1、绝密启用前绝密启用前 2020 年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1抛物线 y2（x2）21 的顶点坐标是（ ） A（0，1） B（2，1） C（2，1） D（0，1） 2如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数 与方差 S2： 甲 乙 丙 丁 平均数 （cm） 563 560 563 560
2、方差 S2（cm2） 6.5 6.5 17.5 14.5 根据表中数据， 要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛， 应该选择 （ ） A甲 B乙 C丙 D丁 3甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一 项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ） A B C D 4如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB，D 为圆周上一点，若的度数为 50，则ADC 的度数为（ ） A20 B25 C30 D50 5若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围 是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 且 k0 Dk
3、1 且 k0 6如图，ABC 中，AD 是中线，BC8，BDAC，则线段 AC 的长为（ ） A4 B4 C6 D4 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 7已知一组数据：4，2，5，0，3这组数据的中位数是 8已知线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，且 a、b 的长度分别为 2cm 和 8cm，则 c 的长度为 cm 9一元二次方程 2x2+3x+10 的两个根之和为 10已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面积等于 cm2 11若 m 是方程 2x23x10 的一个根，则 6m29m+201
4、6 的值为 12已知二次函数 yax2+bx+c 中，自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表： x 2 0 2 3 y 8 0 0 3 当 x1 时，y 13 已知正六边形的边长为 4cm， 分别以它的三个不相邻的顶点为圆心， 边长为半径画弧 （如 图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留 ） 14如图，在ABC 中，DEBC，则 15如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A、B、C 都在小正方形的顶点上，则ABC 的 正切值为 16如图，RtABC 中，ACB90，ACBC4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD， 过点 C 作 CHBD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小
5、值为 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 11 小题，共小题，共 102 分）分） 17计算： sin45+2cos30tan60 18雾霾天气严重影响市民的生活质量在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组 同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民并对调查结果进行了整 理绘制了如图不完整的统计图表观察分析并回答下列问题 （1）本次被调查的市民共有多少人？ （2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度 数； （3）若该市有 100 万人口，请估计持有 A、B 两组主要成因的市民有多少人？ 组别 雾霾天气的主要成因 百分比 A
6、工业污染 45% B 汽车尾气排放 m C 炉烟气排放 15% D 其他（滥砍滥伐等） n 19把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别标上 1、2、3，将这两组 卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张 （1）请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率； （2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则 乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由 20周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对 岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸 垂直，并在
7、B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线 已知： CBAD， EDAD， 测得 BC1m， DE1.5m， BD8.5m 测量示意图如图所示 请 根据相关测量信息，求河宽 AB 21如图，点 A、B、C 在O 上，用无刻度的直尺画图 （1）在图中，画一个与B 互补的圆周角； （2）在图中，画一个与B 互余的圆周角 22某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下 列数据：如图，从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30，斜坡 AE 的长为 16 米，地面 B 点（与 E 点在同一个水平线）距停车场顶
8、部 C 点（A、C、B 在同一条直线上且与水平 线垂直） 2米 试求该校地下停车场的高度AC及限高CD （结果精确到0.1米，1.732） 23如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不 考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关 系 y5x2+20x，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 24如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O 交 B
9、C 于点 D过点 D 作 EFAC， 垂足为 E，且交 AB 的延长线于点 F （1）求证：EF 是O 的切线； （2）已知 AB4，AE3求 BF 的长 25如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADCACB90，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2ABAD； （2）求证：CEAD； （3）若 AD4，AB6，求的值 26 （1）问题提出：苏科版数学九年级（上册）习题 2.1 有这样一道练习题：如图， BD、CE 是ABC 的高，M 是 BC 的中点，点 B、C、D、E 是否在以点 M 为圆心的同一 个圆上？为什么？ 在解决此题时，若想要说明“点 B、C、D、E 在以点 M 为
