1、绝密启用前绝密启用前 2020 年江苏省无锡市宜兴市丁蜀镇陶都中学中考数学模拟试卷年江苏省无锡市宜兴市丁蜀镇陶都中学中考数学模拟试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1若 a，b，用含 a，b 的式子表示 ，则下列表示正确的是（ ） Aab2 B2ab Cab Da2b 2学生作业本每页大约为 7.5 忽米（1 厘米1000 忽米），请用科学记数法将 7.5 忽米记为 米，则正确的记法为（ ） A7
2、.5105米 B0.75106米 C0.75104米 D7.5105米 3在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击 10 次的成绩（单位：环）如图，在这三人中，此 次射击成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D无法判断 4已知等腰三角形的一边长为 3cm，且它的周长为 12cm，则它的底边长为（ ） A3cm B6cm C9cm D3cm 或 6cm 5点 A（x1，y1）、B（x2，y2）都在直线 ykx+2（k0）上，且 x1x2则 y1、y2的大小关 系是（ ） Ay1 y2 By1 y2 Cy1 y2 Dy1 y2 6顺次连接四边形 ABCD 各边中点得到的四边形是菱形，则四边形 ABCD
3、 的（ ） A对角线互相垂直且每一条对角线平分一组 B对角线相等 C对角线互相垂直 D对角线互相垂直且相等 7如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E 是 OA 的中点，连接 BE 并 延长交 AD 于点 F， SAEF4， 则下列结论： FD2AF； SBCE36； SABE12； AEFACD，其中一定正确的是（ ） A B C D 8 如图， 四边形 ABCD 各边与O 相切， AB10， BC7， CD8， 则 AD 的长度为 （ ） A8 B9 C10 D11 9如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 是 AB 边的中点，过 D 作 DEBC 于点 E
4、， 点 P 是边 BC 上的一个动点，AP 与 CD 相交于点 Q当 AP+PD 的值最小时，AQ 与 PQ 之间的数量关系是（ ） AAQPQ BAQ3PQ CAQPQ DAQ4PQ 10如图，在直角ABC 中，C90，BC3，AC4，D、E 分别是 AC、BC 上的一点， 且 DE3若以 DE 为直径的圆与斜边 AB 相交于 M、N，则 MN 的最大值为（ ） A B2 C D 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 11函数 y的自变量 x 的取值范围是 12分解因式：3x23y2 13若反比例函数的图象经过第一、三象限，则 k 的取
5、值范围是 14圆锥的底面半径是 4cm，母线长是 5cm，则圆锥的侧面积等于 cm2 15如图，在反比例函数图象中，AOB 是等边三角形，点 A 在双曲线的一支上，将AOB 绕点 O 顺时针旋转 （0360 ），使点 A 仍在双曲线上，则 16一个正多边形每一个外角为 36，则这个多边形的内角和为 17已知一张三角形纸片 ABC（如图甲），其中 ABAC将纸片沿过点 B 的直线折叠，使 点 C 落到 AB 边上的 E 点处，折痕为 BD（如图乙）再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点 A恰好与点D重合， 折痕为EF （如图丙） 原三角形纸片ABC中， ABC的大小为 18矩形纸片 ABCD 中，A
6、B3cm，BC4cm，现将纸片折叠压平，使 A 与 C 重合，设折 痕为 EF，则重叠部分AEF 的面积等于 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 84 分）分） 19（8 分）计算： （1）； （2） 20（8 分）（1）解方程：x2+4x10； （2）解不等式组 21（6 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E、B、D、F 在同一直线上，且 BEDF求证：AECF 22（8 分）有 A、B 两个口袋，A 口袋中装有两个分别标有数字 2，3 的小球；B 口袋中装 有三个分别标有数字1，4，5 的小球小明先从 A 口袋中随机取出一个小球，用 m 表示所取球上的数字
7、， 再从 B 口袋中随机取出两个小球， 用 n 表示所取球上的数字之和 （1）用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果； （2）求的值是整数的概率 23（8 分）我省有关部门要求各中小学要把“阳光体育”写入课表，为了响应这一号召， 某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进 行了随机抽样调查，从而得到一组数据，如图 1 是根据这组数据绘制的条形统计图，请 结合统计图回答下列问题： （1）该校对多少名学生进行了抽样调查？ （2）本次抽样调查中，最喜欢足球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？ （3）若该校九年级共有 400 名学生，图 2
8、是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百 分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为多少？ 24（8 分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各 50 盆售后统计，盆景 的平均每盆利润是 160 元，花卉的平均每盆利润是 19 元调研发现： 盆景每增加 1 盆，盆景的平均每盆利润减少 2 元；每减少 1 盆，盆景的平均每盆利润 增加 2 元； 花卉的平均每盆利润始终不变 小明计划第二期培植盆景与花卉共 100 盆，设培植的盆景比第一期增加 x 盆，第二期盆 景与花卉售完后的利润分别为 W1，W2（单位：元） （1）用含 x 的代数式分别表示 W1，W2； （2）当
