1、绝密启用前绝密启用前 2020 年江苏省南京市联合体中考数学模拟试卷年江苏省南京市联合体中考数学模拟试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰分在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1的值等于（ ） A3 B3 C3 D 2下列计算中
2、正确的是（ ） Aa2+a32a5 B（a2）3a5 C（ab2）3ab6 Da2 a 3a5 3已知 a 为整数，且满足a，则 a 的值为（ ） A4 B3 C2 D1 4已知反比例函数 y的图象经过点（1，3），若 x1，则 y 的取值范围为（ ） Ay3 By3 C3y0 D0y3 5 如图， 将ABC 绕点 A 旋转任意角度得到ABC， 连接 BB、 CC， 则 BB： CC等于 （ ） AAB：AC BBC：AC CAB：BC DAC：AB 6如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 上的动点，且 EF4， G 是 EF 的中点，下列结论正确的是（
3、） AAGEF BAG 长度的最小值是 42 CBE+DF4 DEFC 面积的最大值是 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直分不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 7在3、4、2、5 四个数中，任意两个数之积的最小值为 82018 年江苏省实现 GDP 约 92500 亿元用科学记数法表示 92500 是 9如果代数式有意义，那么 x 的取值范围是 10计算+的结果是 11 已知关于 x 的方程 x2+mx20 的两个根为 x1、 x2， 若 x1+x2
4、x1x26， 则 m 12点（m，y1）， （m+1，y2）都在函数 ykx+b 的图象上，若 y1y23，则 k 13某校九年级（1）班 40 名同学期末考试成绩统计表如下 成绩 x（单位：分） 60x70 70x80 80x90 90x100 人数 4 14 16 6 下列结论：成绩的中位数在 80x90；成绩的众数在 80x90；成绩的平均 数可能为 70；成绩的极差可能为 40其中所有正确结论的序号是 14如图，将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 绕顶点 A 顺时针旋转 60，则旋转后所得图形 与正六边形 ABCDEF 重叠部分的面积为 15如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC
5、6，E 为 AD 的中点，CED 的外接圆与 BE 交 于点 F，则 BF 的长度为 16如图，AB 是O 的弦，若O 的半径长为 6，AB6，在O 上取一点 C，使得 AC 8，则弦 BC 的长度为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17（7 分）计算：（m+2+） 18（7 分）解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来 19（7 分）某区对参加 2019 年中考的 3000 名初中毕业生进行了一次视力抽样调
6、查，绘制 出如下频数分布表和频数分布直方图 某区 2019 年初中毕业生视力抽样频数分布表 视力 x 频数/人 频率 4.0x4.3 50 0.25 4.3x4.6 30 0.15 4.6x4.9 60 0.30 4.9x5.2 a 0.25 5.2x5.5 10 b 请根据图表信息回答下列问题： （1）在频数分布表中，a 的值为 ，b 的值为 ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若视力在 4.9 以上（含 4.9）均为正常，根据以上信息估计全区初中毕业生中视力正 常的学生有多少人？ 20（8 分）在课外活动时间，小明、小华、小丽做“互相传球”游戏（球从一人随机传给 另一人），球从一人
7、传到另一人就记为一次传球现从小明开始传球 （1）经过三次传球后，求球仍传到小明处的概率； （2）经过四次传球后，下列说法：球仍传到小明处的可能性最大；球传到小华处 的可能性最大；球传到小华和小丽处的可能性一样大其中所有正确结论的序号 是 ABC 21（7 分）如图所示，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是点 E，F，且 BECF，求证：AD 是ABC 的角平分线 22（6 分）【阅读材料】 南京市地铁公司规定：自 2019 年 3 月 31 日起，普通成人持储值卡乘坐地铁出行，每个 自然月内，达到规定消费累计金额后的乘次，享受相应的折扣优惠（见图）地铁出行 消费累
8、计金额月底清零，次月重新累计 比如：李老师二月份无储值卡消费 260 元，若采用新规持储值卡消费，则需付费 150 0.95+500.9+600.8235.5 元 【解决问题】 甲、 乙两个成人二月份无储值卡乘坐地铁消费金额合计 300 元 （甲消费金额超过 150 元， 但不超过 200 元）若两人采用新规持储值卡消费，则共需付费 283.5 元求甲、乙二月 份乘坐地铁的消费金额各是多少元？ 23（9 分）甲、乙两艘快艇同时从 A 港口沿直线驶往 B 港口，甲快艇在整个航行的过程中 速度 v 海里/小时与航行时间 t 小时的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不含这一 点），乙快艇一直保持匀速