10、圆心的同一个圆上”，在连接 MD、ME 的基础上，只需证明 （2） 初步思考： 如图， BD、 CE 是锐角ABC 的高， 连接 DE 求证： ADEABC， 小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明（请你根据小敏 的思路完成证明过程） （3）推广运用：如图，BD、CE、AF 是锐角ABC 的高，三条高的交点 G 叫做ABC 的垂心，连接 DE、EF、FD，求证：点 G 是DEF 的内心 27如图 1，已知抛物线 yx2+bx+c 交 y 轴于点 A（0，4），交 x 轴于点 B（4，0），点 P 是抛物线上一动点，试过点 P 作 x 轴的垂线 1，再过点 A 作 1 的垂
11、线，垂足为 Q，连接 AP （1）求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标； （2）若AQPAOC，求点 P 的横坐标； （3）如图 2，当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对 应点为点 Q，请直接写出当点 Q落在坐标轴上时点 P 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1抛物线 y2（x2）21 的顶点坐标是（ ） A（0，1） B（2，1） C（2，1） D（0，1） 【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标 【解答】解：顶点式 ya（x
12、h）2+k，顶点坐标是（h，k）， y2（x2）21 的顶点坐标是（2，1） 故选：C 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y a（xh）2+k 中，对称轴为 xh，顶点坐标为（h，k） 2如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数 与方差 S2： 甲 乙 丙 丁 平均数 （cm） 563 560 563 560 方差 S2（cm2） 6.5 6.5 17.5 14.5 根据表中数据， 要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛， 应该选择 （ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平
13、均数的意义即可求 出答案 【解答】解：S 甲 26.5，S 乙 26.5，S 丙 217.5，S 丁 214.5， S 甲 2S 乙 2S 丁 2S 丙 2， 563，560， ， 从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲； 故选：A 【点评】此题考查了平均数和方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性 越大，反之也成立 3甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一 项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ） A B C D 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的 情况数，即可求出所求的概率
14、 【解答】解：可能出现的结果 甲 打扫社区卫生 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 乙 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 打扫社区卫生 由上表可知，可能的结果共有 4 种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社 会调查”的结果有 1 种， 则两人同时选择“参加社会调查”的概率为， 故选：B 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法或树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以 上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验 4如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB，D 为圆周上一点，若的度数为 50，
15、则ADC 的度数为（ ） A20 B25 C30 D50 【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到BOC50，利用垂径定理得 到，然后根据圆周角定理计算ADC 的度数 【解答】解：的度数为 50， BOC50， 半径 OCAB， ， ADCBOC25 故选：B 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等也考查了垂径 定理和圆周角定理 5若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围 是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 且 k0 Dk1 且
16、k0 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出不等式，且 二次项系数不为 0，即可求出 k 的范围 【解答】解：一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根， b24ac4+4k0，且 k0， 解得：k1 且 k0 故选：D 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相 等的实数根； 根的判别式的值等于 0， 方程有两个相等的实数根； 根的判别式的值小于 0， 方程没有实数根 6如图，ABC 中，AD 是中线，BC8，BDAC，则线段 AC 的长为（ ） A4 B4 C6 D4 【分析】 根据 AD 是中线， 得出 CD4
17、， 再根据 AA 证出CBACAD， 得出， 求出 AC 即可 【解答】解：BC8， CD4， 在CBA 和CAD 中， BDAC，CC， CBACAD， ， AC2CDBC4832， AC4； 故选：B 【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质，关键是根据 AA 证出CBACAD，是 一道基础题 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 7已知一组数据：4，2，5，0，3这组数据的中位数是 3 【分析】要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数（或最中间的两 个数的平均数）即可 【解答】解：从小到大排列此数据为