9、 x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W 最大，最大总利 润是多少？ 25（10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交线段 BC，AC 于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为 F，线段 FD，AB 的延长线相交于点 G （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 CF1，DF，求图中阴影部分的面积 26（8 分）海岛 A 的周围 8 nmile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得 海岛 A 位于北偏东 67， 航行 12nmlie 到达 C 点， 又测得小岛 A 在北偏东 45方向上 如 果渔船不改变航线继续向东航行， 那么
10、它有没有触礁的危险？请说明理由 （参考数据： sin67，cos67，tan67 ） 27 （10 分） 如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点， 且 B 点的坐标为 （3， 0） ， 经过 A 点的直线交抛物线于点 D（2，3） （1）求抛物线的解析式和直线 AD 的解析式； （2）过 x 轴上的点（a，0）作直线 EFAD，交抛物线于点 F，是否存在实数 a，使得 以 A、D、E、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的 a；如果不 存在，请说明理由 28（10 分）如图，已知：在ABC 中，A90，ABAC1，P 是 AC 上不与 A、C 重合的一动
11、点，PQBC 于 Q，QRAB 于 R （1）求证：PQCQ； （2） 设 CP 的长为 x， QR 的长为 y， 求 y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围， 并在平面直角坐标系作出函数图象 （3）PR 能否平行于 BC？如果能，试求出 x 的值；若不能，请简述理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1【分析】利用二次根式性质判断即可 【解答】解：a，b， ab， 故选：C 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键 2【分析】小于 1 的正数也可以利用科学记数
12、法表示，一般形式为 a10n，与较大数的 科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前 面的 0 的个数所决定 【解答】解：7.5 忽米用科学记数法表示 7.5105米 故选：D 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案 【解答】解：根据统计图波动情况来看，此次射击成绩最稳定的是乙，波动比较小，比 较稳定 故选：B 【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大， 表明这组
13、数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这 组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 4【分析】分 3cm 是等腰三角形的腰或底边两种情况进行讨论即可 【解答】解：当 3cm 是等腰三角形的腰时，底边长12326cm， 3+36，不能构成三角形， 此种情况不存在； 当 3cm 是等腰三角形的底边时，腰长4.5cm 底为 3cm， 故选：A 【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等知识，解题的关键是学会 分类讨论，注意三角形三边要满足三边关系定理，属于中考常考题型 5【分析】根据直线系数 k0，可知 y 随 x 的增大而减小，x1x
14、2时，y1y2 【解答】解：直线 ykx+b 中 k0， 函数 y 随 x 的增大而减小， 当 x1x2时，y1y2 故选：C 【点评】本题主要考查的是一次函数的性质解答此题要熟知一次函数 ykx+b：当 k 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 6【分析】根据三角形的中位线定理得到 EHFG，EFFG，EFBD，要是四边形为 菱形，得出 EFEH，即可得到答案 【解答】解：E，F，G，H 分别是边 AD，DC，CB，AB 的中点， EFAC，EHAC，FGAC，FGAC，EFBD， EHFG，EFFG， 四边形 EFGH 是平行四边形， 一组邻边相等的四边
15、形是菱形， 若 ACBD，则四边形是菱形 故选：B 【点评】本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识 点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键答 7 【分析】 根据平行四边形的性质可得出 CE3AE， 由 AFBC 可得出AEFCEB， 根据相似三角形的性质可得出 BC3AF，进而可得出 DF2AF，结论正确； 根据相似三角形的性质结合 SAEF4，即可求出 SBCE9SAEF36，结论正确； 由ABE 和CBE 等高且 BE3AE，即可得出 SBCE3SABE，进而可得出 SABE 12，结论正确； 假设AEFACD，根据相似三角形的性质可得出AEFAC
16、D，进而可得出 BF CD，根据平行四边形的性质可得出 ABCD，由 AB、BF 不共线可得出假设不成立， 即 AEF 和ACD 不相似，结论错误综上即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， OAOC，ADBC，ADBC 点 E 是 OA 的中点， CE3AE AFBC， AEFCEB， 3， BC3AF， DF2AF，结论正确； AEFCEB，CE3AE， 32， SBCE9SAEF36，结论正确； ABE 和CBE 等高，且 BE3AE， SBCE3SABE， SABE12，结论正确； 假设AEFACD，则AEFACD， EFCD，即 BFCD ABCD， BF 和 AB
