2020年中考数学动态问题分项破解专题09 动点类题目图形最值问题探究(教师版)

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1、 1 专题专题 09 动点类题目动点类题目图形图形最值问题探究最值问题探究 题型一:题型一:矩形中的相似求解矩形中的相似求解 例例 1.(2019绍兴)绍兴)如图,矩形 ABCD 中,AB=a,BC=b,点 M、N 分别在边 AB、CD 上,点 E、F 分 别在边 BC、AD 上,MN、EF 交于点 P. 记 k=MN:EF. (1)若 a:b 的值为 1,当 MNEF 时,求 k 的值. (2)若 a:b 的值为 2 1 ,求 k 的最大值和最小值. (3)若 k 的值为 3,当点 N 是矩形的顶点,MPE=60 ,MP=EF=3PE 时,求 a:b 的值. BC DA E M F N 【分

2、析】 (1)当 a:b=1 时,可得四边形 ABCD 为正方形,由 MNEF,可证 MN=EF,即 k=1; (2) 先确定 MN 和 EF 的取值范围,当 MN 取最大值,EF 取最小值时,k 的值最大,否则反之; (3)根据 N 是 矩形顶点,分两种情况讨论,即 N 分别与 D 点和 C 点重合,依据不同图形求解. 【答案】见解析. 【解析】解: (1)当 a:b=1 时,即 AB=BC, 四边形 ABCD 是矩形, 四边形 ABCD 是正方形, 过 F 作 FGBC 于 G,过 M 作 MHCD 于 H,如下图所示, B C D A E M F N G H MNEF, NMH=EFG,

3、MHN=FGE=90 ,MH=FG, MNHFEG, 2 MN=EF,即 k=1; (2)由题意知:b=2a, 所以得:aEF5a,2aMN5a, 所以当 MN 取最大值,EF 取最小值时,k 取最大值,为5; 当 MN 取最小值,EF 取最大值时,k 取最小值,为 2 5 5 ; (3)如下图所示, BC DA E M F N P 连接 FN,ME, 设 PE=x,则 EF=MP=3x,PF=2x,MN=3EF=9x,PN=6x, PFPN PEPM 又FPN=MPE, FPNEPM, PFN=PEM, FNME, 当 N 点与 D 点重合时,由 FNME 得,M 点与 B 点重合, BC

4、DA E (M) F (N) PH 过 F 作 FHBD 于 H, MPE=60 , PFH=30 , PH=x,FH=3x,BH=BP+PH=4x,DH=5x, 3 在 Rt DFH 中,tanFDH= 3 5 , 即 a:b= 3 5 ; 当 N 点与 C 点重合时,过 BC DA E M F (N) P H 过点 E 作 EHMN 于 H,连接 EM, 则 PH=x,EH=3x,CH=PC+PH=13x, 在 Rt ECH 中,tanECH= 3 13 , MEFC, MEB=FCB=CFD, B=D, MEBCFD, CDFC MBME =2, 即 a:b= 22 3 13 CDBM

5、BCBC ; 综上所述,a:b 的值为 3 5 或 2 3 13 . 题型二:二次函数中几何图形最值求解题型二:二次函数中几何图形最值求解 例例 2.(2019衡阳)衡阳)如图,二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(1,0)和点 B(3,0) ,与 y 轴 交于点 N,以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD,点 P 是 x 轴上一动点,连接 CP,过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E (1)求该抛物线的函数关系表达式; (2)当点 P 在线段 OB(点 P 不与 O、B 重合)上运动至何处时,线段 OE 的长有最大值?并求出这个最 大值; (3)在第四象限的

6、抛物线上任取一点 M,连接 MN、MB请问: MBN 的面积是否存在最大值?若存在, 4 求出此时点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)将点 A、B 的坐标代入二次函数解析式求解; (2)由 POECBP 得出比例线段,可表示 OE 的长,利用二次函数的性质可求出线段 OE 的最大值; (3)过点 M 作 MHy 轴交 BN 于点 H,由 S MNB S BMH+S MNH即可求解 【答案】见解析. 【解析】解: (1)抛物线 yx2+bx+c 经过 A(1,0) ,B(3,0) , 10 930 bc bc , 解得: 2 3 b c , 抛物线函数关系表达式为 yx22x3