18、：0，2，3，4，5，第 3 位是 3，则这组数据的中位 数是 3 故答案为：3 【点评】考查了中位数的知识，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇 数和偶数个来确定中位数如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数 个，则找中间两位数的平均数 8已知线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，且 a、b 的长度分别为 2cm 和 8cm，则 c 的长度为 4 cm 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条 线段的乘积 所以 c228，解得 c4（线段是正数，负值舍去），
19、故答案为：4 【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数 9一元二次方程 2x2+3x+10 的两个根之和为 【分析】设方程的两根分别为 x1、x2，根据根与系数的关系可得出 x1+x2， 此题得解 【解答】解：设方程的两根分别为 x1、x2， a2，b3，c1， x1+x2 故答案为： 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题 的关键 10已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面积等于 24 cm2 【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算 【解答】解：圆锥的侧面积24624， 故答案为：24 【点评】本题考查
20、的是圆锥的计算，圆锥的侧面积：S 侧 2rlrl 11若 m 是方程 2x23x10 的一个根，则 6m29m+2016 的值为 2019 【分析】把 xm 代入方程，求出 2m23m1，再变形后代入，即可求出答案 【解答】解：m 是方程 2x23x10 的一个根， 代入得：2m23m10， 2m23m1， 6m29m+20163（2m23m）+201631+20162019， 故答案为：2019 【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出 2m23m1 是解此题 的关键 12已知二次函数 yax2+bx+c 中，自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表： x 2 0 2 3
21、y 8 0 0 3 当 x1 时，y 3 【分析】先确定出抛物线的对称轴，然后利用对称性求解即可 【解答】解：依据表格可知抛物线的对称轴为 x1， 当 x1 时与 x3 时函数值相同， 当 x1 时，y3 故答案为：3 【点评】 本题主要考查的是二次函数的性质， 利用二次函数的对称性求解是解题的关键 13 已知正六边形的边长为 4cm， 分别以它的三个不相邻的顶点为圆心， 边长为半径画弧 （如 图），则所得到的三条弧的长度之和为 8 cm（结果保留 ） 【分析】先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式 【解答】解：方法一： 先求出正六边形的每一个内角120， 所得到的三条弧的长度之和38
22、（cm）； 方法二：先求出正六边形的每一个外角为 60， 得正六边形的每一个内角 120， 每条弧的度数为 120， 三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为 8cm 故答案为：8 【点评】本题考查了弧长的计算和正多边形和圆与圆有关的计算，注意圆与多边形的 结合 14如图，在ABC 中，DEBC，则 【分析】由 DEBC 可得出ADEB，AEDC，进而可得出ADEABC， 利用相似三角形的性质可得出，进而可得出，此题得解 【解答】解：DEBC， ADEB，AEDC， ADEABC， （）2（）， 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的 平方是解
23、题的关键 15如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A、B、C 都在小正方形的顶点上，则ABC 的 正切值为 1 【分析】根据勾股定理求出ABC 的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出ACB 90，再解直角三角形求出即可 【解答】解： 如图：长方形 AEFM，连接 AC， 由勾股定理得：AB232+1210，BC222+125，AC222+125， AC2+BC2AB2，ACBC， 即ACB90， tanABC1， 故答案为：1 【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出ACB90 是解此题的关键 16如图，RtABC 中，ACB90，ACBC4，D 为线段 AC 上一
24、动点，连接 BD， 过点 C 作 CHBD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为 22 【分析】取 BC 中点 G，连接 HG，AG，由直角三角形的性质可得 HGCGBGBC 2，由勾股定理可求 AG2，由三角形的三边关系可得 AHAGHG，当点 H 在线 段 AG 上时，可求 AH 的最小值 【解答】解：如图，取 BC 中点 G，连接 HG，AG， CHDB，点 G 是 BC 中点 HGCGBGBC2， 在 RtACG 中，AG2 在AHG 中，AHAGHG， 即当点 H 在线段 AG 上时，AH 最小值为 22， 故答案为：22 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，
25、勾股定理，确定使 AH 值最小时点 H 的位置是本题的关键 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 11 小题，共小题，共 102 分）分） 17计算： sin45+2cos30tan60 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值 【解答】解：原式+21 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18雾霾天气严重影响市民的生活质量在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组 同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民并对调查结果进行了整 理绘制了如图不完整的统计图表观察分析并回答下列问题 （1）本次被调查的市民共有多少人？ （2）分别补全条形统计图
26、和扇形统计图，并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度 数； （3）若该市有 100 万人口，请估计持有 A、B 两组主要成因的市民有多少人？ 组别 雾霾天气的主要成因 百分比 A 工业污染 45% B 汽车尾气排放 m C 炉烟气排放 15% D 其他（滥砍滥伐等） n 【分析】（1）根据条形图和扇形图信息，得到 A 组人数和所占百分比，求出调查的市民 的人数； （2）根据 B 组人数求出 B 组百分比，得到 D 组百分比，根据扇形圆心角的度数百分 比360求出扇形圆心角的度数，根据所求信息补全条形统计图和扇形统计图； （3）根据持有 A、B 两组主要成因的市民百分比之和求出答案 【
