1、2018-2019 学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）下列数中是无理数的是（ ） A B C D2 2 （3 分）a6可以表示为（ ） A6a Ba2a3 C （a3）2 Da12a2 3 （3 分）下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A7，9，12 B5，12，13 C1， D3，4，5 4 （3 分）因式分解 x4x3的最后结果是（ ） Ax（12x）2 Bx（2x1） （2x+1） Cx（12x） （2x+1） Dx（14x2） 5 （3 分）某青年篮球队 13 名
2、队员的年龄情况如表： 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数（人） 2 5 3 1 2 则这个队队员年龄的众数和中位数是（ ） A19 岁、19 岁 B19 岁、20 岁 C22 岁、19 岁 D22 岁、20 岁 6 （3 分）如图，EF 过ABCD 对角线的交点 O，交 AD 于 E，交 BC 于 F，若ABCD 的周 长为 18，OE1.5，则四边形 EFCD 的周长为（ ） A14 B13 C12 D10 7 （3 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，若增加一个条件，使ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ） 第 2 页（共 25 页） AA
3、BAD BACBD CACBD DBACDAC 8 （3 分）如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分 别为 6 和 8，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ） A B C D不确定 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 10 （3 分）比较大小： 3 （填“” 、 “”或“” ） 11 （3 分）如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形（ab） ，把剩下的 部分拼成一个梯形
4、，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 12 （3 分）若 2x5，2y3，则 2x+y 13 （3 分）直线 L 过正方形 ABDC 的顶点 A，点 B，C 到直线 L 的距离分别为 1 和 2，则正 方形的边长为 14 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AHBC 于点 H， 连接 OH，若 OB4，S菱形ABCD24，则 OH 的长为 第 3 页（共 25 页） 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 15 （16 分）计算： （1）+（1）0+（2）3 （2）+|1|+
5、（3） （a1）2+（a5） （a+5） （4） （9x415x2+6x）3x 16 （8 分）计算： （1） （2）2 17 （6 分）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题 解：a（a+2b）（a1）22a a2+2aba22a12a 第一步 2ab4a1第二步 （1）小丽的化简过程从第 步开始出现错误； （2）请对原整式进行化简，并求当 a，b6 时原整式的值 18 （6 分）问题背景：在ABC 中，AB、BC、AC 三边的长分别为、，求这 个三角形的面积佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的 边长为 1
6、） ， 再在网格中画出格点ABC（即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处） 如 图所示，这样不需求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积 （1）请你将ABC 的面积直接填写在横线上 ； （2）在图中画DEF，使 DE、EF、DF 三边的长分别为、2、； （3）这个三角形的形状是 第 4 页（共 25 页） 19 （6 分）为了了解某校学生对以下四个电视节目：A最强大脑 、B中国诗词大会 、 C朗读者 、D出彩中国人的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名 学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整 的统计图 请你根据图中
7、所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为 ； （2）在扇形统计图中，A 部分所占圆心角的度数为 ； （3）请将条形统计图补充完整 20 （6 分）如图，长方形 ABCD 为一个花园，其中 AB15 米，BC8 米，在花园内修一 条长 13 米的笔直小路 EF，小路出口一端 E 选在 AD 边上距 D 点 3 米处，另一端出口 F 应选在 AB 边上距 B 点几米处？ 21 （6 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O过点 C 作 BD 的平行线， 过点 D 作 AC 的平行线，两直线相交于点 E求证：四边形 ODEC 是矩
8、形 第 5 页（共 25 页） 22 （7 分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大 正方形， 两块是边长都为 n 的小正方形， 五块是长为 m， 宽为 n 的全等小矩形， 且 mn（以 上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式 2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ； （2） 若每块小矩形的面积为 10cm2， 两个大正方形和两个小正方形的面积和为 58cm2， 试求 m+n 的值 （3）图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为 cm （直接写出结果） 23 （7 分）已知，如图 1，正方形 ABCD 和正方形 BEFG，三