7、; (2)由题意知:ABOA+OB4, 在正方形 ABCD 中,ABC90 ,PCBE, OPE+CPB90 , CPB+PCB90 , OPEPCB, 又EOPPBC90 , POECBP, BCOP BPOE , 设 OPx,则 PB3x, 4 3 x xOE , 5 OE 2 2 1139 3 44216 xxx , 当 3 2 x 时,即 OP= 3 2 时线段 OE 长有最大值,最大值为 9 16 (3)存在 如图,过点 M 作 MHy 轴交 BN 于点 H, N 点坐标为(0,3) , 设直线 BN 的解析式为 ykx+b, 30 3 kb b , 直线 BN 的解析式为 yx3,

8、 设 M(m,m22m3) ,则 H(m,m3) , MHm3(m22m3)m2+3m, S MNBS BMH+S MNH 2 2 11327 3 2228 mmm , a 3 2 时, MBN 的面积有最大值,最大值是 27 8 ,此时 M 点的坐标为( 315 24 ,) 题型三:二次函数中题型三:二次函数中面积面积最值最值的的求解求解 例例 3.(2019自贡)自贡)如图,已知直线 AB 与抛物线 2 :2C yaxxc相交于点 A(-1,0)和点 B(2,3)两 点. (1)求抛物线 C 函数表达式; (2)若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点,以 MA、MB 为相邻的两边

9、作平行四边形 MANB,当平 行四边形 MANB 的面积最大时,求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标; 6 (3) 在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F, 使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 4 17 y的 距离,若存在,求出定点 F 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解: (1)把 A(-1,0) ,B(2,3)代入抛物线得: 20 443 ac ac 解得 3 1 c a 抛物线的函数表达式为:y=x2+2x+3 (2)A(-1,0) ,B(2,3) , 直线 AB 的解析式为:y=x+1, 如下图所示,过 M 作 MN

10、y 轴交 AB 于 N, 设 M(m,m2+2m+3),N(m,m+1), (-1m2) MN=m2+m+2, S ABM=S AMN+S BMN= 1 () 2 BA xxMN S ABM= 22 13127 (2) 3() 2228 mmm , 当 2 1 m时, ABM 的面积有最大值 8 27 ,而 SMANB=2S ABM= 4 27 ,此时 1 7 ( , ) 2 2 M (3)存在,点 15 (1,) 4 F 7 理由如下:抛物线顶点为 D,则 D(1,4) ,则顶点 D 到直线 4 17 y的距离为 4 1 , 设(1, )Fn、 2 ( ,23)P xxx,设 P 到直线 4

11、 17 y的距离为 PG. 则 PG= 22 175 (23)2 44 xxxx , P 为抛物线上任意一点都有 PG=PF, 当 P 与顶点 D 重合时,也有 PG=PF. 此时 PG= 4 1 ,即顶点 D 到直线 4 17 y的距离为 1 4 , PF=DF= 4 1 , ) 4 15 , 1 (F, PG=PF, PG2=PF2, 2222222 153 (1)(23)(1)(2) 44 PFxxxxxx 222 5 (2) 4 PGxx 222222 153 (1)(23)(1)(2) 44 xxxxxx 22 5 (2) 4 xx 整理化简可得 0x=0, 当) 4 15 , 1

12、(F时,无论x取任何实数,均有 PG=PF. 题型四:反比例函数中面积最值的求解题型四:反比例函数中面积最值的求解 例例 4.(2018扬州一模)扬州一模) 如图 1,反比例函数 y= k x (x0)的图象经过点 A(2 3,1) ,射线 AB 与反比例 函数图象交于另一点 B(1,a) ,射线 AC 与 y 轴交于点 C,BAC=75 ,ADy 轴,垂足为 D (1)求 k 的值; (2)求 tanDAC 的值及直线 AC 的解析式; (3)如图 2,M 是线段 AC 上方反比例函数图象上一动点,过 M 作直线 lx 轴,与 AC 相交于点 N,连接 CM,求 CMN 面积的最大值 8 图

