1、绝密启用前绝密启用前 2020 年山东省济南市天桥区中考数学模拟试卷年山东省济南市天桥区中考数学模拟试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 13 的相反数是（ ） A3 B3 C D 2下列大小相同 5 个正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A B C D 3将 12480
2、用科学记数法表示应为（ ） A12.48103 B0.1248105 C1.248104 D1.248103 4如图，ab，以直线 b 上两点 A 和 B 为顶点的 RtABC（其中C90）与直线 a 相 交，若130，则ABC 的度数为（ ） A30 B60 C120 D150 5下列各式中计算正确的是（ ） A（x+y）2x2+y2 B（3x）26x2 C（x3）2x6 Da2+a2a4 6下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 7方程 2x25x+30 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C无实数根 D两根异号 8在一个不透
3、明的盒子中装有 6 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同， 若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（ ） A18 B12 C9 D24 9下列命题正确的是（ ） A一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C对角线相等的四边形是矩形 D对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 10已知函数 y的图象如图，当 x1 时，y 的取值范围是（ ） Ay1 By1 Cy1 或 y0 Dy1 或 y0 11已知菱形 OABC 在下面直角坐标系中的位置如图所示，点 A（4，0），COA60， 则点 B 的坐标为（ ） A（4+2，2） B（6
4、，2） C（4+2，2） D（6，2） 12在平面直角坐标系中，已知点 A（1，4），B（2，1），直线 AB 与 x 轴和 y 轴分别 交 M，N，若抛物线 yx2bx+2 与直线 AB 有两个不同的交点，其中一个交点在线段 AN 上（包含 A，N 两个端点），另一个交点在线段 BM 上（包含 B，M 两个端点），则 b 的取值范围是（ ） A1b Bb1 或 b Cb Db或 b 二、填空题：（本大题共二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13分解因式：a22a+1 14若一组数据 2，3，x，5，7 的众数为 7，则这组数据的中位数为
5、 15 如图，在 33 的方格纸中，每个小方格都是边长为 l 的正方形， 点 O， A，B 均为格点， 则的长等于 16若代数式与的值相等，则 x 17如图，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点 C 是 y 轴上的 一个动点，且 A、B、C 三点不在同一条直线上，当ABC 的周长最小时，点 C 的坐标 是 18如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 BC 边上的动点（点 M 不与点 B，C 重合），过点 C 作 CNDM 交 AB 于点 N，连结 OM、ON，MN下列五个 结论：CNBDMC；ONOM；ONOM；若 AB2，则
6、SOMN的最小 值是 1；AN2+CM2MN2其中正确结论是 ；（只填序号） 三、 解答题： （本大题共三、 解答题： （本大题共 9 个小题， 共个小题， 共 78 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ）分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ） 19（6 分）计算：|3|+（2019）02sin30+（）1 20（6 分）解不等式组 21 （6 分）如图，已知 E、F 是ABCD 对角线 AC 上的两点，且 BEAC，DFAC求证： BEDF 22（8 分）某校为表彰在美术展览活动中获奖的同学，老师决定购买一些水笔和颜料盒作 为奖品，请你根据图中所给的信息，解答下列问题
7、： （1）求出每个颜料盒、每支水笔各多少元？ （2）若学校购买 10 个颜料盒，6 支水笔，共需多少元？ 23（8 分）如图，点 A 是O 直径 BD 延长线上的点，AC 与O 相切于点 C，ACBC， BEAC，交 AC 延长线于点 E （1）求A 的度数； （2）若O 的半径为 2，求 BE 的长 24 （10 分）2017 年 9 月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”， 本次 “统编本” 教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读， 某校对 A 三国演义、B红楼梦、C西游记、D水浒四大名著开展“最受欢迎的传 统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每