17、 共线 点 E 为 OA 的中点，即 BE 与 AB 不共线， 假设不成立，即 AEF 和ACD 不相似，结论错误 综上所述：正确的结论有 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，逐一分析四条结 论的正误是解题的关键 8【分析】根据切线长定理可得 AD+BCAB+CD，即可求 AD 的长度 【解答】解：如图，E，F，G，H 是切点 四边形 ABCD 各边与O 相切 AHAE，DHDG，CGCF，BEBF AH+DH+CF+BFAE+DG+CG+BE AD+BCCD+AB AB10，BC7，CD8 AD11 故选：D 【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定
18、理是解决问题的关键 9【分析】如图，作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AD 交 BC 于点 P，此时 PA+PD 最小作 DMBC 交 AC 于 M，交 PA 于 N，利用平行线的性质，证明 ANPN，利用全 等三角形证明 NQPQ，即可解决问题 【解答】 解： 如图， 作点 A 关于 BC 的对称点 A， 连接 AD 交 BC 于点 P， 此时 PA+PD 最小作 DMBC 交 AC 于 M，交 PA 于 N ACBDEB90， DEAC， ADDB， CEEB， DEACCA， DECA， ， DMBC，ADDB， AMMC，ANNP， DMBCCEEB，MNPC， MNPE，ND
19、PC， 在DNQ 和CPQ 中， ， DNQCPQ， NQPQ， ANNP， AQ3PQ 故选：B 【点评】本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定 理等知识，解题的关键是利用对称找到点 P 位置，熟练掌握平行线的性质，属于中考常 考题型 10【分析】根据题意有 C、O、G 三点在一条直线上 OG 最小，MN 最大，根据勾股定理 求得 AB，根据三角形面积求得 CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得 MN 的最大 值 【解答】解：取 DE 的中点 O，过 O 作 OGAB 于 G，连接 OC， 又CO1.5， 只有 C、O、G 三点一线时 G 到圆心 O 的距离最
20、小， 此时 OG 达到最小 MN 达到最大 作 CFAB 于 F， G 和 F 重合时，MN 有最大值， C90，BC3，AC4， AB5， ACBCABCF， CF， OG， MG， MN2MG， 故选：C 【点评】 本题考查了垂线段最短， 垂径定理， 勾股定理， 过 O 作 OGAB 于 G， 得出 C、 O、G 三点在一条直线上 OG 最小是解题的关键 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 11【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条 件是：分母不等于 0 【解答】解：根据题意知 32x0， 解得
21、：x， 故答案为：x 【点评】本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式 的分母不能为 0 12【分析】原式提取 3，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式3（x2y2）3（x+y）（xy）， 故答案为：3（x+y）（xy） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 13【分析】先根据反比例函数的性质列出关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围即可 【解答】解：反比例函数的图象经过第一、三象限， 14k0，解得 k 故答案为：k 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数 y（k0）的图象是双曲 线；当 k0
22、，双曲线的两支分别位于第一、第三象限是解答此题的关键 14【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形 的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可 【解答】解：这个圆锥的侧面积24520（cm2） 故答案为：20； 【点评】本题考查了圆锥的计算圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、 圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长 15【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解 【解答】解：根据反比例函数的轴对称性，A 点关于直线 yx 对称， OAB 是等边三角形， AOB60， AO 与直线 yx 的夹角是 1
23、5， 21530时点 A 落在双曲线上， 根据反比例函数的中心对称性， 点 A 旋转到直线 OA 上时，点 A 落在双曲线上， 此时 180， 根据反比例函数的轴对称性，继续旋转 30时，点 A 落在双曲线上， 此时 210； 故答案为：30、180、210 【点评】本题考查了反比例函数的综合运用，旋转的性质，等边三角形的性质关键是 通过旋转及双曲线的对称性得出结论 16【分析】本题首先根据多边形外角和定理，即任意多边形外角和为 360，可求出此正 多边形的边数为 10然后再根据三角形的内角和定理求出它的内角和 【解答】解：此正多边形每一个外角都为 36，3603610， 此正多边形的边数为
24、10 则这个多边形的内角和为（102）1801440 【点评】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是 360 17【分析】设Ax，根据翻折不变性可知AEDAx，CBEDA+EDA 2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题 【解答】解：设Ax，根据翻折不变性可知AEDAx，CBEDA+ EDA2x， ABAC， ABCC2x， A+ABC+C180， 5x180， x36， ABC72 故答案为 72 【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思 想思考问题，属于中考常考题型 18【分析】要求重叠部分AEF 的面积，选择 AF 作为底，