27、解答】解：（1）从条形图和扇形图可知，A 组人数为 90 人，占 45%， 本次被调查的市民共有：9045%200 人； （2）6020030%， 30%360108， 区域 B 所对应的扇形圆心角的度数为：108， 145%30%15%10%， D 组人数为：20010%20 人， （3）100 万（45%+30%）75 万， 若该市有 100 万人口，持有 A、B 两组主要成因的市民有 75 万人 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，正确获取图中信息并准确进行 计算是解题的关键 19把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别标上 1、2、3，将这两组 卡片
28、分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张 （1）请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率； （2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则 乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由 【分析】（1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概 率公式求出该事件的概率； （2）根据（1）中所求，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案 【解答】解：（1）画树状图得： ， 由上图可知，所有等可能结果共有 9 种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有 4 种 P（取出的两张卡片数字之和为奇数） （2）不公平，理由如下： 由（1）可得出：取出
29、的两张卡片数字之和为偶数的概率为： ， 这个游戏不公平 【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概 率的常用方法用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 20周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对 岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸 垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线 已知： CBAD， EDAD， 测得 BC1m， DE1.5m， BD8.5m 测量示意图如图所示 请 根据相关测量信息，求
30、河宽 AB 【分析】由 BCDE，可得，构建方程即可解决问题 【解答】解：BCDE， ABCADE， ， ， AB17（m）， 经检验：AB17 是分式方程的解， 答：河宽 AB 的长为 17 米 【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题，属于中考常考题型 21如图，点 A、B、C 在O 上，用无刻度的直尺画图 （1）在图中，画一个与B 互补的圆周角； （2）在图中，画一个与B 互余的圆周角 【分析】（1）根据四点共圆进行画图即可； （2）根据 90的圆周角所对的弦是直径进行画图即可 【解答】解：（1）如图 1，P 即为所求： （2）如图 2
31、，CBQ 即为所求 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图， 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图 形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作熟练掌握 圆周角定理是解决此题的关键 22某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下 列数据：如图，从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30，斜坡 AE 的长为 16 米，地面 B 点（与 E 点在同一个水平线）距停车场顶部 C 点（A、C、B 在同一条直线上且与水平 线垂直） 2米 试求该校地下停车场的高度AC及限高CD
32、 （结果精确到0.1米，1.732） 【分析】根据题意和正弦的定义求出 AB 的长，根据余弦的定义求出 CD 的长 【解答】解：由题意得，ABEB，CDAE， CDAEBA90， E30， ABAE8 米， BC2 米， ACABBC6 米， DCA90DAC30， CDACcosDCA66.9 米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角的概念、灵活运 用锐角三角函数的定义是解题的关键 23如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不 考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关 系 y5x2+20x，
33、请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令 y15 即可解答本题； （2）令 y0，代入题目中的函数解析式即可解答本题； （3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题 【解答】解：（1）当 y15 时， 155x2+20x， 解得，x11，x23， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是 1s 或 3s； （2）当 y0 时， 05x2+20x， 解得，x10，x
34、24， 404， 在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4s； （3）y5x2+20x5（x2）2+20， 当 x2 时，y 取得最大值，此时，y20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2s 时最大，最大高度是 20m 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质 解答 24如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D过点 D 作 EFAC， 垂足为 E，且交 AB 的延长线于点 F （1）求证：EF 是O 的切线； （2）已知 AB4，AE3求 BF 的长 【分析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得 BDCD，根据三角形的
35、中位线可 得 ODAC，所以得 ODEF，从而得结论； （2）证明ODFAEF，列比例式可得结论 【解答】（1）证明：连接 OD，AD， AB 是O 的直径， ADBC， ABAC， BDCD， OAOB， ODAC， EFAC， ODEF， EF 是O 的切线； （2）解：ODAE， ODFAEF， ， AB4，AE3， ， BF2 【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角 形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键 25如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADCACB90，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2ABA