9、点 A、B、E 在同一直线上， 连接 AG 和 CE （1）线段 AG 和线段 CE 的数量关系为 ； （2）将正方形 BEFG，绕点 B 顺时针旋转到图 2 的位置时， （1）中的结论是否成立？请 说明理由； （3）若在图 2 中连接 AE 和 CG，且 AE5，CG2，求 AC2+GE2 （直接写 出结果） 24 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC16，点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运 动到点 A 停止，同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止，点 P、Q 的速 度都是每秒 1 个单位，连接 PQ、AQ、CP设点
10、 P、Q 运动的时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形； 第 6 页（共 25 页） （2）当 t6 时，判断四边形 AQCP 的形状，并说明理由； （3）直接写出以 PQ 为对角线的正方形面积为 96 时 t 的值； （4）求整个运动当中，线段 PQ 扫过的面积是多少？ 第 7 页（共 25 页） 2018-2019 学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校八年学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校八年 级（上）期末数学试卷级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （
11、3 分）下列数中是无理数的是（ ） A B C D2 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此即可判定选择项 【解答】解：A是分数，属于有理数； B2，是整数，属于有理数； C2，是整数，属于有理数； D2 是无理数； 故选：D 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 2 （3 分）a6可以表示为（ ） A6a Ba2a3 C （a3）2 Da12a2 【分析】根
12、据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得 【解答】解：A、6a 表示 6a，此选项不符合题意； B、a2a3a5，此选项不符合题意； C、 （a3）2a6，此选项符合题意； D、a12a2a10，此选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、 同底数幂的除法的运算法则 3 （3 分）下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ） 第 8 页（共 25 页） A7，9，12 B5，12，13 C1， D3，4，5 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形如果没有这
13、种关系，这个就不是直角三角形 【解答】解：A、72+92122，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； B、52+122132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； C、12+（）2（）2，符合勾股定理的逆定理，故选项不符合题意； D、32+5242，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所 给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关 系，进而作出判断 4 （3 分）因式分解 x4x3的最后结果是（ ） Ax（12x）2 Bx（2x1） （2x+1）
14、;Cx（12x） （2x+1） Dx（14x2） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式x（14x2）x（1+2x） （12x） ， 故选：C 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 5 （3 分）某青年篮球队 13 名队员的年龄情况如表： 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数（人） 2 5 3 1 2 则这个队队员年龄的众数和中位数是（ ） A19 岁、19 岁 B19 岁、20 岁 C22 岁、19 岁 D22 岁、20 岁 【分析】根据表格中的数据可以得到这组数据的众数和中位数 【解答】解：由表格可得，
15、 这组数据的众数是 19 岁， 中位数是 19 岁， 故选：A 第 9 页（共 25 页） 【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数就是出现次数最多的数，中位 数就是这组数据按照从小到大或从大到小排列后，偶数个数就是中间两个数的平均数， 奇数个数就是中间那一个数据 6 （3 分）如图，EF 过ABCD 对角线的交点 O，交 AD 于 E，交 BC 于 F，若ABCD 的周 长为 18，OE1.5，则四边形 EFCD 的周长为（ ） A14 B13 C12 D10 【分析】先利用平行四边形的性质求出 ABCD，BCAD，AD+CD9，可利用全等的 性质得到AEOCFO，求出 OEOF1
16、.5，即可求出四边形的周长 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，周长为 18， ABCD，BCAD，OAOC，ADBC， CD+AD9，OAEOCF， 在AEO 和CFO 中， AEOCFO（ASA） ， OEOF1.5，AECF， 则 EFCD 的周长ED+CD+CF+EF（DE+CF）+CD+EFAD+CD+EF9+312 故选：C 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边 形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键 7 （3 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，若增加一个条件，使ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的
