1、 一、选择题一、选择题 6. （2019遂宁）如图， ABCD 中，对角线 AC,BD 相交于点 O，OEBD 交 AD 于点 E，连接 BE，若 ABCD 的周长 为 28，则ABE 的周长为 ( ) A.28B. 24C. 21 D. 14 【答案】D 【解析】因为平行四边形的对角线互相平分，OEBD，所以 OE 垂直平分 BD，所以 BE=DE,从而ABE 的周长等于 AB+AD，即 ABCD 的周长的一半，所以ABE 的周长为 14，故选 D. 二、填空题二、填空题 14 （2019武汉）如图，在ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上两点，AEEFCD，ADF90 ，BCD63 ，则
2、 ADE 的大小为_ 【答案】【答案】21 【解析】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，15ADF90 ，AEEF，DE 1 2 AF AE，1252AECD，DEAE，DECD，3431222， 422BCD63 ，5463 ，即 3263 ，221 ，即ADE21 故答案为 21. 1.（2019达州）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，BEO 的周长 是 8，则BCD 的周长为_ . 【答案】16 【解析】O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，点 E 是 AB 的中点，可得 OE= 2 1 AD，BE=
3、 2 1 AB， BO= 2 1 BD，可得BEO 的周长是BAD 周长的一半，而BCD 的周长和BAD 周长相等，即BCD 的周长 为 16. 10 （2019烟台）烟台）如图，面积为 24 的ABCD 中，对角线 BD 平分ABC，过点 D 作DEBD交 BC 的延 长线于点 E，6DE ，则sinDCE的值为（ ） A 24 25 B 4 5 C 3 4 D 12 25 【答案答案】A 【解析】【解析】连接 AC，交 BD 于点 F，过点 D 作DMCE，垂足为 M， 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 F 是 BD 的中点，AD/BC， 所以DBCADB， 因为 BD 是 AB
4、C的平分线， 所以ABDDBC， 所以ABDADB ， 所以ABAD， 所以ABCD 是菱形， 所以ACBD， 又因为DEBD， 所以 AC/DE， 因为 AC/DE，F 是 BD 的中点， 所以 C 是 BE 的中点， 所以 1 3 2 CFDE， 因为四边形 ABCD 是菱形， 所以26ACFC， 2 ABCD ACBD S 菱形 ， 所以 2 2 24 8 6 ABCD S BD AC 菱形 ， 所以 1 4 2 BFBD， 在 RtBFD 中，由勾股定理得 22 5BCBFCF， 因为四边形 ABCD 是菱形， 所以5DCBC， 因为 ABCD SBCDM 菱形 所以 24 5 ABC
5、D S DM BC 菱形 ， 在 RtDCM 中， 24 sin 25 DM DCE DC 7 （2019威海）威海） 如图，E 是ABCD 的边 AD 延长线上一点，连接 BE，CE，BD，BE 交 CD 于点 F.添加以下条 件，不能判定四边形 BCED 为平行四边形的是（ ） F AD B C E M 第 10 题答图 AABDDCE B. DFCF C.AEBBCD D.AECCBD 【答案】C 【解析】【解析】根据平行四边形的性质，得ADBC，ABCD，所以DEBC，所以ABDCDB，若添加 ABDDCE，可得CDBDCE，从而可得BDCE，所以四边形BCED为平行四边形，故 A 正
6、确； 根据平行线的性质，得DEFCBF，若添加DFCF，由于EFDBFC，故DEFCBF，从而EF BF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形” ，得四边形BCED为平行四边形，故 B 正确； 根据平行线的性质，得AEBCBF，若添加AEBBCD，易得CBFBCD，求得CFBF，同 理，EFDF，不能判定四边形BCED为平行四边形，故 C 错误；根据平行线的性质，得DEC BCE180，若添加AECCBD，则得BCECBD180，所以BDEC，于是得四边形BCED 为平行四边形，故 D 正确故选 C. 三、解答题三、解答题 20 （2019淮安）淮安）已知：如图，在ABCD 中，点 E、F