13、 1 图 2 【答案】见解析. 【解析】解: (1)将 A(23,1)代入反比例函数 y k x , k23; (2)由(1)知,反比例函数解析式为 y 2 3 x , 点 B(1,a)在反比例函数 y 2 3 x 的图象上, a23, 点 B(1,23) 过 B 作 BEAD 于 E,如下图所示, 则 AEBE231 ABEBAE45 又BAC75 , DAC30 DCtan30 AD 3 2 3 3 2, OC1,即 C(0,1) 设直线 AC 的解析式为 ykx+b 9 2 31 1 kb b , 解得 3 3 1 k b 直线 AC 的解析式为 y 3 3 x1 (3)设 M(m, 2

14、 3 m ) ,N(m, 3 3 m1) 则 MN 2 3 m ( 3 3 m1) 2 3 m 3 3 m+1, S CMN 1 2 ( 2 3 m 3 3 m+1)mm2+m+ 3 6 (m 3 2 )2+ 9 3 8 当 m 3 2 时, CMN 的面积有最大值,最大值为 9 3 8 . 题型五:反比例函数中面积最值的求解题型五:反比例函数中面积最值的求解 例例 5.(2019达州)达州)如图 1,已知抛物线 y=x2+bx+c 过点 A(1,0),B(3,0). (1)求抛物线的解析式及其顶点 C 的坐标; (2)设点 D 是 x 轴上一点,当 tan(CAO+CDO)=4 时,求点 D

15、 的坐标; (3)如图 2,抛物线与 y 轴交于点 E,点 P 是该抛物线上位于第二象限的点,线段 PA 交 BE 于点 M,交 y 轴于点 N, BMP 和 EMN 的面积分别为 m、n,求 mn 的最大值. 【答案】见解析. 【解析】解: (1)把点(1,0) , (3,0)代入 yx2+bx+c, 得, 01 093 bc bc , 解得 b2,c3, yx22x+3(x+1)2+4, 此抛物线解析式为:yx22x+3,顶点 C 的坐标为(1,4) ; 10 (2)由(1)知:抛物线对称轴为 x1, 设抛物线对称轴与 x 轴交于点 H,H(1,0) , 在 Rt CHO 中,CH4,OH

16、1, tanCOH CH OH 4, COHCAO+ACO, 当ACOCDO 时, tan(CAO+CDO)tanCOH4, 如下图所示,当点 D 在对称轴左侧时, ACOCDO,CAOCAO, AOCACD, ACAO ADAC , AC2 5,AO1, AD20,OD19, D(19,0) ; 当点 D 在对称轴右侧时,点 D 关于直线 x1 的对称点 D的坐标为(17,0) , 点 D 的坐标为(19,0)或(17,0) ; (3)设 P(a,a22a+3) ,设直线 PA 的解析式为:y=kx+b, 将 P(a,a22a+3) ,A(1,0)代入 ykx+b, 2 23 0 akbaa

17、 kb , 解得,ka3,ba+3, y(a3)x+a+3, 当 x0 时,ya+3, N(0,a+3) , 11 如下图所示, m=S BPMS BPAS四边形BMNOS AON,n=S EMNS EBOS四边形BMNO, mnS BPAS EBOS AON 1 2 4 (a22a+3) 1 2 3 3 1 2 1 (a+3) 2(a+ 9 8 )2+ 81 32 , 当 a 9 8 时,mn 有最大值 81 32 . 题型六:二次函数中最值及最短路径题型题型六:二次函数中最值及最短路径题型 例例 6.(2019绵阳)绵阳)在平面直角坐标系中,将二次函数 y=ax2(a0)的图象向右平移 1

