1、 1 专题专题 06 动点折叠类问题中图形存在性问题动点折叠类问题中图形存在性问题 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运 动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题， 更能体现其解题核心动中求静， 灵活运用相关数学 知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分， 题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；
2、数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题存在性问题 主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等 模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点. 解题思路：分析题目解题思路：分析题目依据落点定折痕依据落点定折痕建立模型建立模型设出未知数列方程求解设出未知数列方程求解得到结论得到结论. 解题核心知识点：解题核心知识点： 折叠性质；折叠性质； 折叠前后图形大小、形状不变；折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线； 勾股定理； 相似图形的性质、三角函数等. 等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题 解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕
3、；解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕； 直角三角形存在性问题直角三角形存在性问题 解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解. 二、精品例题解析二、精品例题解析 题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题 例例 1.（2019金水区校级模拟）金水区校级模拟）如图，AOB=90 ，点 P 为AOB 内部一点，作射线 OP，点 M 在射线 OB 上，且 OM= 3，点 M 与点 M关于射线 OP 对称，且直线 MM与射线 OA 交于点 N，当ONM为等腰三 角形时，ON 的长为 . 2 【分析】
4、分三种情况讨论： 当 M落在线段 ON 的垂直平分线上时，即 MN=MO， 设ONM=x ， 通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得 x=30 ， 进而利用三角函数求得 ON 的长； 当 MN=ON 时，作出图形，得到ONM度数，利用三角函数求解； 当 MO=ON=OM=3，此时 M、M、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在. 【答案】1 或 3. 【解析】解：由ONM为等腰三角形，分以下三种情况讨论： 当 M落在线段 ON 的垂直平分线上时，即 MN=MO，如图所示， 设ONM=x ，则OMM=OMM =2x , AOB=90 ， x+2x=90，解得：x=30， 在 RtNO
5、M 中，ON= =3 tan30 OM ； 当 MN=ON 时，如下图所示， OB M A N P M H 3 由知：NOM=30， 过 M作 MHOA 于 H， HM= 13 OM= 22 , 在 RtHNM中，NM= =1 cos30 HM ， 即 ON=1； 当 MO=ON=OM=3， 此时 M、M、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在. 故答案为：1 或 3. 例例 2.（2017蜀山区期末）蜀山区期末）如图所示，ABC 中，ACB=90 ，ACBC，将ABC 沿 EF 折叠，使点 A 落在直角边 BC 上的 D 点，设 EF 与 AB、AC 分别交于点 E、点 F，如果折
6、叠后CDF 与BDE 均为等腰三 角形，则B= . 【分析】由题意知，CDF 是等腰三角形，则 CD=CF， BDE 是等腰三角形时，分三种情况讨论： 当 DE=BD 时，设B=x ，通过翻折性质及三角形内角和定理求得 x=45； 当 BD=BE 时，作出图形，设B=x ，通过翻折性质及三角形内角和定理求得 x=30； O BM A N P M H O BM A N P M 4 当 BE=DE 时，得FDB=90 ，FDB+CDF=135180，此时 C、D、B 点不在一条直线上，与题 意不符，此种情况不存在. 【答案】45 或 30 . 【解析】解： 由题意知，CDF 是等腰三角形，则 CD
7、=CF，CDF=CFD=45 ， FDB=135 ， BDE 是等腰三角形时，分以下三种情况讨论： 当 DE=BD 时，见下图， 设B=x ， 则DEB=x，EDB=180 2x， 由折叠知：A=FDE=90 x， 1802x+90x =135，解得：x=45， 即B=45 ； 当 BD=BE 时，如下图所示， 设B=x ， 则EDB= 180 2 x ， 由折叠知：A=FDE=90 x， 180 2 x +90x =135，解得：x=30， C A B E D F C A EB D F 5 即B=30 ； 当 BE=DE 时，得B=EDB， FDB=FDE+EDB=A+B=90 ，FDB+C
8、DF=135180，此时 C、D、B 点不在一条直线 上，与题意不符，此种情况不存在. 故答案为：45 或 30 . 题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题 例例 3.（2017营口）营口）在矩形纸片 ABCD 中，AD8，AB6，E 是边 BC 上的点，将纸片沿 AE 折叠， 使点 B 落在点 F 处，连接 FC，当EFC 为直角三角形时，BE 的长为 【分析】根据题意作出图形，通过分析可知：点 E、F 均可为直角顶点，因此分两种情况讨论，作出图 形后，根据勾股定理等知识求得结果. 【答案】3 或 6. 【解析】解：AD8，AB6，四边形 ABCD 为矩