7、 分别是边 AD、BC 的中点. 求证：BE=DF. 【解题过程】证明：【解题过程】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC. 点 E、F 分别是边 AD、BC 的中点， DEBF，DE=BF， 四边形四边形 BFDE 是平行四边形，是平行四边形， BE=DF. 1.（2019重庆 A 卷）如图，在ABCD 中，点 E 在边 BC 上，连结 AE，EMAE，垂足为 E，交 CD 于点 M， AFBC，垂足为 F，BHAE，垂足为 H，交 AF 于点 N，点 P 是 AD 上一点，连接 CP （1）若 DP2AP4，CP17，CD5，求ACD 的面积； （2）若 AEBN，A
8、NCE，求证：AD2CM2CE F E CD B A 解：解： （1）如图 1，过点 C 作 CQAD 于点 Q DP2AP4， AP2，AD6 设 PQx， 则 DQ4x， 根据勾股定理，得 CP2PQ2CD2DQ2， 即 17x252(4x)2， 解得 x1，从而 CQ 22 534，故 SACD 1 2 ADCQ 1 2 6412 （2）如答图 2，连接 NE EMAE，AFBC，BGAE， AEBFBNAEBEAFAEBMEC90 EAFNBFMEC 在BFN 和AFE 中， BFNAFE FBNFAE BNAE ， BFNAFE（AAS） BFAF，NFEF ABC45，ENF45，
9、FCAFBF ANEBCD135，ADBC2AF 在ANE 和ECM 中， NAECEM ANEECM ANEC ， ANEECM（ASA） CMNE 又NF 2 2 NE 2 2 CM， AF 2 2 CMCE AD2CM2CE 2.（2019衢州衢州）如图，在44的方格子中，ABC的三个顶点都在格点上. （1）在图1中面出线段CD，使CDCB，其中D是格点. （2）在图 2 中面出平行四边形 ABEC，其中 E 是格点. 第 25 题答图 1 QP H N M F E D CB A A B C D E F M N H P 第 25 题答图 2 解：解： 线段CD就是所求作的图形；ABEC就
10、是所求作的图形. 3.（2019金华）金华）如图，在 7 6 的方格中，ABC 的顶点均在格点上.试按要求画出线段 EF（E，F 均为格点） ， 各画出一条即可. （第 20 题图） 解：如图， 22 （20192019 浙江省温州市，浙江省温州市，2222，1010 分）分） （本题满分 10 分） 如图，在ABC 中，BAC=90，点 E 在 BC 边上，且 CA=CE，过 A，C，E 三点的O 交 AB 于另一点 F，作直 径 AD，连结 DE 并延长交 AB 于点 G，连结 CD，CF （1）求证：四边形 DCFG 是平行四边形； （2）当 BE=4，CD= 3 8 AB 时，求O 的
11、直径长 图1：EF平分BC A C B 图2：EFAC A C B 图3：EF垂直平分AB A C B 图3：EF垂直平分AB图2：EFAC图1：EF平分BC A E C F B EA CF B A C E FB 图 1 图 2 【解题过程】【解题过程】 （1）连接 AE. BAC=90，CF 是O 的直径. AC=EC，CFAE.AD 为O 的直径，AED=90，即 GDAE，CFDG. AD 为O 的直径， ACD=90， ACD+BAC=180， ABCD， 四边形 DCFG 为平行四边形； （2）由 CD= 3 8 AB，可设 CD=3x,AB=8x，CD=FG=3x. AOF=COD
12、，AF=CD=3x，BG=8x-3x-3x=2x. GECF，BGECDE， 2 3 BEBG EGGF . 又 BE=4，AC=CE=6，BC=6+4=10，AB= 22 10 -6=8=8x，x=1. 在 RtACF 中，AF=3，AC=6，CF= 22 3 +6=35，即O 的直径长为 35. 22 （2019 江西省，江西省，22，9 分）分）在图在图 1，2，3 中，已知：中，已知：ABCD，ABC=120，点，点 E 为线段为线段 BC 上的动点，上的动点， 连接连接 AE，以，以 AE 为边向上作菱形为边向上作菱形 AEFG，且，且EAG=120. (1)如图如图 1，当点，当点