36、D； （2）求证：CEAD； （3）若 AD4，AB6，求的值 【分析】（1）由 AC 平分DAB，ADCACB90，可证得ADCACB，然 后由相似三角形的对应边成比例，证得 AC2ABAD； （2）由 E 为 AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证 得 CEABAE，继而可证得DACECA，得到 CEAD； （3）易证得AFDCFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值 【解答】（1）证明：AC 平分DAB， DACCAB， ADCACB90， ADCACB， AD：ACAC：AB， AC2ABAD； （2）证明：E 为 AB 的中点， CEABAE， E
37、ACECA， DACCAB， DACECA， CEAD； （3）解：CEAD， AFDCFE， AD：CEAF：CF， CEAB， CE63， AD4， ， 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性 质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 26 （1）问题提出：苏科版数学九年级（上册）习题 2.1 有这样一道练习题：如图， BD、CE 是ABC 的高，M 是 BC 的中点，点 B、C、D、E 是否在以点 M 为圆心的同一 个圆上？为什么？ 在解决此题时，若想要说明“点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上”，在连接 MD、ME 的基础上，只需证
38、明 MEMDMBMC （2） 初步思考： 如图， BD、 CE 是锐角ABC 的高， 连接 DE 求证： ADEABC， 小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明（请你根据小敏 的思路完成证明过程） （3）推广运用：如图，BD、CE、AF 是锐角ABC 的高，三条高的交点 G 叫做ABC 的垂心，连接 DE、EF、FD，求证：点 G 是DEF 的内心 【分析】（1）要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等 （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证 MEMDMBMC，得 到四边形 BCDE 为圆内接四边形，故有对角互补 （3）根据内心定义，需证明 DG
39、、EG、FG 分别平分EDF、DEF、DFE由点 B、 C、D、E 四点共圆，可得同弧所对的圆周角CBDCED又因为BEGBFG 90，根据（2）易证点 B、F、G、E 也四点共圆，有同弧所对的圆周角FBGFEG， 等量代换有CEDFEG，同理可证其余两个内角的平分线 【解答】解：（1）根据圆的定义可知，当点 B、C、D、E 到点 M 距离相等时，即他们 在圆 M 上 故答案为：MEMDMBMC （2）证明：连接 MD、ME BD、CE 是ABC 的高 BDAC，CEAB BDCCEB90 M 为 BC 的中点 MEMDBCMBMC 点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上 ABCC
40、DE180 ADE+CDE180 ADEABC （3）证明：取 BG 中点 N，连接 EN、FN CE、AF 是ABC 的高 BEGBFG90 ENFNBGBNNG 点 B、F、G、E 在以点 N 为圆心的同一个圆上 FBGFEG 由（2）证得点 B、C、D、E 在同一个圆上 FBGCED FEGCED 同理可证：EFGAFD，EDGFDG 点 G 是DEF 的内心 【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形 对角互补，圆周角定理，内心的定义第（3）题解题关键是选取适当的四点证明共圆， 再利用圆周角定理证明角相等 27如图 1，已知抛物线 yx2+bx+c 交
41、 y 轴于点 A（0，4），交 x 轴于点 B（4，0），点 P 是抛物线上一动点，试过点 P 作 x 轴的垂线 1，再过点 A 作 1 的垂线，垂足为 Q，连接 AP （1）求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标； （2）若AQPAOC，求点 P 的横坐标； （3）如图 2，当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对 应点为点 Q，请直接写出当点 Q落在坐标轴上时点 P 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方 程，通过解一元二次方程得到 C 点坐标； （2）利用AQPAOC 得到 AQ4PQ，设 P（m，m2+
42、3m+4），所以 m4|4（ m2+3m+4|，然后解方程 4（m23m）m 和方程 4（m23m）m 得 P 点坐标； （3）设 P（m，m2+3m+4）（m），当点 Q落在 x 轴上，延长 QP 交 x 轴于 H， 如图 2，则 PQm23m，证明 RtAOQRtQHP，利用相似比得到 QB4m 12，则 OQ123m，在 RtAOQ中，利用勾股定理得到方程 42+（123m）2 m2， 然后解方程求出 m 得到此时 P 点坐标； 当点 Q落在 y 轴上， 易得点 A、 Q、 P、 Q 所组成的四边形为正方形，利用 PQPQ得到|m23m|m， 然后解方程 m23mm 和方程 m23mm
43、得此时 P 点坐标 【解答】解：（1）把 A（0，4），B（4，0）分别代入 yx2+bx+c 得， 解得， 抛物线解析式为 yx2+3x+4， 当 y0 时，x2+3x+40，解得 x11，x24， C（1，0）； 故答案为 yx2+3x+4；（1，0）； （2）AQPAOC， ， 4，即 AQ4PQ， 设 P（m，m2+3m+4）， m4|4（m2+3m+4|，即 4|m23m|m， 解方程 4（m23m）m 得 m10（舍去），m2 ，此时 P 点坐标为（，）； 解方程 4（m23m）m 得 m10（舍去），m2 ，此时 P 点坐标为（，）； 综上所述，点 P 的坐标为（，）或（，）；
44、（3）设 P（m，m2+3m+4）（m）， 当点 Q落在 x 轴上，延长 QP 交 x 轴于 H，如图 2， 则 PQ4（m2+3m+4）m23m， APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 Q， AQPAQP90，AQAQm，PQPQm23m， AQOQPH， RtAOQRtQHP， ，即，解得 QB4m12， OQm（4m12）123m， 在 RtAOQ中，42+（123m）2m2， 整理得 m29m+200，解得 m14，m25，此时 P 点坐标为（4，0）或（5，6）； 当点 Q落在 y 轴上，则点 A、Q、P、Q 所组成的四边形为正方形， PQAQ， 即|m23m|m， 解方程 m23mm 得 m10（舍去），m24，此时 P 点坐标为（4，0）； 解方程 m23mm 得 m10（舍去），m22，此时 P 点坐标为（2，6）， 综上所述，点 P 的坐标为（4，0）或（5，6）或（2，6） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次 函数的性质和折叠的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用相似三角形的性质 进行几何计算；理解坐标与图形性质会运用分类讨论的思想解决数学问题