25、高就等于 AB 的长；而由折叠 可知AEFCEF，由平行得CEFAFE，代换后，可知 AEAF，问题转化为在 RtABE 中求 AE 【解答】解：设 AEx，由折叠可知，ECx，BE4x， 在 RtABE 中，AB2+BE2AE2，即 32+（4x）2x2， 解得：x 由折叠可知AEFCEF， ADBC， CEFAFE， AEFAFE，即 AEAF， SAEF AFAB3 故答案为： 【点评】本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属 于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对 应角相等 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题
26、，满分 84 分）分） 19【分析】（1）根据三角函数值、负整数指数的规定、绝对值性质和零指数幂的规定求 解可得； （2）先计算括号内分式的加法、将除法转化为乘法，再约分即可得 【解答】解：（1）原式2+3+11 +1+ 2+1； （2）原式 2a 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算 法则，也考查了三角函数值、负整数指数的规定、绝对值性质和零指数幂的规定 20 【分析】 （1）用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为 ax2+bx+c0（a0） 的形式； 方程两边同除以二次项系数， 使二次项系数为 1， 并把常数项移到方程右边； 方程两边同时加上一次
27、项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为 一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果 右边是一个负数，则判定此方程无实数解 （2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可得解 【解答】解：（1）x2+4x10， x2+4x1， x2+4x+41+4， （x+2）25， x+2， x2； （2） 解不等式得：x1， 解不等式得：x3 所以，不等式组的解集是：1x3 【点评】 考查了一元一次不等式组， 一元一次不等式组的解法： 解一元一次不等式组时， 一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表 示不等
28、式组的解集方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公 共部分解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到同时 考查了解一元二次方程配方法 21【分析】根据平行四边形的对边相等可得 ABCD，ABCD，再根据两直线平行，内 错角相等可得ABDCDB，然后求出ABECDF，再利用“边角边”证明ABE 和CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， ABDCDB， 180ABD180CDB， 即ABECDF， 在ABE 和CDF 中， ， ABECDF（SAS）， AECF 【点评】本题考查了全等三
29、角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟记性质与三角形 全等的判定方法求出全等的条件是解题的关键 22【分析】此题实际需要三步完成，所以采用树状图法比较简单要注意不重不漏的表示 出所有可能情况列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可 【解答】解：（1）用树状图表示取出的三个小球上的数字所有可能结果如下： 共有 12 种等可能的情况； （2）由树状图可知，所有可能的值分别为： ， 共有 12 种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中的值是整数的情况有 6 种 所以的值是整数的概率 P（10 分） 【点评】此题考查的是用树状图法求概率树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能 的结果，适合
30、两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情 况数之比 23【分析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加可得答案； （2）根据表中的数据计算可得答案； （3）用样本估计总体，按比例计算可得 【解答】解：（1）4810181050（名） 答：该校对 50 名学生进行了抽样调查 （2）最喜欢足球活动的有 10 人，占被调查人数的 20% （3）全校学生人数：400（130%24%26%） 40020% 2000（人） 则全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为 2000720（人） 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解
31、决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为 1，直接反映部分占总体的百分比大小 24【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加 x 盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有 （50x）盆，根据“总利润盆数每盆的利润”可得函数解析式； （2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于 x 的函数解析式，配方成顶点式，利 用二次函数的性质求解可得 【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加 x 盆， 则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50x）盆， 所以 W1（50+x）（1602x）2x2+60x+8000， W219（50x）19x+950； （