13、 E 与点与点 B 重合时，重合时，CEF= ; (2)如图如图 2，连接，连接 AF. 填空：填空：FAD EAB(填填” ，” ，“” ， “” ， “=”)； 求证：点求证：点 F 在在ABC 的平分线上；的平分线上； (3)如图如图 3，连接，连接 EG，DG，并延长，并延长 DG 交交 BA 的延长线于点的延长线于点 H，当四边形，当四边形 AEGH 是平行四边形时，求是平行四边形时，求 AB BC 的值的值. 【解题过程】解： （【解题过程】解： （1）当点当点 E 与点与点 B 重合时，重合时， 四边形四边形 AEFG 是菱形，是菱形， ABE=AEF=180-EAG=180-1
14、20=60， ABC=120， CEF=ABC-ABE=120-60=60. 答案：答案：60； （2）ABCD 中中ABC=120，BAD=180-ABC=180-120=60. 菱形菱形 AEFG 中中EAG=120，EAF= 2 1 EAG= 2 1 120=60. FAD=EAB. 答案：答案：= 如图所示，连接如图所示，连接 BE，以，以 BE 为边向下作等边为边向下作等边BEP， 第22题图 O G F E D CB A 第22题图 O G F E D CB A 则则 BE=PE，BEP=AEF=P=60，AE=FE， BEFPEA， EBF=P=60， 又又ABC=120， EB
15、F= 2 1 ABC， 点点 F 在在ABC 的平分线上的平分线上. （3）四边形四边形 AEGH 是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形 AEFG 是菱形，是菱形，GH=AE=AG=DF=FE. EAG=120，H=HAG=AGE=FGE=AEG=FEG=BAE=DAE=ADE=AEB=30. DF=FG=GH=AE，AB=BE. AEGH， ABEHAD， 3 3 AE AE AE DH BE AD AB BC . 一、选择题一、选择题 11(2019海南海南) 如图,在ABCD 中,将ADC 沿 AC 折叠后,点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处,若B 60,AB3,则ADE
16、 的周长为( ) A.12 B.15 C.18 D.21 第 11 题图 【答案】【答案】C 【解析】【解析】折叠后点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处,ACDE,ECCDAB3,ED6,B60, D60,AD2CD6,AE6,ADE 的周长AE+AD+ED18,故选 C. 【知识点】【知识点】折叠,三角函数,平行四边形 三、解答题三、解答题 19. （2019广安） 如图， 点E是ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，3CF ，2CE ， 求A B C D 的周长 【思路分析】【思路分析】先证明ADEFCE ，得到3ADCF，2DECE，从而可求平行四边形的面积 【解
17、题过程】解：四边形ABCD是平行四边形， / /ADBC， DAEF，DECF 又EDEC， ()ADEFCE AAS 3ADCF，2DECE 4DC 平行四边形ABCD的周长为2()14ADDC 【知识点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 19.（2019荆门）如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB5，BC3，AC213 （1）求平行四边形 ABCD 的面积； （2）求证：BDBC 【思路分析】【思路分析】（1）作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，设 BEx，由勾股定理列出关于 x 的方程，解方程求出平 行四边形的高，进而即可求出其面积； （2）利用全等三角形的判定与性质得出