8、名学生必选且只能选这四大名著中 的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图： （1）本次一共调查了 名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图 或列表的方法求恰好选中三国演义和红楼梦的概率 25 （10 分） 如图， 反比例函数 y （x0） 的图象与正比例函数 yx 的图象交于点 A， 且 A 点的横坐标为 2 （1）求反比例函数的表达式； （2）若射线 OA 上有点 P，且 PA2OA，过点 P 作 PM 与 x 轴垂直，垂足为 M，交反比 例函数图象于点 B，连接 AB，OB，请求出OAB 的面积； （
9、3）定义：横、纵坐标均为整数的点称为“整点”在（2）的条件下，请探究边 PA、 PB 与反比例函数围成的区域内（不包括边界）“整点”的个数 26（12 分）如图 1，ABC 和DEC 均为等腰三角形，且ACBDCE90，连接 BE，AD，两条线段所在的直线交于点 P （1）线段 BE 与 AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由 （2）若已知 BC12，DC5，DEC 绕点 C 顺时针旋转， 如图 2，当点 D 恰好落在 BC 的延长线时，求 AP 的长； 在 旋 转 一 周 的 过 程 中 ， 设 PAB的 面 积 为S ， 求S的 最 值 27（12 分）如图 1，抛物线 yax2+bx+
10、2（a0）过点 A（1，0），B（4，0），与 y 轴相交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）在 x 轴正半轴上存在点 E，使得BCE 是等腰三角形，请求出点 E 的坐标； （3）如图 2，点 D 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 D 作 DMBC 于点 M， 是否存在点 D，使得CDM 的某个角恰好等于ABC 的 2 倍？若存在，请求出点 D 的 横坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有
11、一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1【分析】依据相反数的定义回答即可 【解答】解：3 的相反数是3 故选：A 【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键 2【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案 【解答】解：从上边看第一列是 2 个小正方形，第二列是 1 个小正方形，第三列式 1 个 小正方形，如图： 故选：B 【点评】 本题考查了简单组合体的三视图， 解题时注意： 从上边看得到的图形是俯视图 3【分析】科学记数法是把一个大于 10 的数记成 a10n的形式，其中 a 是整数数位只有 一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法科学记数法形
12、式：a10n，其中 1 a10，n 为正整数 【解答】解：124801.248104， 故选：C 【点评】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法方法是解题的关键 4【分析】依据 ab，130，即可得到A130，再根据C90，即可得 出ABC90A60 【解答】解：ab，130， A130， 又C90， ABC90A60， 故选：B 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等 5 【分析】根据完全平方公式对 A 进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对 B、C 进行判断； 根据合并同类项对 D 进行判断 【解答】解：A、（x+y）2x2+2xy+y2，所以 A 选项错误；
13、 B、（3x）29x2，所以 B 选项错误； C、（x3）2x6，所以 B 选项正确； D、a2+a22a2，所以 D 选项错误 故选：C 【点评】本题考查了完全平方公式：（ab）2a22ab+b2也考查了合并同类项以及 幂的乘方与积的乘方 6【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确 故选：D 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称