32、2）根据题意，得： WW1+W2 2x2+60x+800019x+950 2x2+41x+8950 2（x）2+， 20，且 x 为整数， 当 x10 时，W 取得最大值，最大值为 9160， 答：当 x10 时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W 最大，最大总利润是 9160 元 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等 关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质 25【分析】（1）连接 AD、OD，由 AB 为直径可得出点 D 为 BC 的中点，由此得出 OD 为BAC 的中位线，再根据中位线的性质即可得出 ODDF，从而证出 DF 是O 的切
33、线； （2）CF1，DF，通过解直角三角形得出 CD2、C60，从而得出ABC 为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积 【解答】（1）证明：连接 AD、OD，如图所示 AB 为直径， ADB90， ADBC， ACAB， 点 D 为线段 BC 的中点 点 O 为 AB 的中点， OD 为BAC 的中位线， ODAC， DFAC， ODDF， DF 是O 的切线 （2）解：在 RtCFD 中，CF1，DF， tanC，CD2， C60， ACAB， ABC 为等边三角形， AB4 ODAC， DOGBAC60， DGODtanDOG2， S 阴影SODGS扇形OBD DGOD
34、OB22 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积 的计算，解题的关键是：（1）证出 ODDF；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部 分的面积本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求 面积是解题的难点，在日常练习中应加强训练 26【分析】作 ADBC，交 BC 的延长线于 D，设 AD 为 xnmile，根据正切的概念用 x 分 别表示出 BD、CD，根据题意列出方程，解方程即可 【解答】解：作 ADBC，交 BC 的延长线于 D， 设 AD 为 xnmile， 由题意得，B906723，ACD904545， 则 CDADtan45
35、x，BD， BDCDBC， 由题意得， 解得 x， 8nmilenmile， 渔船没有触礁的危险 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角 三角函数的概念是解题的关键 27【分析】（1）把点 B 和 D 的坐标代入抛物线 yx2+bx+c 得出方程组，解方程组即 可；由抛物线解析式求出点 A 的坐标，设直线 AD 的解析式为 ykx+a，把 A 和 D 的坐 标代入得出方程组，解方程组即可； （2）分两种情况：当 a1 时，DFAE 且 DFAE，得出 F（0，3），由 AE1 a2，求出 a 的值； 当 a1 时，显然 F 应在 x 轴下方，EFAD 且 E
36、FAD，设 F （a3，3），代 入抛物线解析式，即可得出结果 【解答】解：（1）把点 B 和 D 的坐标代入抛物线 yx2+bx+c 得：， 解得：b2，c3， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； 当 y0 时，x2+2x+30， 解得：x3，或 x1， B（3，0）， A（1，0）； 设直线 AD 的解析式为 ykx+a， 把 A 和 D 的坐标代入得：， 解得：k1，a1， 直线 AD 的解析式为 yx+1； （2）分两种情况：如图所示： 当 a1 时，DFAE 且 DFAE， 则 F 点即为（0，3）， AE1a2， a3； 当 a1 时，显然 F 应在 x 轴下方，EFAD 且 E
37、FAD， 设 F （a3，3）， 由（a3）2+2（a3）+33， 解得：a4； 综上所述，满足条件的 a 的值为3 或 4 【点评】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、平行四边形的判定、抛物线 与 x 轴的交点等知识；熟练掌握待定系数法求抛物线和直线的解析式，分两种情况讨论 是解决问题（2）的关键 28【分析】（1）易得ABC 为等腰直角三角形，则BC45，然后利用 PQCQ 可得到PCQ 为等腰直角三角形，所以 PQCQ； （2）根据等腰直角三角形的性质得 BCAB，CQPCx，同理可证得 为BQR 等腰直角三角形，则 BQRQy，所以y+x，变形得到 y x+1（0x1），然后描
38、点画函数图象； （3）由于 AR1y，AP1x，则 AR1（x+1），当 ARAP 时，PRBC， 所以 1（x+1）1x，解得 x，然后利用 0x1 可判断 PR 能平行于 BC 【解答】（1）证明：A90，ABAC1， ABC 为等腰直角三角形， BC45， PQCQ， PCQ 为等腰直角三角形， PQCQ； （2）解：ABC 为等腰直角三角形， BCAB， PCQ 为等腰直角三角形， CQPCx， 同理可证得为BQR 等腰直角三角形， BQRQy， BQ+CQBC， y+x， yx+1（0x1）， 如图， （3）解：能理由如下： AR1y，AP1x， AR1（x+1）， 当 ARAP 时，PRBC， 即 1（x+1）1x， 解得 x， 0x1， PR 能平行于 BC 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息 广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解 决问题的能力解决本题的关键是熟练应用等腰直角三角形的性质