18、 AFBE= 9 5，BF5 9 5 = 16 5 ，DFCE= 12 5 ，从而求出 BD 的长，在 BCD 中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直 【解题过程】解：（1）作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，如图： 设 BEx，CEh 在 RtCEB 中：x2+h29 在 RtCEA 中： （5+x）2+h252 联立解得：x= 9 5，h= 12 5 平行四边形 ABCD 的面积ABh12； （2）作 DFAB，垂足为 F DFACEB90 平行四边形 ABCD ADBC，ADBC DAFCBE 又DFACEB90，ADBC ADFBCE（AAS） AFBE= 9 5，BF5 9
19、5 = 16 5 ，DFCE= 12 5 在 RtDFB 中：BD2DF2+BF2（12 5 ）2+（16 5 ）216 BD4 BC3，DC5 CD2DB2+BC2 BDBC 【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质 21 （2019 福建）在 RtABC 中，ABC=90，ACB30，将ABC 绕点 C 顺时针旋转一定的角度 得到DEC，点 A、B 的对应点分别是 D、E. (1)若点 E 恰好落在边 AC 上，如图 1，求ADE 的大小； (2) 若=60，点 F 是边 AC 中点，如图 2，求证：四边形 BFDE 是平行四边形. 【思路分析】(1)根据旋转后图形的形状大小不变，得A
20、DC 为等腰三角形，利用等腰三角形性质求底角度数， 再利用直角三角形两个锐角互余，即可求出ADE 的大小；(2)根据 F 是 AC 中点，利用直角三角形斜边中 线等于斜边一半，可得 DEABBF，再利用等腰三角形三线合一证明 BFCE，从而得出 BFDE，即可 得出四边形 BFDE 是平行四边形. 【解题过程】解： （1）根据旋转性质得：DCE=ACB30，DEC=ABC90，CACD，ADC= DAC75，EDC=90ACD=60，ADE=ADCEDC=15； （2）延长 BF 交 CE 于点 G. 在 RtABC 中，ACB30，点 F 是边 AC 中点，BF=FC=AC，FBC=ACB=
21、30，由旋转性质 AB=DE，DEC=ABC=90，BCE=ACD=60，DE=BF，BGE=GBCECB=90， DEC=BGE=90，BFDE，四边形 BFDE 是平行四边形. 180 2 DCE 1 2 【知识点】图形的旋转；直角三角形性质；等边三角形性质与判定；平行四边形判定 24. （2019 扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分 DAB ，已知 6CE ， 8BE ， 10DE （1）求证： 90BEC； （2）求cos DAE 【思路分析】 （1）根据平行四边形的性质得出DC AB ，AD CB ， / /DCAB，推出 DEAEAB ，再根据 角平分线性质得出 DAED
22、EA ，推出 10ADDE ，得出 16ABCD ，由勾股定理的逆定理即可得出 结论； （2） 由平行线得出 90ABEBEC ， 由勾股定理求出 22 8 5AEABBE ， 得出cos cosDAEEAB ， 即可得出结果 【解题过程】解： （1）证明：四边形ABCD是平行四边形， DCAB，ADBC ， / /DCAB， DEAEAB ， AE平分DAB ， DAEEAB ， DAEDEA 10ADDE ， 10BC ， 16ABCDDECE ， 22222 68100CEBEBC ， BCE 是直角三角形， 90BEC； （2）解： / /ABCD， 90ABEBEC ， 2222 1
23、688 5AEABBE ， 162 5 coscos 58 5 AB DAEEAB AE 【知识点】解直角三角形；平行四边形的性质；勾股定理的逆定理 22. （2019连云港）如图，在 ABC 中，AB AC 将 ABC 沿着BC方向平移得到 DEF ，其中点E在边BC 上，DE与AC相交于点O （1）求证： OEC 为等腰三角形； （2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由 【思路分析】 （1）根据等腰三角形的性质得出 BACB ，根据平移得出 / /ABDE，求出BDEC ，再求 出 ACBDEC 即可； （2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四