17、是（ ） AABAD BACBD CACBD DBACDAC 【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断 第 10 页（共 25 页） 【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当 ABAD 时ABCD 是菱形； B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，ABCD 是菱形； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误； D、BACDAC 时， ABCD 中，ADBC， ACBDAC， BACACB， ABBC， ABCD 是菱形 BACDAC故命题正确 故选：C 【点评】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键 8 （3 分）如图，点 P 是矩形 ABCD 的边
18、 AD 上的一个动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分 别为 6 和 8，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ） A B C D不确定 【分析】首先连接 OP，由矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8，可求得 OAOD 5，AOD 的面积，然后由 SAODSAOP+SDOPOAPE+ODPF 求得答案 【解答】解：连接 OP， 矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8， S矩形ABCDABBC48，OAOC，OBOD，ACBD10， OAOD5， SACDS矩形ABCD24， SAODSACD12， 第 11 页（共 25 页） SAODSAOP+
19、SDOPOAPE+ODPF5PE+5PF（PE+PF） 12， 解得：PE+PF 故选：C 【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题此题难度适中，注意掌握辅助线 的作法，注意掌握数形结合思想的应用 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可 【解答】解：在实数范围内有意义， x10， 解得 x1 故答案为：x1 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0 10 （3 分）比较大小： 3 （
20、填“” 、 “”或“” ） 【分析】先求出 3，再比较即可 【解答】解：32910， 3， 故答案为： 【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根 号内的方法 11 （3 分）如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形（ab） ，把剩下的 部分拼成一个梯形， 分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 a2b2 （a+b） （ab） 第 12 页（共 25 页） 【分析】左图中阴影部分的面积是 a2b2，右图中梯形的面积是（2a+2b） （ab） （a+b） （ab） ，根据面积相等即可解答 【解答】解：a2b2（a+b） （ab） 【点评
21、】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是 解题的关键 12 （3 分）若 2x5，2y3，则 2x+y 15 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案 【解答】解：2x5，2y3， 2x+y2x2y15 故答案为：15 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键 13 （3 分）直线 L 过正方形 ABDC 的顶点 A，点 B，C 到直线 L 的距离分别为 1 和 2，则正 方形的边长为 【分析】作 BE直线 L，作 CF直线 L 则 BE1，CF2，可证BEACAF，可得 AFBE1，根据勾股定理可求正方形的边 AC 的长 【解
22、答】解：如图：作 BE直线 L，作 CF直线 L 则 BE1，CF2 第 13 页（共 25 页） 四边形 ABCD 是正方形 ABAC，BAC90 BAE+CAF90 BEAE BAE+EBA90 CAFEBA，且 ABAC，BEAAFC90 ABEACF BEAF1 在 RtACF 中，AC 故答案为 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造 全等三角形是本题的关键 14 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AHBC 于点 H， 连接 OH，若 OB4，S菱形ABCD24，则 OH 的长为 3 【分析】根据菱
23、形面积对角线积的一半可求 AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 【解答】解：ABCD 是菱形， BODO4，AOCO，S菱形ABCD24， AC6， AHBC，AOCO3， 第 14 页（共 25 页） OHAC3 故答案为 3 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵 活运用这些性质解决问题 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 15 （16 分）计算： （1）+（1）0+（2）3 （2）+|1|+ （3） （a1）2+（a5） （a+5） （4） （9x415x2+6x）3x 【分析】 （1）先根据立方根、算术平方根、零指数幂分别求
24、出每一部分的值，再算加减 即可； （2）先根据立方根、算术平方根、绝对值分别求出每一部分的值，再算加减即可； （3）先算乘法，再合并同类项即可； （4）根据多项式除以单项式法则求出即可 【解答】解： （1）+（1）0+（2）3 2+318 4； （2）+|1|+ 4+13 ； （3） （a1）2+（a5） （a+5） a22a+1+a225 2a22a24； （4） （9x415x2+6x）3x 第 15 页（共 25 页） 3x35x+2 【点评】本题考查了整式的混合运算、二次根式的性质、立方根、零指数幂、绝对值等 知识点，能正确根据运算法则和定义进行化简和计算是解此题的关键 16 （8 分
25、）计算： （1） （2）2 【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的乘除法则运算 【解答】解： （1）原式2+34 ； （2）原式10 50 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 17 （6 分）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题 解：a（a+2b）（a1）22a a2+2aba22a12a 第一步 2ab4a1第二步 （1）小丽的化简过程从第 一 步开始
