1、2019 届 高 三 入 学 调 研 考 试 卷理 科 数 学 （ 一 ）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作
2、 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1复数2i等于（ ）A 4iB 4iC 2iD 2i【答案】C【解析】 22iii1，故选 C2已知集合 |3Axy， 0
3、,1234B，则 AB（ ）A B0,12C D0,123 ,34【答案】C【解析】 集合 |3|Axyx， 0,12B， 0,12B，故选 C3函数 lncos2yx的图象是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题得 lncoslcsfxxfx，所以函数 fx是偶函数，所以图像关于 y 轴对称，所以排除 A，C由题得 1ln032，所以 D 错误，故答案为 B4已知两个单位向量 a和 b夹角为 60，则向量 ab在向量 方向上的投影为（ ）A 1B 1C 12D 12【答案】D【解析】 cos602a
4、b，则向量 在向量 方向上的投影为： 21cosabbab故选 D5已知双曲线21(0)6xym的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的标准方程为（ ）A214xyB 148xyC 28D2【答案】D【解析】双曲线21(0)6xym的虚轴长是实轴长的 2 倍，可得 2=6m，解得 2m，则双曲线的标准方程是218xy故选 D6在 ABC 中， 1a， 3b， 6A，则角 B等于（ ）A 3或 B C 3D 4【答案】A【解析】 1a， 3b， 6A，由正弦定理得： sinabAB则 sin2iB，又 0， ba， 3B或 2故选 A7学校就如程
5、序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远 执行如图所示的程序框图，若输入 64x，则输出的结果为（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】输入 64x， 1i， 640x， 21log63x， 12i；30x， 2log3， 3i；21l， 2l()x， 14i；log(3)0x，结束运算，输出 i，故选 C8从装有 3 个白球，4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球，1 个红球的概率是（ ）A 35B 635C 1235D 364【答案】C【解析】由题得恰好是 2 个白球 1 个红球的概
6、率为213475故答案为 C9在长方体 1ABDC中， ABC， 1与 B所成的角为 30，则 1（ ）A 3B3 C 5D 6【答案】D【解析】如图所示，连接 1AC， 1BA ， 是异面直线 1与 B所成的角，即 130AC，在 1RtC 中， 21 2，在 中，有 tan30A，即 126tan30A故选 D10将函数 cos2in3cos302xxf的图象向左平移 3个单位，得到函数ygx的图像，若 ygx在 0,4上为增函数，则 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】函数 cos2in3cos302xxf1sin2
7、33sisinxxx ，f的图象向左平移 个单位，得 2si3y的图象，函数 2sinygx；又 在 0,4上为增函数， 4T，即 24，解得 2，所以 的最大值为 2故选 B11函数 fx对任意的实数 x都有 21ffxf，若 1yfx的图像关于 1x对称，且 02f，则 01728ff（ ）A0 B2 C3 D4【答案】B【解析】因为 1yfx的图像关于 1x对称，所以 f的图像关于 0对称，即 f为偶函数，因为 21fxff，所以 12fff，所以 10f， 2fxf，因此 2070ff， 8ff， 17082ff，故选 B12设 F， B分别为椭圆21(0)x
8、yab的右焦点和上顶点， O为坐标原点， C是直线byxa与椭圆在第一象限内的交点，若 FOCB，则椭圆的离心率是（ ）A 217B 217C 213D 21【答案】A【解析】根据 FOCB，由平面向量加法法则，则有 为平行四边形 FO的对角线，故 BFOCS ，联立椭圆21(0)xyab、直线 byxa方程，可得 ,2C， BFOCS ，则 2BOFCBFSbc ，12BOFCabSbc ， 可得 2ac， 217e ，故选 A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13曲线 5e2xy在点 0,3处的切线方程为_【答案】 【解析
9、】 5e2xy 的导数 5exy ，则在 0处的切线斜率为 0，切点为 0,3，则在 x处的切线方程为 53yx，即为 5xy故答案为 530y14若变量 x， y满足约束条件2534xy，则 zxy的取值范围是_【答案】 1,7【解析】作出不等式组2534xy对应的平面区域如图所示阴影部分 ABC ；由 zxy得 xz，即直线的截距最大， z也最大；平移直线 ，可得直线 yx经过点 3,4C时，截距最大，此时 z最大，即 347z；经过点 A时，截距最小，由 = 25y，得 3 =xy，即 ,A，此时 z最小，为 341z；即 z的取值范围是 1,7，故答案为 ,715已知 0,， tan2
10、，则 cos_【答案】 53【解析】 0,， tan2， 0,2，则22sin1cos44co，解得 5cos 213ss2故答案为 5316四棱锥 SABCD中，底面 ABC是边长为 2 的正方形，侧面 SAD是以 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥 的体积取值范围为 438,，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是_【答案】 28,03【解析】四棱锥 SABCD中，可得： ； 平面 SAB平面 S平面 ABCD，过 S作 O于 ，则 O平面 ，设 AB，故 18sin33SABCDV，所以 3sin2,， 21co2, ，在 SAB 中， ，则有， sSB，所以 的外接圆半径 1co2sinsi
11、r，将该四棱锥补成一个以 SA为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径 21Rr， 241cosR，所以 2803S,故答案为 ,三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算步 骤 17 （12 分）设 nS为数列 na的前 项和，已知 3a， 12nan（1）证明： 1a为等比数列；（2）求 n的通项公式，并判断 n， a， nS是否成等差数列？【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）证明： 37a， 32， 23， 12na， 1a， 112nn， n是首项为 2，公比为 2 的等比数列