14、轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 7【分析】由方程的系数结合根的判别式可得出10，由此即可得出原方程有两个不 相等的实数根，此题得解 【解答】解：（5）242310， 方程 2x25x+30 有两个不相等的实数根 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解 题的关键 8【分析】首先设黄球的个数为 x 个，根据题意得：，解此分式方程即可求得答 案 【解答】解：设黄球的个数为 x 个， 根据题意得：， 解得：x12， 经检验：x12 是原分式方程的解； 黄球的个数为 12 故选：B 【点评】此题考查
15、了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数 之比 9【分析】直接利用平行四边形以及菱形、矩形、正方形的判定方法分析得出答案 【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形，错误； B、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误； C、对角线相等的四边形是矩形，错误； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确 故选：D 【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握平行四边形以及菱形、矩形、正方形的 判定方法是解题关键 10【分析】根据反比例函数的性质，再结合函数的图象即可解答本题 【解答】解：根据反比例函数的性质和图象显示可知： 此函数为减函数，x1 时，在第三象
16、限内 y 的取值范围是 y1； 在第一象限内 y 的取值范围是 y0 故选：C 【点评】主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题 反比例函数 y的图象是双曲线， 当 k0 时，图象在一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小； 当 k0 时，图象在二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 11【分析】过点 B 作 BDx 轴于 D，根据菱形的性质可得 ABOA，ABOC，根据两直 线平行， 同位角相等可得BADAOC， 然后求出 BD， 再利用勾股定理列式求出 AD， 从而得到 OD，最后写出点 B 的坐标即可 【解答】解：如图，过点 B 作 BDx 轴于
17、D， 四边形 OABC 是菱形， ABOA4，ABOC， BADAOC， COA60， BAD60， BD2， 由勾股定理得，AD2， ODOA+AD4+26， 点 B 的坐标为（6，2） 故选：D 【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助 线构造出直角三角形是解题的关键 12【分析】首先由已知求出直线 AB 的解析式，进而确定 M，N 点坐标；然后结合函数图 象与直线交点在 AN、BM 上，讨论抛物线经过线段端点 A、B、M 的特殊情况即可 【解答】解：已知点 A（1，4），B（2，1）， 设直线 AB 的表达式为 ykx+b（k0）， 将点 A（1，4）
18、，B（2，1）代入表达式，则有： ， 解得：， yx+3 M（3，0），N（0，3）， 抛物线 yx2bx+2 必过点（0，2）， 当抛物线 yx2bx+2 经过点 A（1，4）时，b1， 抛物线 yx2bx+2 与直线 yx+3 交点在线段 AN 上时，b1， 当抛物线 yx2bx+2 与 BM 相交时，只需考虑抛物线过线段 BM 端点时即可 当抛物线 yx2bx+2 经过 B（2，1）时，b ， 当抛物线 yx2bx+2 经过 M（3，0）时，b ， b 综上所述，b 故选：C 【点评】本题考查了一次函数解析式的求法；抛物线运动时与直线相交的连续性本题 是定直线，抛物线运动，所以在解题时要
19、抓住特殊位置，进而找到解题突破口 二、填空题：（本大题共二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式 a22ab+b2（ab）2，即可 把原式化为积的形式 【解答】解：a22a+1a221a+12（a1）2 故答案为：（a1）2 【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题 的关键 14【分析】根据众数的定义可得 x 的值，再依据中位数的定义即可得答案 【解答】解：数据 2，3，x，5，7 的众数为 7， x7， 把这组数据从小到大排列为：2、3、5、7、7， 则
20、中位数为 5； 故答案为：5 【点评】本题考查众数与中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小） 重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数众 数是数据中出现最多的一个数 15【分析】证明ACOODB，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理求出AOB 90，根据勾股定理求出 OA，根据弧长公式计算，得到答案 【解答】解：在ACO 和ODB 中， ， ACOODB（SAS） AOCOBD， BOD+OBD90， BOD+AOC90，即AOB90， 由勾股定理得，OAOB， 的长， 故答案为： 【点评】本题考查的是弧长的计算、勾股定理、全等三角形的判定和性质，
