积是 12 【答案】n-1. 【解析】 解：由题意“分数墙”的总面积2 1 2 +3 1 3 +n 1 n n1， 故答案为 n1