9、航行，两快艇同时到达 B 港口 （1）A、B 两港口之间的距离为 海里； （2）若甲快艇离 B 港口的距离为 s1海里，乙快艇离 B 港口的距离为 s2海里，请在图 中分别画出 s1、s2与 t 之间的函数图象 （3）在整个行驶过程中，航行多少小时时两快艇相距 5 海里？ 24（8 分）如图，有两座建筑物 AB 与 CD，从 A 测得建筑物顶部 D 的仰角为 16，在 BC 上有一点 E，点 E 到 B 的距离为 24 米，从 E 测得建筑物的顶部 A、D 的仰角分别为 37、45求建筑物 CD 的高度（参考数据：tan160.30，tan370.75） 25（9 分）已知二次函数 ymx22
10、mx（m 为常数，且 m0） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴有两个公共点 （2）将该函数的图象向左平移 2 个单位 平移后函数图象所对应的函数关系式为 ； 若原函数图象顶点为 A，平移后的函数图象顶点为 B，OAB 为直角三角形（O 为原 点），求 m 的值 26（10 分）如图，在ABCD 中，连接 AC，O 是ABC 的外接圆，O 交 AD 于点 E （1）求证 CECD； （2）若ACBDCE 求证 CD 与O 相切； 若O 的半径为 5，BC 长为 4，则 AE 27（10 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 AECF，连接 AF、
11、BE 交于点 G，连接 CE、DF 交于点 H （1）求证四边形 EGFH 为平行四边形 （2）提出问题： 在 AD、BC 边上是否存在点 E、F，使得四边形 EGFH 为矩形？小明从特殊到一般探究了 问题 【特殊化】 如图，若ABC90，AB2，BC6在 AD、BC 边上是否存在点 E、F，使得四 边形 EGFH 为矩形？若存在，求出此时 AE 的长度；若不存在，说明理由 【一般化】 如图，若ABC60，ABm，BCn在 AD、BC 边上是否存在点 E、F 使得四边 形 EGFH 为矩形？根据点 E、F 存在（或不存在）的可能情况，写出对应的 m、n 满足的 条件，存在时直接写出 AE 的长
12、度（用含 m、n 的代数式表示） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰分在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1【分析】此题考查的是 9 的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数 【解答】解：3， 故选：A 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0 的算术平 方根是 0 2【分析】结合选项分别进
13、行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法运算， 然后选择正确选项 【解答】解：A、a2和 a3不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、（a2）3a6，原式计算错误，故本选项错误； C、（ab2）3a3b6，原式计算错误，故本选项错误； D、a2 a 3a5，原式计算正确，故本选项正确 故选：D 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等知识，掌握 运算法则是解答本题的关键 3【分析】估算出与的范围，进而求出整数 a 的值 【解答】解：23，34， 又a，a 为整数， a 的值为 3 故选：B 【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用逼近法估算出与的范围是解题的
14、关 键 4【分析】根据反比例函数 y的图象经过点（1，3），可以求得 k 的值，然后根据反比 例函数的性质即可求得当1 时，y 的取值范围 【解答】解：反比例函数 y的图象经过点（1，3）， 3，得 k3， 反比例函数的解析式为 y， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小， 当 x1 时，y3， x1， y3， 又x1 时，反比例函数的图象在第三象限， y0， 当 x1 时，y 的取值范围时3y0， 故选：C 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关 键是明确题意，利用反比例函数的性质解答 5【分析】利用旋转的性质得BABCAC，ABAB，ACAC，则可判
15、断 ABBACC，然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断 【解答】解：ABC 绕点 A 旋转任意角度得到ABC， BABCAC，ABAB，ACAC， ABBACC， 故选：A 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所 连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等 6【分析】对于 A 选项和 C 选项，先假设选项内容成立，再进行推理验证假设是否成立； B 选项连接 CG，G 为 RtEFC 的中点，CG2 是定值，当 A、G、C 三点共线时， AG 最短； D 选项过 C 点作 CHEF 于 H 点， 由于 EF4 是定值， 只要 CH 最大则EFC 面积
16、最大，求解 CH 最大值即可判断 【解答】解：A 选项：假设 AGEF，G 为 EF 中点， AEAF， 则ABEAFD，则 BEDF 假设不成立，所以 A 选项错误； B 选项：连接 CG，G 为 RtEFC 的中点， CG2 是定值 当 A、G、C 三点共线时，AG 最短， 此时 AC 是对角线为 4，所以 AG 最短为 42，B 选项正确； C 选项：假设 BE+DF4，则 BE+DFDC，则 BEFC， 假设不成立，所以 C 选项错误； D 选项：过 C 点作 CHEF 于 H 点，由于 EF4 是定值，只要 CH 最大则EFC 面积最 大 CHCG， 当 CHCG 时，EFC 面积最