21、掌握弧长公 式是解题的关键 16 【分析】 由已知条件： 代数式与的值相等， 可以得出方程， 解方程即可 【解答】解：根据题意得：， 去分母得：6x4（x+2）， 移项合并同类项得：2x8， 解得：x4 故答案为：4 【点评】本题考查了解分式方程，解答本题的关键在于根据题意列出方程，解方程时注 意按步骤进行 17【分析】根据轴对称做最短路线得出 AEBE，进而得出 BOCO，即可得出 ABC 的周长最小时 C 点坐标 【解答】解：作 B 点关于 y 轴对称点 B点，连接 AB，交 y 轴于点 C， 此时ABC 的周长最小， 点 A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0）， B点坐标为：（3，0
22、），AE4， 则 BE4，即 BEAE， COAE， BOCO3， 点 C的坐标是（0，3），此时ABC 的周长最小 故答案为（0，3） 【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出 C 点 位置是解题关键 18【分析】由正方形的性质得出 CDBC，BCD90，证出BCNCDM，由 ASA 即可得出结论； 由全等三角形的性质得出 CMBN， 由正方形的性质得出OCMOBN45， OC OB，由 SAS 证得OCMOBN（SAS）即可得出结论； 由OCMOBN，得出COMBON，则BOM+COMBOM+BON，即 可得出结论； 由 AB2， 得出 S正方形ABCD4，
23、 由OCMOBN 得出四边形 BMON 的面积BOC 的面积1，即四边形 BMON 的面积是定值 1，推出MNB 的面积有最大值即可得出 结论； 由 CMBN，BMAN，由勾股定理即可得出结论 【解答】解：正方形 ABCD 中，CDBC，BCD90， BCN+DCN90， CNDM， CDM+DCN90， BCNCDM， 在CNB 和DMC 中， CNBDMC（ASA）， 故正确； CNBDMC， CMBN， 四边形 ABCD 是正方形， OCMOBN45，OCOB， 在OCM 和OBN 中， OCMOBN（SAS）， OMON， 故正确； OCMOBN， COMBON， BOM+COMBOM
24、+BON，即NOMBOC90， ONOM； 故正确； AB2， S 正方形ABCD4， OCMOBN， 四边形 BMON 的面积BOC 的面积1，即四边形 BMON 的面积是定值 1， 当MNB 的面积最大时，MNO 的面积最小， 设 BNxCM，则 BM2x， MNB 的面积 Sx（2x）x2+x（x1）2+， 当 x1 时，MNB 的面积有最大值， 此时 SOMN的最小值是 1 ， 故不正确； ABBC，CMBN， BMAN， 在 RtBMN 中，BM2+BN2MN2， AN2+CM2MN2， 故正确； 本题正确的结论有：， 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性
25、质，三角形的面积与正方形 面积的计算、 二次函数的最值以及勾股定理等知识， 熟练掌握全等三角形的判定与性质、 勾股定理是解决问题的关键 三、 解答题： （本大题共三、 解答题： （本大题共 9 个小题， 共个小题， 共 78 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ）分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ） 19【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数和负整数指数幂可以解答本题 【解答】解：|3|+（2019）02sin30+（）1 3+12+3 3+11+3 6 【点评】本题考查幂的乘方、零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解答本 题的关键是明确它们各自的计算
26、方法 20【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可 【解答】解： 解不等式得：x1， 解不等式得：x2， 不等式组的解集是1x2 【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大， 同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 21【分析】首先利用平行四边形的性质得出 ABCD，BACDCF，进而得出ABE CDF（AAS），即可得出答案 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BACDCF， BEAC，DFAC， BEADFC， 在ABE 和CDF 中， ， ABECDF（AAS）， BEDF 【点评