24、边形AECD是矩形即可 【解题过程】解： （1）证明： ABAC ， BACB ， ABC 平移得到 DEF ， / /ABDE ， BDEC ， ACBDEC ， OEOC ， 即 OEC 为等腰三角形； （2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形， 理由是： ABAC ，E为BC的中点， AEBC ，BE EC ， ABC 平移得到 DEF ， / /BEAD ，BE AD ， / /ADEC ，AD EC ， 四边形AECD是平行四边形， AEBC ， 四边形AECD是矩形 【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定；平行四边形的判定；平移的性质 7. （2019广州）如图，
25、ABCD 中，AB2，AD4，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ） AEHHG B四边形 EFGH 是平行四边形 CACBD DABO 的面积是EFO 的面积的 2 倍 【答案】B 【解析】E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，在 ABCD 中，AB2，AD4， EH= 1 2AD2，HG= 1 2 = 1 2AB1，EHHG，故选项 A 错误； E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点， EH= 1 2 = 1 2 = ，四边形 EFGH 是平行四边形，故选项 B 正确； 由题目
26、中的条件，无法判断 AC 和 BD 是否垂直，故选项 C 错误； 点 E、F 分别为 OA 和 OB 的中点， EF= 1 2 ，EFAB，OEFOAB， = ( ) 2 = 1 4， 即ABO 的面积是EFO 的面积的 4 倍，故选项 D 错误， 故选 B 【知识点】平行四边形的判定与性质； 相似三角形的判定与性质 一、选择题一、选择题 17. （2019 台湾）如图，将一张面积为 14 的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边 形纸片根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？( ) A 21 5 B 42 5 C 24 7 D 48 7 【答案】【答案】D 【解析】【
27、解析】解：如图，设ADE，BDF，CEG，平行四边形DEGF的面积分别为 1 S， 2 S， 3 S和S， 过点D作/ /DHEC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而DFHEGC ， 3DFH SS ， / /DEBC， ADEABC，3DE ，7BC ， 1 9 49 ABC S S ， 14 ABC S， 1 9 14 49 S， 1 :(4):32:3 2 BDH SS ， 2 3 BDH SS ， 29 1414 349 SS， 48 7 S 故选：D 【知识点】【知识点】平行四边形的性质；三角形的面积 8 （2019 永州） 如图， 四边形 ABCD 的
28、对角线相交于点 O， 且点 O 是 BD 的中点， 若 AB=AD=5， BD=8， ABD CDB，则四边形 ABCD 的面积为 A40 B24 C20 D15 【答案】B 【解析】 ABDCDB， ABCD， O 是 BD 的中点， BO=DO， 又AOBCOD， AOBCOD， AB=CD， 又 ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形 AB=AD， 四边形 ABCD 是菱形 ACBD 在 RtABO 中， BO= 2 1 BD=4， AO= 22 BOAB = 22 45 =3， AC=2AO=6， 四边形 ABCD 的面积为 2 1 AC BD= 2 1 6 8=24故选 B 8.