17、大为424所以 D 选项错误 故选：B 【点评】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是从 所给选项入手逐一排除 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直分不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 7【分析】首先求出任意两个数的积是多少，然后根据有理数的大小比较法则比较即可 【解答】解：（3）412，（3）（2）6，（3）515； 4（2）8，4520，（2）510， 1512108620， 在3、4、2、5 四个数中，任意两个数之积的最小
18、值为15 故答案为：15 【点评】此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，要熟练掌握 8【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：用科学记数法表示 92500 是 9.25104 故答案为：9.25104 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 9【分析】先根据分式有意义的
19、条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可 【解答】解：代数式有意义， x10，解得 x1 故答案为：x1 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为 0 10【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可 【解答】解：原式2+ 2+ 3 故答案为 3 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 11 【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出 值 【解答】解：依
20、题意得：x1+x2m，x1x22 所以 x1+x2x1x2m（2）6 所以 m4 故答案是：4 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c0（a0） 的根与系数的关系为：x1+x2，x1 x 2 12 【分析】 将 （m， y1） ， （m+1， y2） 分别代入函数 ykx+b， 可得 y1mk+b， y2k （m+1） +b，再根据 y1y23，即可得到 k 的值 【解答】解：将（m，y1），（m+1，y2）分别代入函数 ykx+b，可得 y1mk+b，y2k（m+1）+b， y1y23， mk+bk（m+1）b3， k3， 故答案为：3 【点评】本题考查
21、了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 ykx+b，（k0，且 k， b 为常数）的图象是一条直线直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ykx+b 13【分析】根据中位数、众数、平均数和极差的概念分别进行解答，即可得出答案 【解答】解：共有 40 名同学，最中间的数是第 20 和 21 个数的平均数， 成绩的中位数在 80x90， 故正确； 成绩在 80x90 最多，共有 16 人， 成绩的众数在 80x90， 故正确； 这 40 名同学的平均成绩不能计算，故不正确； 成绩的极差可能为 1006040，故正确； 故答案为： 【点评】本题考查了中位数、众数、平均数和极差的概念，中位数是将一组数据
22、从小到 大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组 数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地 将这组数据最中间的那个数当作中位数 14【分析】根据题意得出旋转后所得图形与正六边形 ABCDEF 重叠部分是一个菱形，由 边长为 2 的两个等边三角形组成，由三角形面积公式即可得出结果 【解答】解：如图所示： 将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 绕顶点 A 顺时针旋转 60， 则旋转后所得图形与正六边形 ABCDEF 重叠部分是一个菱形，由边长为 2 的两个等边三 角形组成， 重叠部分的面积222； 故答案为：2 【点评】本题
23、考查了正多边形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质以及三角形面积 公式；熟练掌握旋转的性质，熟记正六边形的性质是解题关键 15【分析】连接 CF，根据圆内接四边形对角互补可得CFECFB90，因为 cos CBFcosAEB，在 RtBFC 中，利用锐角三角函数即可得出 BF 的长 【解答】解：如图，连接 CF， 在矩形 ABCD 中，ADC90，A90 CED 的外接圆与 BE 交于点 F， CFE+ADC180， CFECFB90， AB4，BCAD6，E 为 AD 的中点， BE， cosAEB， ADBC， AEBCBF， cosCBF， BF3.6 故答案为：3.6 【点评】本题考查