26、出现错误； （2）请对原整式进行化简，并求当 a，b6 时原整式的值 【分析】 （1）首先计算完全平方，然后再去括号，注意符号的变化； （2）首先计算完全平方，然后再去括号合并同类项，化简后再代入 a、b 的值即可 【解答】解： （1）小丽的化简过程从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）a（a+2b）（a1）22a， a2+2aba2+2a12a， 2ab1， 第 16 页（共 25 页） 当 a，b6 时， 原式2（6）1314 【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，以及完全平方公式，关键是掌握单项式与 多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的
27、每一项，再 把所得的积相加 18 （6 分）问题背景：在ABC 中，AB、BC、AC 三边的长分别为、，求这 个三角形的面积佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的 边长为 1） ， 再在网格中画出格点ABC（即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处） 如 图所示，这样不需求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积 （1）请你将ABC 的面积直接填写在横线上 ； （2）在图中画DEF，使 DE、EF、DF 三边的长分别为、2、； （3）这个三角形的形状是 直角三角形 【分析】 （1）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可求出ABC 的面积； （2）利用勾股定理和网格特点
28、分别画出DEF； （3）根据勾股定理的逆定理证明此三角形为直角三角形 【解答】解： （1）ABC 的面积33132123； 故答案为； （2）如图 2，DEF 为所作， （3）DEF 为直角三角形 理由：DE，EF2，DF， DE2+EF2DF2， DEF 为直角三角形 故答案为：直角三角形 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图， 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图 形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了 勾股定理的逆定理 19 （6 分）为了了解某校学
29、生对以下四个电视节目：A最强大脑 、B中国诗词大会 、 C朗读者 、D出彩中国人的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名 学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整 的统计图 请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为 120 ； （2）在扇形统计图中，A 部分所占圆心角的度数为 54 ； （3）请将条形统计图补充完整 【分析】 （1）根基统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据可以求得 A 部分所占圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据可以计算出选择 C 的学生数，从而可以将统计
30、图补充完整 【解答】解： （1）本次调查的学生有：6655%120（人） ， 故答案为：120； （2）在扇形统计图中，A 部分所占圆心角的度数为：36054， 故答案为：54； 第 18 页（共 25 页） （3）选择 C 的学生有：12025%30（人） ， 补充完整的条形统计图如右图所示 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 合的思想解答 20 （6 分）如图，长方形 ABCD 为一个花园，其中 AB15 米，BC8 米，在花园内修一 条长 13 米的笔直小路 EF，小路出口一端 E 选在 AD 边上距 D 点 3 米处，另一端出口 F 应选在 A
31、B 边上距 B 点几米处？ 【分析】根据勾股定理直接求出 AF 的长，即可得出 FB 即可得出答案 【解答】解：由题意知 EF13 米，EA5 米 在 RtEAF 中， 由勾股定理， 得 AF2EF2EA2， 即 AF213252144， 则 AF12 （取 正值） 所以 FB15123（米） ， 即另一端出口 F 应选在 AB 边上距 B 点 3 米处 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是 解决问题的关键 21 （6 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O过点 C 作 BD 的平行线， 过点 D 作 AC 的平行线，两直线相
32、交于点 E求证：四边形 ODEC 是矩形 【分析】欲证明四边形 OCED 是矩形，只需推知四边形 OCED 是平行四边形，且有一内 第 19 页（共 25 页） 角为 90 度即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， ACBD， COD90 CEOD，DEOC， 四边形 OCED 是平行四边形， 又COD90， 平行四边形 OCED 是矩形 【点评】考查了矩形的判定与性质，菱形的性质此题中，矩形的判定，首先要判定四 边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角 22 （7 分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大 正方形， 两块是边长都为 n 的小正方形，
33、 五块是长为 m， 宽为 n 的全等小矩形， 且 mn（以 上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式 2m2+5mn+2n2可以因式分解为 （2m+n） （m+2n） ； （2） 若每块小矩形的面积为 10cm2， 两个大正方形和两个小正方形的面积和为 58cm2， 试求 m+n 的值 （3）图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为 42 cm （直接写出结果） 【分析】 （1）根据图象由长方形面积公式将代数式 2m2+5mn+2n2因式分解即可； （2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为 10 平方厘米， 得出等式求出 m+n，进一步得到图中所有裁剪线