27、】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出ABE CDF 是解题关键 22【分析】（1）设每个颜料盒 x 元，每支水笔 y 元，根据总价单价数量结合图中给 定信息，可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总价单价数量，即可求出购买 10 个颜料盒、6 支水笔所需费用 【解答】解：（1）设每个颜料盒 x 元，每支水笔 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：每个颜料盒 18 元，每支水笔 15 元 （2）1810+156270（元） 答：共需 270 元 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组 是解题的关键 2
28、3【分析】（1）根据弦切角的性质得出ACDDCB，进而得出AACD，即可 得出 3A90，得到A30； （2）证得 AB3CD6，然后根据 30角的直角三角形的性质即可求得 BE3 【解答】解：（1）AC 与O 相切于点 C， ACDDCB， ACBC， ADBC， AACD， CDBA+ACD2A， BD 是O 直径， DCB90， CDB+DBC90，即 3A90， A30； （2）DBCA30， DB2CD4， AACD， ADCD， AB3CD6， BEAC， BEAB3 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理的性质，弦切角的性质，熟练掌握性质定 理是解题的关键 24【分析】（1）依
29、据 C 部分的数据，即可得到本次一共调查的人数； （2）依据总人数以及其余各部分的人数，即可得到 B 对应的人数； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 【解答】解：（1）本次一共调查：1530%50（人）； 故答案为：50； （2）B 对应的人数为：501615712， 如图所示： （3）列表： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 共有 12 种等可能的结果，恰好选中 A、B 的有 2 种， P（选中 A、B） 【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，列表与树状图的应用，解题的关键是通 过列表将所有等
30、可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解 25【分析】（1）利用正比例函数 yx 可求出点 A 的坐标，代入反比例函数 y（x 0）即可求出表达式； （2）过 A 点作 ANOM，垂足为 N，利用比例可求出 M、B、P 的坐标，先求出POM 的面积，减去BOM 的面积，再按 OA：AP1：2 可求出OAB 的面积； （3）由（2）知，点 N 坐标为（2，0），点 M 的坐标为（6，0），所以探究边 PA、PB 与反比例函数围成的区域内（不包括边界） “整点”的个数时，只需要对横坐标是 3、4、 5 进行探讨即可 【解答】解：（1）A 点在正比例函数 yx 的图象上， 当 x2 时，y3 点 A
31、 的坐标为（2，3） 代入反比例函数 y（x0）中，得 k6 故反比例函数的表达式为 y（x0） （2）过 A 点作 ANOM，垂足为 N，则 ANBM 而 PA2OA，MN2ON4 M 点的坐标为（6，0） 将 x6 代入 y中，y1，点 B 的坐标为 B（6，1） 将 x6 代入 yx 中，y9，点 P 的坐标为 P（6，9） SPOM 6927，SBOM613 SBOP27324， 又SBOA：SBAPOA：AP1：2 SOAB 248 故OAB 的面积为 8 （3）由（2）知，点 N 坐标为（2，0），点 M 的坐标为（6，0）， 若 x3，对于 y中，y2；对于 yx 中，y，包含“
32、整点” （3，3）、 （3，4）； 若 x4，对于 y中，y；对于 yx 中，y6，包含“整点” （4，2）、 （4，3）、 （4，4）、（4，5）； 若 x5，对于 y中，y；对于 yx 中，y，包含“整点”（5，2）、（5， 3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（5，7）； 故以边 PA、PB 与反比例函数围成的区域内（不包括边界）“整点”的个数为 12 个 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，抓住图象中的交点及其他特 殊点的坐标和性质是解决问题的关键 26 【分析】 （1） 由等腰直角三角形的性质可得 CDCE， ACBC， BCAECD90， 可得BCEACD，由
33、“SAS”可证BECADC，可得 BEAD，BECADC， 由四边形内角和定理可得 BEAD； （2）由勾股定理可求 BE13，AE7，通过证明BECAEP，可得，即可 求 AP 的长； （3） 由APB 可得点 P 在以 AB 为直径的圆上， 即 SPABAB （点 P 到 AB 的距离） ， 可求 S 的最大值 【解答】解：（1）BEAD，BEAD 理由如下：ABC 和DEC 均为等腰三角形，且ACBDCE90 CDCE，ACBC，BCAECD90 BCEACD，且 CDCE，ACBC BECADC（SAS） BEAD，BECADC ADC+ECD+CEP+EPD360 EPD90 BEA