18、 个单位,再向下平 移 2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与 x 轴交于点 A、B(点 A在点 B 的左侧),OA=1,经过点 A 的一次函数 y=kx+b(k0)的图象与 y轴正半轴交于点 C,且与抛物线的另一个交点为 D, ABD 的面积 为 5 (1)求抛物线和一次函数的解析式; (2)抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方,求 ACE 面积的最大值,并求出此时点 E 的坐标; (3)若点 P为 x 轴上任意一点,在(2)的结论下,求 PE+ 3 5 PA 的最小值 【答案】见解析. 【解析】解:(1)由平移知,平移后得到的抛物线解析式为 y=a(x-1)2-2, 12 OA=1

19、, 点 A的坐标为(-1,0),代入抛物线的解析式得,4a-2=0, 得:a= 1 2 , 抛物线的解析式为 21 12 2 yx,即 2 13 22 yxx 令 y=0,解得 x1=-1,x2=3, B(3,0), AB=OA+OB=4, ABD的面积为 5, SABD= 1 2 AByD=5 yD= 5 2 , 2 513 222 xx,解得 x1=-2,x2=4, D(4, 5 2 ), 设直线 AD的解析式为 y=kx+b, 5 4 2 0 kb kb ,解得: 1 2 1 2 k b , 直线 AD的解析式为:y= 1 2 x+ 1 2 . (2)过点 E作 EMy 轴交 AD 于

20、M,如下图所示, 设 E(a, 1 2 a2a 3 2 ),M(a, 1 2 a+ 1 2 ), ME= 1 2 a2+ 3 2 a+2, 13 S ACE=S AMES CME= 1 4 (a23a4)= 1 4 (a 3 2 )2+ 25 16 , 当 a= 3 2 时, ACE 的面积有最大值,最大值是 25 16 ,此时 E 点坐标为( 3 2 , 15 8 ) (3)作 E 关于 x 轴的对称点 F,连接 EF交 x轴于点 G,过点 F作 FHAE于点 H,交轴于点 P, AG= 5 2 ,EG= 15 8 , 4 3 AG EG , AGE=AHP=90 sinEAG= 3 5 P

21、HEG APAE , PH= 3 5 AP, E、F关于 x轴对称, PE=PF, PE+ 3 5 AP=FP+HP=FH,此时 FH最小, EF= 15 4 ,AEG=HEF, sinAEG=sinHEF= 4 5 AGFH AEAE FH=3 即 PE+ 3 5 PA 的最小值是 3 例例 7.(2019潍坊)潍坊)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,O 为坐标原点,点 A(4,0) ,点 B(0,4) ,ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点 C,且M 经过 O,A,C 三点 (1)求圆心 M 的坐标; (2)若直线 AD 与M 相切于点 A,交 y 轴于点 D,求直线 AD 的函数表达

22、式; (3)在过点 B 且以圆心 M 为顶点的抛物线上有一动点 P,过点 P 作 PEy 轴,交直线 AD 于点 E若以 14 PE 为半径的P 与直线 AD 相交于另一点 F当 EF45时,求点 P 的坐标 【答案】见解析 【解答】解: (1)AC 为ABO 的中线,点 B(0,4) , 点 C(0,2) , 点 A(4,0) , 点 M 为线段 AC 的中点, 即 M(2,1) ; (2)P 与直线 AD,则CAD90, 设CAO,则CAOODAPEH, tanCAO 1 2 OC OA tan,则 sin 5 5 ,cos 2 5 5 , AC10,则 CD sin AC 10, 则 D(0,8) , 设直线 AD 的解析式为:ymx+n: 得: 8 40 b kb ,解得:k=2,b=8, 直线 AD 的表达式为:y2x8; (3)抛物线的表达式为:ya(x2)2+1, 将点 B 坐标代入上式并解得:a 3 4 , 故抛物线的表达式为:y 3 4 x23x+4, 过点 P 作 PHEF,则 EH 1 2 EF25, 15 cosPEH 2 5 cos 5 EH PE 得:PE5, 设点 P(x, 3 4 x23x+4) ,则点 E(x,2x8) , 则 PE 3 4 x23x+42x+85, 解得 x 14 3 或 2(舍) , 则点 P( 14 3 , 19 3 )

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