34、（虚线部分）长之和即可 【解答】解： （1）由图形可知，2m2+5mn+2n2（2m+n） （m+2n） ， 故答案为（2m+n） （m+2n） ； （2）依题意得，2m2+2n258， mn10， m2+n229， 第 20 页（共 25 页） （m+n）2m2+n2+2mn29+2049， m+n7， 图中所有裁剪线段之和为 7642（cm） 故答案为 42 【点评】本题考查了因式分解的应用，正确用两种方法表示图形面积是解题的关键 23 （7 分）已知，如图 1，正方形 ABCD 和正方形 BEFG，三点 A、B、E 在同一直线上， 连接 AG 和 CE （1）线段 AG 和线段 CE 的
35、数量关系为 AGCE ； （2）将正方形 BEFG，绕点 B 顺时针旋转到图 2 的位置时， （1）中的结论是否成立？请 说明理由； （3）若在图 2 中连接 AE 和 CG，且 AE5，CG2，求 AC2+GE2 29 （直接写出 结果） 【分析】 （1）由正方形的性质得出 ABCB，BGBE，ABGCBE90，由 SAS 证明ABGCBE，得出对应边相等 AGCE； （2）由正方形的性质得出 ABCB，BGBE，ABGCBE90，证出ABG CBE，由 SAS 证明ABGCBE，得出 AGCE； （3）连接 AC、EG，设 AG、CE 交点为 H，由由角的互余关系得出2+BCE90， 得出
36、AHC90，得出 AGCE；再由勾股定理求出 AC2+EG2CG2+AE2，求出 AC2+EG2，然后由正方形的面积等于对角线平方的一半求解即可 【解答】解： （1）如图 1 所示：延长 AG 交 CE 于 H， 第 21 页（共 25 页） 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ABCB，BGBE，ABGCBE90， 在ABG 和CBE 中， ， ABGCBE（SAS） ， AGCE， 故答案为：AGCE； （2）AGCE，且 AGCE 仍然成立理由如下： 如图 2 所示： 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ABCB，BGBE，ABCEBG90， ABGABC+C
37、BG，CBEEBG+CBG， ABGCBE， 在ABG 和CBE 中， 第 22 页（共 25 页） ， ABGCBE（SAS） ， AGCE； （3）如图 2 所示：连接 AC、EG， ABGCBE， BAGBCE， 1+BAG90， 1+BCE90， 12， 2+BCE90， AHC90， AGCE； 在 RtCGH 中，CG2CH2+GH2， 在 RtAEH 中，AE2AH2+EH2， CG2+AE2CH2+GH2+AH2+EH2（CH2+AH2）+（GH2+EH2）AC2+EG2， AE5，CG2， AC2+EG222+5229 故答案为：29 【点评】本题是四边形的综合问题，主要考查
38、了正方形的性质、全等三角形的判定与性 质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键 24 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC16，点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运 动到点 A 停止，同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止，点 P、Q 的速 度都是每秒 1 个单位，连接 PQ、AQ、CP设点 P、Q 运动的时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形； （2）当 t6 时，判断四边形 AQCP 的形状，并说明理由； （3）直接写出以 PQ 为对角线的正方形面积为 96 时 t 的值； （4）求整个运动当
39、中，线段 PQ 扫过的面积是多少？ 第 23 页（共 25 页） 【分析】 （1）由矩形性质得出 BCAD16，ABCD8，由已知可得，BQDPt， APCQ16t，当 BQAP 时，四边形 ABQP 为矩形，得出方程，解方程即可； （2）t6 时，AQ6，DP6，得出 CQ16610，AP16610，APCQ，AP CQ， 四边形 AQCP 为平行四边形， 在 RtABQ 中，与勾股定理求出 AQ 10，得出 AQCQ，即可得出结论； （3）分两种情况：求出正方形的边长为 4，则对角线 PQ 为 8，由勾股定理求出 QM 的长，由题意得出方程，解方程即可； （4）连接 AC、BD，AC、BC
40、 相交于点 E，线段 PQ 扫过的面积AED 的面积+BEC 的面积，即可得出结果 【解答】解： （1）在矩形 ABCD 中，AB8，BC16， BCAD16，ABCD8， 由已知可得，BQDPt，APCQ16t， 在矩形 ABCD 中，B90，ADBC， 当 BQAP 时，四边形 ABQP 为矩形， t16t， 解得：t8， 当 t8s 时，四边形 ABQP 为矩形； （2）四边形 AQCP 为菱形；理由如下： t6， AQ6，DP6， CQ16610，AP16610， APCQ，APCQ， 四边形 AQCP 为平行四边形， 在 RtABQ 中，AQ10， AQCQ， 平行四边形 AQCP
41、为菱形， 第 24 页（共 25 页） 当 t6 时，四边形 AQCP 为菱形； （3）正方形面积为 96， 正方形的边长为：4，PQ48； 分两种情况： 如图 1 所示：作 PMBC 于 M， 则 PMAB8，DPBQt，APBM16t， 由勾股定理得：QM8， BMBQ+QM， t+816t， 解得：t84； 如图 2 所示：DPBQt，APBM16t， BQBM+QM， 16t+8t， 解得：t8+4； 综上所述，以 PQ 为对角线的正方形面积为 96 时 t 的值为：84或 8+4； （4）连接 AC、BD，AC、BC 相交于点 E， 则整个运动当中，线段 PQ 扫过的面积是：AED 的面积+BEC 的面积，如图 3 所示： AED 的面积+BEC 的面积矩形 ABCD 的面积， 整个运动当中， 线段 PQ 扫过的面积矩形 ABCD 的面积ABBC816 64 第 25 页（共 25 页） 【点评】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、 平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性 质和勾股定理是解题关键