12、（2）由（1）知， 1na， 1na，12nS， 1210nnna 2nSa，即 ， ， S成等差数列18 （12 分）某体育公司对最近 6 个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：（1）可用线性回归模型拟合 y与 x之间的关系吗？如果能，请求出 y关于 x的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）公司决定再采购 A， B两款车扩大市场， A， B两款车各 100 辆的资料如表：平均每辆车每年可为公司带来收入 500 元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？参考数据： 6217
13、.5iix， 6135iiixy， 62176iiy， 1306.5参考公式：相关系数 1221niiiniiiirxy；回归直线方程 ybxa，其中 12niiiiixb， aybx【答案】 （1） 29yx；（2）见解析【解析】 （1） 617.5ii， 6135iiixy， 62176iiy， 1306.5 122130.963517.561niiiniiiixyr ，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系 1235217 .niiiiixyb，又 3463.5x， 13652016y， 192.ayb，回归直线方程为 9yx（2）用频率估计概率，
14、A款车的利润 X的分布列为：X5005010P.1.3.4.2 50.10.35.40.250EX（元） B款车的利润 Y的分布列为： 7120P0.150.40.35. 30.152.47.312.EY（元） 以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择 B款车型19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD中， P底面 ACD， AB， DC ，2ADCP， 1，点 E为棱 的中点（1）证明： BEPD；（2）若 F为棱 C上一点，满足 BFAC，求二面角 FABD的余弦值【答案】 （1）见解析；（2） 10【解析】 （1）依题意，以点 为原点，以 、 、 P为轴建立空间直角坐标系如图，可得
15、,0B， ,0C， ,2D， 0,2P，由 E为棱 P的中点，得 1,E向量 0,1， 0,2，故 BD， （2） 1,20BC， 2,P， 2,0AC， 1,0AB，由点 F在棱 上，设 F， 01，故 ,，由 BAC，得 ，因此 2120， 34，即 13,2BF，设 1,xyzn为平面 FAB的法向量，则 10An，即 1302xyz，不妨令 ，可得 10,3n为平面 FB的一个法向量取平面 ABD的法向量 2,，则 121210cosn, ，所以二面角 F的余弦值为 020 （12 分）已知 ABC 的直角顶点 A在 y轴上，点 10B,， D为斜边 BC的中点，且 AD平行于x轴（1
16、）求点 的轨迹方程；（2）设点 C的轨迹为曲线 ，直线 BC与 的另一个交点为 E以 C为直径的圆交 y轴于 M、N，记此圆的圆心为 P， MN，求 的最大值【答案】 （1） 240yx；（2） 3【解析】 （1）设点 C的坐标为 xy,，则 B的中点 D的坐标为 12,，点 A的坐标为 02y,12yAB,， 2yACx,，由 ，得 04B，即 24yx，经检验，当点 运动至原点时， A与 C重合，不合题意舍去所以轨迹 的方程为 2yx（2）依题意，可知直线 E不与 轴重合，设直线 E的方程为 1xmy，点 C、 E的坐标分别为 1xy,、 2,，圆心 P的坐标为 0,由241yxm，可得
17、240m， 12， 2y 214x， 2101xm圆 P的半径 2124rCEx 过圆心 作 QMN于点 ，则 PQ在 RtP 中，2021cos2xmr，当 20m，即 CE垂直于 轴时， cos2取得最小值为 ， 取得最大值为 3，所以 的最大值为 321 （12 分）已知函数 2xfea（1）若 a，证明：当 0时， 1f；（2）若 fx在 ,有两个零点，求 a的取值范围【答案】 （1）见解析；（2）2e4,【解析】 （1）证明：当 1a时，函数 2xfe则 '2xfe，令 2xge，则 '2xge，令 '0gx，得 ln2当 0,ln时， '0，当 ln
18、,时， ' fx在 ,单调递增， 01fxf（2）解： f在 0,有两个零点 方程 2e0xa在 ,有两个根，2xea在 ,有两个根，即函数 y与 2xeG的图像在 0,有两个交点 3e2'xG，当 0,2x时， '0x， x在 ,2递增当 ,时， '， 在 ,递增所以 Gx最小值为2e4，当 0时， ，当 x时， Gx， fx在 ,有两个零点时， 的取值范围是2e4,请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy中，倾斜角为 2的直线 l的参数方程为 1cos
19、inxty为 参 数 以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程是2cos4in0（1）写出直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；（2）已知点 1,0P若点 M的极坐标为 12,，直线 l经过点 M且与曲线 C相交于 A， B两点，求 A， B两点间的距离 AB的值【答案】 （1）见解析；（2）8【解析】 （1） :tan1lyx； 曲线 C的直角坐标方程为 24xy；（2） M的极坐标为 2,，点 M的直角坐标为 01, tan1，直线 的倾斜角 34直线 l的参数方程为 21xty为 参 数代入 24xy，得 260tt 设 A， B两点对应的参数为 1t， 2，则 126 t， 1212124748ttt23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲 】已知函数 fx（1）求不等式 21fx的解集；（2）关于 x的不等式 3ffxa的解集不是空集，求实数 a的取值范围【答案】 （1） ,1,A；（2） 1,【解析】 （1） fx， 0x，当 x时，不等式可化为 12，解得 1x，所以 1x；当 12，不等式可化为 10x，解得 ，无解；当 x时，不等式可化为 12，解得 1x，所以 x综上所述， ,A（2）因为 2312121fxfxx，且 23fxfa的解集不是空集，所以 1a，即 的取值范围是 1,