9、形， BCAD8，B90 ， 根据勾股定理得：AC10 由分析知，EFC 为直角三角形分下面两种情况： 当EFC90 时，如下图所示， 由折叠性质知：AFEB90 ，EFC90 ，AF=AB=6, A、F、C 三点共线， 又 AE 平分BAC， CF=ACAF=4， 设 BE=x，则 EF=x，EC=8x， 在 RtEFC 中，由勾股定理得： 2 22 48xx， 解得：x=3，即 BE=3； 当FEC90 时，如下图所示 6 由题意知：FEC90 ，FEB90 ， AEFBEA45 ， 四边形 ABEF 为正方形， BEAB6 综上所述：BE 的长为 3 或 6 故答案为：3 或 6 例例
10、4.（2019唐河县三模）唐河县三模）矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，点 E 为 AD 的中点，点 P 为线段 AB 上一个 动点，连接 EP，将APE 沿 PE 折叠得到FPE，连接 CE，CF，当CEF 为直角三角形时，AP 的长为 . 【分析】当CEF 为直角三角形时，通过分析知：FCE90，不可能为直角顶点，故分两种情况讨 论：EFC=90或FEC=90，作出图形求解； 【答案】 9 4 或 1. 【解析】解：分以下两种情况讨论： （1）EFC=90，如下图所示， 由折叠性质知：A=PFE=90，AP=PF 7 所以点 P、F、C 在一条直线上， EF=ED=3， RtCEFR
11、tCED， 由勾股定理得：CE=5， CD=CF=4， 设 AP=x，则 PF=x，PC=x+4，BP=4x， 在 RtBCP 中，由勾股定理得： 22 2 446xx， 解得：x= 9 4 ，即 AP= 9 4 ； （2）FEC=90，如下图所示， 过 F 作 FHAD 于 H，过 P 作 PGFH 于 G， 易知EFH=ECD， FHDE EFCE , 3 35 FH , 即 FH= 9 5 , EH= 12 5 ,AH=PG= 3 5 ， 由FPG=HFE， cosFPG= cosHFE， 即 PGFH PFEF , 39 55 3PF , 解得：PF=1； 8 故答案为： 9 4 或
12、1. 例例 5.（2019许昌二模）许昌二模）如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB=16, AD=10，sinA= 3 5 , 点 M 为 AB 边上 一动点，过点 M 作 MNAB 交 AD 边于点 N，将A 沿直线 MN 翻折，点 A 落在线段 AB 上的点 E 处. 当 CDE 为直角三角形时，AM 的长为 . 【分析】分两种情况讨论：当CDE90，根据折叠的性质及勾股定理求解；当DEC90，过 D 作 DHAB 于 H，根据相似三角形的性质：得到 DH6，AH8，设 EHx，根据勾股定理得到 x8 27，x8+27（舍去） ，得 AEAH+HE1627，于是得到 AM87 【答案】
13、4 或 87. 【解析】解：当CDE 为直角三角形时， 当CDE90，如下图所示， 在平行四边形 ABCD 中，ABCD， DEAB， 由折叠知：MNAB，AMEM， MNDE， ANDN 1 2 AD5， 由 sinA MN AN 3 5 ， MN3，AM4； 当DEC90，如下图所示， 过 D 作 DHAB 于 H， 9 由题意知：HDC90， HDC+CDECDE+DCE90， HDEDCE， DHECED， DECD EHDE ， sinA 3 5 ，AD10，DH6，AH8， 设 EHx， DE4x， 由勾股定理得：DH2+HE2DE2，62+x216x， 解得：x827，x8+27
14、（不合题意舍去） ， AEAH+HE1627， AM87， 故答案为：4 或 87 例例 6.（2019金水区校级一模）金水区校级一模）如图，在 RtABC 中，AB3，BC4，点 P 为 AC 上一点，过点 P 作 PDBC 于点 D，将PCD 沿 PD 折叠，得到PED，连接 AE若APE 为直角三角形，则 PC 【答案】 15 16 . 【解析】解：当AEP90 时， 设 PCx，在 Rt PDC 中，sinC 3 5 ，cosC 4 5 ， 10 所以 PD 3 5 x，CD 4 5 x 由折叠知：DECD 4 5 x BEBCCE 12 5 x 在ABE 和EDP 中，BPDE， B
15、AE+AEB90 ，PED+AEB90 ， BAEPED ABEEPD BEDP ABDE ，即 12 3 5 34 x ，解得 x 15 16 故答案为: 15 16 例例 7.（2019卧龙区一模）卧龙区一模）如图，在 RtABC 中，AC8，BC6，点 D 为斜边 AB 上一点，DEAB 交AC于点E， 将AED沿DE翻折， 点A的对应点为点F 如果EFC是直角三角形， 那么AD的长为 【分析】根据勾股定理得到 AB10，分三种情况讨论：CFE90 ，ECF90 ，CEF90 时， 得到结论 【答案】 7 5 或 5. 【解析】解：在 RtABC 中，AC8，BC6， 由勾股定理得：AB
16、10， （1）若CFE90 ， 在 RtABC 中，ACB90 ， 11 1+2B+A90 ， 由折叠知：A2，AEEF， 1B， 即 CFBC6， 在 RtCEF 中，由勾股定理得：CE2EF2+CF2， CE2（8CE）2+62， CE 25 4 ， AE 7 4 ， 由 ADEACB，得： AEAD ABAC AD 7 5 ； （2）当ECF90 时，点 F 与 B 重合，AD5； （3）当CEF90 时，则 EFBC，AFEB， AAFE， AB， ACBC（与题设矛盾） ， 这种情况不存在， 故答案为： 7 5 或 5 例例 8.（2019河南模拟）河南模拟）在矩形 ABCD 中，A
17、B3，BC4，点 E，F 分别为 BC，AC 上的两个动点， 将CEF 沿 EF 折叠，点 C 的对应点为 G，若点 G 落在射线 AB 上，且AGF 恰为直角三角形，则线段 CF 的长为 【答案】 2020 79 或. 【解析】解： （1）当AFG=90时，如下图所示， 设 CFy 12 可得：AFGABC AFGF ABBC 即 5 34 yy 解得：x 20 7 ； （2）当AGF=90时，如下图， 设 CFx 在 RtABC 中，AB3，BC4，由勾股定理得：AC5 由折叠知：GFFC AGFABC90 GFEC AGFABC AFGF ACBC 即 5 54 xx 解得：x 20 9 ； 故答案为： 2020 79 或.