29、 （2019泸州）四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列四组条件中，一定能判定四边形 ABCD 为 平行四边形的是（ ） AADBC BOAOC，OBOD CADBC，ABDC DACBD 【答案】【答案】B 【解析】【解析】OAOC，OBOD，四边形 ABCD 是平行四边形；故选：B 【知识点】【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定 二、填空题二、填空题 16.（2019 梧州）如图，ABCD中，119ADC，BEDC于点E，DFBC于点F，BE与DF交于 点H，则BHF 度 【答案】【答案】61 【解析】【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， / /ADBC
30、，/ /DCAB， 119ADC，DFBC， 90ADF， 则29EDH， BEDC， 90DEH， 902961DHEBHF 故答案为：61 【知识点】【知识点】平行四边形的性质 6. （2019云南）在平行四边形 ABCD 中，A30，AD43，BD4，则平行四边形 ABCD 的面积等于. 【答案】316或38 【解析】本题考查了解直角三角形，涉及 30 度直角三角形及勾股定理，对图形进行分类是解决本题的关键， 过 D 作 DEAB 于 E， 在 RtADE 中，A30，AD4， DEAD2，AEAD6， 在 RtBDE 中，BD4， BE2， 如图 1，AB8， 平行四边形 ABCD 的
31、面积ABDE8216， 如图 2，AB4， 平行四边形 ABCD 的面积ABDE428， 故答案为：16或 8 3 （2019龙东地区）龙东地区）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 _，使四边形 ABCD 是平行四边形 【答案】【答案】答案不唯一，ADBC 或 AB=CD 或A+B=180等. 【解析】根据平行四边形的判定方法填上一个合适的条件即可【解析】根据平行四边形的判定方法填上一个合适的条件即可. 【知识点】【知识点】平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法 三、解答题三、解答题 17 （2019张家界）如图，平行四边形 ABCD 中，连
32、接对角线 AC，延长 AB 至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC 交于点F，G （1）求证：BF=CF; （2）若 BC=6,DG=4,求 FG 的长 解析：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质 （1）由平行四边形 的性质证BEFCDF，得证； （2）由平行线得到ADGCFG，根据相似三角形的性质得到成比例线段求 解. 答案：解： （1）平行四边形 ABCD，AECD,AB=CD,EBF=DCF,BEF=CDF,AB=BE, BE=CD, BEFCDF,BF=CF； （2）ADBC,ADGCFG, DG FG AD CF ,即 46 3FG ,
33、FG=2. A B D C 21. （2019本溪）本溪）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADCD，B=45 ，延长 CD 到点 E，使 DE=DA， 连接 AE. （1）求证：AE=BC； （2）若 AB=3，CD=1，求四边形 ABCE 的面积. （1）证明：ADCD，ABCD， ADE=DAB=90 . AD=DE， E=DAE=45 ， EAB=135 . B=45 ， B+EAB=180 ， AEBC， 四边形 ABCE 是平行四边形， AE=BC. （2）解：由（1）知 AB=CE， CD=1，AB=3， DE=2. AD=DE， AD=2， S四边形ABCE=3 2=6.
34、 【知识点】【知识点】平行四边形的判定与性质；面积计算. 21 （2019雅安）雅安）如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 经过 O，分别 交 AB、CD 于点 E、F， EF 的延长线交 CB 的延长线于 M （1）求证：OE=OF； （2）若 AD=4，AB=6，BM=1，求 BE 的长 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，ABCD，BC=AD，1=2，3=4，AOE COF（ASA） ，OE=OF； （2）解：过点 O 作 ONBC 交 AB 于 N，易证AONABC，OA=OC，ON= 1 2 BC=2，BN= 1 2 AB=3， ONBC，O
35、NEMBE， ONNE BMBE ， ONBMNEBE BMBE ，BM=1，BE=1 E O D C A B M F 【知识点】【知识点】平行四边形；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质平行四边形；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质 26 （2019永州）(本小题 12 分)(1)如图 261，在平行四边形 ABCD 中，A=30 ，AB=6，AD=8，将平行四边 形 ABCD 分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽(保留分割线的痕 迹) 解：矩形的长为 8，宽为 3 (2)若将一边长为 1 的正方形按如图 2621 所示剪开，恰好能拼成如