24、圆内接四边形的性质，锐角三角函数的定义解题的关键是掌握圆内 接四边形对角互补的性质 16【分析】连接 OA、OB，作 BDAC 于 D，由勾股定理的逆定理证出OAB 是直角三 角形，AOB90，由圆周角定理得出ACBAOB45，得出BCD 是等腰 直角三角形，得 BDCD，BCBD，设 BDCDx，则 AD8x，在 RtABD 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 x42，即可得出 BC 的长 【解答】解：如图所示：连接 OA、OB，作 BDAC 于 D， OAOB6，AB6， OA2+OB2AB2， OAB 是直角三角形，AOB90， ACBAOB45， BDAC， BCD 是等腰直角三角形，
25、 BDCD，BCBD， 设 BDCDx，则 AD8x， 在 RtABD 中，由勾股定理得：x2+（8x）2（6）2， 解得：x42， BC（42）82； 故答案为：82 【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判 定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理，由勾股定理得出方程是解题关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利
26、用除法法则变 形，约分即可得到结果 【解答】解：原式2（m1） 2m2 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可 【解答】解： 由得：x3， 由得：x3， 不等式组的解集为：3x3， 在数轴上表示不等式组的解集为： 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组 的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中 19【分析】（1）求出总人数即可解决问题 （2）根据第四组人数画出直方图即可 （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可 【解答
27、】解：（1）总人数500.25200（人）， a2000.2550（人）， b0.05， 故答案为 50，0.05 （2）直方图如图所示： （3）3000900（人）， 估计全区初中毕业生中视力正常的学生有 900 人 【点评】本题考查频数分布表，频数分布直方图，样本估计总体的思想等知识，解题的 关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 20【分析】（1）根据题意画出树状图，得出所有的可能情况数，找出球传到甲处的情况 数，即可求出所求的概率； （2）根据题意画出树状图，得出所有的可能情况数，即可求出所求的概率 【解答】解：（1）设小明、小华、小丽分别记为甲、乙、丙； 画树状图如下： 由树状图知
28、，从甲开始，经过三次传球后共有 8 种等可能结果，其中球传到甲处的有 2 种结果， 所以球传到甲处的概率为； （2）由树状图知， 从甲开始，经过四次传球后共有 16 种等可能结果，其中球传到甲处的有 6 种结果， 所以球传到甲处的概率为若从甲开始踢，则球传到甲处的概率为； 传到乙的概率均为，传到丙的概率均为， 所以若经过四次传球后，小明处的可能性最大，球传到小华和小丽处的可能性一样大 故答案为：A 【点评】此题考查了列表法与画树状图，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况 数之比 21【分析】首先可证明 RtBDERtDCF（HL），再根据三角形角平分线的逆定理求 得 AD 是ABC 的角平分
29、线即可 【解答】证明：DEAB，DFAC， BDEDCF 是直角三角形 在 RtBDE 与 RtDCF 中， ， RtBDERtDCF（HL）， DEDF， 又DEAB，DFAC， AD 是ABC 的角平分线 【点评】 此题主要考查了角平分线的性质与判定， 直角三角形全等的判定 要证边相等， 想办法证明边所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用 22 【分析】 设甲二月份乘坐地铁的消费金额是 x 元， 乙二月份乘坐地铁的消费金额是 y 元， 根据甲、乙两个成人二月份无储值卡乘坐地铁消费金额及采用新规持储值卡消费金额， 即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论 【
30、解答】解：设甲二月份乘坐地铁的消费金额是 x 元，乙二月份乘坐地铁的消费金额是 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：甲二月份乘坐地铁的消费金额是 180 元，乙二月份乘坐地铁的消费金额是 120 元 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组 是解题的关键 23【分析】（1）根据图可知甲快艇以 30 海里/时行驶了 1 小时，以 60 海里/时行驶了 2 小时，根据“路程速度时间”即可求解； （2）根据题意可知 s1与 t 之间是分段函数，s2与 t 是正比例函数，据此解答即可； （3）根据 s1、s2与 t 之间的函数关系式列方程解答即可 【解答】解：（1
31、）301+60（31）150（海里）； （2）如图所示： （3）根据题意可知： ，s250t； 两快艇相距 5 海里时， 50t30t5 或 50t（60t30）5， 解得 t或， 所以在整个行驶过程中，航行小时或小时时两快艇相距 5 海里 【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数图象实际意义，应用了用方程 思想解决函数问题 24【分析】作 AFCD 于 F，设 CDx 米，根据正切的定义求出 AB，用 x 表示出 AF、 DF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案 【解答】解：作 AFCD 于 F， 设 CDx 米， DEC45， ECCDx 米， 在 RtABE 中，ABBEt