34、D （2）ABC 和DEC 均为等腰三角形，且ACBDCE90， CDCE5，ACBC12，BCAECD90 BECADC（SAS）， BE13，AEACCE7 CADCBP，且BECAEP BECAEP AP （3）由（1）可知，APB90 点 P 在以 AB 为直径的圆上， ACBC12，ACB90 AB12 SPABAB（点 P 到 AB 的距离），且点 P 到 AB 的最大距离为 AB， S 最大值 ABAB72 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和 性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，熟练运用这些性质进行推 理是本题的关键 2
35、7【分析】（1）根据点 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，结合点 B 的坐标可得出 BC 的长，设点 E 的坐标为（m，0），分 BEBC 及 CEBE 两种情况考虑：当 BEBC 时，由 BE2结合点 B 的坐标可得出点 E 的坐标；当 CEBE 时，在 RtOCE 中 利用勾股定理可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出 m 的值，进而可得出点 E 的 坐标； （3） 分DCM2ABC 及CDM2ABC 两种情况考虑： 当DCM2ABC 时， 取点 F（0，2），连接 BF，则 CDBF，由点 B，F 的坐
36、标，利用待定系数法可求出 直线 BF，CD 的解析式，联立直线 CD 及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求 出点 D 的坐标；当CDM2ABC 时，过点 C 作 CNBF 于点 N，作点 N 关于 BC 的对称点 P，连接 NP 交 BC 于点 Q，利用待定系数法及垂直的两直线一次项系数乘积为 1 可求出直线 CN 的解析式，联立直线 BF 及直线 CN 成方程组，通过解方程组可求出 点 N 的坐标，利用对称的性质可求出点 P 的坐标，由点 C、P 的坐标，利用待定系数法 可求出直线 CP 的解析式， 将直线 CP 的解析式代入抛物线解析式中可得出关于 x 的一元 二次方程，解之取其非零
37、值可得出点 D 的横坐标综上，此题得解 【解答】解：（1）将 A（1，0），B（4，0）代入 yax2+bx+2，得： ，解得：， 抛物线的解析式为 yx2+x+2 （2）当 x0 时，yx2+x+22， 点 C 的坐标为（0，2） 点 B 的坐标为（4，0）， BC2 设点 E 的坐标为（m，0），分两种情况考虑（如图 3 所示）： 当 BEBC 时，m42， m4+2， 点 E 的坐标为（4+2，0）； 当 CEBE 时，m2+22（4m）2， 解得：m， 点 E 的坐标为（，0） （3）分两种情况考虑： 当DCM2ABC 时，取点 F（0，2），连接 BF，如图 4 所示 OCOF，OB
38、CF， ABCABF， CBF2ABC DCB2ABC， DCBCBF， CDBF 点 B（4，0），F（0，2）， 直线 BF 的解析式为 yx2， 直线 CD 的解析式为 yx+2 联立直线 CD 及抛物线的解析式成方程组，得：， 解得：（舍去）， 点 D 的坐标为（2，3）； 当CDM2ABC 时，过点 C 作 CNBF 于点 N，作点 N 关于 BC 的对称点 P，连 接 NP 交 BC 于点 Q，如图 5 所示 设直线 CN 的解析式为 ykx+c（k0）， 直线 BF 的解析式为 yx2，CNBF， k2 又点 C（0，2）在直线 CN 上， 直线 CN 的解析式为 y2x+2 连
39、接直线 BF 及直线 CN 成方程组，得：， 解得：， 点 N 的坐标为（，） 点 B（4，0），C（0，2）， 直线 BC 的解析式为 yx+2 NPBC，且点 N（，）， 直线 NP 的解析式为 y2x 联立直线 BC 及直线 NP 成方程组，得：， 解得：， 点 Q 的坐标为（，） 点 N（，），点 N，P 关于 BC 对称， 点 P 的坐标为（，） 点 C（0，2），P（，）， 直线 CP 的解析式为 yx+2 将 yx+2 代入 yx2+x+2 整理，得：11x229x0， 解得：x10（舍去），x2 ， 点 D 的横坐标为 综上所述：存在点 D，使得CDM 的某个角恰好等于ABC 的 2 倍，点 D 的横坐标为 2 或 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾 股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及 一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求 出抛物线的解析式；（2）分 BEBC 及 CEBE 两种情况求出点 E 的坐标；（3）分 DCM2ABC 及CDM2ABC 两种情况求出点 D 的横坐标