36、图 2622 所示的矩形，则 m 的值 是多少？ 解：由两个图形的面积相等，有 m(m1)=1，解得 m= 2 51 或 m= 2 51 (舍去) 所以 m 的值是 2 51 (3)四边形 ABCD 是一个长为 7，宽为 5 的矩形(面积为 35)，若把它按如图 2631 所示的方式剪开，分成 四部分，重新拼成如图 2632 所示的图形，得到一个长为 9，宽为 4 的矩形(面积为 36)问：重新拼 成的图形的面积为什么会增加？请说明理由 3 4 2 1 E O D C A B M F N 解：如图，tanAFG= FG AG = 2 34 = 2 1 ，tanFCH= HC FH = 7 3
37、， 因为 2 1 7 3 ，所以AFGFCH，因此点 A，F，C 三点不在同一直线上，即原图形不能拼成新图形 19 （2019郴州）如图，ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F，连 接 AC，DF 求证：四边形 ACDF 是平行四边形 解析：本题考查了平行四边形、平行线的判定，全等三角形的性质，解题的关键 是得到 AFCD，且 AFCD 答案：证明：ABCD 是平行四边形， ABCD，即 AFCD， AFEDCE 点 E 是边 AD 的中点， EFEC， 又AEFDEC， AEFDEC， AFDC 四边形 ACDF 是平行四边形 22 （2019
38、 柳州）柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形请你证明 这个判定定理 已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 证明： 【解题过程】【解题过程】连接 AC，如图所示：在ABC 和CDA 中，ABCCDA（SSS） ， BACDCA，ACBCAD，ABCD，BCAD，四边形 ABCD 是平行四边形 【知识点】【知识点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质 21 （2019 常州）如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C 处， BC 与 AD 相交于点 E （1）连接 AC ，则
39、AC 与 BD 的位置关系是_； （2）EB 与 ED 相等吗?证明你的结论 【解题过程】【解题过程】解： （1） AC BD； （2）EBED理由如下： 由折叠可知CBDEBD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC CBDEDB EBDEDB EBED 【知识点】【知识点】折叠；平行四边形的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定 25 （2019陕西） （12 分）问题提出： （1）如图 1，已知ABC，试确定一点 D，使得以 A，B，C，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个 平行四边形； 问题探究： （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB4，BC10，若要在该矩形中作出一个
40、面积最大的BPC，且使BPC 90，求满足条件的点 P 到点 A 的距离； 问题解决： （3）如图 3，有一座草根塔 A，按规定，要以塔 A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的 草根景区 BCDE根据实际情况，要求顶点 B 是定点，点 B 到塔 A 的距离为 50 米，CBE120，那么， 第 21 题答图 第 21 题图 是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形 BCDE 的最大面积；若不可以，请说明理由 （塔 A 的占地面积忽略不计） 【分析】 （1）利用平行四边形的判定方法画出图形即可 （2）以点 O 为圆心，OB 长为
41、半径作O，O 一定于 AD 相交于 P1，P2两点，点 P1，P2即为所求 （3）可以，如图所示，连接 BD，作BDE 的外接圆O，则点 E 在优弧上，取的中点 E，连接 E B，ED，四边形 BCDE即为所求 【解答】解： （1）如图记为点 D 所在的位置 （2）如图， AB4，BC10，取 BC 的中点 O，则 OBAB 以点 O 为圆心，OB 长为半径作O，O 一定于 AD 相交于 P1，P2两点， 连接 BP1，P1C，P1O，BPC90，点 P 不能再矩形外； BPC 的顶点 P1或 P2位置时，BPC 的面积最大， 作 P1EBC，垂足为 E，则 OE3， AP1BEOBOE532
42、， 由对称性得 AP28 （3）可以，如图所示，连接 BD， A 为BCDE 的对称中心，BA50，CBE120， BD100，BED60 作BDE 的外接圆O，则点 E 在优弧上，取的中点 E，连接 EB，ED， 则 EBED，且BED60，BED 为正三角形 连接 EO 并延长，经过点 A 至 C，使 EAAC，连接 BC，DC， EABD， 四边形 ED 为菱形，且CBE120， 作 EFBD，垂足为 F，连接 EO，则 EFEO+OAEO+OAEA， SBDEBDEFBDEASEBD， S平行四边形BCDES平行四边形BCDE2SEBD1002sin605000（m2） 所以符合要求的BCDE 的最大面积为 5000m2 【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解 题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题