32、anAEB18， 则 CF18， DFx18， 在 RtAFD 中，tanDAF，即0.3， 解得，x36， 答：建筑物 CD 的高度约为 36 米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟 记锐角三角函数的定义是解题的关键 25【分析】（1）由 b24ac（2m）24m04m2，且 m0 可得答案； （2）根据函数平移的规律解答即可； 根据平移前后抛物线解析式求得点 A，B 坐标，据此得出 OAOB，从而知AOB 90，再根据勾股定理知 2（1+m2）4，解之可得 【解答】解：（1）由题意知，b24ac（2m）24m04m2， m0， b24ac4m20，
33、不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴有两个公共点； （2）将该函数的图象向左平移 2 个单位，平移后函数图象所对应的函数关系式为 y m（x+2）22m（x+2）， 整理，得：ym（x+1）2m； ymx22mxm（x1）2m， 原函数图象的顶点 A 的坐标为（1，m）， 又平移后函数图象的顶点 B 的坐标为（1，m），点 O 的坐标为（0，0）， OAOB， AOB90， OA2OB21+m2，AB24， 2（1+m2）4， 解得 m1 故答案为：ym（x+1）2m 【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线与 x 轴的交点问题、函 数图象平移规律、直角三角形的判定与勾股定
34、理等知识点 26【分析】（1）利用平行四边形的性质得到BD，利用圆内接四边形的性质证得 DECB，即可得到DECD，进一步可推出结论； （2）连接 CO 并延长，交O 于 M，连接 EM，先证明DCEDAC，进一步证明 MDCE，即可证明DCM90，可推出结论； 先证明 COAB，推出ABC 为等腰三角形，设 CM 与O 交于点 H，过点 O 作 ON BC 于点 N，求出 ON 的长度，再证CON 与CBH 相似，求出 AB 的长度，最后证 CAB 与CDE 相似，通过相似比求出 DE 的长度，进一步求出 AE 的长度 【解答】解：（1）四边形 ABCD 为平行四边形， BD， DEC+AE
35、C90，B+AEC90， DECB， DECD， CECD； （2）如图 1，连接 CO 并延长，交O 于 M，连接 EM， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，ADBC， DACACB， ACBDCE， DACDCE， DACM， DCEM， CM 为O 直径， MEC90， M+ECM90， DCE+ECM90， CDCM， CD 与O 相切； 如图 2，设 CM 与O 交于点 H， 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD，ABCD， BHCDCM90， CHAB， AHBH， CACB， 过点 O 作 ONBC 于点 N， 则 CNBNCB2， 在 RtONC 中， OH ，
36、 OCNBCH，ONCCHB90， CONCBH， ，即， BH4， AB2BH8， CDCE8， 1，DCEACB， DCEACB， ， ， DE， ADBC4， AEADDE， 故答案为： 【点评】 本题考查了平行四边形的性质， 切线的判定定理， 相似三角形的判定与性质等， 解答本题的关键是能够灵活运用平行四边形的性质 27【分析】（1）由条件可证明四边形 AECF 和四边形 EDFB 为平行四边形，可得到 EH GF，GEFH，可证明四边形 EGFH 为平行四边形； （2）由矩形的性质得出 ABCD2，ABCADCBAD90，证出ABE DEC，得出ABEDEC，得出，即可求出 AE 的
37、长； （3）作 APAD 于 P，CQAD 于 Q，则 BPCQ，PQBCAD，由直角三角形的性 质得出 APABm，BPCQAPm，设 AEx，则 PEx+m，AQn xm，同（2）得：BPEEQC，得出，得出方程整理得：x2+（mn） x+m20， 由判别式n23m2， 当0， 即 n23m20 时， 方程有解， 得出 m、 n 满足的条件和 AE 的长 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，ADBC， AECF， DEBF， 四边形 AECF、四边形 EDFB 为平行四边形， EHGF，GEFH， 四边形 EGFH 为平行四边形； （2）解：存在，如图所示，理由
38、如下： 四边形 ABCD 是矩形， ABCD2，ABCADCBAD90， ABE+AEB90， 四边形 EGFH 为矩形时，BEC90， 则AEB+DEC90， ABEDEC， ABEDEC， ，即， 解得：AE3； 即在 AD、BC 边上存在点 E、F，使得四边形 EGFH 为矩形，此时 AE 的长度为 3； （3）解：存在，如图所示，理由如下： 作 APAD 于 P，CQAD 于 Q， 则 BPCQ，PQBCAD， APDQ， ADBC， PABABC60， ABP30， APABm， BPCQAPm， 设 AEx，则 PEx+m，AQnxm， 同（2）得：BPEEQC， ，即， 整理得：x2+（mn）x+m2 0， （mn）24（m2）n23m2， 当0，即 n23m20 时，方程有解， 即 m、n 满足 nm 时， 在 AD、BC 边上存在点 E、F 使得四边形 EGFH 为矩形， 此时 AE 【点评】 本题是四边形综合题目， 考查了平行四边形的判定和性质、 矩形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法以及判别式的运用等知识；本题综合性 强，证明三角形相似是解决问题的关键
